21.4 第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用 01基础达标 知识点 图形的面积最大问题 1. 用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为12m，则该梯形储料场的最大面积是______． 3. 如图所示正方形区域是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形)其中米，且.则当的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大? 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 4. 如图，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设平行于墙的长度为，隔离区的面积为． （1）S关于x的函数解析式为_________．（并写出自变量的取值范围） （2）求隔离区面积的最大值． 02能力提升 5. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接分别是上的点，且的面积为y，的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　 ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________ m2 ． 8. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． （1）若花园的面积为，求S与x的关系式． （2）若在P处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），试求出x的取值范围，并求出此时花园面积S的最大值． 03思维拓展 9. 某小区业主委员会决定把一块长50，宽30的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14，不大于26，设绿化区较长边为，活动区的面积为． （1）直接写出: ①用的式子表示出口的宽度为_________； ②与的函数关系式及的取值范围__________________; （2）若活动区造价为50元/，绿化区造价为40元/，则绿化区边长怎么设计，健身广场投资费用最少，并求出最少费用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用 01基础达标 知识点 图形的面积最大问题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点E，则四边形为矩形，设，，，则，由直角三角形的性质和特殊角三角函数解直角三角形得出，由梯形的面积公式得出面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设的长为，则， 如图，过点C作于点E， 则四边形为矩形， 设， ， ∵， ∴， 在中， ，， ， ∴， ∴当时，面积有最大值为． 【点睛】本题考查梯形的性质，矩形的性质，含30角的直角三角形的性质，用特殊角的三角函数解直角三角形，二次函数的应用-图形面积问题，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 【3题答案】 【答案】当米时，市民健身活动场所的面积达到最大. 【解析】 【分析】易证：都是等腰直角三角形，设米，则米，得到：，即可得到答案 【详解】四边形是正方形， . ， ， 都是等腰直角三角形； 设米，则米. 设四边形的面积为， ∴ . . ， ∴当时，有最大值为. 答：当米时，市民健身活动场所的面积达到最大. 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意，列出二次函数的解析式，是解题的关键. 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 【4题答案】 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）设平行于墙的长度为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式即可求出，根据题意可得自变量的取值范围； （2）通过二次函数的性质，根据取值范围确定最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设平行于墙的长度为，则隔离区的另一边为， ， ∵隔离区一面靠长为的墙， ． 【小问2详解】 解：是开口向下的抛物线，对称轴是直线， 在内，随着的增大而增大， ∴当时，． 02能力提升 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，以及求二次函数最值的方法． 证明为等边三角形，利用，即可求解． 【详解】解：∵为的中点，则， 在中，，则， 同理可得， 故为等边三角形，则， ，则， 在中，过点作于点， 则， 则， 该函数为开口向下的抛物线，时，y的最大值为， 故选：D． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设运动时间为秒，用含的式子表示和，再写出面积函数，通过配方求最大值. 【详解】解：设运动时间为秒 ∵点的速度为 ，点的速度为， ∴， ∵， ∴ ∵ 点到达点需要秒，点到达点需要秒，且一点停止另一点也随之停止， ∴的取值范围是 ∵ ， ∴的面积 配方得： ∵当时， 取得最大值， ∴的最大面积为. 【7题答案】 【答案】75 【解析】 【详解】解：首先设垂直于墙面的长度为x，则根据题意可得：平行于墙面的长度为（30－3x）， 则S=x（30－3x）=－3+75， 则当x=5时，y有最大值，最大值为75， 即饲养室的最大面积为75平方米. 故答案为：75. 视频 【8题答案】 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式，用含的式子表示，进而写出面积与的关系式； （2）根据树的位置确定的取值范围，再结合二次函数的单调性求面积最大值． 【小问1详解】 解：因为篱笆总长为，且 ，所以  花园的面积 所以与的关系式为   【小问2详解】 解：要将点围在花园内，点到墙的距离为，所以矩形的边 即，解得  点到墙的距离为，所以矩形的边  即 所以，的取值范围是 面积函数是一个开口向下的二次函数，其对称轴为 在范围内，函数随的增大而增大 因此，当时，取得最大值 所以，此时花园面积的最大值为195 03思维拓展 【9题答案】 【答案】（1）①50-2x；②y =-4x2+40x+1500（12≤x≤18）（2）69240元 【解析】 【分析】（1）①根据图形可得结论； ②根据题意可得y与x的关系式； （2）根据列方程即可得到结论． 【详解】（1）①出口的宽度为：50-2x， ②绿化区的短边为： 根据题意得，y=50×30-4x（x-10）， 即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y=-4x2+40x+1500（12≤x≤18）； 故答案为50-2x，y=-4x2+40x+1500（12≤x≤18）； （2）设费用为W， 由题意得，W=50（-4x2+40x+1500）+40×4x（x-10）=-40（x-5）2+76000， ∵a=-40＜0，12≤x≤18 ∴当x=18时，W最小，W最小值为69240元 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $