专题13 双曲线中的最值与范围问题五种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册
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内容正文：
专题13 双曲线中的最值与范围问题五种考法
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、长度（距离）的最值与范围
题型二、三角形（四边形）周长、面积的最值与范围
题型三、一元参数范围
题型四、二元参数范围
题型五、与其他章节融合
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
双曲线中的最值与范围问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕长度（距离）的最值与范围、三角形（四边形）面积的最值与范围、一元参数范围、二元参数范围、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：
一是利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系；二是通过参数转化与隐含条件推导范围，所有参数结果最终均需合规检验.
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、长度（距离）的最值与范围
典例1 设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）设点，由可得轨迹方程；
（2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围.
【解析】（1）设点，，则，，
所以，化简得，
所以点M的轨迹方程为．
（2）当直线l斜率不存在时，可设，．
则，，
将其代入双曲线方程得，
又，解得，此时，
当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，
联立，.
由韦达定理：，.
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，当时，此时，
，，故，
因此，综上可得．
题型模版
1.特征：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等．
2.方法：解决最值与范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。
变式1-1点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果.
【解析】由双曲线的方程可得，焦点，
可得，
所以，
当，，三点共线时，最小，
因为直线和相互垂直，
且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，
所以，
当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6，
故选：A.
变式1-2设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得双曲线的半焦距和渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得，由半径相等可得与，关系，求出的取值范围得到答案.
【解析】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得，
半径，则，则圆的半径，
，则，
因为，所以，则，，
所以长得取值范围是.
故选：B.
变式1-3设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）设点，由可得轨迹方程；
（2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围.
【解析】（1）设点，，则，，
所以，化简得，
所以点M的轨迹方程为．
（2）当直线l斜率不存在时，可设，．
则，，
将其代入双曲线方程得，
又，解得，此时，
当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，
联立，.
由韦达定理：，.
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，当时，此时，
，，故，
因此，综上可得．
类型二、三角形（四边形）周长、面积的最值与范围
典例2 已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【解析】因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以，，所以，
所以双曲线方程为，
所以，
设直线为，设，
由，得，
所以，，
所以
，
因为直线与的左支交于两点，
所以，得，
所以
令，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
所以，得，
因为的周长为
所以最小值时，的周长取得最小值，即为，
故选：C
题型模版
1.特征：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值.
2.方法：构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。
求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。
变式2-1在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【解析】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，
如图：
又，则，且
故的周长为:，
当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．
故选：D
变式2-2双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解.
【解析】在双曲线中，，渐近线方程为，
由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，，
由消去得，设，，
则，令，联立消去得，
整理得，而，即，解得，
因此，所以的取值范围是.
故选：B
变式2-3已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，则，
由消去得，
则，解得，，
直线的方程为，即，
而
，因此直线的方程为，
所以直线经过定点.
或令，得
，
所以直线经过定点.
（ii）由（i）知，
，
而，令，
因此在上单调递增，则，
所以的取值范围是.
题型三、一元参数范围
典例3已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
【答案】(1)； (2)； (3)
【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案；
（2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案；
（3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案.
【解析】（1）由双曲线的左顶点，则，
由双曲线的渐近线，则，即，
所以双曲线.
（2）设，由，已知直线斜率存在，
则直线方程可设为，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，消去可得，
由，则，，
又因为，，所以
，代入，，
可得，
所以直线的斜率之和为.
（3）设，，，
联立，解得，同理可得，
联立，解得，同理可得，
所以，，
因为，所以为外接圆的切线，且，
所以，由，，
则化简可得，当时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
题型模版
1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值
2.方法：（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。
（2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数
变式3-1若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围．
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线有两个不同的交点，
又直线过原点，则
则的取值范围是.
故选：B．
变式3-2已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
【答案】(1)； (2)①；②
【解析】（1）的圆心为，半径，
因为点在线段的垂直平分线上，所以，
由题意，点在线段的延长线或反向延长线上，
所以，
所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，
则，，所以，
所以点的轨迹方程，即曲线的方程为；
（2）①设，，，
则，所以，
即，即，
因为关于直线对称，所以，所以，
即，因为，所以，所以；
②依题意直线的斜率存在，设其方程为，
由，整理得，
由，所以，
则，，
所以，则，
因为，所以，所以，
所以，
，
在中，，
又均在轴的右侧，所以，解得，
所以，
所以，所以，所以，
即的取值范围为.
变式3-3已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可；
（2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值.
【解析】（1）设双曲线的半焦距为()，
，
由题可知，
，即，
又，
故E的方程为.
（2）如图，
由题可知，且直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
将方程和联立，得，
，
，
，,
直线与的右支有交点，，
当时，取得最小值，且最小值为.
题型四、二元参数范围
典例4 已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解,
（2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解.
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
解得或，
斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：，
，
若，则可求得，
若，则代入得无实数解，
的方程为.
（2）设点，
由可得
故：，代入双曲线方程得：，
同理，，代入双曲线方程得：，
是一元二次方程的两个解，
，
由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：，
与双曲线联立得：，
由直线与双曲线交于右支得：，
解得：或，
又，
由于或，故或，
.
题型模版
1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值.
2.方法：代数法（函数与判别式）：
判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。
函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。
参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。
变式4-1如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【解析】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，.
故选：C.
变式4-2已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解.
【解析】因为为双曲线上的动点，
所以，则，，
由题意，直线是双曲线的切线，切点为，
而双曲线的渐近线方程为，则，
联立，解得，
所以点的坐标为，
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以线段的中点为，
则
（当且仅当时取等号），
由题意可得直线的斜率大于零或不存在，
故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式4-3已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
【答案】(1)； (2)
【解析】（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
题型五、与其他章节融合
典例5 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若交轴于点，，.
①求证：为定值；
②若，当时，求实数的取值范围.
【答案】(1)； (2)①；②
【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程；
（2）①由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证；
②由得到，结合①中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.
【解析】（1）由题意得，，
则当l与x轴垂直时，不妨设，
由，得，
将代入方程，得，解得，
所以双曲线E的方程为．
（2）①设，，，
由与，得，
即，，将代入E的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②．
由①②知，，是方程的两个不等实根．
由韦达定理知，所以为定值．
②又，即，
整理得：，
又，且，所以，则，
整理得，又，故，
而由①知，，故，
代入，
令 ，得，
由双勾函数在上单调递增，得，
所以m的取值范围为．
题型模版
1.特征：常常与向量数量积（如 ）、不等式、三角恒等变换等知识融合；
2.方法：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件
变式5-1已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
【答案】(1)2；； (2).
【解析】（1）设，由对称性不妨设，由，
有，可得，
又由，
有
又由，有，
有，
又由，有，
又由，有，可得，
故双曲线的离心率为2.
（2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标，
有，可得，
设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质，
可得，
又由，在中，由正弦定理，有，
有，
有
，
由，有，有，
可得的取值范围为．
变式5-2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
变式5-3已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为.
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可；
（2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解.
【解析】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【解析】因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以，，所以，
所以双曲线方程为，
所以，
设直线为，设，
由，得，
所以，，
所以
，
因为直线与的左支交于两点，
所以，得，
所以
令，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
所以，得，
因为的周长为
所以最小值时，的周长取得最小值，即为，
故选：C
2．双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解.
【解析】在双曲线中，，渐近线方程为，
由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，，
由消去得，设，，
则，令，联立消去得，
整理得，而，即，解得，
因此，所以的取值范围是.
故选：B
3．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
4．已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解.
【解析】因为，
所以，且，
则有，得，
将点代入双曲线中得，所以 ①．
因为，即同向，
所以，所以，
将①代入上式并整理得，
即，则，等号能取到，
所以．
故选：B．
5．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【解析】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，.
故选：C.
6．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为20
B．k的取值范围是
C．若，则
D．当时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】由双曲线的定义可判断A；取，可判断B；设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理及已知条件，求出的值，即可得的值，从而判断C；设，将表示成关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可判断D.
【解析】设双曲线的焦距为，
因为实半轴长为，虚半轴长为，
则，
所以，
所以.
对于A，若，
则的周长为，所以A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为.
当直线的斜率为时，直线与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意，所以B不正确.
对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程，
得.
.
①；②，
又，所以③
联立①②③解得，
所以，所以C正确；
对于D，易知，设，则；
所以；
当时，最小，最小值为，所以D正确.
7．（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】如图，当点位于第一象限时，点位于第二象限，设直线的斜率为，
则直线的斜率为，
因为渐近线方程为，所以，，
所以，因为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而时，；时，；时，，
所以的取值范围为；
当点位于第四象限，点位于第一象限，同理可得的取值范围为．
综上所述，的取值范围为.
故选：AC.
8．（多选）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的周长为20 B．k的取值范围是
C．若，则 D．当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】代入焦点三角形面积公式，即可判断A，根据双曲线的定义，以及圆的性质，转化，利用数形结合，即可判断B，根据几何图形，结合数量积的定义，和三角函数值，即可判断C，根据几何图形表示四边形 面积，结合圆的切线长公式，即可判断D.
【解析】圆的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点，
对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A正确；
对于B，由双曲线的定义可得，
当P，，三点共线时取等号，故B正确；
对于C，
，
当时取等号，但，所以取不到等号，故C错误；
对于D，，所以当最小时，四边形的面积最小，
由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，最小，所以，
所以四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
9．知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ．
【答案】2
【解析】求解双曲线的方程有两种方法：
法一：设的标准方程为，
依题意，，解得，，
因此的标准方程为；
法二：由渐近线与平行，可设渐近线方程为，
设双曲线的方程为，即，
由焦点为，得且，解得，
因此的标准方程为，
设，，则，因,
则，
当，即时，则当时，，则（舍去）；
当，即时，则当时，，不合题意.
.
故答案为：2
10．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．
【解析】根据题意可得，，
，，
所以，
由双曲线性质可得，设，，
则，
设，，
设，，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数 是上的增函数.
所以当时，取得最小值4，
即的最小值为4，此时点为右顶点.
故答案为：4.
11．已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解.
【解析】因为为双曲线上的动点，
所以，则，，
由题意，直线是双曲线的切线，切点为，
而双曲线的渐近线方程为，则，
联立，解得，
所以点的坐标为，
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以线段的中点为，
则
（当且仅当时取等号），
由题意可得直线的斜率大于零或不存在，
故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
12．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程；
（2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围.
【解析】（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
13.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.
【答案】(1)； (2)证明见解析； (3).
【解析】（1）设，，，
与联立可得，，
，，，
因为，所以，
由可得，故
因为在第一象限，所以，解得，
由得；
（2）由题意得，，故，
，
，
则，即；
（3）由（1）得，，故，
因为，所以，
当时，，，，故，，
，故，所以⊥，，
则，
由对称性可知，
则，
当时，，，
由得，
将其代入中得，
显然，当时，，当时，，
解得，，，
因为，
其中，
由（2）知，
又，故，
故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
由于，
故.
14．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率；
(3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围.
【答案】(1)； (2)； (3)
【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可；
（2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题意，求出的值，即可得出直线的斜率；
（3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围.
【解析】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为，
故，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，
设、，联立，整理得，
由题意可得，解得，
由韦达定理得：，，所以或，
设线段的中点为，
则，，
即点，，，
因为，所以，解得，
经验证均满足题意，所以直线的斜率为.
（3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数，
由，得，
所以，则，则，
由，得，
所以，则，
又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以.
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专题13 双曲线中的最值与范围问题五种考法
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、长度（距离）的最值与范围
题型二、三角形（四边形）周长、面积的最值与范围
题型三、一元参数范围
题型四、二元参数范围
题型五、与其他章节融合
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
双曲线中的最值与范围问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕长度（距离）的最值与范围、三角形（四边形）面积的最值与范围、一元参数范围、二元参数范围、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：
一是利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系；二是通过参数转化与隐含条件推导范围，所有参数结果最终均需合规检验.
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、长度（距离）的最值与范围
典例1 设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
题型模版
1.特征：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等．
2.方法：解决最值与范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。
变式1-1点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式1-2设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
类型二、三角形（四边形）周长、面积的最值与范围
典例2 已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
题型模版
1.特征：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值.
2.方法：构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。
求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、或基本不等式求出函数的最值。
变式2-1在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2-3已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
题型三、一元参数范围
典例3已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
题型模版
1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值
2.方法：（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。
（2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数
变式3-1若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
变式3-3已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
题型四、二元参数范围
典例4 已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
题型模版
1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值.
2.方法：代数法（函数与判别式）：
判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。
函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。
参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。
变式4-1如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）
A． B． C． D．
变式4-2已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
变式4-3已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
题型五、与其他章节融合
典例5 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若交轴于点，，.
①求证：为定值；
②若，当时，求实数的取值范围.
题型模版
1.特征：常常与向量数量积（如 ）、不等式、三角恒等变换等知识融合；
2.方法：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件
变式5-1已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
变式5-2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5-3已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
2．双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为20 B．k的取值范围是
C．若，则 D．当时，的最小值为
7．（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的面积为8
B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3
C．的最小值为
D．四边形面积的最小值为
9．已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ．
10．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
11．已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
12．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
13.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.
14．焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率；
(3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围.
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