第22章 综合与实践（一） 旋转相似变换+综合与实践（二） 折叠相似变换（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 综合与实践（一） 旋转相似变换 【1题答案】 【答案】 (1)证明：，四边形ABCD是矩形 .∠B=∠C=90° ∴.∠BAP+∠BPA=90° .∠MPN-909 ∴.∠CPD+∠BPA=90° .∠BAP=∠CPD ∴，△ABP∽△PCD PE (2)PF的值是定值，该定值为2； 3 (3)当m=0或2时，△BPE与△PEF相似 【解析】 【分析】(1)因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP-∠CPD即可；(2)证明边比为定 值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G,创造△PGF并证明其与△EBP相似； BE BP (3)使△BPE∽△PFE,那么PEPF,算出m值，反证相似. 【详解】(1)略 (2)过点F作FG⊥BC于G ∴.∠FGP-90° ∴.∠FGP=∠B,∠PFG+∠FPG=90° 易知四边形ABGF是矩形， ∴FG=AB=2 第1页共8页 独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ,∠MPN-90° .∠EPB+∠FPG-90° ∴.∠EPB=∠FPG ∴.△EBP∽△PGF PE BP 1 :.PF FG 2 PE 1 ∴.PF的值是定值，该定值为2 (3).AE=m ..BE=2-m BE BP ①当PEPF时， ,∠B=∠EPF=90° .△BPE∽△PFE BE PE ·,BPPF 2-m_1 .12 3 2 BP BE ②当PEPF时， ,∠B=∠EPF=90° .△BPE∽△PEF 第2页/共8页 独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 BP PE ∴.BEPF 11 .2-m2 ∴.m=0 3 综上，当m=0或2时，△BPE与△PEF相似： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交： 两边对应成比例且夹角相等：三边对应成比例：两角对应相等以及性质定理：对应角相等， 对应边成比例 第3页共8页 章独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2ZXXK.c0m】 您身边的互联网+教辅专家 综合与实践（二) 折叠相似变换 (2025·湖北) 【1题答案】 【答案】(1)证明：如图， A E G “四边形 ABCD 是矩形， ∴.∠A=∠D=∠C=90° ∠1+∠3=90°， .E F F分别在4D,BC上，将四边形4BFE沿E 翻折，使的对称点P落在DC A P 上 ∴.∠EPH=∠A=90° .1+∠2=90° .∠3=∠2， ∴.△DEP∽aCPH GH=3 (2) (3)解：8G=6 AB ,理由如下： 第4页/供8页 独家授权侵权必究 学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZxXK.c0m】 您身边的互联网+教辅专家 如图，延长AB,PG交于一点M,连接AP, B M 分别在1DBC E F ABFE、EF A P CD 上，将四边形 沿翻折，使“的对称点落在 上 .AP⊥EFBG⊥ EF 直线 BG∥AP, AE=EP .∠EAP=∠EPA, .∠BAP=∠GPA .△MAP是等腰三角形， .MA=MP, .P CD 为中点， DP=CP=y …设 .AB=PG=CD=2y .H BC 为中点， :BH=CH, 第5页共8页 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 :∠BHM=∠CHP∠CBM=∠PCH ∴.△MBH≌△PCH(ASA) ∴.BM=CP=yHM=HP .MP=MA=MB+AB=3y HP=PM= 2 3 在Rt△PCH中，CH=VPH-PC-5 ·.BC=2CH=5y AD=BC=5y 在RteAPD中，AP=VAD+PD=V6y, .BG∥AP ∴.△BMG∽△AMP BG BM 1 ∴.APAM3, BG= 3y, AB2y=6 BG6 3 第6页/共8页 独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4B=6BG,即BG=y6 B 6 【解析】 【分析】(1)证明对应角相等，即可得到△DEP∽aCPH: (2)根据△DEPOPACPH,求得PH的长度，从而得出GH长度： (3)延长AB,PG交于一点M,连接AP,先证明△MBH≌△PCH,得到相等的边， 再根据△BMG∽△MAP,得出大小关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=2AD=BC=3∠A=∠D=∠C=90° P为CD 点， :.DP=CP-x2=1. 2 设EP=AE=x, :ED=AD-x=3-x. 在Rt△EDP中，EP=ED+DP 即r=3-x)}2+1 5 解得= 第7页共8页 独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZxXK.c0m○】 您身边的互联网+教辅专家 .EP=AE=x= 3 ED=AD-AE=4 .△DEP∽△CPH 45 ED EP 33 .PC PH 即1=PH' Pm-. .PG=AB=2. GH=PG-PH=3 · 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判 定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键， 第8页供8页 独家授权侵权必究· 综合与实践（一） 旋转相似变换 1. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止. （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 （3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似. 综合与实践（二） 折叠相似变换 （2025·湖北） 1. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $