第4章幂函数、指数函数与对数函数单元测试（拔尖卷）- 2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元测试（培优卷） 第三章 幂函数、指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知幂函数的图象过原点，则_________． 2．函数是指数函数，则a的值为_________ 3．函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是 ． 4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为______ 5.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 6.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 7.若函数y＝（）|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是_______ 8.已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 9.已知函数 ，则不等式的解集为______ 10.函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为______ 11. 已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 12. 已知定义在上且图像关于轴对称的函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，若对任意的，存在，使得 成立，则实数的取值范围为__________ 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 14.已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（ ）个． ① ② ③ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. “”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 16.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17.已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 18.已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19.设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 20. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元测试（培优卷） 第三章 幂函数、指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知幂函数的图象过原点，则_________． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得. 故答案为：. 2．函数是指数函数，则a的值为_________ 【答案】 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【解析】由指数函数的概念，得且，解得． 3．函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是 ． 【答案】（1，+∞） 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：由题意得， 解得x＞1．答案为：（1，+∞） 4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 当时，，得，不合题意， 当时，则，解得， 综上实数的取值范围为， 5.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 6.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数，可列式，计算得m的值，验证后即得答案. 【详解】由题意函数是幂函数， 故，即， 解得或， 当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当时，，其图象经过第二象限，不符合题意； 故， 故答案为：2 7.若函数y＝（）|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是_______ 【答案】﹣1≤m＜0 【分析】的图象由的图象向上（m＞0）或向下（m＞0）平移|m|个单位得到， 故可先画出的图象，画此图象时，可先去绝对值，转化为分段函数． 【解答】解：∵，画图象可知﹣1≤m＜0 【点评】本题考查指数函数图象的变换：平移和对称变换，注意含有绝对值的函数的图象的画法． 8.已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性以及复合函数的同增异减解决问题 【详解】令，函数在上单调递增， 而函数在上为严格减函数， 则，，且在上单调递减， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 9.已知函数 ，则不等式的解集为______ 【答案】 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 10.函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为______ 【答案】8 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图像恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 11. 已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【解析】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 12. 已知定义在上且图像关于轴对称的函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，若对任意的，存在，使得 成立，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【分析】先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数的取值范围. 【详解】变形为， 所以或，即或， 因为为偶函数，且值域为， 所以， 因为，所以， 在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图： 要想满足若对任意的，存在，使得成立， 则当时，，所以， 且时，的图象要位于的下方， 故只需，即，解得：， 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故答案为：C. 14.已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（ ）个． ① ② ③ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】对于①：根据指数函数单调性分析判断；对于②③：举反例说明即可. 【详解】对于①：因为在定义域内单调递增，且，可得，故①正确； 对于②③：例如，满足， 但，即，且均无意义，故②③错误； 所以一定成立的有1个. 故选：B. 15. “”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 16.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17.已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）可得，再根据奇偶性与单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 故，且，即， 解得或，所以的取值范围是. 18.已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. 【小问2详解】 不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 19.设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 20. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）结合对数函数性质化简不等式，再求其解； （2）令​，条件可转化为即​在​上有解，进一步转化为，根据基本不等式求的最小值可得结论； （3）结合对数函数性质可得，结合条件列不等式，解不等式确定满足条件的不存在. 【解析】（1）因为，， 所以不等式可化​， 又​是增函数， 所以​，解得​， 所以原不等式的解集为​； （2）由题意令​，因​，所以​， 所以不等式​在​上有解， 即​在​上有解， 分离参数得​， 所以在​上有解， 所以， 因为​，当且仅当​时取等号， 所以​， 所以实数​的取值范围为​； （3）首先要使函数在​上有意义，需​，所以​， 易知函数​在​上的最大值必在端点处产生， 故只需​，或​， 由①得​或，由②得​，又，故无解，舍去； 由④得​或​，由③得​，又，故无解，舍去； 综上可知，不存在使结论成立． 21. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $