专题04 函数的应用与反函数（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题04函数的应用与反函数 题型一：求函数的零点 题型二：求函数零点个数 题型三：判断函数零点所在区间 题型四：根据函数零点（零点个数）求参数 题型五：求零点和 题型六：二分法的定义与应用 题型七：反函数 题型一：求函数的零点 1．函数的零点是 ． 2．函数的零点为 . 3．已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 4．已知函数，则函数的零点是 . 5．函数的零点是 . 题型二：求函数零点个数 6．已知函数，，则函数的零点个数为 . 7．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 8．设函数，，则方程有 个不相等的实数根． 9．已知函数，则函数零点的个数是 . 10．已知函数，，则函数的零点个数为 个． 题型三：判断函数零点所在区间 11．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 13．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 14．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 15．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型四：根据函数零点（零点个数）求参数 16．已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 17．已知函数若各不相同，且，则的取值范围为 ． 18．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ． 19．若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 20．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 题型五：求零点和 21．已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 22．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 23．已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则 . 24．已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 25．已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是 . 题型六：二分法的定义与应用 26．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 27．下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 28．已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 29．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 30．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 题型七：反函数 31．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 32．已知，分别是方程，的根，则的值为（    ） A． B． C．10 D．5   33．若，分别是方程，的根，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 34．函数的反函数为（    ） A． B． C． D． 35．函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数的应用与反函数 题型一：求函数的零点 题型二：求函数零点个数 题型三：判断函数零点所在区间 题型四：根据函数零点（零点个数）求参数 题型五：求零点和 题型六：二分法的定义与应用 题型七：反函数 题型一：求函数的零点 1．函数的零点是 ． 【答案】 【分析】直接解方程求零点即可. 【详解】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 故答案为：. 2．函数的零点为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，即， 所以函数的零点为. 故答案为： 3．已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 【答案】 【分析】结合函数的图象即可求解； 【详解】根据图象可得函数的零点是， 故答案为：. 4．已知函数，则函数的零点是 . 【答案】1和4 【分析】由方程，分段求解即可； 【详解】令，则，或，解得，或， 则函数的零点是和. 故答案为：1和4 5．函数的零点是 . 【答案】6 【分析】令，解方程求得答案. 【详解】令，即， 则，， 解得或（舍去）， 所以函数的零点为6. 故答案为：6. 题型二：求函数零点个数 6．已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 7．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 8．设函数，，则方程有 个不相等的实数根． 【答案】8 【分析】先根据指数函数的图象和平移规律得到时的图象，再根据时，将时，的图象逐次向右平移1个单位，得到时的图象，在同一坐标系中再作出的图象，注意时的关键点，考查两函数的图象的交点个数，即为方程的实数根的个数． 【详解】时时的图象是由时的的图象向右平移1个单位得到， 当时，，将其中之间的一段向右平移1个单位得到上的图象， 由的的图象逐次向右平移1个单位，得到在时的整个图象如图所示， 由图知，当时， 而在上单调递增，且 当时，． 由的图象可得两者共有8个公共点， 即方程有8个不相等的实数根． 故答案为：8． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点个数问题，转化为两函数的图象的交点个数是解决问题的关键思路，根据函数解析式和时的意义，利用图象的平移变换得到在时的图象是解决问题的难点． 9．已知函数，则函数零点的个数是 . 【答案】 【分析】令，得到或，进而作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】令，即，解得或， 作出函数的图象如图， 由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同， 所以的实数解有个，即零点的个数是个. 故答案为：. 10．已知函数，，则函数的零点个数为 个． 【答案】 【分析】令，得，再令，根据的解析式再分类讨论，即可求出，即或或，再画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】令，得， 令，得或， 解得或或， 所以或或， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知有个解，有个解，有个解， 所以共有个零点. 故答案为：. 题型三：判断函数零点所在区间 11．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点判断定理判断即可. 【详解】由函数为减函数，也为减函数， 函数为连续递减函数， ， ，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为， 故选：C. 12．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项区间端点处的函数值，判断其乘积是否小于，再根据零点存在性定理和单调性判定. 【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误. 在，，连续，且单调递减，下面证明： 设，则. 对其进行化简： ， 因为，所以，，，，那么. 所以，即，也就是. 根据函数单调性的定义，函数在上是减函数. 当时，，当，， 当，，当，. 根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确. 在区间， 没有零点，故B选项错误. 在区间，也没有零点，故D选项错误. 故选：C 13．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 14．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合选项分析得在为减函数，根据，可得函数零点所在的区间. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵函数，在均为减函数， ∴在为减函数， ∵，， ∴函数的零点所在区间为. 故选：A. 15．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的增函数， 当时，， 当时，， 因为，所以，所以，所以. 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 题型四：根据函数零点（零点个数）求参数 16．已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对分段函数进一步化简，然后结合指数函数和反比例函数的性质确定每段函数的值域，进而确定的范围. 【详解】若，则，若，则， 所以函数变为. 当时，；当时，； 当时，. 所以要使得有两个不同的实根，则. 故答案为：. 17．已知函数若各不相同，且，则的取值范围为 ． 【答案】（24,25） 【分析】设，则有，结合基本不等式可得范围. 【详解】不妨设．可知，则， ，则． 如图：    又由极端位置得，由于要有四个根，故．从而． 故的取值范围为 故答案为： 18．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】等价转化为函数与图象有4个交点，作出图象可得，计算即可. 【详解】令，， 所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点， 作出图象： 当时，，所以由图可知. 故答案为： 19．若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令有，所以与图像只有一个交点， 作出的图像， 由图可有或，即或， 所以， 故答案为：. 20．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【详解】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：    题型五：求零点和 21．已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数与二次函数的图象与性质计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，，    所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 22．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，变换，根据函数的单调性计算最值即可. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 故答案为：. 23．已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则 . 【答案】/0.5 【分析】将函数的零点问题转化为的图象与直线有四个交点问题，求解即可. 【详解】有四个不同的零点，，，， 即方程有四个不同的解， 即的图象与直线有四个交点． 在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图所示，    由二次函数的对称性可得，.因为， 所以，故. 故答案为：. 24．已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答. 【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 显然函数在上的图象关于直线对称，如图， 方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为， 显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 25．已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，利用数形结合，转化为交点个数，求参数的取值范围；结合函数的对称性，得，再利用对数函数的单调性求的取值范围，即可求解的取值范围. 【详解】作出函数的图象及直线，如图， 观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，， 而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解， 所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是； 如图，三个交点的横坐标分别为，且， 由对称性可知，， 对于函数，当时，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：； 题型六：二分法的定义与应用 26．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 27．下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 28．已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. 29．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 30．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 题型七：反函数 31．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 32．已知，分别是方程，的根，则的值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】D 【分析】将转化为和与图象交点的横坐标，结合互为反函数的图象的对称性求得正确答案. 【详解】在同一平面直角坐标系绘制函数，，的图象， 由题意可知，的值分别为图中点，的横坐标， 则，的值分别为图中点，的纵坐标， 因为函数和互为反函数， 互为反函数的图象关于直线对称，设直线与的交点为， 易知，结合对称性可知． 故选：D    33．若，分别是方程，的根，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值. 【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标， 因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称， 所以线段的中点就是直线与的交点， 由，得，即线段的中点为， 所以，得， 故选：B 34．函数的反函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的求法，解出，互换即可得到解析式. 【详解】由可得 即, 将、互换得 函数的反函数为. 故选：C. 35．函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求函数的值域，再根据反函数的性质求解即可. 【详解】解：∵，∴， ∴函数的值域为， ∵的定义域即函数的值域， ∴的定义域为． 故选：C 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $