专题11 直线和双曲线的常考题型总结（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11直线和双曲线的常考题型总结 题型归纳 题型一直线和双曲线的位置关系和交点 题型二双曲线的切线与切点弦 题型三弦长的计算 题型四中点弦与点差法 题型五焦半径和焦点弦 题型专练 题型一：直线和双曲线的位置关系和交点 1,过0,1作与双重号苦=1取有个公共点的直线，这样的直线有《） 6 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.己知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为() A.-0-1U1,+∞ B.-oo,-V2U2,+o0 C.-o,-2U2,+∞ D.-o,-2V2U2V2,+0 日，已知直线y=kX+当与双曲线子-的右支有两个不同的交点，则的取值范围是〈) A1,-3 B.-1,1 . c. D. 4.直线y=x+1与双曲线-y=1的交点个数为《) A.0 B.1 C.2 D.1或2 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.与双曲线C:。=1有两个交点的直线方程是《) 916 A.4x-y=0 B.3x-4y-15=0 C.4x-3y+20=0 D.4x-3y-20=0 6.已知过点0,1的直线与双曲线x2-y=1的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为() A.-o,-1U1,+o B.-1,1 c.-2,-1u1,2 D.1,V2 X-上=1与直线y=- 7.双曲线94 X+mm∈R)的公共点的个数为 题型二：双曲线的切线与切点弦 1.已知双曲线C: 916 =1,过点P3,3作直线l,使1与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线共 有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 C经过点2,2，且与立-X1具有相同的渐近线，则经过点3,0且与双曲飞 个公共点的直线有()条 A.0 B.1 C.2 D.3 已知双曲线C名-Q0,b0的石焦点为卫，圆M的万程为X5y2乃若直线7西 M切于点P4,1,与双曲线C交于A,B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为() A.X2-y=1 4 8.4y=1 X 0.2y=1 直线过点P4,1与双曲线×一y=1有且只有一个交点，则这样的直线有 5.已知双曲线C:。-=1,过点M1,~1作直线与双曲线C有且只有一个交点，这样的直线可以作 916 条（填“条数”） 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.过点P(3,4)作双曲线C:x2-y=1的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB的方程 题型三：弦长的计算 1.过双商线一兰=1的左焦点R,作顿斜角为石的直线与双由线交于4。B两点，则AB=(） 3 A.2 B.3 C.4 D.5 2.过双曲线2x-y=2的右焦点作直线1交双曲线于A、B两点，若AB=4,则这样的直线有( )条 A.0 B.1 C.2 D.3 3.直线过双曲线C:父y 4亏=1的右焦点且与C交于M,N,MN=5,则有() A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 4.已知双曲线C的标准方程为X- 3 =1,直线过双曲线的右焦点F,且与C交于A,B两点，若 AB=6,则满足条件的直线的条数为 5.已知直线与双曲线X-兰=1交于A, B两点，且线段AB的中点为C-1,-2,则AB=() 2 A.4 B.2 c.4V2 D.22 6.过双曲线C:X2-兰=1的左顶点A1作倾斜角为60的直线与C交于另一点M,则A1M门 4 已如双曲线C。-a>0,b>0的浙近线方程为y=±X,点P-2,3在双曲线 (1)求双曲线C的焦距： 2π (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为3的直线与C交于A,B两点，求AB. 1 8.动点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和点M到定直线：x= 的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点F(3,0)且倾斜角为60°的直线与曲线C相交于A,B两点，求ABL 题型四：中点弦与点差法 -兰-1的一条弦AB的中点为M(1,1),则直线AB的斜率为（） 1.双曲线94 9 4 A.4 B.9 4 2.已知双曲线E:-号=1，双曲线的莱弦AB中点为Pm,1.且点P在第一象限，弦AB所在直线与 2 双曲线的一条渐近线垂直，则m的值为() A.±2 B.2 c购 82 4 D.4 3.己知直线l:y=3x+1与双曲线E: 存-1(a>0,b>0)相交于A,B两点，且弦AB的中点是 M 3 则此双曲线E的渐近线方程为( A.y=±V2x B分 C.y=±2x D.y=±V5x 双曲线y的动弦AB所在直线的斜率为2，则AB中点M的轨迹方 5.已知4，B为双曲线C:上 1 X=1上的两点，且A,B关于直线1：y=专X-1对称，则线段AB中点的 坐标为 6日知双自线C:-芳=1b>0的离心车为，A香是C上前两点 (1)求C的标准方程： 18 (2)若线段AB的中点为 7’7 求直线AB的方程. 7.已知双由线C:兰-广=1a>0,b>0的条浙近线方程为y=片x,焦距为45 1 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求C的方程： (2)过点A(6,1作直线与双曲线C相交于M,N两点，且A为线段MN的中点，求这条直线的方程. 题型五：焦半径和焦点弦 X-二=1b>0的左、右焦点分别是E,P2,过F,向双曲线的一条渐近线作垂线垂足为M,若 1.双曲线86 △F1MF2的面积为16，则双曲线的离心率为() A.5 B.2 C.2 D.3 设F,分别是双曲线y1的上、下焦点，双曲线上的点P清足3PE5PE、 △PF1F2的面积等于() A.129V/3 B.12 c.6V3 D.6 3.已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足PF1-PF2=2,记点P的轨迹为E.直线：y=x-2与轨迹 E交于A,B两点，则AB=() A.6 B.8 C.10 D.12 4.F1、F2分别是双曲线2-4 兰-二1的左、右焦点，过P的直线分别交该双曲线的左、右两支于小、B两 点，若AF2⊥BF2AF2=BF2,则AF2=( ) A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 5.已知点M为双曲线C: X-兰=1a>0,b>01在第一象限的一点，点F为双曲线C的右焦点，0为坐 a b 标原点，F到一条渐近线的距离为15，且4MO=4MF=7OF,则双曲线C的标准方程为 x2- y 23 6.已知双曲线 a 61Q>0,b>0的左、右焦点分别为51，F,离心率为3，点A3,2是双曲 AF 线上一点连接AF2,过点F1作BF1∥AF交双曲线于点B,且BF1<AF,则 BF 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 双曲线C:等-为a>0.b>0的焦点为F、F,P在双曲线右支上，且PP3PFy 为C的渐近线方程，若△PF1F的面积为4V2,则双曲线C的焦距长为一· 616可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11直线和双曲线的常考题型总结 题型归纳 题型一直线和双曲线的位置关系和交点 题型二双曲线的切线与切点弦 题型三弦长的计算 题型四中点弦与点差法 题型五焦半径和焦点弦 题型专练 题型一：直线和双曲线的位置关系和交点 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.0或1 题型二：双曲线的切线与切点弦 1.D 2.D 3.B 4.2 5.4 6.3x-4y-1=0 题型三：弦长的计算 1.B 2.D 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.B 4.3 5.c 6.16 7.【答案】(1)2/2 (2)4 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程得到a与b的关系，再将点P的坐标代入双曲线方程，联立求解出Q, b的值，进而求出C的值，得到焦距： (2)先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线C的方程，利用弦长公式求出AB即可. 【解析】(1)由题意得： b≥1， a -223 b1 =1 a2 b2 又c2=a2+b2=2,可得c=2, .2c=2V2,则双曲线C的焦距为2V2. (2).a2=1,b2=1,∴.双曲线C的方程为x2-y2=1, c=V2,∴右焦点坐标为2,0， 设直线1的斜率为k,k=an2π=-3 直线的方程为：y=-3x-2, y=-V3x-2 联立 x2-y2=1 整理得2x2-6V2x+7=0, 因△=-622-4×2×7=16>0 股AX.BA%,则+=32，X子 AB=/1+kx1+x2-4x1x2=/1+3×V18-14=4. 8. 【除1回x-名1 【分析】(1)根据给定条件，列出方程化简即得 (2)求出直线AB的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【解析】(1)由点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和点M到定直线：x=的距离的比是3， x-3+y=3 整理得X-士-1， 8 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以苗线C的方程为（一首-1 (2)由过点F(3,0)且倾斜角为60°的直线，得直线AB的方程为y=3(x-3), y=3(x-3) 8x2-y=8 消去y得5X2+18x-35=0,解得x=-5,x,=5 所圆A=T+x划=g 题型四：中点弦与点差法 1.B 2.D 3.C 4.x-6y=0x2>36 11 6. 【答案】ax2-上=1 8 (2y=X+1. 【分析】(1)根据离心率求出b,得到双曲线方程： (2)由点差法得到直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，检验后可得答案 【解析】(1)因为a=1,e=C=3,所以c=3a=3,则b2=c2-a2=8. a 所以双曲线C的标准方程为父-兰=1， 8 (2)设AX1,y1,BX2,y2,由题知X1≠X2, 则 两武相减得X-X上=0.即片业8K+ 8 x1-x2y1+y2 8 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+X号y+-9所以k者老 8x2 1=1, x1-x216 所以直线AB的方程为y- 8 7=x-7,即y=x+1, 将yx+1代入双自线方程x-首=1，整程，有7父-2x-9=0 则△=4+4×7×9>0，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线AB的方程为y=x+1. 7. 【答案】(16 =1 4 (2)3x-2y-16=0 2c=4V5 b-1 【分析】(1)由题意可得 a2 进而求解即可； [c-a+b2 (2)分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 2c=4V5 b1 【解析】(1)由题意知， a2 [c2-a2+b2 r-16.6-4c-20.商路C方言兰1 (2)①当过点A的直线斜率不存在时，若点A为MN的中点， 则点A必在x轴上，这与A6,1矛盾： ②当过点A的直线斜率存在时，设斜率为kk≠0，则直线方程为y-1=kx-6, 设Mx1,y1,Nx2,y2,因为点A6,1为线段MN的中点， 所以X1+x2=12,y1+y2=2, 因M.N充观故名-苦1。 x-4y=16 x3-4y2=16 则x1-x2x1+x2+4y2-y1y2+y1=0, 所以k=之当=X+x=12=3 x2-x14y2+y14×221 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测所求直线方程为y-1-x-6,即3x-2y-16=0,经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足圈密。 题型五：焦半径和焦点弦 1.A 2.D 3.A 4.C 若 6.5 7.4V2 5/5面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11直线和双曲线的常考题型总结 题型归纳 题型一直线和双曲线的位置关系和交点 题型二双曲线的切线与切点弦 题型三弦长的计算 题型四中点弦与点差法 题型五焦半径和焦点弦 题型专练 题型一：直线和双曲线的位置关系和交点 1.过点0,1作与双曲线等一首=1收有一个公共点的直线，这样的直线有《） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】D 【分析】过点(0,1)作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲 线相切的直线，再统计总数 x_y 【解析】解：双曲线方程为36 点P(0,1在双曲线的两支之间（代入X=0得-名包 数解，说明y轴与双曲线无交点) 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为y=±2x 过点(0,1)作平行于这两条渐近线的直线，即y=2x+1和y=-V2x+1 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点(0,1)在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有4条， 故选：D 1/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知直线y=kX-1与双曲线x-y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为() A.-o,-1U1,+0∞ B.-∞，-V2U|V2,+o0 C.-o,-2U2,+o D.-00,-2V2U2V2,+0 【答案】B 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数k的取值范围. x2-y2=1 【解析】联立方程 y=kx-1 消去y后整理为1-k2)x2+2kx-2=0, 当1-k2=0时，k=1或k=-1 当k=1时，2x-2=0,x=1,y=0,直线y=x-1与双曲线只有1个交点1,0， 当k=-1时，-2x-2=0,x=-1,y=0,直线y=-x-1与双曲线只有1个交点-1,0： 所以k=±1不满足条件： 当1-k2≠0时，有△=4k2+8(1-k2)<0,可得k>V2或k<-V2 故选：B 日。已知直线y=kX+1与双曲线￥的右支有两个不同的交点，则k的取值花围是（) B.-1,1 lo. c. 3 D 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【解折1设直线y=kx+1与双商线手-兰-1的右支有两个不同的交点A风，川，BX, y=kx+1 联立X-y 消去y得3-4k2x2-8kx-16=0, 43 3-4k2≠0 △=64k2+643-4k2>0 所以 七+名2= 8k 34R>0 解得1<k<-3 , 16 X1X2= 3-4K2>0 2/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故k的取值范围是 2 故选：A 4.直线y= 屿双曲线Xy1的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.1或2 【答案】C 【分析】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比 较进行判断， 【解析】方法一： x2-y2=1 可得3x2-2x-5=0,△=(-22-4×3×-5>0， 所以直线y=2x+1与双曲线有2个交点. 方法二：双曲线x-y=1的渐近线为y=±x, 41 易知直线y=x+1过双曲线的左顶点，且斜率为2 所以直线y= 二x+1与双曲线有2个交点. 故选：C 5.与双曲线C: 二=1有两个交点的直线方程是（） 2 916 A.4X-y=0 B.3x-4y-15=0 C.4x-3y+20=0 D.4x-3y-20=0 【答案】B 【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可 【解折1双曲线C:誉-士=1的渐近线方程为：4x±3y=0, 916 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误： 3/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4x-y=0 对于A,联立x2y =1 可得：一号父-1，无解。放A错误 916 3x-4y-15=0 对于B,联立 x y2 可得：175x2+810x-4329=0, 916 =1 △=8102+4×175×4329>0，故B正确： 故选：B. 6.已知过点0,1的直线与双曲线x2-y2=1的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为() A.-0,-1U1,+∞ B.-1,1 c.-2,-1u1,2 D.1,2 【答案】B 【分析】设出直线方程y=kx+1,与双曲线方程联立，转化为方程1-k2x2-2kx-2=0有一正一负 根求解 【解析】设该直线为y=kx+1, y=kx+1 联立 x2-y2=1 化简整理得1-k2x2-2kx-2=0, 由直线与双曲线x-y2=1的左，右两支均相交， △=4k2+81-k2>0 1-k2≠0 所以 -2 解得-1<k<1, 1下0 所以该直线斜率的取值范围为-1,1。 故选：B 7,双曲线g-片=1与直线：y=二 2 -4 X+m(m∈R)的公共点的个数为 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 线义-兰=1的渐近线方程为y=±5×， 【解析】因为双曲线9一4 2 4/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以当m=0时，直线：y= 3X与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点： 时，直线与渐近线y·x平行，此时直线与双曲线有二 故答案为：0或1. 题型二：双曲线的切线与切点弦 1. 已知双曲线C:。-士=1，过点P3,3作直线1，使1与C有且只有-个公共点，则满足条件的直线共 916 有( A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点P位置，画出对应图形即可得 【解析】易知双曲线的焦点F-5,0,F,5,0。顶点A3,01,新近线为y=± 3 由P3,3可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条， 故选：D. 图1 图2 5/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点2,2，且与￥X=1具有相同的渐近线，则经过点3,0旧与成 个公共点的直线有()条. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线C的方程，再分两类讨论直线即可 【解行】由是可设双曲线c的方程为片-(=入（以≠0）， 将点(2,2)代入上式得：入=-3， 双曲线C的方程为-戈1，显然其右顶点的坐标为3,0，渐近线方程为y=士2 当直线斜率不存在时，此时直线方程为X=3,符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为y=±2x-3时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条。 故选：D. 3.已知双曲线C:。是=1(Q>0,b>0)的右焦点为R,周M的方程为X-5+y=26若直线1与圆 a b2 M切于点P4,1,与双曲线C交于A,B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为() A.X-=1 4 B.4y=1 c.- 2 0.2y=1 【答案】B 【分析】设直线的斜率为k则k·-01,求得k=1,由点P4,1在圆X-5+y=2b上，可 的=1，设点AxyB2,则。合=1，兰-1，两武相减化简可 a2b2 k=Y1-y2b'lx+x)_8b4b2 X-名ay,+y20。=1,从而可求出a的值，进面可得双曲线c的方程 【解析1设直线1的斜率为点，则k:二0=-1，所以k=1, 4-5 因为点P4,1在圆x-52+y2=2b2上， 6/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2b2=4-52+12=2,即b2=1, 两式相减， 得x-x+x_-y+ a 6、 则k=业_b2k+8b46 X1-X2 ay+yz 2a2 a =1,即a2=4, 所以双鱼线c的方程为号y=1 故选：B。 4直线过点P4,1与双曲线y=1有且只有一个交点，则这样的直线有 条 【答案】2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点P位置，画出对应图形即可得. 【解析】由双曲线方程知：右顶点为(2,0，渐近线为y=±专x,点P4,1在双曲线的外部， 如下图所示， 所以，过点P(4,1的直线与渐近线y=±2x平行与双曲线有且只有一个交点 故共有两条直线满足要求。 故答案为：2 5.已知双曲线C:。士=1，过点M(1,-1作直线与双曲线C有且只有一个交点，这样的直线可以作 916 条（填“条数”）· 【答案】4 【分析】明确点M(1,-1)与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解。 【解析】由思双曲线C:X-上 GG1的渐近线方程为少-±子火 7/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为点M(1,-1)在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点M(1,-1)作与双曲线C有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线 和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 6.过点P(3,4)作双曲线C:x2-y=1的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB的方程 【答案】3x-4y-1=0 【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2,求得直线PA的方程为y1y=x1X-1,同理PB的方程为 y2y=X2x-1,通过P在切线PA,PB上，可得到直线AB的方程， 【解析】设Ax1y,Bx2,y2,易得两条切线的斜率存在，设PA的斜率为k, 则PA:y-y1=k(x-x1,联立方程 y-yi=k(x-x1 x2-y2=1月 消去y可得：x2-kx+-kx1+y=1, 整理可得：1-k2x2-2ky1-kxx-y1-kxP-1=0, 因为PA与双曲线相切， 所以△=4ky1-kx+41-k2y1-kx2+41-k2=0, .4y1-kx2+41-k2=0,k2x-2kx1y1+y7+1-k=0, 即x-1k2-2kxy1+y+1=0, x7-y7=1, .x-1=y1,y+1=x, 代入可得：yk2-2x1y1k+x=0,即y1k-x1}=0, 所k的 8/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.PA:y-yx-x1).mYy=X1x-1. 同理，切线PB的方程为y2y=x2X-1, 4y1=3x1-1 :P13,4在切线PA,PB上，所以有4y,=3x-1 ∴.A,B满足直线方程4y=3x-1,而两点唯一确定一条直线， ∴.直线AB的方程为3x-4y-1=0. 故答案为：3x-4y-1=0 题型三：弦长的计算 1.过双曲线一兰=1的左焦点R,作顿斜角为石的直线与双曲线交于A,6两点，则AB-(） 3 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. V3 【解析】依题意，得双曲线的左焦点E的坐标为-2，O,直线AB的方程为y= x+2 3 y-3 x+2) 3 由 2、 得8x2-4x-13=0. 31 设Ax1,y1,Bx2y2 13 则x+名=克X=是所以 AB=1+K2.x1-x2 9/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1ix+-4 1+4-受 =3. 故选：B B F 2.过双曲线2x-y=2的右焦点作直线1交双曲线于A、B两点，若AB=4,则这样的直线有( )条 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率 存在时，因AB>2a,由对称性知有2条符合，综合考虑即得 【解防12-少-2可狗兰与 当直线1的别车不存在时，1AB=2B-2×吃=4，时有1条直线符合要求 a 当直线1的斜率存在时，若A、B两点都在右支上，因AB1>2b =4,不符合要求： 若A、B在左、右两支上时，因AB=4>2a=2,根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条. 故选：D. 直过双曲线C子的右焦点且与C咬子M,N,MW5,则有( A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 10126 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分桥】由度意可如双世线C子一。包，则可求出其右焦点为F3,0时论直跟和双曲线交于右支 时，和双曲线交于左右两支时，分别求出过右焦点的最短距离，即可判断. 【解析】由题意可知双曲线C:-上=1，可知a=2,b=5, 45 根据c2=a+b2,则可求出其右焦点为F13,0, 直线l和双曲线交于右支时，则弦长MN的最小值为通径长， b_2X5-5,即MN垂直于X轴时，此时存在一条直线使MN=5, 则通径长a 2 直线和双曲线交于左右两支时，此时弦长的最小值为2a=2×2=4, 因为5>4，所以可知存在两条直线使得MN=5,且这两条直线关于x轴对称， 综上可知总共有3条直线使得MN=5 故选：B 4.己知双曲线C的标准方程为X-兰=1，直线1过双曲线的右焦点F,且与C交于A,B两点，若 3 AB=6,则满足条件的直线的条数为 【答案】3 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在进行讨论，先判断当直线斜率不存在时符合题意，当斜率存在 时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算求出直线方程，进而判断直线条数即可. 【解析】由题，双曲线方程为X-3三1，右焦点坐标为F(2,0, 当直线1的斜车不存在时，X=2,AB=2b=6,满足器意， 如图，当直线的斜率存在时，设直线斜率为k, 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设l:y=k(x-2),联立 y=k(x-2) 3x2-y2=3月 消去y得k2-3x2-4k2x+4k2+3=0, k2-3≠0，△=16k4-4k2-34k2+3=36k2+1>0, g儿%与戏号 4k2 由弦长公式得AB=1+k×x1+x2P-4x1x2 =V1+k2×9 4k2}2 44k2+3_6k2+1=6. k2-3 k2-3 k2-3 则k2+1=k2-3,解得K=1,即k=±1，满足k2-3≠0， 故直线l的方程为X=2,X-y-2=0或x+y-2=0, 得到满足条件的直线的条数为3. 故答案为：3 5.已知直线1与双曲线X-号=1交于A,B两点，且线段AB的中点为C-1,-2.则AB)=() A.4 B.2 c.4V2 D.2V2 【答案】C 【分析】设A(X1,y1,BX2,y2,根据点差法求出直线AB的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程 联立解出A,B点坐标，根据两点间距离公式求出AB. 【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2,直线l的方程为y=kx+b. 由题意知C-1,-2,C为AB的中点， 12126 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为 两式相减， 得x-x+x=yy⅓y+y。 所以女业2x+2-2）1 X1-X2 y1+y2 -4 即直线l的斜率为1，所以直线的方程为y=x-1, 与双曲线X- -=1联立， 2 得 2 即x2+2x-3=0, y=x-1 所以|AB=(-3-12+(-4-0P=4V2. 6.过双曲线C:X =1的左顶点A1作倾斜角为60°的直线与C交于另一点M,则A1M= 4 【答案】16 【分析】求出直线AM的方程后，联立双曲线方程，计算可得点M坐标，再利用两点间距离公式计算 即可得解」 【解析】双曲线C:X2-士=1的左顶点A为-1,01，则lAN:y=3x+1 4 x-y-1 联立 4 消去y可得x2-6x-7=0, y=3x+1 则x=-1或x=7,由xA=-1,故xM=7,则yM=37+1=83, 故A1M=-1-7+0-83=16 故答案为：16. 已知双曲线C号1a>0,b>0的渐近线方程为y=±x,点P-2,3在双线 (1)求双曲线C的焦距； 13126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2π (2过双曲线的右焦点且倾斜角为3的直线与C交于A,B两点，求AB. 【答案】(1)2V2 (24 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程得到a与b的关系，再将点P的坐标代入双曲线方程，联立求解 出Q,b的值，进而求出C的值，得到焦距： (2)先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线C的方程，利用弦长公式求出AB即可. 【解析】(1)由题意得： b1, a a1 -223-1, b=1 6 又c2=a2+b2=2,可得c=2, ∴.2c=2V2,则双曲线C的焦距为2V2. (2).a2=1,b2=1,.双曲线C的方程为x2-y2=1, :c=2,∴.右焦点坐标为2,0， I=-3】 :设直线l的斜率为k,.k=an3 ∴.直线l的方程为：y=-V3x-V2 y=-3x-2 联立 x2-y2=1 整理得2x2-62x+7=0, 因△=-6V2-4×2×7=16>0 设AXy.K则X+6=392,x6子 ∴.AB=1+k2x1+x2-4x1x2=V1+3×18-14=4. 8.动点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和点M到定直线l:x=3的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)过点F(3,0)且倾斜角为60°的直线与曲线C相交于A,B两点，求AB 【答案】ax2-女=L 8 ag 14126 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据给定条件，列出方程化简即得 (2)求出直线AB的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【解析】(1)由点M(x,y)与定点F(3,0)的距离和点M到定直线：x=的距离的比是3， x-32+y=3 相x- 整理得x2-。=1, 所以曲线C的方程为x2- 81 (2)由过点F(3,0)且倾斜角为60°的直线，得直线AB的方程为y=3(x-3), y=3(x-3) 7 由 8x2-y2=8 消去y得5x2+18x-35=0,解得X1=-5,x2= 5 所以AB到=+(3：x-x4 题型四：中点弦与点差法 x_y 1.双曲线g4=1的一条弦AB的中点为M(1,1,则直线AB的斜率为() 9 A.4 【答案】B 【解析】设弦端点AX1,y1,Bx2,y2,中点M(1,1),故x1+X2=2,y1+y2=2, 15126 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 94 点A,B在双曲线上，满足方程 94 两式作差并整理得： x-x(x+x=（y-y2(y+y2 9 4 故k=业2=4x+x2=4×24 x-名9y+y9×2经检验k g符合题意. 2. 已知双曲线E:X-号=1，双曲线的某弦AB中点为Pm,1,且点P在第一象限，弦AB所在直线与 2 双曲线的一条渐近线垂直，则m的值为() A.±2 B.2 2 C.±4 V2 D.4 【答案】D 【分析】由点差法即可求解. 2 【解所】由双值线方起父-兰=1得，南近线方程为y=上2x,则直线AB的斜率款。±受。 y二1 2 设Ax1,y1,Bx2,y2,代入双曲线方程得 2=1 2 两武相减得，x-Xx,+x小-少-+=0。 所以x+x,-y=K+x刘小-ykB=0, 2X1-X2 2 因为弦AB中点为Pm,1,所以x1+x2=2m,y1+y2=2, 当k2】 兰时，2m-子要-0→m-2 22 4 当k6=、2 2m+号90=m-要 4 又因为点P在第一象限，所以m>0, 所以m=2 4 16126 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知直线：y3x+1与双曲线E:。1(Q>0,6>0)相交于A,B两点，且弦AB的中 则此双曲线E的渐近线方程为() A.y=±V2x C.y=±2x D.y=±V5x 【答案】C b21 【分析】利用点差法，求。年，即可求双曲线的渐近线方程 【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2, X=1 a2 b2 则 两式相减得 y+yally-y2+xlx0 3 b2 2=1 y+yy-y_X+x=0,即5-5-0即。 -8×36 b21 ax1-X2 6 a 4 b2 6X=±2x 所以双曲线的渐近线方程为y=± 故选：C 的动弦AB所在直线的斜率为2，则AB 【倍案1-6y=0小 【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx,y, 根据题意利用点差法，中点公式等化简即可 【解析】设AX1,y,Bx2,y2,Mx,y, 设直线AB为y=2x+m,代入苦y-1,化简得 11x2+12mx+3m2+3=0, 由△=144m2-4×11×(3m2+3)>0,得m2>11, 因为M为AB的中点，所以X=+=-6m 2 11 17126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以X2=36m2 121, 所以x236 1 2 -y=1 由题意得： y1 3 两式相减得 x+xxx(y+y.Mly-y)-0. 3 1+X2 X=- 2 由中点公式 y=y+y 整理得： 2 言y0之-0，k二业=2 X1-X2 X1-X2 所以等-2y=0,即x-6y=0, 所以AB中点M的轨迹方程为x-6y=0X2>36 11 故答案为：x-6y=0x2>36 11 5.已知A,B为双曲线C: -X=1上的两点，且A,B关于直线：y=-号 -1对称，则线段AB中点的 3 坐标为 3 【答案】 5’5 【分析】根据题意，设线段AB的中点为M,利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可 得到中点坐标， 【解折】由意意可知直线1：y=-子x-1的斜牵k= 3:可知直线AB的斜率kAB=3. 设AX1,y1,Bx2,y2,线段AB的中点为M,则M X1+X2 y1+y2 2,2 y1+y2 可得kowx,十xX十X X1-X2 2 18126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为4，B为双曲线C: -x2=1上的两点， 4 -x=1 2 4 所 两式相减整理得， y-y2=yy2.y+y2=4. y2-x1 x1-x2X1-X2X1+x2 4 即k1okow=3kgM=4,解得kow号所以直线OM:y 3七 因为线段AB的中点在直线I上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点， 4 y=-x X=- 3 34 联立 解得 可知线段AB中点的坐标为 4 5’-5 y= 3+ y=- 5 3 4 故答案为： 55 6. 已知双曲线C:X2-兰=1(b>0的离心率为3，A,B是c上的两点. 63 (1)求C的标准方程： 1 (2)若线段AB的中点为 7’7 求直线AB的方程. 【答案】(1)x2- =1 8 (2)y=x+1. 【分析】(1)根据离心率求出b,得到双曲线方程： (2)由点差法得到直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，检验后可得答案 【解析】1)因为a=1,e=C=3,所以c=3a=3,则b2=c2-a2=8, a 所以双曲线c的标准方程为X-。-1, 8 (2)设AX1,y1,BX2,y2,由题知X1≠X2, 8 则 两武相减得X--广立=0，即必业8X+为 8 X1-X2 y1+y2 19126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8x2 又x+x=号y+y9所以ka光老 7 =1. X1-x216 所以直线AB的方程为y一-号=X-习即y=x+1, 将y=X+1代入双曲线方程X2-士=1，整理，得7X2-2X-9=0, 8 则△=4+4×7×9>0，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线AB的方程为y=x+1. VA 已知双曲线C:若1Q>0,6>0的一条渐近线方程为)y=号x,焦距为46 (1)求C的方程； (2)过点A6,1作直线与双曲线C相交于M,N两点，且A为线段MN的中点，求这条直线的方程 【答案】(1164 (2)3x-2y-16=0 2c=45 b_1 【分析】(1)由题意可得 a 2 进而求解即可； c2=a2+b2 (2)分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 2c=4V5 b=1 【解析】(1)由题意知， a 2 c2=a2+b2 X-y=1 解得a2=16,b2=4,c2=20,故双曲线C的方程为164 (2)①当过点A的直线斜率不存在时，若点A为MN的中点， 则点A必在x轴上，这与A6,1矛盾： 20126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当过点A的直线斜率存在时，设斜率为kk≠0，则直线方程为y-1=kx-6, 设Mx1,y1,V(x2,y2,因为点A6,1为线段MN的中点， 所以X1+x2=12,y1+y2=2 因为M,N在双曲线64上，所以3 x-4y7=16 x3-4y2=16 9 则x1-x2x1+x2+4y2y1y2+y1=0, 所以k=y=,+x=12=3 x2-14y2+y4×22' 则所求直线方程为y一-1号引x-6,p3x-2y-16=0经检验此时直线与双自线有两个交点，满足竖 意 题型五：焦半径和焦点弦 1.双曲线8 二=1b>0的左、右焦点分别是F,F,过P向双曲线的一条渐近线作垂线垂足为M,若 △F1MF2的面积为16，则双曲线的离心率为() A.5 B.2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】由点斜式得到垂线方程，再结合渐近线方程联立解得M的坐标，表示出三角形面积，然后由离 心率的齐次式可得. b 【解析】取渐近线方程为y=二x,由题意可得F2C,0, 所以垂线方程为y=号x-d。 21126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+bz,y=.abe 联立两方程解得X=0c a2+b,即M的坐标， 因为△M份积为16，所号×2c×F=16,又c2-02+6 所以2V2b=16→b=4V2,c2=40, 所以离心率e =5 故选：A 2.设F,E,分别是双曲线y-兰=1的上、下焦点，双曲线上的点P满足3PF,=5PF,则 3 △PF1F2的面积等于() A.12V3 B.12 c.63 D.6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得PF2=3a=3,PF1=5a=5,进而得PF21F1F2,即可利用面积 公式求解 【解折】由Pr-Pr=2a可符号引P5=2a,故Pr=3a=3,Pr=5a=5, 又FF2=2c=4,故PF+F1F2了=PF,即PF2⊥|F1F2, 故△PF,F的面积为引PF,小E,F=}×3×4=6, 故选：D VA F2 3.已知F1(-2,0,F22,0),点P满足PF1-PF2=2,记点P的轨迹为B.直线l:y=x-2与轨迹 E交于A,B两点，则|AB=() A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 22126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解 【解析】由PF-PF2=2<F1F2知，点P的轨迹E是以F1,F2为焦点的双曲线， 设轨迹8的方后-言=1a>0.b>0,因为c=2,2a=2,所以-c-d-3 故轨迹E的方程为X-兰=1， 3 设Ax1,y1,Bx2,y2,由 2- 31, 可得2x2+4x-7=0, y=x-2, 则8则AB刷=2x+x2-4x1X=R2×4-4×-2=6 7 &E、平分别是双曲线；-1的左、有焦点，过E的直线分别交该双曲线的左、石两支于AB西 点，若AF2⊥BF2,AF2=BF2,则AF2=() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 【答案】C 【分析】由双曲线的定义可得，AF2-AF1=2a,BF-BF2=2a,结合已知条件可得 AB=4a,然后在直角三角形ABF2中利用勾股定理可求得答案 【解析】解：由双曲线的定义可得，AF2-AF1=2a,BF1-BF2=2a, 因为AF2=BF2,所以BF2-AF1=2a, 所以BF1-AF=4a,即AB=4a, 因为AF2⊥BF2, 所以AF2}+BF2}=AB2,所以2AF22=AB2=16a2, 时￥1.d-2 所以2AF22=AB2=16a2=32,得AF2=4, 故选：C 5.已知点M为双曲线C: 丈-少=1la>0,b>0l在第一象限的-一点，点P为双曲线C的右焦点，0为坐 a2b21 标原点，F到一条渐近线的距离为15，且4MO=4MF=7OF,则双曲线C的标准方程为 23126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】x- 61 【分析】由题意，易知xw=号 ，求出点M的坐标，利用两点间距离公式求出|OM,根据 16OM=49OF建立关于a,c的方程，解之可得c2=16a.结合点到直线的距离公式计算求出a即 可 【解析】如图，F(C,0),双曲线的渐近线方程为bx±ay=0, 因为△OMP为等展三角形，所以X-分代入方程。言=1， 得-兰-1，向w≥0解得wbC4证 4a7- 2a 所以M(S,be-4a )=￡+c2-4 2a 得loM-=+b4证-6 2a 4 4a3 又4oM=70F,所以16l0M=49oF, 即161bc401=49c2.整理得4c-65dc+160-0. 4a2 由c>a解得c2=16a2. bc 又F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为d= a+6b, 所以b=V15,得b2=c2-a2=15a2,解得a2=1, 所以双曲线的标准方程为X- 151 故答案为：入少 =1 15 x_y 6已知双线后方-1a>0,b>0的左、右焦点分别为上，F,离心率为2点A3,2足双他 2V3 24126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF2 线上一点连接AF,过点F,作BF∥AF,交双曲线于点，且BFAF,.则BF 【答案】5 【分析】将点A3,2代入双曲线方程，结合离心率，可求出Q,b,c,从而可求得直线AF的斜率， 由BF1∥AF2可得直线BF1的斜率，设直线BF1的倾斜角为0，则可求得Cos0= 3 ,然后利用余弦定 AF2 理结合双曲线的定义可求出BF、从而可得BF的值， F 【解析】 23 由点A3,V2是双曲线上一点和双曲线的离心率为3， 92=1 a b a=3 得 b2 =e2-1= 解得6=1 所以c2=4,c=2, 所以F22,0,AF2=V3-22+R2-0P=3】 所以直线AF2的斜率为V2, 因为BF1l∥AF2,所以直线BF1的斜率为2.p 设直线BF1的倾斜角为0，则tan0=2, in.sin=2cos0. 所以 cos 0 因为sin0+cos20=1,0为锐角， 25126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以cos0= 3 3 连接BF2,在△BF1F2中，由余弦定理得BF,=BF1P+4c2-2BF1小2c·cos0, 又ak:-a,+2a.所以sr小 AF2-5 所以BF 故答案为：5 7双曲线Cc日=1a>0,b>0的焦点为F、F,P在双曲线右支上，且lPF=3PF,y=±x 为C的渐近线方程，若△PF,F的面积为42，则双曲线C的焦距长为： 【答案】4/2 【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据PF1=3PF2即双曲线的定义可求 PF,PF2,在焦点三角形PF1F2中，利用余弦定理可求出cos∠F1PF2,从而可求sin∠F1PF2, 根据SaP听，PF,PF小sn∠F,PP即可求出a,从而可求2c 【解析】，C的渐近线方程是y=±X,∴.C为等轴双曲线，=b, ∴c2=a2+b2=2a2. 设PF1=3PF2=3m,则2a=3m-m=2m,即m=a,则PF1=3a,PF2=a, 设∠F1PF2=0,在△PF1F2中，由余弦定理得， PF+PF2P-2PF)PF2)cos0=F F2, 即9d+a-2-3aa:cos0=4c2,化简可得cos0= 2V2 5:号PF-PF,小sin0=3a0sn0-号a.2=2a 3 .V2a2=4V2,a2=4,c2=2a2=8,c=2V2,2c=4V2. 故答案为：4V2. 26126