专题03 函数的零点10重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题03 函数的零点10重难点题型 题型一 求函数零点 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 题型三 求函数的零点或方程根的个数 题型四 求零点的和 题型五 零点存在性定理的应用 题型六 判断零点所在区间 题型七 二分法求方程近似解 题型八 已知零点个数，求参数范围 题型九 根据零点的分布求参数的范围 题型十 零点与函数性质综合 题型一：求函数零点 1．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点为______． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 4．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的零点为__________. 题型二：根据零点求函数解析式中的参数 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 7．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 题型三：求函数的零点或方程根的个数 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 9．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的函数满足：函数的零点集合为有限集，且对任意的，都有．则函数的零点个数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）设表示不大于的最大整数，方程的实数解有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．至少4个 12．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 13．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 14．（25-26高一上·上海松江·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，，关于的方程在区间上解的个数为______． 题型四：求零点的和 15．已知函数，则该函数的所有零点的和是__________． 16．设，则函数的所有零点之和为__________． 17．如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则______（用表示） 18．（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数（例如，）．设，其中．则在区间上，函数的所有零点之和为________． 题型五：零点存在性定理的应用 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知点在曲线P：上，若定点和点的连线线段中点在曲线上，则称N为这两个曲线的一个广义中点，请问广义中点有（    ）个. A．无数 B．0 C．1 D．2 20．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 21．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 22．（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数（为正整数，b，c为实数）. (1)当，求函数在区间上的零点； (2)设，求证：函数在区间上有且只有一个零点； (3)设，若对任意，都有，求的取值范围. 23．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若函数具有性质，求的值； (2)证明：存在常数，使得函数具有性质； (3)若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 24．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． (1)判断函数是否满足“关系”？说明理由； (2)证明：函数满足“关系”； (3)设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 题型六：判断零点所在区间 25．（24-25高一上·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 26．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点所在区间为，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 31．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 32．（25-26高一上·上海·阶段检测）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是_____. 题型七：二分法求方程近似解 33．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 34．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 35．（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 36．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 37．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为__________． 38．若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 39．设函数．则在区间内零点的近似解为__________．（精确到0.1） 题型八：已知零点个数，求参数范围 40．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 41．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 42．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 43．（24-25高一·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是_____. 44．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 题型九：根据零点的分布求参数的范围 45．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）如果函数）在区间上存在满足则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数m的取值范围是_______． 46．已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______. 47．（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________. 48．已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 49．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 50．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知函数． (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若，函数在区间上没有最值，求的取值范围． 51．（24-25高一上·上海·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 52．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设（，，） (1)若，设，，用列举法表示； (2)若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； (3)若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 53．（25-26高一上·上海·期中）设． (1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，设有两个实根，，若，求的取值范围； (3)当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围． 54．（24-25高一上·上海浦东新·期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. (1)若，问是否为“函数”，请说明理由； (2)若，问是否为“函数”，请说明理由: (3)若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 题型十：零点与函数性质综合 55．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数. (1)若是定义在R上的偶函数，求实数a的值； (2)若，当m变化时，讨论方程解的个数. 56．（25-26高一上·上海·期末）已知定义域为上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，解不等式； (3)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 57．（25-26高一上·上海·期末）已知. (1)，函数为偶函数，求实数的值. (2)当时，.函数有零点，求实数的取值范围. (3)是否存在正实数、，当，函数的值域为？若存在，求出、的值：若不存在，则说明理由. 58．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 59．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的零点10重难点题型 题型一 求函数零点 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 题型三 求函数的零点或方程根的个数 题型四 求零点的和 题型五 零点存在性定理的应用 题型六 判断零点所在区间 题型七 二分法求方程近似解 题型八 已知零点个数，求参数范围 题型九 根据零点的分布求参数的范围 题型十 零点与函数性质综合 题型一：求函数零点 1．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【答案】 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点为______． 【答案】 【详解】由，得 ． 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】2 【详解】因为，所以该函数的定义域为. 令，即， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：2. 4．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的零点为__________. 【答案】 【难度】0.85 【详解】令，解得， 则函数的零点为. 故答案为：. 题型二：根据零点求函数解析式中的参数 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，要使， 则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上，只需，即，解得， 故的最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下，对于且，则，    由图知，，则， 所以，且， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 题型三：求函数的零点或方程根的个数 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若， 所以,,,,,, 所以函数在区间上至少有7个零点. 故选：C 9．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】， 令，可得或. 故选：C 10．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的函数满足：函数的零点集合为有限集，且对任意的，都有．则函数的零点个数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设函数的零点集合为； 因为对任意的，都有； 所以对任意的，，即， ； 若，则，即，所以； 因此每个零点必满足是某个零点. 因为零点集合为有限集， 若存在零点 a 满足或 ，则集合为无限集，与题设矛盾。 因此，所有零点的绝对值必须为0或1， 故零点只能从中选取，其个数最多为3. 故选：C. 11．（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）设表示不大于的最大整数，方程的实数解有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．至少4个 【答案】C 【详解】因，则，由不等式性质并整理可得： ，结合，可得. 若，则，此时， ，不在范围内； 若，则，此时， ，在范围内； 若，则，此时， ，在范围内； 若，则，，在范围内. 综上可得方程有3个实数解. 12．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【详解】因为时，，作出函数，的草图，如图1：    因为函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，可作出函数的草图，如图2：    保持轴上方的图象不变，将轴下方的图象对称到轴上方，得到函数的草图，如图3：    作直线，与函数的图象有4个交点，所以函数有4个零点. 故选：C 13．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 【答案】4 【详解】，即， 当时，为严格减函数， 故方程没有非正根（否则使得根的乘积非正，不符合题意）， 又，则时，， 故，而为正整数， 从而的取值为， 则的个数为． 14．（25-26高一上·上海松江·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，，关于的方程在区间上解的个数为______． 【答案】2015 【详解】当时，；当时，；当时，；； 关于的方程在区间解的个数即为与交点个数， 作出和的部分图象，    其中在上单调递减，当时，，此时无交点； 当时，，有一个交点； 当时，，有一个交点； 依次类推，当时，，有一个交点； 当时，，，此时不相交， 所以方程在区间上解的个数为个， 故答案为：2015 题型四：求零点的和 15．已知函数，则该函数的所有零点的和是__________． 【答案】 【详解】令，解得， 函数的所有零点的和为. 故答案为：. 16．设，则函数的所有零点之和为__________． 【答案】 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 17．如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则______（用表示） 【答案】 【详解】因为关于的三次方程的3个实根为， 所以， 而， 所以， 故答案为： 18．（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数（例如，）．设，其中．则在区间上，函数的所有零点之和为________． 【答案】 【详解】当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得（舍）. 当时，，，； 令可得（舍）. 综上可得，函数的所有零点之和为. 故答案为： 题型五：零点存在性定理的应用 19．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知点在曲线P：上，若定点和点的连线线段中点在曲线上，则称N为这两个曲线的一个广义中点，请问广义中点有（    ）个. A．无数 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】设点N的坐标为，则线段的中点为， 由题意可知，点在曲线：上， 所以，即. 构造函数，其中，函数在上为增函数， 且，. 由零点存在性判定定理知函数存在唯一零点. 故选：C 20．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 【答案】C 【详解】对于A，易知任意常值函数都是“相关函数”， 而对任意都是“相关函数”，故A错误； 对于B，若是“相关函数”，则恒成立， 即恒成立， 此时有，此时无解，故B错误； 对于C，由“2026相关函数”可得， 若，则函数至少有两个零点， 若，则必有， 则函数在上至少有一个零点，故C正确， 对于D，由“相关函数”可得， 若，则必有，零点个数不确定，故D错误； 故选：C 21．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点， 根据零点存在定理，可知需使，即， 化简得，解得， 当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件； 当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 22．（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数（为正整数，b，c为实数）. (1)当，求函数在区间上的零点； (2)设，求证：函数在区间上有且只有一个零点； (3)设，若对任意，都有，求的取值范围. 【详解】（1），又，所以. (2)在上是严格增函数， 且，所以函数在区间上有且只有一个零点. （3），由题意，当时，有， 当，即时，，不合题意； 当，即时，恒成立； 当，即时，恒成立. 综上，. 23．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若函数具有性质，求的值； (2)证明：存在常数，使得函数具有性质； (3)若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 【详解】（1）因具有性质，即对任意，. 令，得； 令，得. 将代入，得，故. (2)证明：需找到，使得对任意，. 左边化简为，故等式等价于（消去）， 即需证明方程有正实数解. 构造函数（）： 当时，； 当时，. 由零点存在定理，在内存在零点，满足，即. 因此存在，使得，即具有性质. (3)证明：设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 由题意，用替换， 得，即. 应用该式次可得， 令，得，所以， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点， 即对任意实数m，关于x的方程都有解． 所以关于的方程有解. 24．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． (1)判断函数是否满足“关系”？说明理由； (2)证明：函数满足“关系”； (3)设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 【详解】(1)不满足，理由如下： 假设满足“关系”，则存在，使得， 即，而此方程的判别式，方程无实数解， 所以函数不满足“关系”. (2)令， 则， 又因为，，故， 所以在上有实数解， 即存在实数，使得成立，所以满足“关系”. （3）因为函数满足“关系”， 所以存在实数，使得，即， 所以， 令，则，所以， 因为，则，则，故， 即的取值范围是. 题型六：判断零点所在区间 25．（24-25高一上·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】因为函数为增函数且在区间内连续，又， 所以方程的近似解在区间. 故选：B. 26．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点所在区间为，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由于的定义域为R，且都为增函数， 故也为增函数， 且，即 因此零点在区间上，即． 故选：A 27．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 28．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】设， 由，则， 由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和， 故方程的两个实根分别属于区间和， 故选：C 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 30．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又， 即，所以存在唯一零点，所以. 故答案为： 31．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 【答案】 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 32．（25-26高一上·上海·阶段检测）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】根据均值点定义，存在，使得. ，，故. 问题转化为：方程在上有解. 令（因，故），则、， 方程化为. 函数的对称轴为，在上单调递增, ，， 故的值域为. 故答案为： 题型七：二分法求方程近似解 33．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 34．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 35．（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 【答案】 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 36．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 【答案】 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 37．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为__________． 【答案】2.75 【详解】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75 38．若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【答案】 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 39．设函数．则在区间内零点的近似解为__________．（精确到0.1） 【答案】（不唯一） 【详解】由，而，则， ，则， ，则， ，则， 由，所以区间内零点的近似解为. 故答案为： 题型八：已知零点个数，求参数范围 40．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D 41．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由函数， 当时，方程存在根，则解得，解得； 当时，方程存在根，则解得，解得； 综上所述，. 故答案为：. 42．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，方程化为，得，满足； 当时，需，得. 若，则两根之积（两根异号），必有一负根； 若，则两根之和、两根之积，两根均为负. 综上，. 43．（24-25高一·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由，可得是唯一的零点， 所以在上无零点，又在定义域上单调递增， 所以，故只需. 故答案为：. 44．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又因为，在上单调递增， 可知在上单调递增，当时，， 且，作出函数的图象，如图所示： 若关于x的方程有四个实数解，且， 可得，，， 又因为，则， 因为，则，可得， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且，，当x趋近于时，趋近于， 即，所以的取值范围为. 故答案为：. 题型九：根据零点的分布求参数的范围 45．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）如果函数）在区间上存在满足则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【详解】根据题意由，可得； 又因为函数在上存在均值点，即方程在上有解， 设，则有在上有解；即， 因此函数与图象有交点， 而二次函数对称轴为，其在上的值域为 所以可得实数的取值范围是． 故答案为：． 46．已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______. 【答案】 【详解】如图所示， 要使，则. 因为,,, 所以,即，于是有， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 47．（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根. 根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增. 当时，在上单调递增，当时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得； 当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点； 当时，在和上单调递增， 当时，，，，故函数在上无零点； 当时，时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 48．已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 【答案】 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 49．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 50．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知函数． (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若，函数在区间上没有最值，求的取值范围． 【详解】（1）由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. （2）当时，由二次函数图像易知 在上单调递减，在上单调递增， 在区间上没有最值， ①或②， 由①解得无解，由②解得， 综上：的取值范围是. 51．（24-25高一上·上海·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【详解】（1）是区间上的“平均值函数”，理由略； （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 52．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设（，，） (1)若，设，，用列举法表示； (2)若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； (3)若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 【详解】（1）若，则. 令，即，解得或. 所以. （2）若，，，则. 令，则. 若方程有两个大于的根，则，对称轴，且. 即，整理得，解得. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：若为奇数，则为奇数. 若为奇数，则为奇数，即同奇或同偶. 假设存在整数使得方程，即，则， 故为奇数. 若为偶数，则为偶数，所以，均为偶数，故为偶数，矛盾. 若为奇数，则为奇数， 当同奇时，，均为奇数，故为偶数，矛盾. 当同偶时，，均为偶数，故为偶数，矛盾. 综上，不存在整数使得. 故方程无整数解． 53．（25-26高一上·上海·期中）设． (1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，设有两个实根，，若，求的取值范围； (3)当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围． 【详解】（1）当时，函数为：， 不等式恒成立，即：恒成立， 当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得，解得； 综上，的取值范围为. （2）当时，函数为：， 方程为：，即； 设方程的两个根为，且， 解得：或，由根与系数的关系得， 由，所以，， 所以，，解得 由，可得， 所以， 所以，两边平方得， 整理得，所以， 所以或， 综上所述：的取值范围. （3）当时，， 是一个开口向上的抛物线，其最小值为：， 所以 的取值范围为 . 由存在使，则存在 使得 ， 令，则，因为也是开口向上的抛物线， 若，即时，， 若，即，解得（舍去）或， 即时，恒成立， 当时，存在， 当，即时，最小值为， 若为真命题且为假命题，则存在使，所以． 所以的取值范围为． 54．（24-25高一上·上海浦东新·期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. (1)若，问是否为“函数”，请说明理由； (2)若，问是否为“函数”，请说明理由: (3)若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 【详解】(1)不是“函数”，理由：若函数为“函数”， 则，得，明显不成立， 所以不为“函数”. (2)是“函数”，理由：若存在满足条件，即， 则，整理可得， 设，则函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 故函数为“函数”. （3）由条件得， 令，可得，整理可得， 所以关于的方程有正根， 则，可得，解得或， 设方程的两根分别为、，则， 且，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 题型十：零点与函数性质综合 55．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数. (1)若是定义在R上的偶函数，求实数a的值； (2)若，当m变化时，讨论方程解的个数. 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，所以. 由 ，得 . 所以，即. 因为 ，所以. 即恒成立，所以. （2）当时，. 由方程，得. 令，则方程解的个数即为的图象与直线的交点的个数. 因为，定义域为. 则，所以是偶函数. 令，则，当且仅当，即时，取得最小值，此时取得最小值. 设， 则. 因为，所以，所以，即. 由，得，即. 所以，即，所以在上单调递增； 所以在上单调递增；所以在上单调递减. 所以，当时，的图象与直线无交点； 当时， 的图象与直线有一个交点； 当时，的图象与直线有两个交点. 因此，当时，方程无解；当时，方程有一个解；当时，方程有两个解. 56．（25-26高一上·上海·期末）已知定义域为上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，解不等式； (3)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【详解】(1)已知函数的定义域为，关于原点对称， 所以， ， 当时，， 此时函数是奇函数． 当时，且， 此时函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，， 即，移项可得， ， ， ， 二次函数， 其判别式， 且二次项系数，所以恒成立， 则等价于， 解得，因此，不等式的解集为． （3）已知方程，将代入可得： ，移项可得： ，合并同类项得： ， 因为，所以， 方程两边同时除以x得：， 即，令， 其对称轴为， 因为方程在区间上有两个不相等的实数根， 所以函数在区间上与x轴有两个不同的交点， 即且满足， 所以． 因此，实数a的取值范围是． 57．（25-26高一上·上海·期末）已知. (1)，函数为偶函数，求实数的值. (2)当时，.函数有零点，求实数的取值范围. (3)是否存在正实数、，当，函数的值域为？若存在，求出、的值：若不存在，则说明理由. 【详解】（1）由题可知，，若函数为偶函数， 则有，即， 整理得， 而左式， 因此有，得. （2）由题可知，当时，. 函数在上有零点，等价于方程在时有解. 设， 由在单调递增，易知在单调递减，且， 又因为在上单调递增， 因此由复合函数的单调性，可知在上单调递减. 当时，，，， 故， 因此在上的值域为， 故. （3）易知在上单调递增，且， 又因为在上单调递增， 因此由复合函数的单调性，可知在上单调递增. 因此，若存在正实数、，当，函数的值域为， 则需且，故问题可转化为判断方程在上是否有两个不同的解. 设， 当时，，，，则， 即当时，， 即当时，方程在上无解， 因此不存在正实数、，当，函数的值域为. 58．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【详解】(1)不是，证明如下： 由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 59．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【详解】(1)证明： 由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； （3）令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $