23.2 解直角三角形及其应用 分层同步练习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 以“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层递进设计，覆盖解直角三角形从基本应用到综合创新的完整路径，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|解直角三角形基本边角关系（正弦、余弦、正切）及简单实际应用（坡度、仰角俯角）|直接应用定义，题型为选择、填空、简单解答，如斜坡高度计算（第1题）、仰角问题（第4题），培养运算能力与几何直观| |能力提升|综合应用（结合中位线、对称等几何性质）、复杂情境（方向角、坡度综合）|多知识点融合，如坡度与路程差（第11题）、三角形内角和与解直角三角形（第13题），发展推理意识与空间观念| |拓展创新|跨知识点综合（圆与解直角三角形）、复杂模型构建|探究性问题，如切线与圆周角定理结合（第16题），培养创新意识与模型观念|

沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用分层同步练习 一、夯实基础 1．（2026九下·杭州月考）如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　） A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．米 2．（2026·鹿城模拟）汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·广东模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别为边AB，AC的中点，连接DE，CD，若 则CD的长度为(　　) A．3 B． C．3.5 D．4 4．（2026·深圳模拟）深圳前海"湾区之光"摩天轮是深圳的地标性建筑，如图1其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图2在摩天轮前方的水平地面上选取点 B，测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，将点 B 向摩天轮方向移动21.3米到点 C，此时测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，摩天轮的高度约为多少米(　　)(结果保留整数).(参考数据： ，，) A．154米 B．150米 C．128米 D．107米 5．（2026·新昌月考）如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据 6．（2026·广州模拟）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为　 　． 7．（2026·临高模拟）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 8．（2026·铜仁模拟）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂. 在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为 DE的观景台，已知CD=12m， ∠DCE=30°， 点E， C，A 同一条水平直线上. 在观景台C测得塔顶部B仰角为45°，在观景台 D 测得塔顶部B 仰角为27°. （1） 求DE的长； （2） 求塔AB 的高度. （ 结果保留整数) 二、能力提升 9．（2026·长春模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则　 　． 10．（2026·甘肃）如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米） 参考数据：，，，，，． 11．（2026·陈仓模拟）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点 C，乙步行 n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直高度距离 CD可以表示为（　　） A．(m-n)cosα米 B．(m-n)sinα米 C． 米 D．米 12．（2026·长春一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为α，则此“天幕”的宽度CD是（　　） A．3.8sinα米 B．3.8cosα米 C．米 D．米 13．（2026·嘉善二模）某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米. 14．（2026·绵阳模拟）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA和 ND.甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M的仰角为 60°，测得点 C距离通信基站 MA的水平距离 CB为 30m；乙在另一座山脚点 F处测得点 F 距离通信基站 ND的水平距离 FE为 50m，测得山坡 DF的坡度 i=1：1.25.若 点 C， B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端 M与顶端 N的高度差为　 　m. 三、拓展创新 15．（2026·金华一模）图1为武术动作机器人，图2为其示意图.机器人上半身CD垂直于地面水平线AB，手臂DE∥AB.已知∠CAB=α，AC=m，CD=n，则该机器人拳头（E点）到地面AB的高度为（　　） A．M cosα+n B．m tanα+n C．m cosα+n sinα D．m sinα+n 16．（2026·陈仓模拟）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，E是⊙O上的点，满足∠BAC=2∠ABE，延长CA，BE交于点D，M是BD上一点且AM是⊙O的切线，连接OE. （1） 求证： CD∥OE； （2） 若 ⊙O的半径为4，求EM的长. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα= 200sinα（米） 。 故答案为：A 【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。 2．【答案】A 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【解答】解：在中，，，， ∵， ∴． 故答案为：A. 【分析】根据正切函数的定义，由∠AOB的正切函数即可求出. 3．【答案】D 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ， ∴BC=2DE=， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴， ∴AB=8， ∵CD为斜边上的中线， ∴CD=4， 故答案为：D 【分析】先根据三角形中位线定理得到BC=2DE=，进而根据余弦函数解直角三角形，从而求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。 4．【答案】C 【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：根据题意：，即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 故答案为：C. 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用.明确题干中各个角的度数与线段的长度，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OA=OB；将OC用OA表示出来，根据正切定义得到，计算求解即可. 5．【答案】85 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题 【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36 米， 如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。 在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米 在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由，得： ， 由AC-BC=AB，代入得： ， 解得：， 所以河流的宽度约为85米。 故答案为：85 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。 6．【答案】 【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠B=90∘， AB===. tanA===. 故答案为：. 【分析】由天桥示意图得 △ABC 为直角三角形，∠ABC=90∘，已知对边 BC=10，斜边 AC=30；先用勾股定理求出邻边 AB；根据正切定义 tanA== 计算结果. 7．【答案】（1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； （2）解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【分析】（1）利用正弦的定义得到关系式，将已知数值代入这个式子计算，就能得到对应结果； （2）先根据正切的定义得到关系式，由此计算出米；之后再利用正切定义得到，计算得到米，即可解决对应问题. （1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； （2）解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 8．【答案】（1）解：由题意得DE⊥EC， 在 Rt△DEC中，CD =12m，∠DCE =30°， ∴DE的长为6m. （2）解：∵AB = hm， ∴BF=AB-FA=(h-6)m， 在Rt△BDF中，∵∠BDF = 27° ∴BF=DF·tan27°≈0.5(6+h)m 解得 ∴塔AB的高度约为22m 【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案. （2）根据边之间的关系可得BF=h-6，在Rt△BDF中解直角三角形可得BF，再建立方程，解方程即可求出答案. 9．【答案】 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：∵， ∴斜面的坡度为， ∴， 故填：． 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，列出等式，求出m的值，即可得出答案． 10．【答案】解：设米， 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：观测点到塔的水平距离约是米． 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】设米，解直角三角形可得CB，DB，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案. 11．【答案】B 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：如图，由题意可知：BD||水平面， 则∠CBD=∠α，BC=(m-n)m， 在Rt△BCD中，， 所以得到CD=BCsinα=(m-n)sinα米. 故答案为：B. 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形，表示出BC的长，然后在直角三角形BCD中，用锐角三角函数表示出CD的长即可. 12．【答案】C 【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】解：如图，设CD与AB交点为E， 由题意知AB垂直平分CD，AC=AD=3.8米， 所以∠CAE=∠CAD=，∠CEA=90°， 因为sin∠CAE=， 所以CE=ACsin∠CAE=3.8sin， 所以CD=2CE=米. 故答案为：C. 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解直角三角形的实际应用，直角三角形的边角关系，首先根据轴对称的性质得到∠CAB为∠CAD的一半，CD⊥AB，CD=2CE，然后在Rt△CAE中，利用直角三角形的边角关系得到CE的长，进而得到CD的长. 13．【答案】 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D. 由题意可知， AC=1.5×2=3(千米). ∵∠ACB=120°， ∴∠DCB=60°. 在Rt△BCD中， 在Rt△DAB中， ∵AD-CD=AC=3， (千米). 在Rt△DAB中， ∵∠DAB=30°， (千米). 故答案为： 【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论. 14．【答案】 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：在Rt△MCB中， ∵∠MCB=60°，CB=30m， ∴ ∴m ∵山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m， ∴DE=40m， ∴ ∴ND=25m ∴(m) ∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为m. 故答案为：. 【分析】根据锐角三角函数可得MB，由山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，可得DE=40m，进而可以解决问题. 15．【答案】D 【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB于G， 在Rt△ACG中， ∠CAB=α，AC=m ， 则CG=msinα ， 因为CD⊥AB，DE||AB， CD=n， 所以E到地面高度等于CG+CD= m sinα+n . 故答案为：D. 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作CG⊥AB于G，然后在Rt△ACG中用正弦定理得到CG，然后由DE||AB，CD⊥AB可知E到地面高度等于CG+CD，代入整理即可. 16．【答案】（1）证明： ∵∠AOE=2∠ABE， ∠BAC=2∠ABE， ∴∠AOE=∠BAC， ∴CD∥OE （2）解：如图，连接AE， ∵AM是⊙O的切线，AB 是⊙O的直径， ∴∠BAM=90°， ⊙O的半径为4， ， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， 在 Rt△ABE 中，， 设 AE=x，BE=2x， 由勾股 x2+(2x)2=82， 解得 AE=，BE=. ∴ 【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合 【解析】【分析】(1) 利用同弧圆心角是圆周角两倍，得到∠AOE 等于两倍∠ABE，结合题干∠BAC 等于两倍∠ABE，推出同位角∠AOE 与∠BAC 相等，依据同位角相等两直线平行证明 CD 平行 OE； (2)连接 AE，切线垂直直径得到∠BAM 为直角，由正切值和直径长度算出 AM 长度；AB 是直径所以∠AEB 为直角，再用勾股定理求出 AE、BE 长度，通过相似对应边比例列式算出 EM 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $