21.4 二次函数的应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

5.B【解析】由一次函数的图象可得名>0c>0x 一2a<0,即二次函数图象的对称轴在y轴的左侧。 b 又：c>0,∴二次函数图象与y轴的交点在正半轴上， 符合题意的只有B选项. b 6.C【解析】根据图象可知，a>0,c<0,一2a=1,心b= -2a<0,∴.abc>0,故①正确.根据b=-2a,可得2a 十b=0,故②正确.，当x=0时，y<0,对称轴为直线 x=1,.当x=2时，y<0,即4a十2b十c<0,故③错 误.抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,∴.am2十 bm十c≥a十b十c,即am2+bm≥a十b,故④错误. 综上所述，其中正确的有2个 7.B【解析】，对称轴为直线x=-1,∴.b=2a..当x =1时，y=a十b十c<0,∴.3a十c<0,故①错误.，抛 物线开口向下，∴.在对称轴的右侧，y随x的增大而减 小.，(-4，y1)关于直线x=-1对称的点为(2，y1),2 <3,∴.y1>y2,故②正确.方程a.x2+bx十c=一1的解 可看作抛物线y=ax2十bx十c与直线y=一1的交 点.由图象可知，抛物线y=ax2十bx十c与直线y= 一1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2十bx十 c=一1有两个不相等的实数根，故③错误.不等式ax 十bx十c>2的解集可看作抛物线y=a.x2+bx十c的 图象在直线y=2上方的部分.，(0,2)关于直线x= -1对称的点为(-2,2)，∴.当a.x2十bx十c>2时，x 的取值范围为一2<x<0,故④正确. 综上，其中正确的个数为2. 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 1.B 2.C【解析】设BC=xm,矩形ABCD的面积为ym2. 由题意，得y=x(16-x)=-x2+16.x=-(.x-8)2十 64,.当x=8时，y取最大值，最大值为64.故矩形 ABCD的最大面积是64m. 变式题115【解析】设AB的长为xm,菜园的面积 为Sm2.由题意，得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+ 450,.当AB=15m时，菜园的面积最大. 变式题2200【解析】设花圃的长为xm,面积为 ym.由题意，得y=2(38+2-x)·x=-2x+ 1 20x=,(x=20)2+200.38十2-无0，.2≤x x≥2， <40,∴.当x=20时，y取最大值，最大值为200. 故花圃的最大面积为200m. 1 3.解：由题意，得S=2x12-x)=-2x+6x=-2（x 一6)2+18，，当x=6cm时，S最大，最大面积是18cm. 4.解：如图，设AC,BD交于点O,四边形公 园的面积为S.S=S△Ar十S△A=2AC ·B0+AC·D0=AC·BD. 1 .AC+BD=160,.AC=160-BD, 六S=7160-BD)·BD=-(BD-160BD) 1 1 (BD-80)2+3200. :-2<0,0<BD<160,当BD=80时，S最大，即 该四边形公园的最大面积为3200m°. 5.C【解析】由图②可知，矩形ABCD的最大面积为 4m°，此时x=2,故A,B选项说法错误； 当x=2时，矩形ABCD的面积取最大值4，∴.AB=4 ÷2=2,.a=(AB+BC)·3=(2+2)×3=12,故C 选项说法正确，D选项说法错误， 4 6.3【解析】设透光面积为ym,AD=xm则AB= 。产商户的透光面积y一，-一 8-3.x 2 4x=- (-)》+ 3/ 8-3x .8 .0<x<8,0< 2 <8,0<x<3 当x=3时y取得最大值， 当AD的长为Sm时，窗户的透光面积最大. 7.解：1：S,=SBG=CG=2BC 设BG=b,则BC=2b. S2=S1,∴.BE·b=x·2b,.BE=2x ..AE=AB+BE=x+2x=3x. 3AD+AE+GH+DF=3AD+3x+2x+3x=12, 5AD128=4-8>0,解得< 3 3 “x的取值范围为0<x<2 8 (2)由(1)知，AD=4-3x,AE=3.x, y=AD·AE=(4-g）·3x=-8r+12x -8(-)+ .9 :-8<0当=子时y有最大值，此时最大值为2， ∴y关于x的表达式为y=一8.x2+12x,面积的最大 9 值为2m 8.解：(1)y=x+4 (2),正方形AEFG和正方形CHMN的面积相等， .AG=MH,∴.2AG=16+x, S=S=(5生)月 又：Sz=(x+4)x,∴.S=Sm+Sz+S两=16×12- (SE方形AE:十SE方形cHN-2S2)=16×12-2(6,x) +2(x+4)x. 上册详解详析 整理，得S关于x的函数表达式为S=2-8r十64 :号>0当>受时，5随：的增大而增大：当< 号时，S随：的增大面减小 8 又4氵>2一。，当x三4时，S取最大值，S大 =2×4-8×4+64=56,即S的最大值为56. 3 【解析】(1)由题意可知，AG十MH=16十PM,AE十 MN=12十PF.,四边形AEFG和四边形CHMN是 正方形，∴.AG=AE,MH=MN,.16+PM=12+ PF,即16+x=12+y,∴.y=x+4. 第2课时“抛物线”模型问题 1.D 2.解：由题意可知，该抛物线经过点(0,4)，（一4,0），(4， 0). 可设该抛物线对应的函数表达式为y=a.x2十4. 将(4,0)代入，得16a十4=0，解得a=一4 1 ·该抛物线对应的函数表达式为y=一4x十4. 1 当x=1时y=一4X1+4=3.75, 3.75-0.5=3.25(m) 故该辆货车的最大高度应是3.25m. 3.解：(1).BO=4m, .抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4). 可设抛物线L,的函数表达式为y=ax2十4. .AC=16m,∴.A(-8,0),C(8,0). 将C(8,0)代入y=a.x2+4,得0=64a十4，则a= 161 1 故抛物线L,的函数表达式为y=一16+4. (2)由1)可知，抛物线L的函数表达式为y=一16，+4. :MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,NQ=2m,且抛物 线L的函数表达式为y=一6(x一4)？， -9=+4-[--4]- 」2 解得x1=x2=6.故MN=2×6=12(m). 4.(2√6-4)【解析】建立平面直角坐标系如图所示.根 据题意可设抛物线表达式为y=ax2+2.把（一2,0）代 入抛物线表达式，得4a十2=0，解得a=一0.5，，∴.抛物 线表达式为y=一0.5.x2+2.把y=-1代入抛物线表 达式，得-1=-0.5x2+2,解得x=士√6，∴.水面宽度 增加到2√6m,比原先的宽度增加(2√6-4)m. 8 九年级数学HK版 5.能【解析】，CD=4m,B(6,2.68), .6-4=2.在y=-0.02x2+0.3.x十1.6中，当x=2 时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12. ,2.12>1.8,.货车能完全停到车棚内. 6.解：如图，建立平面直角坐标系 由题意，得B(0,0.5),C(1,0) 设抛物线的函数表达式为y=ax2十c(a≠0). 将点B.C的坐标代入，得a十C=0·解得a=一0.5， c=0.5, c=0.5, ∴.抛物线的函数表达式为y=一0.5.x2十0.5. 由题意可知，C3的横坐标为0.2，C4的横坐标为0.6. 当x=0.2时，y=0.48;当x=0.6时，y=0.32. B1C1+B2C2+BC3+B,C,=2×(0.48+0.32)=1.6 (m),即需要不锈钢管立柱的总长度为1.6×50=80(m). yt BB B C2 0C3 C.0.4 mC -2m 7.解：(1)，“抛物线形APD”的最高点P到地面的距离 为6m,∴.顶点P的坐标为(0,6). ,矩形基座底部地面跨度BC为10m,矩形基座的高 度为2m,∴.AB=CD=2,B0=C0=5, 即D(5.2),A(-5.2). 设“抛物线形APD”对应的函数表达式为y=a.x2十6 (a<0).把A(-5,2)代入y=a.x2+6,得2=25a+6, 4 4 解得a=一25心y=一25x+6(-5≤t≤5). (2)EF,HG均垂直于地面，EH平行于地面， ∴.EH∥BC,∠EFG=∠HGF=90°， 则∠EHG=∠HGF=90°， .四边形EFGH是矩形，.EH=FG,EF=HG 由1)得y=二25x+6(-5<x<5) 设H(m,-25m+6).依题意，得OF=OG=m,EH 4 =FG=2m,EF=HG=-25m+6. 设脚手架总长度为1，即1=EF+EH+HG=一25m 4 4 8 +6+2m+-25m+6=-23m+2m+12, 25<0,当m= 。时，l有最大值 2x(-0) 代入1=一云m+2m+12,得1= 8 把m= 25 (》'+2x+12-1 即脚手架总长度的最大值为号m 第3课时实际问题中的其他问题 1.B【解析=-x2+2r+7 =-(x一1)2+1+ 7 4 4 (红-1)叶，1<0，心当x=1时，y取最大值 最大值为号，即2.75m 2.45 3.8【解析】，OA=1.6m,∴.A(0,1.6).将A(0,1.6) 代入y=a(x-3)2+2.5,得1.6=a(0-3)2+2.5,解 1 得a0y三0（x-3)+2.5.令y=0,雅 、1 10x-3)2+2.5=0,解得x1=8,x=-2(不合题 意，舍去).故水平距离OB为8m. 4.解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(3,3). 设抛物线的函数表达式为y=a(x一3)2十3，把A(9, 0)代入，得36a十3=0，解得a=一i2' 1 小抛物线的函数表达式为y=一12x一3)+3. 1 (2)当x=0时y=一立×9+3=2.25. 2.25<2.44,.球能射进球门. 5.3.75 1 1 6.240【解析】：y=-2x2+14x+142=-2(x 14)2+240,∴.当x=14时，y有最大值240.故当温度 为最适宜温度14℃时，该种酶的活性值为240IU. 7.C【解析】①当t=1时，h=30-5=25,故①正确.②h =301-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45..-5< 0,∴.当t=3时，h有最大值，最大值为45，故②错误. ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 t=3,∴.当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减 小，故③正确.综上所述，结论正确的个数是2. 8.解：(1)①36 ②由表中数据可知，抛物线顶点坐标为(4,8)， b二4， 1 2 解得 a=-2' -b2 =8, b=4, 4a 小二次函数表达式为y=一2x十4x. y= 2x2+4r, 15 联立，得 2 15 4， y=8' 点A的坐标是(2,8 1515 (2)①8 @y=-5+w=-5(-8)+6 则%=8，解得=4V0(负值已合去)。 9.解：(1)，二次函数y=ax2十bx十1.8的图象经过点 4a+2b+1.8=3.2, (2,3.2),(4,4.2),. 16a+4b+1.8=4.2, 解得a=-0.05,b=0.8. 故y与x的函数关系式为y=-0.05x2十0.8x+1.8. (2)二次函数为y=-0.05x2+0.8x+1.8, b0.8 六其对称轴为直线x=一2a一2X0.05-8,心此时最 大高度为y=-0.05×82+0.8×8+1.8=5. 由题意可设x=kt十c. 结合表格数据可知，函数图象过(0,0)和(0.4,4)， ∴.c=0,且0.4k十c=4,.k=10,c=0, .一次函数为x=10t,∴.当x=8时，t=0.8. 故经过0.8s达到最大高度，最大高度是5m. (3)p≤0.36 【解析】(3)当t=1.6时，x=10×1.6=16. 当x=16时，y=一0.05×162+0.8×16+1.8=1.8， 即此时球的坐标为(16,1.8). ,二次函数y=一0.02x2+px+m的图象过点(16， 1.8),.m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, .二次函数为y=-0.02.x2十px十6.92-16p. 当x=2时，y≥1.8， .-0.02×22+2p+6.92-16p≥1.8，.p≤0.36. 教材变式专题二次函数中的最大利润问题 1解：设文具的销售单价上涨了x元，月销售利润为y元. .x十30≤40，.x≤10. 由题意，得y=(240-10.x)(30-20+x)=-10x2+ 140.x+2400=-10(x-7)2+2890. :-10<0,∴.当x=7时，y最大=2890， .销售单价为30+7=37（元）. 答：文具的销售单价定为37元时可使月销售利润最 大，最大的月销售利润是2890元. 2.解：设销售价格为x元kg,每天可获得利润y元. 由题意，得y=(.x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x +260.x-6500=-2(x-65)2+1950(30≤x≤70). ,-2<0,30<65<70,.当x=65时，y大=1950. 答：当销售价格定为65元/kg时，每天可获得最大利 润，最大利润为1950元. 3.解：设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元. 由题意.得y=(20-x(60+4×合)=-号r产+20x +12000=-号(x-25)2+12250. 200-x≥180，.x≤20， 2 ∴.当x=20时，y最大=一 ×(20-25)2+12250= 5 12240(元). 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大 利润为12240元. 9 上册详解详析 教材变式专题与二次函数有关的几何 图形面积最值问题探究 1.解：设矩形土地ABCD的面积为Sm,AB=xm,则 (90-3r)m.s=x·号(900-3x) BC=1 6r-300x)=-2(-150)3+33760. 3 3 ,x>0,900-3x>0,∴.0<x<300 又、3 2<0，当x=150时，S袋大物=33750， AB=150m,BC=2(900-3x)=225m. 答：当AB,BC的长分别是150m,225m时，矩形土地 ABCD的面积最大，最大面积是33750m2. 2.解：设劳动实践基地的面积为Sm2,BC=xm,则AB -0g-(20-若)m8=(20-）=-号x 60x)=3x-30)2+300 1 ”-3<0,0<x≤35，小当x=30时，S题大鱼=300. 答：当基地长度BC为30m时，该劳动实践基地的面 积最大，最大值为300m. 3.解：设矩形苗圃ABCD的面积为Sm,它的一边AB的 长为xm,则BC的长为32-3.x+2×2=(36-3.x)m, .S=x(36-3x)=-3x2+36.x=-3(x-6)2+108. ,-3<0,当x>6时，S随x的增大而减小. 22 x>0,36-3x≤14x≥3 :32 >6心当x=号时，S有最大值，Seka-308 22 3 答：当AB的长为3m时，矩形苗圃ABCD的面积最 308 大，最大面积为3m, 情境应用专题二次函数的实际应用 1.解：(1)根据题意，得每块绿化区的宽为[30一(50 2x)]÷2=(x-10)m, .y=50×30-4.x(x-10)=-4x2+40.x+1500. :出口宽度不小于14m,不大于26m,.14≤50-2x ≤26，.12≤x≤18， y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18). (2)y=-4x2+40x+1500=-4(x-5)2+1600. ,a=一4<0，∴.抛物线的开口向下， .当12≤x≤18时，y随x的增大而减小， .当x=12时，y最大=1404. 故活动区的最大面积为1404m. 2.解：设裁掉的正方形的边长为xdm. (1)由题意，得(10一2.x)(6-2.x)=12,解得x1=2,x2=6 (不合题意，舍去)，即裁掉的正方形的边长为2dm. (2)设总费用为y元，则y=2(10-2x)(6-2x)+ 0.5[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4(x-6)2-24. 410 九年级数学HK版 由题意，得10-2x≤5(6-2x),解得x≤2 根据二次函数的性质可知，当边长为}m时，总费用 最低，最低为4×（号-6）°-24=25（元）. 3.解：(1)根据题意，得1=(8-m)x-30(0≤x≤500)， w2=(20-12)x-(80+0.01x2)=-0.01x2+8.x-80 (0≤x≤300). (2),8一m>0,∴.，随x的增大而增大. 又：0≤x≤500，.当x=500时，1有最大值，w1最大 =-500m+3970. e2=-0.01.x2+8.x-80=-0.01(x-400)2+ 1520,且一0.01<0，对称轴为直线x=400, .当0≤x≤300时，心2随x的增大而增大，∴.当x= 300时，02最大=-0.01×(300-400)2+1520=1420. 故A产品的最大日利润为（一500m+3970)元，B产 品的最大日利润为1420元. (3)①若01最大=2大，即-500m十3970=1420，解得 m=5.1; ②若01最大>2最大，即一500m+3970>1420,解得m <5.1: ③若01大<2大，即-500m十3970<1420，解得m >5.1. 又，4≤m≤6，.为获得最大日利润： 当m=5.1时，选择产销A,B两种产品均可； 当4≤m<5.1时，选择产销A产品； 当5.1<m≤6时，选择产销B产品. 4.解：(1)由题意，得抛物线顶点P(2,10),D(0,6). 设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+10. 将D(0,6)代入，得4a+10=6,解得a=-1, .抛物线的表达式为y=一(x-2)2+10. (2)当y=0时，0=-(x-2)2+10, 解得x1=2+√10，x2=2-10(舍去)， ,.C(2十10,0)，.水柱落点C与水嘴底部A的距离 AC为(2+√/10)m. 5.解：(1)：点C到ED的距离是11m,.OC=11m. 设抛物线对应的函数表达式是y=a.x+11. 由题意，得B(8,8). 将点B的坐标代入y=a.x2+11,得64a+11=8, 解得a=一备iy=一高+1. (2)由题意，得水面与河底ED之间的距离h至多是11 -5=6(m),船只才能通行. 1 令6=-1281-19)°+8….(t-19)=256,解得t= 35,t2=3. 35一3=32(h),即在这40h内，有32h禁止船只通行. 21.5反比例函数 第1课时反比例函数 1.B2.-2 x≠021.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 要固梳理 利用二次函数解决几何图形面积的最值问题：利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面 积的二次函数表达式，并利用函数的图象确定最大或最小面积 已课内基础闯关 3.(教材变式)小磊要制作一个三角形的模型， 知识点几何图形面积的最值问题 已知在这个三角形中，长度是x(单位：cm)的 1.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长 边与这条边上的高之和是12cm,这个三角形 为x(0<x<5)的小正方形，如果设剩余部 的面积是S(单位：cm).当x是多少时，这个 分的面积为y,那么y关于x的函数表达式 三角形的面积S最大？最大面积是多少？ 是 ( A.y=x2 B.y=25-x2 C.y=x2-25 D.y=25-2x 2.如图，假设篱笆（虚线部 D 分)的长度为16m,则所围 成的矩形ABCD的最大 第2题图 面积是 ( 4.如下图，某公园的示意图是对角线互相垂直 A.60m2B.63m2C.64m D.66m 的四边形ABCD.已知AC+BD=160m,求 变式题1条件相似，所求内容不同 该四边形公园的最大面积。 如图，小明的父亲想用长为60m的栅栏， 再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园 ABCD.已知房屋外墙足够长，当矩形AB CD的边AB m时，菜园的面 积最大 变式题1图 变式题2图 变式题2条件有别，所求内容相同 如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算 边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三 边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为 38m,门宽为2m.这个矩形花圃的最大 面积为 m. 上册第21章 19 已课外拓展提高 (2)若窗框AEFD的面积为ym,求y关于 5.如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其 x的表达式以及面积的最大值. 两条隔断EF,GH的总长为am,且隔断 EF,GH分别与矩形的两条邻边平行.设 BC的长为xm,矩形ABCD的面积为ym, y关于x的函数图象如图②，则下列说法正 确的是 A.矩形ABCD的最大面积为8m2 B.当x=4时，矩形ABCD的面积最大 C.a的值为12 D.以上说法均错误 综合能力提升 G 8.应用意识如下图，学校准备在长为16m、宽 为12m的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区 域栽种花卉，正方形AEFG和正方形 x m CHMN面积相等，且各有两边与矩形AB 图① 图② 第5题图 第6题图 CD的边重合，矩形MOFP是这两个正方形 6.(教材变式)如图所示的是一个用8m长的 的重叠部分.设PM为xm(2≤x≤4)，PF 铝合金条制成的矩形窗框.若要使窗户的透 为ym. (1)y关于x的函数表达式为 光面积最大，则AD的长为 m. (不用写出自变量的取值范围)】 7.如下图，用长为12m的铝合金材料做一个 (2)设甲、乙、丙的总面积为Sm,求S关于x 如图所示的矩形窗框AEFD,其中S1=S2 的函数表达式及其最大值. A =S3.设AB=xm. (1)用含有x的式子表示AE的长，并求出x 的取值范围. 420 九年级数学HK版 第2课时“抛物线”模型问题 要固梳理 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到 平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的表达式，通过表达式可解决一些测量问题与其他问题， 还可以利用二次函数解决与运动有关的“抛物线”模型等问题 已课内基础闯关 3.(2025陕西，有改动)下图所示的是某景区大 知识点与建筑有关的“抛物线”模型问题 门上半部分的截面示意图，顶部L1,左、右门 1.如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不 洞L2,L?均呈抛物线形，水平横梁AC= 完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角 16m,L1的最高点B到AC的距离BO= 1 4m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN, 坐标系，其函数表达式为y= 25x2.当水 MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q 面离桥拱拱顶的高度DO为4m时，水面的 分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥ 宽度AB为 AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以 BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式， (2)已知抛物线L3的函数表达式为y -4,NQ=号a,求MN的长。 3 图① 图② 第1题图 A.4 m B.8 m C.25 m D.20 m 2.一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m、拱 高为4m的单行抛物线形隧道（从正中通 过)，建立下图所示的平面直角坐标系.为保 证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5m 的距离，该辆货车的最大高度应是多少？ 上册第21章 2△ 已课外拓展提高 已综合能力提升 --0 4.如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 7.情境应用某校计划打造实践型蔬菜种植大 2m时，水面宽4m,则水面下降1m时，水 棚作为学生劳动实践、数学建模的综合实训 面宽度增加 m. 场地，大棚横截面采用“抛物线形基座APD +矩形ABCD”的组合结构，既符合力学承 重原理，又能最大化利用空间、提升采光效 率.为精准开展结构分析与设施优化，该校 0 第4题图 第5题图 师生以大棚地面所在直线为x轴，大棚横截 5.情境应用一汽车停车棚棚顶的竖直高度y 面中的“抛物线形APD”的对称轴为y轴， (单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离 建立平面直角坐标系开展数学建模.经实地 x(单位：m)近似满足函数关系y=一0.02x2 测量：矩形基座的高度AB和CD为2m,底 +0.3.x+1.6,如图所示，点B(6,2.68)在函 部地面跨度BC为10m;“抛物线形APD” 数图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避 的最高点P到地面的距离为6m. 雨，货车截面看作长CD=4m,高DE=1.8m (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利 的矩形，则可判定货车 完全停到 用抛物线的建模方法，求出“抛物线形 车棚内（填“能”或“不能”） APD”对应的函数表达式，并注明自变量的 6.一块草坪的护栏由50段相同的抛物线形不 取值范围。 锈钢管组成，每段护栏的形状及相关数据如 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在“抛物线 下图所示.为牢固起见，每段护栏中每隔 形APD”的内侧安装防护脚手架.如下图， 0.4m需加设不锈钢管做成的立柱.求需要不 矩形脚手架结构中，EF,HG均垂直于地面， 锈钢管立柱的总长度 EH平行于地面，且E,H两点落在抛物线 上，F,G两点落在BC上.三根支架EF, 0.4m HG,EH的长度之和称为脚手架总长度.求 出脚手架总长度的最大值. 422 九年级数学HK版 第3课时 实际问题中的其他问题 要梳理 解答有关二次函数的实际问题时，应先仔细审题，建立合适的平面直角坐标系，并结合图象把已知条件转 化成点的坐标，然后合理设出函数的表达式，再用待定系数法求出函数的表达式，最后根据所得的表达式 进一步分析、判断并进行有关的计算. 已课内基础闯关 O为原点建立下图所示直角坐标系 知识点①与运动有关的抛物线问题 (1)求抛物线的函数表达式。 (2)已知球门高OB为2.44m,通过计算判 1.(2025甘肃，有改动)如图所示的平面直角坐 断球能否射进球门（忽略其他因素）. 标系中，一个圆形喷水池的中央竖直安装了 v/m 一个柱形喷水装置OM.喷头M向外喷水，水 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落 下，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)的函数关系式是y=一x2+2x十 4(x>0),则水流喷出的最大高度是( A.3mB.2.75mC.2m D.1.75m y/mt y/m A B x/m 0 x/m 第1题图 第3题图 知识点② 其他抛物线问题 2.(2025一2026宿州萧县期末)高速公路上行 5.加工爆米花时，爆开且 P 驶的汽车急刹车时的滑行距离s(单位：m) 0.8 不煳的粒数占加工总粒 0. 0 与时间t(单位：s)的函数关系式为s=30t 数的百分比称为可食用 5t2.遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最 率.在特定条件下，可食 3 4 5 t/min 第5题图 多要滑行 m,才能停下来. 用率p与加工时间t 3.如图，小亮同学掷铅球时，铅球的抛物线对 (单位：min)满足函数关系p=at2+bt+c 应的函数表达式为y=a(x一3)2+2.5，其 (a,b,c是常数)，如图所示的是三次试验的 中x(单位：m)是铅球离初始位置的水平距 数据.根据上述函数模型和试验数据，可得 离，y(单位：m)是铅球离地面的高度.若铅 到最佳加工时间为 min. 球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅 6.跨生物学学科已知某种生物酶的活性值y 球掷出的水平距离OB为 m (单位：IU)与温度x(单位：℃)的关系可以 4.(2025一2026淮南寿县期末)足球训练中球员 1 从球门正前方9m的A处射门，球射向球门的 近似用二次函数y=一 2x2+14x+142来 路线呈抛物线.当球飞行至与球门水平距离3m 表示.当温度达到该种酶的最适宜温度时， 处时，球达到最高点，此时球离地面3m.现以 该种酶的活性值为 IU. 23 上册第21章 已课外拓展提高 9.(2025青岛，有改动)小磊和小明练习打网 7.(2025巴中，有改动)从地面竖直向上抛出 球.在一次击球过程中，小磊从O点正上方 小球，小球高度h(单位：m)与小球运动时间 1.8m的A点将球击出 t(单位：s)之间关系式是h=30t一5t2(0≤t 信息一：在下图所示的平面直角坐标系中，O ≤6).有下列结论：①小球运动时间是1s 为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看 时，高度为25m;②小球运动中高度可以是 作是二次函数y=ax2十bx十1.8(a,b为常 50m;③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的 数)图象的一部分，其中y(单位：m)是球的 增大而减小.其中正确的个数是 ) 高度，x(单位：m)是球和原点的水平距离， A.0 B.1 C.2 D.3 图象经过点(2,3.2)，(4,4.2). 8.如下图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹 信息二：球和原点的水平距离x与时间t(单 出，球的飞行路线可以用二次函数y=a,x2十bx 位：s.0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关 系.部分数据如下： (a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=4x刻 t/s 00.40.6 画，小球飞行的水平距离x(单位：m)与小球飞 x/m 0 4 6 行的高度y(单位：m)的变化规律如下表： (1)求y与x的函数关系式 (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高 度？最大高度是多少？ 2 2 (3)当t为1.6s时，小明将球击回，球在第一 (1)①m= ,n= 象限的运动路线可以看作是二次函数y=一 ②小球的落点是A,求点A的坐标 0.02x2+px十m(p,m为常数)图象的一部 (2)①小球飞行的最大高度为 m; 分，其中y(单位：m)是球的高度，x(单位：m) ②小球飞行高度y与飞行时间t(单位：s)满 是球和原点的水平距离.当网球所在点的横 足关系y=一5t2十vt,求v的值. 坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的 y/m 取值范围为 (直接写出结果). y/mt 4.2 )小球斜坡 小明击球点 1.8 x/m x/m 424 九年级数学HK版 教材变式专题 二次函数中的最大利润问题 教材母题 2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料，进 种商品原价为每件20元，一周可卖出40 货价格为30元/kg.物价部门规定其销售价格 件.市场调查表明：这种商品每件涨价1元，每 不得高于70元/kg,也不得低于30元/kg.市场 周要少卖5件；每件降价1元，每周可多卖5件. 调查发现：价格为70元/kg时日均销售 已知这种商品进价为每件14元，每件商品定价 60kg;价格每千克降低1元，日均多售2kg. 多少，才能使每周得到的利润最多？ 在销售过程中，每天还要支出其他费用500 【思路点拨】设每件商品定价x元，利润为 元.当销售价格定为多少时，每天可获得最 y元.根据“利润=单件利润X销售件数”列出 大利润？最大利润为多少？ y与x的函数表达式，把函数表达式用配方法 化为顶点式，根据二次函数的性质分析即可. 【解】设每件商品定价x元，利润为y元 根据题意，得y=(x-14)[40-5(x一20)] =-5.x2+210.x-1960=-5(x-21)2+245. .一5<0，∴.当x=21时，y取得最大值， 最大值为245 答：每件商品定价21元，才能使每周得到 的利润最多. 3.每年5月的第三个星期日为全国助残日.某 变式题 公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月 1.某商店经营一种文具，已知成批购进时的单 销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元 价是20元.调查发现销售单价是30元时，月 时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每 销售量是240件，而销售单价每上涨1元，月 天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情 销售量就减少10件，且文具的销售单价不 况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 能高于40元.文具的销售单价定为多少时 180元.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售 可使月销售利润最大？最大的月销售利润 利润最大？最大利润为多少？ 是多少？ 上册第21章 25△ 教材变式专题 与二次函数有关的几何图形面积最值问题探究 教材母题 2.（2025一2026阜阳临泉期末)如下图，某校用 某水产养殖户用长为40m的围网，在水 60m长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状 库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成 的劳动实践基地ABCD,中间有隔离网EF, 的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它 已知EF⊥AD,可利用的院墙长为35m.当基 的最大面积是多少平方米？ 地长度BC为多少时，该劳动实践基地的面积 【思路点拨】这个问题首先要找出围成的水 最大？请求出其最 E 面面积与其边长之间的关系.设围成的水面的 大值（不考虑隔离 一边长为xm,那么矩形水面的另一边长应为 网的宽度). (20-x)m.若它的面积为Sm2,则有S=x(20 35m 一x),然后利用二次函数的性质求最大值即可. 【解】设围成的矩形水面的一边长为xm, 面积为Sm2.根据题意，可列方程为S=x(20 -x).配方，得S=-(x一10)2+100(0<x<20). -1<0,∴.当x=10时，S最大值=100. 此时，另一边长为20一10=10(m) 答：当围成的矩形水面边长都为10m时， 它的面积最大，最大为100m2. 3.情境应用如下图，园林部门计划在某公园建 变式题 一个矩形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙最大 1.如下图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着， 可用长度为14m),另外三边用木栏围成，中间 并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各 已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略 留2m宽的门（门不用木栏）.已知建成后所用 不计).当AB,BC的长分别是多少时，矩形 木栏总长为32m,当AB的长是多少时，矩形苗 土地ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 圃ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 墙 Λ26 九年级数学HK版 情境应用专题 二次函数的实际应用 题型① 几何图形面积的最值问题 (2)若要求制作的长方体容器的底面长不大 1.某社区决定把一块长50m、宽30m的矩形 于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈 空地建成居民健身广场，设计方案如下图. 处理，侧面的处理费用为每平方分米0.5 阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形 元，底面的处理费用为每平方分米2元.当 状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四 裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最 周的4个出口宽度相同，其宽度不小于 低？最低为多少？ 14m,不大于26m.设绿化区较长边为 xm,活动区的面积为ym2. (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围. (2)求活动区的最大面积. m oU m 3.某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生 产并销售，每日产销x件.已知A产品成本 为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为 8元/件，每日最多产销500件，同时每日支 付专利费30元；B产品成本为12元/件，售 题型②费用最优化及利润最大化问题 价为20元/件，每日最多产销300件，同时每 2.工人师傅将一块长为l0dm、宽为6dm的矩 日支付专利费y元，y与每日产销x满足关 形薄铁皮的四角各裁掉一个相同的正方形 系式y=80+0.01x2〔利润=（售价-成本） (如图①)，然后把四周折起来焊成一个长方 ×产销数量一专利费). 体容器（如图②，薄铁皮厚度不计） (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为 1元、2元，请分别写出w1,心2与x之间 的函数关系式，并写出x的取值范围， 图① 图② (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日 (1)若长方体容器的底面面积为12dm,则 利润(A产品的最大日利润用含m的代数式 裁掉的正方形的边长为多少？ 表示) 上册第21章 (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产5.如下图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的 销哪种产品？ 截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形 的三边AE,ED,DB组成.已知河底ED是 水平的，且ED=16m,AE=8m,抛物线的 顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的 直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平 面直角坐标系， Y/m 拼群谢 E O D x/m (1)求抛物线对应的函数表达式： (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底 ED之间的距离h(单位：m)随时间t(单位： h)的变化满足函数表达式h= 1 128119)2 十8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不 题型③其他抛物线型问题 大于5m时，禁止船只通行.在这40h内，有 4.跨物理学科“水幕电影”的工作原理是把影 多少小时禁止船只通行？ 像打在抛物线形状的水幕上，通过光学原理 反射出图像.水幕是由若干个水嘴喷出的水 柱组成的（如下图），水柱的最高点为P,AB =2m,BP=10m,水嘴高AD=6m.若以A 为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所 在的直线为y轴建立平面直角坐标系， (1)求图中抛物线的表达式. (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距 离AC. 水嘴「 A(O 水槽 428 九年级数学HK版