21.3 二次函数与一元二次方程（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

21.3 二次函数与一元二次方程 01基础达标 知识点一 二次函数的图象和轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系 1. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 2. 已知二次函数的图象与x轴两交点为，，则的值为________． 知识点二 二次函数的图象与轴交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系 3. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 4. 二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 若二次函数的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为______． 知识点三 利用二次函数求一元二次方程的根的近似值 6. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 知识点四 二次函数与一元二次不等式 7. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，若该抛物线与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________． 易错点1 混淆“与轴交点”与“与坐标轴交点” 8. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 易错点2 忽视函数是一次函数的情况 9. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A. ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 02能力提升 （2025·广东） 10. 二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. C. D. 11. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定 （2025·台州） 12. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 13. 已知二次函数． （1）求证：无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点； （2）如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 14. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3 二次函数与一元二次方程 01基础达标 知识点一 二次函数的图象和轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，，代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴两交点为，， ，是方程的两个根， ，， ． 知识点二 二次函数的图象与轴交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，将问题转化为判断一元二次方程根的个数，通过计算根的判别式的值即可得到结果，掌握二次函数与轴交点个数和判别式的关系是解题的关键. 【详解】解：当时，得到一元二次方程 . ∵ , ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即抛物线 与轴有个交点. 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，以及抛物线与轴交点个数和判别式的关系，根据条件列出关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵题目给出的是二次函数，且图象与轴有两个交点， ∴需要同时满足两个条件：二次项系数不为，根的判别式， 由判别式公式得 因此可得不等式组， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的解析式化为顶点式，由顶点在轴下方，可得顶点纵坐标小于0，即可求出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质. 知识点三 利用二次函数求一元二次方程的根的近似值 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 知识点四 二次函数与一元二次不等式 【7题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】利用抛物线对称轴求出另一交点坐标，结合开口方向，找出函数值小于时对应的取值范围． 【详解】解：∵对称轴为，一个交点为， ∴另一个交点为 ． 由图象可知，抛物线开口向下， ∴当时， 或． 即不等式的解集是或． 易错点1 混淆“与轴交点”与“与坐标轴交点” 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 易错点2 忽视函数是一次函数的情况 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当m≠1时，函数为二次函数， ∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0， 解得，m＝﹣2或3， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 02能力提升 （2025·广东） 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令，判断选项C；令，判断选项D，即可解答． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴交于和， A、对称轴为 ，该选项正确，不符合题意； B、∵抛物线与轴有两个交点，∴，该选项正确，不符合题意； C、把 代入得，即 ，该选项正确，不符合题意； D、把 代入得，由图象知当时，即，∴，该选项错误，符合题意． 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2-mx-5的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx-5与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断． 【详解】解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点， 二次函数y＝x2﹣mx﹣5， △＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣5）＝m2+20， ∵m2一定为非负数， ∴m2+20＞0， ∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数，对于任意二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2025·台州） 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 【13题答案】 【答案】（1） 证明：令y＝0，则kx2＋（k＋1）x＋1＝0 ∵a＝k，b＝k＋1，c＝1 ∴＝k2−2k＋1 ＝（k−1）2， ∵（k−1）2≥0，即≥0， ∴此二次函数的图象与x轴总有交点； （2）对称轴为，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到＝（k−1）2≥0，然后根据判别式的意义可判断此二次函数的图象与x轴总有交点； （2）由可得的值，进而将二次函数化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 该函数的图象与x轴只有一个交点， =0 即（k−1）2=0 解得 二次函数 该函数图象的对称轴为：，顶点坐标为 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 【14题答案】 【答案】（1）0； （2）根据表格描点，画出图象即可： ； （3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称；（答案不唯一，合理即可） （4）①3,3；②2；③-1＜a＜0． 【解析】 【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0； （2）根据表格描点，画出图象即可； （3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可； （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围． 【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点． ∴m=0； （2）略 （3）略 （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根； ②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根； ③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0． 故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键．视频 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $