23.1.2 第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

23.1.2 ，，角的三角函数值 第1课时 ，，角的三角函数值 01基础达标 知识点一 特殊角的三角函数值 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 3. 如图，在 中，，，，则 的长是( ) A. B. 4 C. 8 D. 4 4. 令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（ ） A. c<b<a B. b<c<a C. b<a<c D. a<c<b 5. 若∠A是锐角，且sinA＝cosA，则∠A的度数是______． 6. 若,则_______ 7. 计算： （1） （2） （3） 知识点二 由三角函数值求特殊角 8. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____． 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角的度数为__________． 02能力提升 10. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tanA的值为（ ） A. B. C. D. 12. 正比例函数的图象与轴的夹角为锐角，则__________． 13. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 14. 计算： （1） （2） 15. 如图是一块三角形形状的草坪，经测量：，， ，请你求出这块花圃的面积（结果用根号表示） 03思维拓展 16. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点，使得，连接，易知，，所以 任务： （1）请根据上面的步骤，完成的计算． （2）类比这种方法，画出图形，并计算的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1.2 ，，角的三角函数值 第1课时 ，，角的三角函数值 01基础达标 知识点一 特殊角的三角函数值 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：把sin60°=代入原式得：原式=2×=. 故选C. 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：B． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=， ∵<<， ∴c<b<a. 故选A. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键. 【5题答案】 【答案】45° 【解析】 【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可得到答案． 【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA=cosA，sin45°=sin45°， ∴∠A=45°， 故答案为45°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【6题答案】 【答案】##40度 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：由题意得，， 又， ， 解得：． 【7题答案】 【答案】（1） （2） （3）11 【解析】 【分析】（1）直接代入特殊角的三角函数值计算； （2）代入三角函数值，按先乘后减的顺序计算； （3）分别计算算术平方根、三角函数、负指数幂、零指数幂，再合并． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 知识点二 由三角函数值求特殊角 【8题答案】 【答案】60°． 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断． 【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝∠B＝60°． ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单． 【9题答案】 【答案】60° 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与特殊角的三角函数值. 根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式等于, 求出的值, 结合为锐角即可求解. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个相等的实数根. . 整理得. 即. 解得. 为锐角. . 02能力提升 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论． 【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB） =180°﹣2（∠OBC+∠OCB） =180°﹣2×（180°－120°） =180°﹣2×60°=60°， ∴tanA=tan60°=， 故选A． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数解析式构造直角三角形，求出夹角的正切三角函数值，结合特殊锐角的三角函数值即可得到的度数． 【详解】解：在正比例函数的图象上取一点，过点作轴于点. 设点的横坐标为，代入解析式得纵坐标，即，. 在中，. 为锐角，且， . 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标． 【详解】的坐标分别是 轴 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 【14题答案】 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值，三角函数，二次根式，负指数幂，再合并同类项； （2）分别计算算术平方根，零指数幂，负指数幂，三角函数，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：   ． 【15题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】过点作于点D，先在中利用求出和，再在中利用求出，最后计算的长度，再用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作于点 在中， ，， ， 在中， ， 是等腰直角三角形， ． 03思维拓展 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目的数据可得，，根据正切的定义可以计算出的值； （2）根据题意，可以先画出图形，然后即可计算出的值． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ，即的值是． 【小问2详解】 解：在中，，， 延长到点，使得，连接， ∴， 设， 则， 故， ， 即的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $