重难点专题09 函数值域及求参（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

重难点专题09 函数值域及求参 【求函数值域（初等函数）】 【重难点一 求函数值域（初等函数）】——3种方法 求函数值域（初等函数）的方法 方法1：直接列举法 方法2：根据一些特殊的函数值域进行变化： 方法3：利用初等函数的图象求解⭐️ (1)先画出完整图象 (2)将定义域标注在图象上 (3)观察图象，图象的最高点即为最大值，图象的最低点即为最小值，所有能取到的函数值构成值域　 【关键】熟记各种初等函数的图象特点 1．（多选）下列函数中值域为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出各选项中函数的值域判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域为，A符合； 对于B，，定义域为，值域为，B符合； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不符合； 对于D，函数的定义域为，值域为，D符合. 故选：ABD 【变式1-1】（多选）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 对于B，由于，所以，所以，所以此函数的值域为，选项B正确；； 对于C，函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 对于D，函数当时，，所以选项D错误. 故选：ABC. 2．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，. (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）结合二次函数的性质求得正确答案. （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）二次函数的开口向下，对称轴为， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 所以的值域为. （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式2-1】（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B．， C． D． 【答案】AC 【分析】逐项判断各项的值域，即可得解. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为．故B错误. 对于C，由可得该函数的值域为，故C正确； 对于D，，所以该函数的值域不为，故D错误. 故选：AC. 【求函数值域（简单复合函数）】 【重难点 求函数值域（简单复合函数）】 求函数值域（简单复合函数） 1.复合函数：形如的函数 判断技巧：①乍一眼看形式 外层 分数形式 →反比例函数、双勾函数 相对二次 →二次函数 乘方形式 →指数函数、幂函数 含log →对数函数 ②细看，本来为单字母x的部分，现在为一个多项式 内层 2. 复合函数求值域——换元法 步骤： ①求定义域确定内、外层函数 ②换元，令内层函数为t，将函数转化为关于t的函数 ③求t的范围：根据定义域x的范围算 ④画外层函数的图象或根据外层函数的单调性判断值域 3．求下列函数的值域： （1） 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． (2)； 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． (3) 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. （4） 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解. 【详解】解：由题得且. 因为, 且. 所以原函数的值域为. 故答案为： 4．求下列函数的值域： (1) 【答案】(1) 【分析】（1）根据题意结合基本不等式求值域； 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. (2) 【答案】（2，+） 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数的值域为（2，+） (3) 【答案】(-，-2][2，+） 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，由题. 根据双勾函数的图象与性质可得，当时，函数. 当时，函数. 所以函数的值域为(-，-2][2，+） (4) 【答案】[，+） 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，由题. 根据双勾函数的图象与性质可得，函数在上单调递增，当，即时，，所以函数的值域为[，+） 5．求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． (5) 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后求出二次函数的值域，最后根据对数函数的单调性求出最小值即可. 【详解】要使函数有意义，则，化简得， 解得. 令，根据二次函数的性质可知. 因为在上单调递减， 所以当时，取最小值，即为.∴ 所以函数的值域为 (6)， 【答案】 【分析】通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 【求函数值域（复杂根式型）】 【重难点 求函数值域（复杂根式型）】 由求函数值域（复杂根式型） 1.关键：变形 2.复杂根式型函数的值域，求解方法 （1）形如的函数求值域 → 单调性法or 换元法，转化为二次型复合函数 ①特征：根式和一次同时出现，表现为相对二次关系； ②具体操作： 单调性法：确定每一部分的单调性（复合函数的单调性判断），再利用组合函数单调性的判断，确定整个函数的单调性，进而确定值域 换元法，转化为二次型复合函数：令根式部分为新的元t ，用其表示出相对二次部分，整体替换，得一新函数，求新函数的值域 （2）形如的函数求值域 → 单调性法 or 平方法变形后转化为复合函数 ①特征：两个根式进行相加减 ②具体操作： 单调性法：确定每一部分的单调性（复合函数的单调性判断），再利用组合函数单调性的判断，确定整个函数的单调性，进而确定值域 平方法变形：单调性法不能用时，将整个式子进行平方，转化为（1）的形式，进而求解 （单调性法） 6．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中即 故函数的定义域为， 由解析式可知函数在单调递增， 所以， 故的值域为. 【变式6-1】函数在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】令，再结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：令，则， 故， 则， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 7．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 【变式7-1】函数的值域为 【答案】 【详解】函数的定义域为， 与在上均单调递增， 在上为增函数， 当时，，即函数的值域为． 【变式7-2】函数的值域是 【答案】 【详解】函数， 与在上均单调递增， 在上为增函数， 当时，，即函数的值域为． 所以函数的值域是 （换元法） 8．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【详解】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B 【变式8-1】函数的值域为 【答案】 【分析】本题考查了函数值域的求法，配方法、分离常数法和换元法的应用，掌握根据函数类型选择合适方法求值域的技巧是解题的关键． 对每个选项，使用配方法、分离常数法或换元法，结合函数单调性求值域，逐一判断正误． 【详解】（换元法）设，则，且，， 由，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为． （平方法变形） 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】注意到，即， 消去3得：，故设， 因为，所以 此时 ， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 由三角函数的对称性知，最小值在时取得，为，所以值域是. 【变式9-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再利用换元法并结合二次函数性质求出值域. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数为， ，而， 因此，解得，所以原函数的值域为. 【变式9-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，令， 因为，所以， 所以 则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 【求函数值域（复杂分式型）】 【重难点 求函数值域（复杂分式型）】 求函数值域（复杂分式型） 1.关键：变形 2.复杂分式型函数的变形技巧 （1）形如、 → 分离常数法/大除法进行变形，变形后可转换为标准初等函数、复合函数、基本不等式、双勾型函数等 （2） 形如 、 → 法1：上下同除进行变形——转化为反比例型的复合函数 法2：当定义域为R时，判别式法，转化为关于y的一元二次方程在R上的有解问题 （分离常数法、大除法变形） 10．求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）利用分离常数法求解即可. （3）用分离常数法化为，注意函数值不能等于2； 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）， 因为，所以，故值域为． （3），因为能取到除0外的一切实数，所以y的值域为， 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 11．求下列函数的值域： (1)； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． (2) 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. (3) 【答案】 【分析】变形函数式，利用均值不等式求解作答. 【详解】， 因，令t=，则， ∵在t时单调递增 ∴当t=1时，，即函数的值域为． 12．函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 【变式12-1】的值域是__________. 【答案】 【分析】方法一：通过分离常数法将函数进行变形，再结合指数函数的性质求函数的值域. 方法二：直接指数函数的有界性求值域. 【详解】方法一：. 函数的定义域为，则且， 当时，，，； 当时，，，； 综上，函数的值域是. 方法二：令，则. 因为，所以，即， 解得或. 故函数的值域是. 故答案为：. 【变式12-2】，求函数的值域； 【答案】 【分析】函数，应用分离变量即可求得值域； 【详解】（1），定义域为 由，得,那么, 即， 所以，函数的值域为. （上下同除法变形） 13．函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 【变式13-1】函数的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行化简得，再通过基本不等式求出的范围，即可得出的值域. 【详解】当时，有， 又因为当时， ，则， 反之当时，，则， 当时，有意义，取并集得：，即， 所以的值域为. 故选:A. 【点睛】本题考查分式函数的值域，运用到基本不等式求得最大最小值和倒数的方法，属于中档题. 14．函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 【变式14-1】函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解. 【详解】解：令，， 令，则， 原函数化为， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 又当时，，当时，，当时，. ∴函数的值域为， 则函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题. 15．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出函数的定义域，然后对进行讨论，其中当时，将函数变形，再结合基本不等式即可求出其最大值. 【详解】由题意得 ， 当时，； 当即时， ， （当时等号成立.） . 综上所述函数的最大值为. 【变式15-1】已知函数的图象过点和点． (1)求实数的值； (2)写出的定义域，并求的值域． 【答案】(1) (2)的定义域为；值域为. 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域. 【详解】（1）由，得，，， 上两式联立，解得，. （2）由（1）知，故，得， 所以的定义域为； ，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 【变式15-2】函数的最大值为______． 【答案】 【分析】换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 16．已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. （判别式法转换主元） 17．函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 【变式17-1】函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 18．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用分离常数法求值域； 【详解】，其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 【根据函数值域求参】 【重难点 根据函数值域求参数】 根据函数值域求参 1.初等函数、复合函数的值域求参 方法1：结合图象，确定最值在哪里取到，转化为求相应端点值或其范围 方法2：转化为集合的包含关系 或 函数在区间上有解问题 2.分段函数值域求参 ①先求每一段的值域 ②比较端点值及连接点的大小关系 （方法1：转化为端点值的具体值或范围范围） 19．若函数的定义域是，值域是，则__________． 【答案】或 【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以 或. 故答案为：或 20．设，若函数，当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据反比例函数在上的单调递减性，结合定义域与值域的对应关系列方程求解. 【详解】反比例函数的比例系数为，因此在区间上单调递减， 已知，当时，函数最大值在左端点处取得，最小值在右端点处取得，即，， 由，得， 解得，符合的条件， 因此. 21．函数在上的值域是，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】， 对称轴为，， 函数在上的值域是， 则必须在区间内，可得， 当时，解得， 解得或， 要保证最小值恰为（不更低），左端点处需满足， ， 则且，实数的取值范围为， 即实数的取值集合为. 【变式21-1】已知函数，，若的值域为，则的取值范围是 【答案】 【分析】先将二次函数配方确定对称轴与最值，再结合值域的上下界求出对应自变量的临界值，进而确定区间右端点的取值范围. 【详解】，这是开口向上的二次函数，对称轴为 ，顶点为 ，即函数最小值为 ， ，令 ，即，得 或 ， 因为 时值域为 ，所以要取到最小值 ，必须满足 ；要保证函数最大值不超过 ，必须满足 ， 因此，即的取值范围是 . 22．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 23．已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 【变式23-1】已知函数 的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 24．已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【详解】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 【变式24-1】（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 【变式24-2】若函数的值域为，则__________. 【答案】7 【分析】利用基本不等式进行分析，由此列方程，从而求得. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 依题意，，得. 故答案为： （方法2：转化为集合的包含关系或函数在区间上有解问题） 25．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【变式25-1】函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 26．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 【变式26-1】．已知的值域为，且在上是增函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义域及复合函数单调性，可将问题转化在上恒成立，且在上是减函数，计算即可得. 【详解】设， 由为定义在上的减函数， 故在上恒成立， 且在上是减函数， 则， ， 故. 故选：A. 27．设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域，分段函数特征，及对数函数单调性列式计算即可求出的范围． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得． 【变式27-1】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出时的值域，然后根据分段函数的值域把问题转化为当时，的值域与的并集为，分讨论即可. 【详解】当时，；所以要想使得的值域为， 只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以当时， ， 所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 28．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 【变式28-1】（多选）已知函数在上的值域为，则实数的可能取值是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先将含绝对值的函数转化为分段函数，作出函数图象，利用图象求得，再依次分析各选项即可得答案. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以，， 作出函数图象如图， 所以，要使在上的值域为，则， 因为，，，， 所以，实数的可能取值是0或. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $重难点专题09函数值域及求参 100 题型概览 求函数值域（初等函数） 3种方法：直接列举法、观察法、图象函数 求函数值域（简单复合函数） 换元法，步 函数值 及求 求函数值域（复杂根式型函数） 3种方法：单调性法、换元法、平方法变形 求函数值域（复杂分式型函数） 3种方法：分离常数法/大除法变形，上下同除变 形，判别式法转换主元 初等函数、复合函数值域求参：2种方法 根据函数值域求参 分段函数值域求参 100 重点强化 【求函数值域（初等函数）】 【重难点一求函数值域（初等函数）】—3种方法 方法 求函数值域（初等函数）的方法 方法1：直接列举法 方法2：根据一些特殊的函数值域进行变化：xeR,r≥0p0,20,a>0a>0阻a+刊 方法3：利用初等函数的图象求解☆ (1)先画出完整图象 (②)将定义域标注在图象上 (3)观察图象，图象的最高点即为最大值，图象的最低点即为最小值，所有能取到的函数值构成值域 【关键】熟记各种初等函数的图象特点 1.(多选)下列函数中值域为[0，+∞)的有() 第1页 A.y=x B.y=x2-4x+4 c.y=1 D.y=x 【变式1-1】（多选）下列函数中，在0，+∞上的值域是0，+∞的是() A.y=x B.y= C.y=x3 D.y=x-1 X 2.求下列函数的值域： 四y=2x+1'x∈1,234,5 ②y=x+1 (fx=-X2+2x+1'x∈|0,3} ④fx=是xe,+o 【变式2-1】（多选）下列函数中，值域为[0,4]的是() A.fx)=x-1,x∈[1,5] B.fx=3x2-x+2'x∈l1,3 第2页 c.f(x)=16-x D.f(x)=x+1-2(x>0) 重点强化 【求函数值域（简单复合函数）】 【重难点求函数值域（简单复合函数）】 ©方法求函数值域（筒单复合函数） 1复合函数：形如八8（刃的函数 判断技巧：①乍一眼看形式→外层 分数形式→反比例函数、双勾函数 相对二次→二次函数 乘方形式→指数函数、幂函数 含1og→对数函数 ②细看，本来为单字母x的部分，现在为一个多项式一内层 2.复合函数求值域—换元法 步骤： ①求定义域确定内、外层函数 ②换元，令内层函数为t,将函数fx转化为关于t的函数gt ③求t的范围：根据定义域x的范围算 ④画外层函数gt的图象或根据外层函数gt的单调性判断值域 3.求下列函数的值域： 5 (1)y=3+2x-x2 (2)fx=V-x2-6x-5: (3)y= 2x2-4x+3 (4) 第3页 y=- 1 x2+x+2 4.求下列函数的值域： “w-3x1*3”2到 9 ②y=2+2×(x>0)】 1 (3)y=Inx+ nx 4y=x2+2+1 x2+2 5.求下列函数的值域： 第4页 (1) 1 2x-x1 y=26 (3)y=53x (④y=4+2+1+1 (⑤)y=log26-x-x2 f(x)=logx2-logvx+1,xE[1.9] 重点强化 【求函数值域（复杂根式型)】 【重难点求函数值域（复杂根式型）】 嫦方法 由求函数值域（复杂根式型） 1.关键：变形 2复杂根式型函数的值域，求解方法 (I)形如y=ar士b+VCx士d的函数求值域→单调性法or换元法，转化为二次型复合函数 ①特征：根式和一次同时出现，表现为相对二次关系； ②具体操作： 单调性法：确定每一部分的单调性（复合函数的单调性判断），再利用组合函数单调性的判断，确定整 个函数的单调性，进而确定值域 换元法，转化为二次型复合函数：令根式部分为新的元t，用其表示出相对二次部分，整体替换，得一 新函数，求新函数的值域 第5页 (2)形如y=aX士b+Vcx士d的函数求值域→单调性法or平方法变形后转化为复合函数 ①特征：两个根式进行相加减 ②具体操作： 单调性法：确定每一部分的单调性（复合函数的单调性判断），再利用组合函数单调性的判断，确定整 个函数的单调性，进而确定值域 平方法变形：单调性法不能用时，将整个式子进行平方，转化为(1)的形式，进而求解 (单调性法) 6.函数fx=3x-10+Vx-5的值域为() A. B.5,+∞ C.6,+o D.(-0,+00 【变式6-1】函数fx=V4-x-x在区间1,3上的值域为 7.函数fx=V3-x-2x-2的值域为() A.0,1 B.-2,0 c.-2,1 D.-1,2 【变式7-1】函数y=Vx+1+x-1的值域为 【变式721图数y-x+2文Xe3,+如的值线足 第6页 (换元法》 8.函数fx=Vx-2-x,x∈2,6的值域为() o,到B到 C-4,-2 D.{-4,-2 【变式8-1】函数y=2x-/x-1的值域为 (平方法变形) 9.函数f(x)=Vx-4+V15-3x的值域是() A.[1,2] B.[0,2] c.(0,3] D.(1,3] 第7页 【变式9-1】函数y=V2026-x+Vx-2025的值域是() A.0,2 B.0,2 c.1,2 D.1,2 【变式9-2】函数fx)=+X+4-x的值域为（） A.(0,V5] B.(0,/10] c.[V5,V10) D.[V5,V10] 100 重点强化 【求函数值域（复杂分式型)】 【重难点求函数值域（复杂分式型）】 ©啸方法求函数值域（复杂分式型） 1.关键：变形 2复杂分式型函数的变形技巧 “一次”“二次” (1)形如“一次”“一次”→分离常数法/大除法进行变形，变形后可转换为标准初等函数、复合函 数、基本不等式、双勾型函数等 第8页 “一次”“二次” (2)形如“二次”， “二次” →法1：上下同除进行变形一转化为反比例型的复合函数 法2：当定义域为R时，判别式法，转化为关于y的一元二次方程在R上的有解问题 (分离常数法、大除法变形) 10.求下列函数的值域： @y=4X+4x+9x>0: (2)y= 4x-3 X 2x+3 8y=2x+1 X-3 11.求下列函数的值域： 0y=3-2x: (②v=X-4x+4x>1 y= 8y=2X-x+1(x1) 1+x2 x-1 2X-1 12.函数y=4+1的最小值为 2*+1 第9页 【变式12-1】fx=10+10的值域是 10'-10 【变式12-2】fx=2+3,求函数fx的值域。 2*+2 (上下同除法变形) 13.函数fx=2X在1,2上的最大值和最小值分别是 X+1 第10页 逆[I熊 L+X-X=人猴图1 4斡耳[之xT-x 00+ nI-‘o- Q nI--。1-g y ）中X+=x喉亟【Ⅱ-I】 【变式1411两数fx=Xt1.0≤x≤8的值装为() x2+2x+10 A.11 c.11 86 B.6,8 10’6 D.6,10 15.函数断x=x+2 最大值为() 4x+9 A R D. 【变式5】卫知函数x的图象过1，号和4，品 ax+b (1)求实数a,b的值； (2)写出f(x)的定义域，并求f(x)的值域. 第12页 【变式15-2】函数v=X+4的最大值为一 V= x2+5 16、已知函数fx=t2x≥0r则fx的最小省为 x+1 (判别式法转换主元) 17.函数y=,X+3的值域为 x2-2X+5 第13页 【变式17-1】函数y=X-X+1的值域是 2x2-2x+3 18.函数y=-4x+3的值域为 2x-X-1 1/00 【根据函数值域求参】 【重难点根据函数值域求参数】 第14页 城 方法 根据函数值域求参 1初等函数、复合函数的值域求参 方法1：结合图象，确定最值在哪里取到，转化为求相应端点值或其范围 方法2：转化为集合的包含关系或函数在区间上有解问题 2.分段函数值域求参 ①先求每一段的值域 ②比较端点值及连接点的大小关系 (方法1：转化为端点值的具体值或范围范围) 19.若函数fx=ax+ba,b∈R的定义域是1,2，值域是2,3，则ab= 20.设a>0若函数y=6,当x∈a,2a时，y∈g,2则。的值为（) X 3 A.2 B.3 C.6 D.7 第15页 21.函数f(x)=-X2-2x在1a,1上的值域是-3,1则实数。的取值集合为（） A.-3,-1B.-2,0l c.-4,0 D.-2,1 【变式21-1】已知函数fx=x-6x+7'X∈1，m:若fx的值域为-2,2则m的取值范围是 2.已知数f(x=5,记函数gx=fx)+x+1,2≤x≤a。其中实数a>2,若g(X的值或为 [9,11],则a的取值范围是() A.[2,6] B.[4,8] c.[6,10] D.[8,12] 第16页 23.已加画数fx-ax+bx+c的定义线和值城均为02则关干x的不等式h的解集为() A1B2,-,-u-+D,-2u1,+ 【变式23-1】已知函数f(x)=/aX+bx+ca≠0的定义域与值域都为0，m(m>0,则实数a的值为 24.已知函数y=X+mx+3的值域是(-0，-2]U[4,+∞)，求实数，n的值. x+n 第17页 【变式241】（多选)已知酒数y-普的雀越为-14则帘数和+b可以是() A.-1 B.1 C.7 D.-7 【变成2421若五数小-议++a谊效3，+则a- (方法2：转化为集合的包含关系或函数在区间上有解问题) 25.已知函数fX=3X+m-6x+3的值城为[0，+o则实数m的取值范围为（） A.-o,0 B.-∞，0lu12,+∞C.0,12 D.12,+o 第18页 【变式25-1】函数y=mX产+mx+i的值域为0，+oor则m的取值范围为（） A.0,4 B.0,4 C.4,+o D.4,+∞ 26.已知函数fx=naX+2x+1若fx的值域为R则实数。的取值范围是（） A.0,1 B.0,1 C.1,+o D.0,+o 【变式26-1】.已知fx=log!x-ax-a的值域为R,且fx在-3,1-3上是增函数，则a的范围 是() A.0≤a≤2 B.2-23≤a≤0 C.-4≤a≤0D.-4≤a≤2-2V3 第19页 27.设a>0且a≠1函数fx= -x+号x2 的定义域为R 若印x的该对径+m 则a的取值范 3+logax,x>2 围为() A.R2,+∞ B.4,+∞ c.1,2 D.1,4 【变式27-1】已知函数fx-1-2aX+3a,x<1的值域为R则实数o的取值范围是() 2-1,x≥1 a.B.1. C.-o0,2 D.o,2 第20页 x2-2x 28. 己知函数fx= 2,X≤1， 的值域为D'D∈ 3 ,+oo 则实数。的取值范围是（) x+g-1,x>1 X h C. D. 【变式1（多途）已加商威以-k+2x+14-3,a上的张城剂径7 则实数。的可能取值 是() A.3 B.0 C.2 第21页