第21章二次函数（21.1-21.4）同步练习 2026-2027学沪科版数学年九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心概念与性质，通过基础巩固、中档应用、提高探究三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数一般形式、基本性质（开口方向、对称轴）、图像平移|选择题1-5直接考查概念辨析，如第1题强化一般形式系数识别| |中档|性质应用（点坐标比较、表格数据分析）、简单计算|选择题6-8结合图像分析，填空题9-11通过表格数据巩固对称性| |提高|综合探究（动态问题、根与系数关系、证明）|解答题17-20涉及图像平移、面积计算及证明，如第20题培养逻辑推理能力|

二次函数21.1-21.4 一、选择题：本题共8小题，每小题4分. 1.把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.对于抛物线，下列描述错误的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最小值 D. 当时，随的增大而增大 3.将抛物线向下平移个单位，所得抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，则方程的一个根的近似值可能是(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：；；；其中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.已知一次函数为常数的图象如图所示，则函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分。 9.已知抛物线经过和两点，则的值为__________． 10.二次函数，当时，函数的取值范围为 __________       ． 11.二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为 __________         ． 12.对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为___________． 13.已知抛物线与轴交于，，若，则的取值范围为     _______   ． 三、解答题： 14.如图，二次函数图象过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，求二次函数的解析式． 15.用配方法把下列抛物线化为顶点式，同时写出其开口方向、对称轴及顶点坐标． ； ． 16.二次函数中的，满足下表： 求这个二次函数的表达式 求的值． 17.如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． 求二次函数的表达式； 将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 18.已知二次函数． 若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； 若， 求证：二次函数的图象和轴有两个交点； 若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 19.如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． 求此抛物线的表达式 若是抛物线对称轴上的一点，当的面积为时，求点的坐标 在的条件下，当点在第一象限时，是抛物线上的动点，当的值最大时，求点的坐标以及的最大值． 20.已知抛物线：的顶点为，抛物线：为常数求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解： ， 故二次项系数和一次项系数分别为：，． 故选：． 直接利用多项式乘法运算化简，得到二次函数一般式，再利用二次函数的定义得出答案． 此题主要考查了二次函数的三种形式，正确将二次函数化成一般式是解题关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解． 【解答】 解：、， 抛物线的开口向下，故本选项正确； B、对称轴为直线，故本选项正确； C、顶点坐标为，，则最大值为，故本选项错误； D、对称轴为直线，开口向下，时，随的增大而增大，故本选项正确． 故选C． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：二次函数， ，即， 由条件可知， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故选：． 根据二次函数的定义得到，由二次函数的图象与轴有交点，利用求出的取值范围即可． 本题考查了二次函数的定义、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式． 根据列出关于的不等式即可解得答案． 【解答】 解：点，都在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 即， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：对称轴为直线， ，即， ，故正确； 由图象可得，， 由得，， 抛物线与轴负半轴相交， ， ，故正确； 抛物线与轴有个交点， ，故正确； 由图象可得，当时，， 把代入，则，故错误， 正确的有个， 故选：． 根据对称轴公式得到，即可判断；根据二次函数的图象即可判断，，即可判断；根据抛物线与轴的交点个数即可判断；由图象可得，当时，，即可代入求解判断． 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键，根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴为求出的值，即可求解． 【解答】 解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴为直线，  ， ； ， 将点代入函数解析式，可得． 10.【答案】  【解析】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 当时，函数的取值范围为， 故答案为：． 先将函数解析式化为顶点式，然后写出该函数图象的开口方向和对称轴，再根据的取值范围，即可得到的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11.【答案】  【解析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键．根据表格数据可得该二次函数的对称轴为直线，进而利用二次函数的对称性可得对应的函数值与对应的函数值相等，进而可求解． 【详解】解：由表格数据，和的函数值相等， 该函数图象的对称轴为直线， 和的函数值相等，即， 故答案为：． 12.【答案】或．  【解析】解：由题意得： 或 则不动点为或． 13.【答案】  【解析】解：由题意可得：和是方程的两个根， ，， ，， ， ， 设，是二次函数，开口向上，关于直线对称， 当时，， 当时，， 当时，， 的取值范围是． 故答案为：． 根据根与系数的关系，由抛物线与轴的交点坐标可得和关于的表达式，进而得到关于的二次函数，再根据的取值范围确定的范围． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，正确进行计算是解题关键． 14.【答案】解：二次函数的解析式为．  【解析】略 15.【答案】【小题】 解：，开口向上，对称轴为直线，； 【小题】 ，开口向下，对称轴为直线，   【解析】 略  略 16.【答案】【小题】 【小题】   【解析】 略  略 17.【答案】解：解：，， ，， ， 二次函数的图象经过点，， ， 解得， 二次函数的表达式是； 由知抛物线的解析式为可化为． 其顶点坐标为 抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， 平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， ，， ， 解得：， 直线的函数表达式是． ， ．  【解析】先求出，再利用待定系数法求解即可； 求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是待定系数法求出直线的函数表达式是代入计算即可得解． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18.【答案】；   证明：， ， ， ， 二次函数的图象和轴有两个交点；   【解析】解：，且二次函数象经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； 证明：， ， ， ， 二次函数的图象和轴有两个交点； 解：点在该二次函数图象上， ， ， ，则， 当时，的最小值是， 当，即时，当时，取最小值， ， 整理，得， 解得，不符合题意，舍去， 当，即时，当时，有最小值， ， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 先利用待定系数法求得函数解析式，再利用性质可得顶点坐标； 利用判别式证明即可； 先求得，再根据二次函数的性质，分和两种情况分别求解即可． 本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 19.【答案】【小题】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 设抛物线的表达式为． 把代入，得， 解得， ． 故此抛物线的表达式为． 【小题】 是抛物线对称轴上的一点， 设点． 设直线的表达式为． 把代入，得，解得， 直线的表达式为． 如图，设直线与抛物线的对称轴交于点，则， ． ，， 解得，， 点的坐标为或． 【小题】 由题意，得点 设直线的表达式为． 把，代入，得 解得 直线的表达式为． 如图，当的值最大时，点应在线段的延长线上． 联立直线和抛物线的表达式，得 解得舍去 的最大值．   【解析】 略  略  略 20.【答案】证明：由：得，， 顶点为， 的顶点向左平移个单位长度后坐标为， 当时，， 点在图象上， 无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．   【解析】本题考查了二次函数的性质，由：得，，得顶点为，然后求出平移个单位长度后坐标为，再代入即可得到结论；掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $