第四章 对数运算与对数函数（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 2．已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 4．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对数运算性质及基本不等式可得，然后构造函数：，利用函数单调性得，结合已知及指数函数的单调性得，即可判断大小． 【详解】 ， 构造函数：， 易知函数是上的减函数，且， 由，可知：， 又，所以，则， 又因为，所以． 5．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 6．方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数和指数的运算性质，将所求方程化为，再利用的单调性，可得是唯一解，再解此方程即可得到原方程的解． 【详解】注意到， 故，即， 等式两边除以，得， 又在上单调递减，且， 所以只能，解得． 7．设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先换元令，分和求解外层不等式，再分段对和解内层不等式，取并集即可得到解集. 【详解】令，则不等式转化为. 当时，则，所以； 当时，则，解得， 综上：或，即或. 对于： 当时，则有， 所以； 当时，则有，即，无解； 对于： 当时，则有，所以； 当时，则有，即，所以， 综上，不等式的解集是. 8．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据和的奇偶性可得是以4为周期的函数，进而得解. 【详解】由为偶函数，可得，则. 因为为R上的奇函数，所以，即， 所以， 所以函数是以4为周期的周期函数，又， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】对A：利用对数函数定义域计算即可得；对B：借助奇函数定义判断即可得；对C：去掉绝对值后，利用对数函数单调性判断即可得；对D：令，可得可以取遍所有正实数，再利用对数函数值域判断即可得. 【详解】对A：由题可知，解得，故的定义域为，故A错误； 对B：的定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故B正确． 对C：当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确． 对D：，令， 因为可以取遍所有正实数，所以的值域为，故D正确． 10．已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 【答案】BD 【详解】A选项，令，则，其中， 因为外层函数为，而在定义域上单调递增， 且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值， 因此也没有最大值，A选项错误； B选项，的定义域为R，， 则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数， 则的值域为，B选项正确； C选项，对称轴为：，且开口向上， 所以在上单调递减， 若，则在该区间上的最小值为， 则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确； D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上， 的最小值为：且， 所以最小值为：，D选项正确. 11．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 13．不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 14．已知函数，若，则______. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用函数的对称性可求得函数值． 【详解】根据题意，函数， 则， 则， 若，则. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，4. 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】（1）解法一： 原式． 解法二：原式．............6分 （2）由题意，， 所以． ，............10分 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4．............13分 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得，............3分 所以，解得，即函数的定义域为.............5分 （2）解：由，可得， 即，所以，............7分 令，则， 方程即为，整理得，其中，............9分 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解，............11分 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为.............15分 17．（15分）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2) 函数在区间上单调递减，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以..............2分 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为.............4分 （2）由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， ..............6分 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. .............10分 （3）由（1）知，，， 所以..............12分 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是..............15分 18．（17分）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明见详解 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. .............4分 （2）设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 (3). .............8分 （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，   .............12分 ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴..............13分 ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴..............14分 综上所述，的取值范围为.............15分 19．(17分）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为，.............2分 又， 所以函数为奇函数. .............4分 （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减，.............6分 所以， 解得，即..............8分 （3）， ，.............12分 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. .............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C D B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）解法一： 原式． 解法二：原式．............6分 （2）由题意，， 所以． ，............10分 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4．............13分 16.解：（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得，............3分 所以，解得，即函数的定义域为.............5分 （2）解：由，可得， 即，所以，............7分 令，则， 方程即为，整理得，其中，............9分 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解，............11分 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为.............15分 17.解：（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以..............2分 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为.............4分 （2）由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， ..............6分 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. .............10分 （3）由（1）知，，， 所以..............12分 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是..............15分 18.解：（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. .............4分 （2）设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 (3). .............8分 （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，   .............12分 ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴..............13分 ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴..............14分 综上所述，的取值范围为.............15分 19.解：（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为，.............2分 又， 所以函数为奇函数. .............4分 （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减，.............6分 所以， 解得，即..............8分 （3）， ，.............12分 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. .............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 7．设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 10．已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 11．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 13．不等式的解集（用区间表示）________________． 14．已知函数，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 17．（15分）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．(17分）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 7．设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 10．已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 11．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 13．不等式的解集（用区间表示）________________． 14．已知函数，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 17．（15分）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．(17分）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $