21.4 二次函数的应用 分层同步练习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级上册二次函数应用分层同步练习，通过夯实基础、能力提升、拓展创新三层设计，实现从概念理解到综合应用的进阶，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|二次函数概念与简单应用|选择填空结合基础解答，强化矩形面积等几何模型构建| |能力提升|综合应用与动态问题|动态几何与函数性质分析，如动点距离与面积函数关系判断| |拓展创新|跨学科探究与方案设计|物理压强、篱笆方案等开放问题，发展模型观念与创新意识|

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用分层同步练习 一、夯实基础 1．（2024九上·北京市月考）已知x为矩形的一边长，其面积为y，且，-则自变量的取值范围是（ ） A． B． C．0≤x≤4 D． 2．（2022·房山模拟）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 3．（2020九上·丰宁期末）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （　　） A． B． C． D． 4．（2021九上·房山期中）“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是　 　． 5．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是　 　． 6．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面　 　m． 7．（2024九上·北京市期中）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 8．（2024九上·北京市月考）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． AI （1）求与之间的函数关系式； （2）当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 9．如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 二、能力提升 10．（2024九上·西城月考）如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 11．（2023九上·凤凰期末）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 12．（2024九上·北京市期中）已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是　 　． 13．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为　 　 米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 14．（2025九上·北京月考）如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如表： （米） 0 2 4 6 8 （米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，隧道顶面到路面的最大距离为　 　米，若满足的函数关系式为，请直接写出函数关系式：　 　； （2）若如图（2）的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道能标注的限高应为多少米（精确到米）？ 15．（2025·罗湖模拟）学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位. （1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值； （2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由. 三、拓展创新 16．（2026九上·慈溪期末）小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为　 　cm。 17．（2026九上·临海期末）素材1：小明家共有长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为．爸爸已经算出方案丙中，当时，所围的菜地面积最大． 任务1：（1）在方案甲中，长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 ； 任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即，，）存在某种特殊的规律． 任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律； ②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的实际应用-几何问题 2．【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元， 由题意得：， 这是关于一个二次函数． 故答案为：D． 【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，根据题意列出函数解析式即可得到答案。 3．【答案】C 【知识点】函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x2， ∴y与x关系式为y=6x2， 故答案为：C 【分析】根据正方体表面积的计算方法列函数表达式即可。 4．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件， ∴， 故答案为：． 【分析】根据“销售利润=每件的利润×数量”列出函数解析式即可。 5．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题 6．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 7．【答案】（1）解：坐标系及图象如图所示． （2）5 （3）解：∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为． 把（1.0，4.2）代入，解得． ∴所画图象对应的函数表达式为． （4）解：令，解得（舍），． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为18米． 则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏． 【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式 【解析】【解答】 解：（2）由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米． 故答案为：5 【分析】 （1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可解答； （2）观察图象即可解答； （3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式，再把点（1.0，4.2）代入计算即可求得解析式，解答即可； （4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度，解答即可． （1）坐标系及图象如图所示． （2）由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米． （3）∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为． 把（1.0，4.2）代入，解得． ∴所画图象对应的函数表达式为． （4）令，解得（舍），． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为18米． 则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏． 8．【答案】（1） （2），， 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 9．【答案】米 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 10．【答案】D 【知识点】二次函数-动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题 11．【答案】A 【知识点】分段函数；二次函数-动态几何问题 【解析】【解答】解：设点P的速度是1，则AP=t，那么s=πt2，为二次函数形式； 但动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回． 说明t是先大后小，所以s也是先大后小． 故答案为：A． 【分析】先根据题意求得s关于t的函数，可知函数为二次函数，从而函数图象可能为A，C选项，再根据S随t的变化情况可知答案为A. 12．【答案】①③④ 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：①当时，， 当时，， ∴①正确. ②当时，，故点火后火箭没有落于地面， ∴②错误. ③当时，，解得， ∴小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为， ∴③正确. ④把配方得， 当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为， ∴④正确． 故答案为：①③④． 【分析】①分别求出和时，即可得①正确. ②求出时，，即得点火后火箭没有落于地面，可判断②错误. ③当时，得：，解出即得小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，即③正确. ④把配方得，可得时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为. 13．【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：当y=0时，即﹣x2+4x+=0， 解得x1=，x2=﹣（舍去）． 答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 故答案为：． 【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线与x轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果． 14．【答案】（1）6； （2）解：当x=1时，y= 所以隧道需标注的限高应为4.875-0.35≈4.5(米) 答：隧道需标注的限高应为4.5米。 【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：（1）根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6， 设y = a(x - 4)2 + 6 (a < 0) ∴D的坐标为(0， 4) ∴4 = a(0 - 4)2 + 6 (a < 0)）， 解得a=， ∴y=(x -4)2+ 6。 故答案为：6；y=(x - 4)2 + 6； 第1空答案为：6；第2空答案为：y=(x -4)2+ 6； 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值6，然后运用待定系数法求出函数解析式，并根据顶点式得出答案； （2）根据汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，求出当x=1时y的值，再结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，进一步计算即可。 15．【答案】（1）解：解：∵ 移动围栏 总长为140m 且 观众席内有x行座椅， ∴每行的座椅数为：140−2x， ∵足球场宽度为72m，且每个座位为占地面积1的正方形， ∴140−2x≤72， 解得x≥34， ∴x的最小值为34； （2）解：座位够坐 ，理由如下： 设观众席内的座位数为y， 由题意得：y＝x（140−2x），其中34≤x＜70，其中x为整数， 所以＝， 所以y的最大值为2450， 因为2400＜2450， 所以全校师生共2400人，座位够坐． 【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据移动围栏 总长为140m 且 观众席内有x行座椅，可得出不等式140−2x≤72，解不等式并求出最小值即可； （2）设观众席内的座位数为y，由题得y＝x（140−2x），整理成顶点式，再根据由二次函数的性质得出y的最大值为2450，即可得出结论。 16．【答案】12 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题 【解析】【解答】解：由得 L2为x的二次函数，当x=时，L取最大值. 故填：12. 【分析】由题意知L2为x的二次函数，由二次函数的性质知当x=12时取最大值. 17．【答案】（1）30，900 解：（2）设菜地面积为，CD=xm，则该长方形的宽为， 由题意得： ； ∵， ∴当时，面积； 答：方案乙所围菜地面积的最大值为． （3）①猜想：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半，理由如下： 由（1）（2）可知：方案甲：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案乙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案丙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 综上所述：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； ②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为，由题意得： ， ∴当横向篱笆长时，菜地面积， 此时横向篱笆的总长度为， ∴猜想成立． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）设，该长方形的面积为，则该长方形的宽为， 由题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为900； 故答案为：30，900； 【分析】（1）设，该长方形的面积为，根据长方形周长公式表示出长方形的宽为(60-x)m，然后根据长方形面积公式建立出S关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质可求解； （2）设菜地面积为， CD=xm ， 根据长方形周长公式表示出长方形的宽为， 然后根据长方形面积公式建立出y关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质可求解； （3）①根据（1）（2）可进行求解； ②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为， 然后根据长方形面积公式建立出s关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $