专题12 抛物线的定义、方程与直线的位置关系（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12抛物线的定义、方程与直线的位置关系 题型归纳 题型一抛物线的定义与标准方程 题型二焦半径与定义应用 题型三定义转化求最值 题型四直线与抛物线的位置关系 题型五焦点弦与弦长计算 题型六中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 题型七抛物线中的三角形问题 题型专练 题型一：抛物线的定义与标准方程 1.c 2.D 3.D 4.B 5.A 6.A 1 ☐=8y,y20 x=0,y<0 题型二：焦半径与定义应用 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.1,2 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：定义转化求最值 1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.c 题型四：直线与抛物线的位置关系 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.B 题型五：焦点弦与弦长计算 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.2 题型六：中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 1.B 2.D 3.D 4.C 5.D 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 =-】 > 7. 题型七：抛物线中的三角形问题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.c 6.y2=4x 7.92 4 313 专题12 抛物线的定义、方程与直线的位置关系 题型一 抛物线的定义与标准方程 题型二 焦半径与定义应用 题型三 定义转化求最值 题型四 直线与抛物线的位置关系 题型五 焦点弦与弦长计算 题型六 中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 题型七 抛物线中的三角形问题 题型一：抛物线的定义与标准方程 1．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 2．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【解析】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 3．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 4．若抛物线经过点，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若抛物线经过点，则，. 5．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 6．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 7．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【解析】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 题型二：焦半径与定义应用 1．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 2．设抛物线：的焦点为，点在上，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【解析】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 3．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【解析】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【解析】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【解析】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 6．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【解析】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 7．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】∵ 抛物线的标准形式为， ∴ ，解得，故抛物线的准线方程为. ∵ 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 又，代入得，解得. ∵ 点位于第一象限，将代入抛物线方程，得，即，解得， ∴ 点的坐标为. 题型三：定义转化求最值 1．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【解析】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 2．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【解析】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 3．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解析】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【解析】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 6．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 7．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【解析】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 题型四：直线与抛物线的位置关系 1．已知集合，则的真子集的个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】根据图象确定交点个数，得出交集中元素个数，利用公式求出真子集个数. 【解析】因为的对称轴为，顶点为，且过点, 当时，上的点为， 作，的图象，如图， 由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点， 则有4个元素，从而的真子集的个数为. 故选：D 2．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【解析】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 3．设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，再根据抛物线的焦点坐标公式求解即可. 【解析】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 4．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【解析】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以． 　　 5．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【解析】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 6．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【解析】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 7．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解. 【解析】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 题型五：焦点弦与弦长计算 1．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（　　） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】设点，由题意可得. 所以. 3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 4．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【解析】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 5．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值. 【解析】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 6．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则直线倾斜角为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】法一：因为，故直线的斜率必定存在，且不为零，而焦点坐标为， 故设，. 由可得，则， 所以， 故，故斜率为，故直线倾斜角为或. 法2：设直线的倾斜角为，其中， 则焦点弦长，故，倾斜角为或. 7．若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为__________________. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解. 【解析】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 题型六：中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 1．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【解析】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 2．已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用设点法结合斜率可求中点纵坐标，从而得中点横坐标，故可根据焦半径公式求解. 【解析】解：设，，则，故， 所以，代入l得，则， 故选：D． 3．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【解析】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 4．已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程. 【解析】设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件. 故选：C 5．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程得到弦中点坐标，进而表示出直线的斜率，结合不等式性质求解最大值. 【解析】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为. 分两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得， 故，，中点，此时直线的斜率为. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立，消去整理得. 设，，由韦达定理得， ∴ . ∵ 为线段的中点， ∴ 的横坐标，纵坐标. ∴ 直线的斜率. 要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， ∴ . 综上，直线的斜率的最大值为. 6．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【解析】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 7．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 【答案】 【分析】设，可得，且到轴的距离为，再根据抛物线定义及三角形性质求解即可. 【解析】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 题型七：抛物线中的三角形问题 1．已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 2．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 3．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【解析】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 4．已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【解析】由已知得，焦点，则. 故选：C. 5．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【解析】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为，则， 设点的坐标为，由抛物线的定义可知， 已知，则，解得. 因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得. 在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高， 因此的面积. 故选：C. 6．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【解析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12抛物线的定义、方程与直线的位置关系 题型归纳 题型一抛物线的定义与标准方程 题型二焦半径与定义应用 题型三定义转化求最值 题型四直线与抛物线的位置关系 题型五焦点弦与弦长计算 题型六中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 题型七抛物线中的三角形问题 题型专练 题型一：抛物线的定义与标准方程 1.若点P到点F0,2的距离比它到直线y+3=0的距离小1，则P的轨迹方程为() A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=8y D.x2=-8y 2.若动圆M与圆C:x-2P+y=1外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程为() A.x2=4y B.x=8y C.y2=4x D.y=8x 3.坐标平面内到定点F-1,0的距离和到定直线1：x=1的距离相等的点的轨迹方程是(） A.y=2x B.y2=-2x C.y=4x D.y2=-4x 4.若抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M1,2,则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.抛物线y=2x的准线方程为() 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.若不管a为何值，直线a-1x-y+2a+1=0恒过点P,则过点P的抛物线的标准方程为() A广-x或-y 7.已知点P到点A0,2的距离比到直线l:y=0的距离大2，则点P的轨迹方程为 题型二：焦半径与定义应用 C:y=8x的焦点为P,Mx,y是C上一点，若MF=号X, A.2 B.4 C.6 D.8 2.设抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A1,a在C上，则AF=() A.2 B.3 C.4 D.5 3.设F为抛物线C:y=8x的焦点，点A在C上，点B6,0,若AF=BF,则AB=() A.2 B.2V2 c.4V2 D.4 一4.已知抛物线C:y=8x的焦点为P,点Am,n在抛物线C上，且AFm,则m=(） A.1 B.3 C.2 D.4 5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上，且PF=5,则P的横坐标为() A.2 B.4 C.5 D.6 6.抛物线C:y=8x的焦点为F,点P在抛物线上，且点P到焦点F的距离为6，则点P的横坐标为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知抛物线C:y=2X的焦点为R,点M在C上，且位于第一象限，MF刊= 8, 则点M的坐标为 题型三：定义转化求最值 1.已知Q(4,3),N(2,0),M为抛物线C:y2=8x上一动点，则MQ+|MNI的最小值是() A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知P是抛物线C:y=4X上的一个动点，Q是圆D:x-6+y=1上的一个动点，R1,0,则 PQ+PR长度的最小值为() A.6 B.5 c.2V3+2 D.11+3 3.己知P是抛物线C:y=4x上的一个动点，Q是圆D:(x-3P+y=1上的一个动点.则线段PQ长度的 最小值为() A.2 B.2V2-1 c.2V3-1 D.6-1 4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A2,-1,若P为抛物线C上的动点，则AP+PF的最小值 为() A.2 B.3 c.4 D.5 5.已知P为抛物线y=4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d,对于给出定点A(4,5),则lPA|+d的 最小值为() A.4 B.V34 c.V17-1 D.34-1 6.已知点M1,-2,点P在抛物线y=8x上运动，点Q在圆x-22+y=1上运动，则PM+PQ的最 小值为() A.2 B.3 c.4 D.5 7.已知抛物线C:y2=16x上任意一点P,定点A6,2,若点M是圆(x-42+y2=4上的动点，则 PA+PM的最小值为() 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.10 C.8 D.6 题型四：直线与抛物线的位置关系 1.己知集合A={(x,y)1y=(x-1)(x-5)},B={《x,y)|y2=4x,则AnB的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.15 2.直线y=x+1截抛物线y=2pxp≠0所得弦长为26，此抛物线方程为() A.y=-2x B.y=6x C.y2=-2x或y2=6x D.以上都不对 3.设O为坐标原点，直线x=4与抛物线C:y=2pxp>0交于D,E两点，若OD⊥OE,则C的焦点 坐标为( A子0 a.o c.1,0 D.2,0 4.设圆O:x+y2=4p,(p>0)与曲线y2=2px交于A,B,C,D四点，若四边形ABCD为正方 形，则BD=() A.8 B.4 c.4V2 D.2V2 5.已知抛物线y2=2x,过点-1,2作直线！，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线1 共有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 6.过点2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7.若曲线y=x-1与直线y=kx+2没有公共点，则实数k的取值范围为() w,225 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. -0,2-5 2+V U ,+o0 3 2-V5 2+V5 00,2 2,+0∞ -2-V52+V5 D 2 2 题型五：焦点弦与弦长计算 1. 已知抛物线C:x=4y的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，若AB中点的纵坐标为3，则AB= () A.4 B.8 C.10 D.11 2.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，若A,B两点的横坐标之和 为6，则AB=() A.4 B.6 C.8 D.10 3.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于M,N两点，若MF|=2,则MN= () A.4 B.5 C.6 D.7 1 1 4.直线过抛物线C:y=4x的焦点F,交抛物线C于A,B两点，则AF十BF的取值范国为（） A.1 B.0,1 C.1,+oo) D 5.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点，若线段AB的中点到y轴的距 离为3，则AB=() A.4 B.8 C.12 D.16 6.过抛物线y=4x焦点的直线交抛物线于A,B两点，若AB=8,则直线倾斜角为() T3π A.4或4 517 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号 π.5π c.6或6 11π D.12或12 7.若直线经过抛物线y=4x焦点，且与抛物线相交于A,B两点，且AB=6,则AB的中点横坐标为 题型六：中点弦的斜率、直线方程与中点的轨迹 1.直线y=x-1被抛物线y=4x截得的线段AB的中点坐标是(). A.2,1 B.3,2 c.(6,5 D.4,3 2.已知抛物线E:y2=4X上存在两点A,B关于直线1：y=-x+6对称，F为E的焦点，则 |AF+BF|=() A.4 B.6 C.8 D.10 3.已知能物线C:y-2x,过点M(号号的直线1与C相交于么B两点，且以%弦AB的中点，则直线1 的方程为() A.6x+6y-7=0 B.6x-6y-1=0 c.2x-6y-5=0 D.12x-6y-5=0 4.已知A,B是抛物线y=2x上的两点，且线段AB的中点为(1,1)，则直线AB的方程为() A.2X-y-1=0 B.x+y-1=0 C.x-y=0 D.X-2y+1=0 5.已知抛物线C:y=4x,O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点， 则直线OM的斜率的最大值为() A.2 B.2 2 C.1 0.2 6.已知抛物线y2=2x,过点Q2,1作一条直线交抛物线于A,B两点，则弦AB的中点的轨迹方程为 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知抛物线y=2X,直线l与抛物线交于A、B两点，满足AB=8,设线段AB的中点为M,则M到 y轴的最小距离为 题型七：抛物线中的三角形问题 1.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过抛物线C上点A,作其准线的垂线，垂足为B,若△ABF为正 三角形，则点A的横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.若抛物线y=4x上一点M与焦点F的距离MF=3,O为坐标原点，则△OMF的面积为() 2 A.2 B.2 C.2 D.2V2 3.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为3，则△FOP(O为坐标原 点)的面积为() A.1 B.2 C.2 D.4 4.已知焦点为F的抛物线y=4x上有一点P到直线x+3=0的距离为6，O为坐标原点，则S△oPr=( ) A.6 B.2 c.3 D.2 5.己知抛物线C:y=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点K,点P为抛物线C上一点，若PF=2KF, 则△PKF的面积为() 3 A.2 B.3 c.2V3 D.43 6.已知A,B为抛物线y=2pxp>0上的两点，若△OAB是边长为8V3的等边三角形，O为坐标原点， 则抛物线方程为 7.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足QF⊥PF. 若PF=3,则△PQF的面积为 717