培优07 函数的恒成立与存在问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题07 函数的恒成立与存在问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的恒成立 题型1 在 R 上恒成立 题型2 在区间上恒成立（重点） 考点二 全称与存在命题 题型3 命题真假与转化（高频） 题型4 存在性求参数 考点三 双变量问题 题型5 任意与存在双变量（难点） 题型6 存在与任意双变量（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的恒成立 ◆题型1 在 R 上恒成立 1．若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 2．若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 3．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. ◆题型2 在区间上恒成立（重点） 1．对于任意非负实数，不等式恒成立，则的取值集合是______． 2．若不等式在上恒成立，则的取值范围为________； 3．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 考点二 全称与存在命题 ◆题型3 命题真假与转化（高频） 1．已知命题“，成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，命题：，，若命题为假命题，是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 3．若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． ◆题型4 存在性求参数 1．，使得成立，则实数的取值范围为_______． 2．已知命题，使得成立；命题，不等式恒成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，求实数的取值范围； (3)若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 3．命题： ， 恒成立；命题： ，使得 成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围． 考点三 双变量问题 ◆题型5 任意与存在双变量（难点） 1．已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 3．已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． ◆题型6 存在与任意双变量（难点） 1．已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 3．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 3．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．若对恒有，则的取值范围是_____ 三、解答题 1．已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2．已知二次函数 （，， 为实数）． (1)若 的解集是 ，求不等式 的解集； (2)当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 3．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 4．已知函数，． (1)若的解集为，求实数； (2)求关于的不等式的解集； (3)若命题，，且是假命题，求的取值范围． 5．设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的恒成立与存在问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的恒成立 题型1 在 R 上恒成立 题型2 在区间上恒成立（重点） 考点二 全称与存在命题 题型3 命题真假与转化（高频） 题型4 存在性求参数 考点三 双变量问题 题型5 任意与存在双变量（难点） 题型6 存在与任意双变量（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的恒成立 ◆题型1 在 R 上恒成立 1．若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，即当时，此时不等式为恒成立，符合题意； 当，即时，则有，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 2．若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【分析】最高次项系数含参数，必须先讨论 ； 时要求开口向下且判别式小于 0． 【详解】①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 且 ， 解得 ． 综上所述，． 3．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先将原命题条件转化为全称命题的恒成立问题，再通过分类讨论结合一次函数和二次函数的图象性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. ◆题型2 在区间上恒成立（重点） 1．对于任意非负实数，不等式恒成立，则的取值集合是______． 【答案】 【分析】根据与的大小关系分类讨论，将不等式恒成立问题转化为求函数在相应区间上的最值问题，从而得到且，解得，最后代回检验即可. 【详解】设，由题意知对任意 ，恒有， 当时，，恒成立； 当时，，要使，必须恒成立， 即对任意恒成立，因为，所以； 当时，，要使，必须恒成立， 即对任意恒成立，因为，由恒成立条件得； 综上可得且，所以， 当时，， 因为，所以，，从而恒成立，符合题意. 2．若不等式在上恒成立，则的取值范围为________； 【答案】 【分析】利用二次函数性质分类讨论即可得. 【详解】当，即时，有，解得，不符，舍去； 当，即时，有，解得，故； 当，即时，有，解得， 即； 综上可得，的取值范围为. 3．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 考点二 全称与存在命题 ◆题型3 命题真假与转化（高频） 1．已知命题“，成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由含量词命题的真假求参数范围.存在量词命题为假，则其否定“”为真，即不等式在区间 [1,3] 上恒成立；开口向上的抛物线在闭区间上的最大值在端点处取得，故只需两个端点处函数值不大于0，联立解出的范围. 【详解】因为命题“ 成立”是假命题， 所以其否定“”为真命题， 即 对任意 恒成立. 由于抛物线开口向上， 在闭区间上的最大值在端点处取得， 因此只需 ，且 ， 即取交集得 ， 故实数的取值范围是 ，选项正确. 【点睛】存在命题为假 全称否定为真；开口向上的抛物线在闭区间上的最大值在端点，恒成立只需端点处不超过0. 2．已知命题：，，命题：，，若命题为假命题，是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由命题为假命题，得到，是真命题，通过计算得到，利用基本不等式得到，由是真命题得到，解得的范围，通过求交集得解. 【详解】因为命题：，，且命题为假命题， 所以：，为真命题， 解得，则， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故， 故， 因为命题：，，且是真命题， 所以，解得或， 则或， 解得或，故选项B正确. 3．若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设，因“，”， 则，因函数开口向上， 则，则. ◆题型4 存在性求参数 1．，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 2．已知命题，使得成立；命题，不等式恒成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，求实数的取值范围； (3)若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分离参数转化为能成立问题求解即可；（2）将原式转化为二次函数恒成立问题求解即可；（3）由题意，“命题为真命题，命题为假命题”或“命题为假命题，命题为真命题”，分别讨论实数的取值范围，然后求并集即可. 【详解】（1）因为为真命题，由题即 ，使得成立， 因为在值域为 所以. （2）因为为真命题，对于恒成立， 所以，即。 （3）命题，有且只有一个是真命题 所以情况一：命题为真命题，命题为假命题， 则，此时解集为. 情况二：命题为真命题，命题为假命题， 则，此时解集为， 综上所述，实数的取值范围为 3．命题： ， 恒成立；命题： ，使得 成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若为真命题，则，， 函数在区间上单调递增， 当时，， 所以； （2）若为真命题，二次函数开口向上，有解等价于， ，解得 或 ， 若命题，一真一假，分两种情况： ①真假， ，解得， ②假真， 或，解 得， 综上的取值范围为． 考点三 双变量问题 ◆题型5 任意与存在双变量（难点） 1．已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合对勾函数单调性可确定，通过对二次函数对称轴位置的讨论可得的单调性，从而确定，由此构造不等式求得结果. 【详解】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 2．已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将题中条件等价于在区间上，，再根据对勾函数的性质得到，再根据二次函数的性质得到在上的最大值一定在或上取得，进而分和两种情况讨论即可得到答案． 【详解】对，总，使得成立， 等价于在区间上，， 结合对勾函数的性质，在上单调递增，则， 由是开口向上，对称轴为的二次函数， 则在上的最大值一定在或上取得， 由，， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 综上，的取值范围是． 3．已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先化简为对勾函数形式，根据单调性求解值域，再将全称量词与存在量词结合的不等关系转化为两个函数最小值的比较，进而求得的取值范围. 【详解】为对勾函数,当时，该对勾函数在处取得最小值，故在上单调递增， 可得，，故的值域为； 题设条件等价于在上的最小值不小于在上的最小值， 即， 在上单调递增，因此， 所以 ，即的取值范围是. ◆题型6 存在与任意双变量（难点） 1．已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】这是一道"任意—存在"型的恒成立问题，核心转化是： 。解题关键在于先对参数 与1的大小关系分类讨论，分别确定两个函数的单调性和区间端点值，再让 的左右端点分别落在 的值域范围内列不等式求解。 【详解】对任意 ，总存在 使 ，即 的值域是 值域的子集。 当 时， 单调递减，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递增，。 ，。 当 时， 单调递增，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递减，（均为负值）。 （1）：需 即 结合 ，得 。 （2）： 值域 ， 值域 ，不满足包含关系，舍去。 （3）： 值域恒为负，而 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 综上，实数 的取值范围是 。 【点睛】"任意 存在 "型问题，翻译成集合语言就是"前一个函数的值域是后一个函数值域的子集"。 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【详解】由 ，在区间上单调递增，当时，； 当时，，即. 由，在区间上单调递减， 当时，；当时，，即. 由条件得，即，解得. 所以实数的取值范围是. 3．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将不等式解集为空转化为对应式子恒小于0，分两种情况，结合一次、二次函数性质求解后取并集. 【详解】由题意得，不等式解集为， 等价于对任意，恒成立，分两类讨论： 当时，恒成立，符合题意； 当时，是真命题， 则，解得， 综上，的取值范围为. 2．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 所以题目即变为选择的一个充分不必要条件， 从而选择的选项应该为的真子集，从而C正确. 3．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由参变量分离法得出，利用函数单调性求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，再结合集合的包含关系判断即可. 【详解】，，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，故，则， 因为，，， 故命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“”. 故选：B. 4．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 二、填空题 1．若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 三、解答题 1．已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. (3) 【分析】（1）将不等式整理成标准形式，再根据不等式解集及三个二次关系求解； （2）将不等式整理成，讨论二次项系数及对应方程根的大小关系求解； （3）由恒成立得到关系，代入所求式化简为“”型一元分式，通过换元化为基本不等式求最值. 【详解】（1）由得，即， 因为不等式的解集为，所以，解得. （2）由（1）不等式即，整理得， 若，则对应二次函数开口向上，，解得或； 若，则不等式变为，解得； 若，则对应二次函数开口向下，，解得； 若，则不等式即，无解； 若，则对应二次函数开口向下，，解得. 综上，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）当时，，不满足对任意，恒成立； 当时，若对任意，恒成立，则，即， 所以，令，则， 则，因为， 所以，所以当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 2．已知二次函数 （，， 为实数）． (1)若 的解集是 ，求不等式 的解集； (2)当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 【答案】(1) (2)当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． (3) 【详解】（1）由一元二次不等式的解集与方程的根之间的关系，用 表示、 ，由此将不等式 转化为不含参的二次不等式求解即可； （2）将不等式 转化为 ，再讨论与的大小关系，由此得到不等式 的解集； （3）将不等式 对任意 恒成立，转化为 ，得到 的关系，再用换元法，结合基本不等式，求得 的最大值． 【解答】（1） 的解集为 ， ，且 是 的两根， ，，即 ，． ， 即 ， ，， ，解得. 不等式 的解集为 ． （2）当 时，原不等式为 ， 即 ． ， 抛物线开口向下，两根为 与 ． ①当，即 时， 的解集为 ； ②当， 即 时，，的解集为 ； ③当，即 时， 的解集为 ． 综上所述，当时，不等式 的解集为； 当 时，不等式 的解集为； 当 时，不等式 的解集为 ． （3） 即 ， 对任意 恒成立， 且 ， ， ． 令 ，，则 ， ． 因为，当且仅当时，等号成立. 所以. 的最大值为 ． 3．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. (3) 【分析】（1）通过判别式小于0恒成立求解即可； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）通过讨论，，求解即可. 【详解】（1）由得， 由的解集为， 得：，解得：； 即实数的取值范围是； （2）. 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3）不等式，即，可得， 且，可得， 由题意存在，使得不等式有解，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 4．已知函数，． (1)若的解集为，求实数； (2)求关于的不等式的解集； (3)若命题，，且是假命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集判断二次函数图像形状，进而根据解集判断函数零点，求出参数值； （2）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，分别判断各种情况下的函数图像，进而求出解集； （3）根据命题的否定为真命题的情况，写出不等式，根据的范围，化简不等式，进而判断参数范围. 【详解】（1）可知， 由的解集为，可得，. （2）可知不等式为， 当时，函数开口向下，且， 所以不等式解集为； 当时，不等式为，解集为； 当时，函数开口向上，且，所以不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，函数开口向上，且，所以不等式解集为. （3）由是假命题可得“”为真命题， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为时，，所以时，有恒成立，所以实数的取值范围为. 5．设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. (3) 【分析】（1）对恒成立的不等式变形并分离参数，利用二次函数及不等式的性质求出最小值即可. （2）等价变形给定不等式，再按参数取值情况分类求出解集. （3）利用一次函数、二次函数性质，结合恒成立求出的关系式，再利用不等式性质求出最大值，进而验证即可. 【详解】（1）函数，当时，， ，不等式恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 当时，，，解得； 当时，恒成立，； 当时，，而，不等式恒成立，； 当时，不等式为，解得； 当时，，由，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）不等式 ，依题意，，，不等式恒成立， 由，得函数在上单调递增，则， 即对任意恒成立，令函数， 因此二次函数在上的函数值恒小于等于0，则， 即，于是，当且仅当，即时取等号， 当时，，对任意成立， 所以的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $