专题11 抛物线及其性质 （专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题11 抛物线及其性质 参考答案 题型01 抛物线的定义与方程 【典例1】【答案】A 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 【变式1-1】【答案】A 【解析】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 【变式1-2】【答案】C 【解析】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【变式1-3】【答案】D 【解析】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 题型02 抛物线的轨迹方程 【典例2】【答案】D 【解析】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式2-1】【答案】D 【解析】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 【变式2-2】【答案】B 【解析】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式2-3】【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 题型03 与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3】【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 【变式3-1】【答案】B 【解析】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 【变式3-2】【答案】A 【解析】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 【变式3-3】【答案】C 【解析】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 题型04 抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4】【答案】C 【解析】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 【变式4-1】【答案】C 【解析】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 【变式4-2】【答案】D 【解析】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故，所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则，如下图： 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B不正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得，即 设则，故，故C不正确； 对于D,由A知 ，故 故,故D正确. 【变式4-3】【答案】B 【解析】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点， 所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则， 所以，即，解得或（舍）， 所以抛物线C：，， 因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，， 当时，，； 当时，，此时 ； 当时，不存在． 综上，面积的最大值为2． 故选：B． 题型05 焦半径问题 【典例5】【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 【变式5-1】【答案】C 【解析】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 【变式5-2】【答案】B 【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， ，根据抛物线的定义可知①， 又，，即②， 由①②可得， . 故选：B. 【变式5-3】【答案】B 【解析】设点、，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， ，可得， 所以，故. 故选：B. 题型06 抛物线的性质 【典例6】【答案】AC 【解析】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 【变式6-1】【答案】BD 【解析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 【变式6-2】【答案】ABD 【解析】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 【变式6-3】【答案】BD 【解析】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 抛物线及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：抛物线的定义与方程 题型二：抛物线的轨迹方程 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五：焦半径问题 题型六：抛物线的性质 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型01 抛物线的定义与方程 【典例1】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 【变式1-1】（2026·高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 【变式1-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【变式1-3】（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 题型02 抛物线的轨迹方程 【典例2】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式2-1】（2026·高二·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 【变式2-2】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式2-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 题型03 与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3】（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 【变式3-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 【变式3-2】（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 【变式3-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 题型04 抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4】（2026·高二·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 【变式4-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 【变式4-2】（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（   ） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【答案】D 【解析】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故，所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则，如下图： 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B不正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得，即 设则，故，故C不正确； 对于D,由A知 ，故 故,故D正确. 【变式4-3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点， 所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则， 所以，即，解得或（舍）， 所以抛物线C：，， 因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，， 当时，，； 当时，，此时 ； 当时，不存在． 综上，面积的最大值为2． 故选：B． 题型05 焦半径问题 【典例5】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 【变式5-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 【变式5-2】（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， ，根据抛物线的定义可知①， 又，，即②， 由①②可得， . 故选：B. 【变式5-3】（2026·高二·北京·期末）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点、，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， ，可得， 所以，故. 故选：B. 题型06 抛物线的性质 【典例6】（多选题）（2026·高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【解析】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 【变式6-1】（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【解析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【解析】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【解析】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 抛物线及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：抛物线的定义与方程 题型二：抛物线的轨迹方程 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五：焦半径问题 题型六：抛物线的性质 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型01 抛物线的定义与方程 【典例1】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-1】（2026·高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 抛物线的轨迹方程 【典例2】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 题型03 与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3】（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4】（2026·高二·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（   ） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【变式4-3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型05 焦半径问题 【典例5】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式5-2】（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（2026·高二·北京·期末）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 题型06 抛物线的性质 【典例6】（多选题）（2026·高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【变式6-1】（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $