专题03一次方程与方程组（实际应用专练）16大题型75题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版
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内容正文：
专题03一次方程与方程组实际应用
基础·固本强基
题型1一元一次方程配套和差倍分问题
题型2一元一次方程行程基础问题（重点）
题型3一元一次方程工程基础问题
题型4二元一次方程组简单配套问题（重点）
题型5一元一次方程比赛积分基础问题（重点）
题型6一元一次方程数字问题
题型7一元一次方程（组）古代问题（重点）
提升·进阶突破
题型8一元一次方程销售利润问题（重难点）
题型9一元一次方程分段计费问题（难点）
题型10二元一次方程组行程相遇追及问题（难点）
题型11二元一次方程组方案选择基础问题（重点）
题型12一元一次方程方案选择问题（重点）
题型13一元一次方程日历问题（重点）
拔高·压轴破难
题型14一元一次方程水箱调配、溶液浓度问题（重难点）
题型15方程实际应用与动点综合压轴题（难点）
题型16三元一次方程组三个等量综合应用题（重难点）
基础·固本强基
题型1一元一次方程配套和差倍分问题（共5小题）
【模型】和差倍分等量模型→抓住“共、差、倍、比”等关键词，梳理数量间的加减或倍数关系，设一个未知量建立一元一次方程。
【步骤】①审题，找出核心等量句；②设合适的未知量为x；③用含x的式子表示相关量；④根据等量关系列方程；⑤解方程、检验并作答。
【易错】倍数关系写反；“多、少”处理错误；单位不统一。
1．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？
【答案】(1)用木材制作桌面，木材制作桌腿
(2)每张餐桌的标价为800元
【分析】（1）设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿．根据“木材可制作15个桌面，或者制作300条桌腿”建立方程求出其解即可；
（2）可设每张餐桌的标价是y元，根据全部出售后总获利31500元，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿．
根据题意得：，
解得：，
则．
答：用15立方米做桌面，用3立方米做桌腿才能使制作的桌面和桌腿配套．
（2）解：（张），
设每张餐桌的标价是y元，
根据题意得：，
解得：．
故每张餐桌的标价是800元．
2．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B
【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可．
【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B．
根据题意，得
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．
3．（25-26七年级上·河南开封·期中）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？
【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套
【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数．
【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件．
依题意得：，
解得，
，
（套），
答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套．
4．（25-26七年级下·山西临汾·期中）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？
【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套
【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可.
【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．
根据题意，列方程得．
解得．
∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．
答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套.
5．（25-26六年级下·山东威海·期中）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人．
(1)甲、乙两车间各有多少人？
(2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？
【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人.
(2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套.
【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可；
（2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人，
根据题意，得．
解得．
所以．
答：甲车间有33人，乙车间有17人.
（2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，
∴，
解得：，
答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套.
题型2一元一次方程行程基础问题（共5小题）
【模型】行程基础模型→基本关系：路程=速度×时间，同一对象匀速运动时，常根据路程相等或时间相等列方程。
【步骤】①明确已知速度、时间、路程；②设未知量；③画线段图分析运动过程；④根据路程关系列方程；⑤统一单位后求解检验。
【易错】时间分段处理错误；停留时间忽略；速度单位和时间单位不统一。
6．（25-26七年级上·广东·期中）甲、乙两人从相距240米的两地同时出发相向而行，甲的速度是，乙的速度是．设出发后t秒相遇．
(1)列方程求出t的值；
(2)相遇时甲走了多少米？
【答案】(1)24
(2)相遇时甲走了96米
【分析】（1）相遇时两人所走的路程之和为240米，据此建立方程求解即可；
（2）根据路程等于速度乘以时间列式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：当时，（米），
答：相遇时甲走了96米．
7．（26-27七年级上·全国·期中）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度．
【答案】
【分析】设这列火车行驶的平均速度是，根据总路程等于火车长加上隧道长，列出方程进行求解即可.
【详解】解：设这列火车行驶的平均速度是．
根据题意，得．
解得．
答：这列火车行驶的平均速度是．
8．（26-27七年级上·天津·期中）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）请问爸爸追上小明用了多长时间？
（2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？
【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟．
（2）爸爸出发后5分钟与小明相遇．
【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可；
（2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可．
【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟.小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟，
∵追上时两人行走路程相等，
∴，
解得：，
∴此时爸爸行走路程为（米），
∵，
∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟；
（2）设爸爸出发后分钟与小明相遇，
∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程，
∴，
解得：．
∴爸爸出发后分钟与小明相遇．
9．（26-27七年级上·湖南长沙·期中）小希从家骑车去电影院，每分钟行米，走了全程的三分之一时发现，如果按照这个速度骑行会迟到分钟，于是他提速到每分钟行米，结果还是迟到了分钟．那么小希家到电影院的路程是多少米？
【答案】小希家到电影院的路程是米．
【分析】以行驶全程后剩余路程的行驶时间差为等量关系，列方程求解总路程．
【详解】解：设小希家到电影院的路程为米，走完全程的后，剩余路程为米．
按原速行驶剩余路程所用时间比提速行驶剩余路程所用时间多，
可列方程，
化简得，
计算得，
．
答：小希家到电影院的路程是米．
10．（26-27七年级上·湖南湘西·期中）锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？
【答案】
从甲地到乙地有千米
【分析】以往返总行驶时间等于小时为等量关系，结合行程公式列方程求解．
【详解】解：设从甲地到乙地的路程为千米，
由题意得，
解得．
答：从甲地到乙地有千米．
题型3一元一次方程工程基础问题（共5小题）
【模型】工程基础模型→常把总工作量看作1，基本关系：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于总工作量。
【步骤】①确定各主体工作效率；②设工作时间或完成量为未知数；③用含未知数的式子表示各部分工作量；④根据“总工作量=1”列方程；⑤求解并检验。
【易错】分不清单独工作、合作工作的效率；容易直接把工作时间相加当作合作时间；忘记先算出每个人的工作效率。
11．（26-27七年级上·浙江湖州·期中）要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？
【答案】师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个
【分析】根据题意可知，师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍，设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个，再根据“师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务”列出方程求解即可．
【详解】解：∵师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，
∴师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍，
设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个，
解得：，
∴
答：师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个．
12．（26-27八年级上·甘肃张掖·期中）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？
【答案】
预算施工费用够用，实际总施工费用为万元
【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比．
【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天，
∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天，
∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的，
∵两队总工作量为，
∴，
解得，
乙队施工天数：（天），
总施工费用：（万元），
∵，
∴预算施工费用够用．
13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？
【答案】乙单独完成这项工程需要天
【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间．
【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为，
则，
即，
，
则乙每天完成的工程量为，
（天），
答：乙单独完成这项工程需要天．
14．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天．
(1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？
(2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？
【答案】(1)
两队合作需要12天完成此工程
(2)
甲队还需要10天才能完成工程
【分析】将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问．
【详解】（1）解：记总工作量为单位1．
设两队合作需要天完成此工程.甲队工作效率为，乙队工作效率为；
由题意得，
解得；
答：两队合作需要12天完成此工程．
（2）解：记总工作量为单位1．
设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程．
由题意得，
解得；
答：甲队还需要10天才能完成工程．
15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程．
(1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？
(提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间)
(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成
(2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱
【分析】（1）设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可；
（2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解．
【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，
根据题意列方程为，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成．
（2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，
若由甲队单独完成工程的费用：(万元)
设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得，
甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)，
因为万元万元．
所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱．
题型4二元一次方程组简单配套问题（共5小题）
【模型】配套配比模型→两类部件按固定数量比配套，通常有两个等量关系：总人数/总材料关系、部件配套比例关系。
【步骤】①设两个未知量，如生产甲、乙部件的人数；②根据总人数或总材料列第一个方程；③根据配套比例列第二个方程；④解方程组并验证配套比。
【易错】配套比例写反；两个方程不是独立等量关系；结果不是正整数时不舍去。
16．（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套．
(1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？
(2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？
【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套
(2)先安排10人制作茶具
【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可；
（2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，
由题意得：，
解得：，
答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套；
（2）解：设先安排m人制作茶具，
由题意得：，
解得：，
答：先安排10人制作茶具．
17．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解）
【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套
【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解．
【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，
由题意得，，
解得，
答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套．
18．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（辆）
汽车运费（元辆）
(1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送；
(2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
【答案】(1)
(2)需甲车型辆，乙车型辆
【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量；
（）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可；
【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆），
（2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，
由题意得，
解得，
答：需甲车型辆，乙车型辆；
19．（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计）
【答案】可以制作乙种纸盒80个
【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．
【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，
甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片，
乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片，
根据题意，得，
解得，
∴可以制作乙种纸盒80个．
20．（25-26七年级上·山东临沂·期中）完成如下项目式学习表
情境
挖掘
眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（àidài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播．
素材整合
某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．
工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿．
任务
解决
任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？
【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套；
【任务二】每副镜架的出厂价应定为元．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式．
任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解；
任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价．
【详解】任务一：
解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿．
∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿，
∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍，
可得方程，
解得，
则生产镜腿的工人数量为(名)．
答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套．
任务二：
解：设每副镜架的出厂价应定为元．
由题意，得，解得．
答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元．
题型5一元一次方程比赛积分问题（共5小题）
【模型】比赛积分模型→总积分=胜场积分+平场积分+负场积分，先确定胜、平、负各自积分，再根据总场次和总积分列方程。
【步骤】①审题，明确比赛场次和积分规则；②设胜场或平场为未知数；③表示出总积分；④根据总积分列方程；⑤求解并检验场次是否合理。
【易错】胜、平、负积分规则混淆；总场次与胜平负场数关系错误。
21．（26-27七年级上·湖南湘西·期中）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？
【答案】
这支球队胜了9场
【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可．
【详解】解：设这支球队胜了场，
∵共参加15场比赛，负了4场，
∴平的场数为场，
∵胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分，
∴，
解得，
答：这支球队胜了9场．
22．（25-26七年级下·吉林长春·期中）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数．
【答案】小李答对17道题
【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案．
【详解】解：设小李答对道题，
根据题意，得．
解得．
经检验，符合题意，
答：小李答对17道题．
23．（25-26七年级下·福建泉州·期中）2026年6月，被誉为“小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？
【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场
【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可．
【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．
根据题意得：
解得：
答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场
24．（25-26七年级下·河南周口·期中）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？
【答案】
他答对了19道题
【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可．
【详解】解：设他答对了道题，
依题意得：，
解得．
答：他答对了19道题．
25．（25-26七年级上·山东临沂·期中）某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
10
10
40
(1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分；
(2)甲同学得了70分，他答对了几道题？
(3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)5，；
(2)甲同学答对了道题
(3)不可能；
理由如下：设乙同学答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，解得：；
是答对题目个数，
∴是自然数，
∴乙同学的成绩不可能是50分．
【分析】（1）根据表格解题即可；
（2）设甲同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可；
（3）设乙同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，答对一题得（分），答错一题得（分）；
（2）解：设甲同学答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得；
答：甲同学答对了道题；
（3）略
题型6一元一次方程数字问题（共5小题）
【模型】数字表示模型→两位数=10×十位数字+个位数字，三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字，根据数位变化或数字关系列方程。
【步骤】①设某一位数字为x；②用x表示原数和新数；③根据题意写出等量关系；④列方程求解；⑤检验数字是否在0—9范围内。
【易错】数位值表示错误；新数与原数关系理解错误；忽略数字取值范围。
26．（25-26七年级上·全国·期中）一个六位数的首位数字为1．如果把这个数字移到原来个位数字的右边，得到一个新的六位数，那么新得到的数是原数的3倍．求原来的六位数．
【答案】原来的六位数为142857
【分析】本题考查了一元一次方程，设这个六位数的后五位数字为，根据题意列出一元一次方程，解之即可．
【详解】解：设这个六位数的后五位数字为，依题意可得：
，
解得：，
∴原来的六位数为142857．
答：原来的六位数为142857．
27．（25-26七年级下·河南周口·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97
【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可．
【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，
由题意得，，
化简得，，等式恒成立，
结合数位特征：个位数字x的取值范围是，
原来的两位数为∶20、31、42、53、64、75、86、97．
28．（25-26七年级下·河南周口·期中）一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位十位个位），结合已知的个位与百位数字的倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式；
（2）根据“两数之和为”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字的值，再代入原数的代数式计算出原三位数即可．
【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是，则原三位数的个位数字是，新三位数的百位数字是，个位数字是，
∴原三位数为；
调换位置后的三位数为；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴，
答：原三位数是．
29．（2026·陕西·模拟预测）一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？
【答案】原两位数是
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据个位数字和十位数字的关系以及新、旧两位数的关系建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到，的值，即可得到答案．
【详解】解：设原两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意得：，
解得：，
∴．
答：原两位数是．
30．（25-26七年级下·广东东莞·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．
(1)求这个两位数．
(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？
(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)35
(2)大18
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案．
（2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案．
（3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意，
【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得
解得，
∴这个两位数是．
（2）解：对调后的新两位数为53，
答：新两位数比原两位数大18．
（3）解：不存在
理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得
整理方程②：，即．
∵a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，
此时（不是个位数），不符合题意，
故不存在这样的两位数．
题型7一元一次方程（组）古代问题（共5小题）
【模型】古题翻译模型→把古文数量关系翻译成现代数学语言，常见类型有分配、工程、行程、鸡兔同笼等，再建立一次方程或方程组。
【步骤】①逐句翻译题意；②找出未知量和等量关系；③设未知数并列方程（组）；④求解；⑤检验答案是否符合古题意思。
【易错】古文关键词理解错误；数量关系翻译颠倒；单位不一致。
31．（26-27七年级上·全国·期中）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？
【答案】家数为126，牛价为3750钱．
【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设牛价为x钱，
由题意得，，
解得，
∴，
答：家数为126，牛价为3750钱．
32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）《孙子算经卷下第十九题》．今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问本米几何？（提示：一斗=10升）
【答案】60升
【分析】设本米有升，根据题意，得，解方程即可.
【详解】解：由一斗升，得一斗五升为15升，
设本米有升，根据题意，得
，
，
，
；
答：本米升.
33．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？
【答案】老人一共有56头羊
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得
解得，
答：老人一共有56头羊．
34．（26-27八年级上·全国·期中）今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？（1斤两，1两铢）
【答案】燕有11只，雀有14只．
【分析】先统一重量单位为铢，结合总只数与总重量的等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：∵1斤两，1两铢，
∴单只雀重（铢），单只燕重（铢），2斤13铢铢，
设燕有x只，雀有y只，
∵雀和燕一共有25只，共重2斤13铢，
∴，
解得，
即燕有11只，雀有14只．
35．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？
【答案】
牧童7人，竹竿56根.
【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组，进而即可求解
【详解】解：设牧童有人，竹竿根，
根据“每人竿，多竿”，可得
根据“每人竿，恰好用完”，可得
因此可列方程组为
解得：，
答：牧童7人，竹竿56根
提升·进阶突破
题型8一元一次方程销售利润问题（共5小题）
【模型】销售利润模型→核心关系式：,根据利润、利润率或者销售额的等量关系列一元一次方程
【步骤】①审题，区分进价、标价、折扣、售价、利润、利润率；②选取合适的量设未知数；③用含未知数的代数式表示售价、利润；④根据题干给出的等量关系列方程；⑤解方程，检验结果是否符合销售实际，最后作答
【易错】混淆利润率的分母，误除以售价；折扣理解出错，例如八折直接乘8；利润、亏损的正负符号处理错误。
36．（26-27七年级上·辽宁沈阳·期中）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？
【答案】商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元
【分析】设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元，根据“共亏损了60元”列出方程求解即可．
【详解】解：设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元．
，
解得：
，
答：商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元．
37．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损．
(1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元．
(2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：
①购买商品总价不超过元，不优惠；
②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠；
③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠；
按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？
【答案】(1)，
(2)小明购买了件或件乙商品
【分析】（1）根据盈利、亏损的利润率关系，直接算出甲、乙两件商品的进价；
（2）先排除不优惠方案，再分别按九折、八折两种优惠方案列方程求出件数．
【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元，
乙商品每件进价为元，
故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元．
（2）解：设小明此次购买了件乙商品，
，方案①不符合；
当购买商品总价超过元，但不超过元时，
可得，
解得；
购买商品总价超过元时，
可得，
解得，
综上，小明购买了件或件乙商品．
38．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克．
(1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？
(2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？
(3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？
【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克.
(2)共获利3300元.
(3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售
【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案；
（2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可；
（3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，
根据题意列方程得：，
整理得：，解得（千克），
∴（千克），
答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克；
（2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元），
则总利润为：（元），
答：共获利3300元；
（3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，
第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克），
第二次总利润为（元），
根据题意列方程得：，
解得，
答：糯米糍荔枝是打八五折销售．
39．（26-27七年级·全国·期中）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值．
【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元．
(2)30
【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解．
（2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解．
【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，
根据题意可得：，即，
解得：，
第二批单价：（元），
答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元．
（2）解：第一批水果的购买数量：（箱），
第一批水果的无损耗收入：（元），
第二批水果的购买数量：（箱），
第二批水果的售出数量：（箱），
成本：（元），
根据题意可得：，
解得：，
答：的值是30．
40．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件
(2)以五折售出的乙商品有120件
【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设五折的乙商品m件，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得：，
解得，
则（件），
答：超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件；
（2）解：设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为件，
由题意得，
解得，
答：以五折售出的乙商品有120件．
题型9一元一次方程分段计费问题（共5小题）
【模型】分段计费模型→总费用=各段费用之和，不同区间收费标准不同，先判断用量所在区间，再分段计算。
【步骤】①判断总量是否跨档；②分段表示每一段费用；③根据总费用列方程；④求解后验证是否落在对应区间。
【易错】全部用量直接按高档单价计算；分段点处理错误；列方程时某一段漏算。
41．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价：
峰时段（）电价为元/千瓦时；
谷时段（—次日）电价为元/千瓦时．
(1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元；
(2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简；
(3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时．
【答案】(1)57
(2)元
(3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时
【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可；
（2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简；
（3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量．
【详解】（1）解：（元），
答：应付电费57元．
（2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时，
所以7月份应付电费为（元）．
（3）解：由（2）可得，解得．
谷时段用电（千瓦时）．
答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时．
42．（25-26七年级上·山西朔州·期中）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
【答案】(1)810；1170
(2)
【分析】（1）根据收费标准计算即可；
（2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元），
乙户居民的水费为（元）．
（2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元．
由于810元元元，
所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足．
设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得
，
解得，
答：丙户居民2025年的用水量为．
43．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过220度的部分
a
第2档
超过220度但不超过300度的部分
0.55
第3档
超过300度的部分
已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元．
(1)填空：表中a的值为；
(2)求小明家10月份的用电量；
(3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量．
【答案】(1)0.5
(2)260度
(3)430度
【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可；
（2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
答：a的值为0.5．
（2）解：设小明家10月份的用电量为x度，
∵（元），，
∴，
依题意得：，
解得：，
答：小明家10月份的用电量为260度．
（3）解：设小明家8月份的用电量为y度，
依题意得：，
解得：，
答：小明家8月份的用电量为430度．
44．（25-26七年级上·福建福州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量；
(1)当时，水费为________元；
当时，水费为________元；（用含x的式子表示）
(2)
月份
10月
11月
12月
用水量
15
22
a
小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？
【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元
(2)小花家12月份用水
【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可；
（2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：当时，水费为元；
当时，水费元；
（2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元），
则12月份水费为（元）
，
∴，
∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为，
，
解得：．
答：小花家12月份用水量为．
45．（26-27七年级·全国·期中）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算．
用气量（立方米）
单价（元）
第一档
（含）
2.53
第二档
（含）
2.78
第三档
600以上
3.54
(1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？
(2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？
【答案】(1)1133.20元
(2)500立方米
【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可．
（2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：（元）
答：李强家需交燃气费1133.20元．
（2）解：600立方米用气量的总费用：（元）
平均每立方米的费用：（元）
，因此用气量不足600立方米．
设赵刚家用气量为立方米．
答：赵刚家年用气量是500立方米．
题型10二元一次方程组行程相遇及追及问题（共5小题）
【模型】相遇追及模型→相遇问题：路程和=总距离；追及问题：路程差=初始距离，结合时间、速度关系列方程组
【步骤】①判断运动类型：相遇或追及；②设两个速度或时间为未知数；③根据路程和或路程差列两个方程；④解方程组并检验。
【易错】相向、同向混淆；运动时间不同步；追及距离和相遇距离混淆。
46．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为．
(1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度；
(2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等．
【答案】(1)，乙的速度是
(2)4分钟或7分钟
【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；
（2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是，
∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等
∴，
解得：，
甲的速度是，乙的速度是；
（2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，
甲到达A点所用时间为，
①当时，，，
令，则，解得（舍去）；
②当时，，，
令，则，
解得；
③当，，，
令，则，
解得：；
综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等．
47．（25-26七年级上·重庆·25-26）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？
【答案】336千米
【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答．
【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，
（千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时，
则根据题意得，，
整理得，，
解得，，
所以，、两市之间的公路长为（千米）．
答：、两市之间的公路全长为336千米．
48．（25-26七年级下·全国·期中）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）．
(1)甲、乙每小时各行多少千米？
(2)若甲出发后两人相距1km，求的值．
【答案】(1)甲每小时行20km 乙每小时行16km
(2)或或
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算；
（2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答．
【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行．
根据题意，得
解得
故甲每小时行，乙每小时行．
（2）解：相遇前：，解得，，符合题意；
相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意；
相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意．
综上所述，的值为或或．
49．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？
【答案】9千米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为千米，坡路为千米，根据上山用了时，下山用了55分钟建立方程组求解即可．
【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，
根据题意，得
解这个方程组，得
则（千米）．
答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米．
50．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要．
(1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？
(2)求的长度．
【答案】(1)
(2)的长度分别是
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；
（1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可；
（2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可．
【详解】（1）解：．
故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要．
（2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要，
∴沿骑行需要．
又∵沿骑行需要，
∴沿骑行需要．
设的长度是的长度是．
根据题意，得，
解得，
故的长度分别是．
题型11二元一次方程组方案选择基础问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→先通过两组条件列方程组求出单价或单位费用，再计算不同方案的总费用，进行比较。
【步骤】①设两种物品单价为未知数；②根据两组购买信息列方程组；③求出单价；④分别计算各方案费用；⑤选择最优方案。
【易错】求完单价后代入数量错误；只比较部分费用；忽略整数要求。
51．（26-27七年级上·全国·期中）某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座）
(1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？
(2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？
【答案】(1)七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆
(2)全租用60座客车更合算
【分析】（1）设七年级有名学生，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租这两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设七年级有名学生．
根据题意，得．
解得．
．
答：七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆．
（2）解：当全租用45座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）．
当全租用60座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）．
因为，
所以全租用60座客车更合算．
52．（25-26七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
(2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案．
【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可．
【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台．
则有：，解得：，
所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．
②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台．
则有：，解得：，（不符合题意舍去）．
③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台．
则有：，解得：．
所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
（2）解：方案一获利为：（元）；
方案二获利为：（元）．
因为，
所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多．
53．（25-26七年级下·广西南宁·期中）有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t．
(1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？
(2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？
(3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？
【答案】(1)
每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为
(2)
共有4种安排方案：①3辆甲种货车，15辆乙种货车；②7辆甲种货车，10辆乙种货车；③11辆甲种货车，5辆乙种货车；④15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种
(3)
安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可；
（3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可．
【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为，
则由题意，得，
解得，
∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为；
（2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车，
由题意，得，即，
∵m，n为非负整数，
∴可能的情况有，，，，
∴共有4种安排方案：①3辆甲种货车，15辆乙种货车；②7辆甲种货车，10辆乙种货车；③11辆甲种货车，5辆乙种货车；④15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种；
（3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）；
方案②每天的费用为（元）；
方案③每天的费用为（元）；
方案④每天的费用为（元），
∵，
∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）．
54．（25-26七年级下·四川广元·期中）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元．
(1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？
(2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案．
【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元
(2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套
【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解．
（2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解．
【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元．
根据题意，得
解得
答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元．
（2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数．
根据题意，得，
解得．
，均为正整数，
为正偶数，且，
为正偶数，且．
当时，；
当时，；
当时，．
答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套．
55．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息：
信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元．
信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元．
(1)求绿萝、兰草每盆分别是多少元．
(2)若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）．
①用含的代数式表示．
②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多．
【答案】(1)绿萝每盆元，兰草每盆元．
(2)①；方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二购买的绿植总数量最多．
【分析】（1）设绿萝每盆元，兰草每盆元，列出方程，进行解答，即可；
（2）①由题意可得，，化简式子，即可；②当元全部买绿萝，求出的取值范围，根据，均为偶数，分类讨论，的值，进行解答，即可．
【详解】（1）解：设绿萝每盆元，兰草每盆元，
∴，
解得：，
答：绿萝每盆元，兰草每盆元．
（2）解：①由题意可得，，
整理得，；
②结合总花费120元及的要求，可得，
∵，均为偶数
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；
∵，，，
∴方案二购买的绿植总数量最多．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握二元一次方程的知识，进行解答，即可．
题型12一元一次方程方案选择问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→给出多种收费、购买、租车方案，先用代数式写出每种方案的总费用表达式，再分情况比较费用大小，确定最优方案
【步骤】①审题，找出每种方案的收费规则；②设合适的未知量；③分别列出各个方案费用的代数式；④列方程求出费用相等时的临界值；⑤分区间讨论，判断不同范围下哪个方案更划算；⑥检验取值是否符合实际，给出结论
【易错】找错临界等量关系；忽略自变量的取值限制（正整数、非负数）；只计算单个数值，缺少分类讨论。
56．（25-26六年级下·山东东营·期中）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题．
(1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人；
(2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元
【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可．
【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生，
根据题意得，
解得，
则学生人数为（人），
答：一共去了成人8人，学生12人；
（2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元），
若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元），
∵，
∴购买15张团体票，5张学生票更省钱．
57．（25-26七年级上·全国·期中）延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：
购票张数1~50张
每张票的价格为13元
购票张数51∼100张
每张票的价格为11元
购票张数100张以上
每张票的价格为9元
其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．
(1)两个班各有多少学生？
(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
(3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人
(2)304元
(3)购买51张票划算些
【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以；
（2）先求出购团体票的费用，再用1240元团体票的费用就是节约的钱；
（3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以得出结论．
【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，
由题意可得：，
解得，
则．
答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人．
（2）解：（元）．
（3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为：元，
购51张票的费用为：元．
，
∴购买51张票划算些．
58．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元
(2)10台
【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买台时，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元，
当时，
方案一：，
方案二：，
∵，
当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元；
（2）解：①若时：
方案一：；方案二：；
此时不相等；
②若时：
方案一：；方案二：
令解得
答：该公司买了10台．
59．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)
使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元.
(2)
累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用；
（2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解．
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元，
使用方案二，单次电费为元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：，
解得：，
答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
60．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1
九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买个足球根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多．
素材2
该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款；
方案②：买一个足球送一条跳绳．
现学校要购买足球个，跳绳（）根．
问题解决
(1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？
(2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案．
【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元
(2)当时，两种方案购买总费用相同
(3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱
【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价，
（2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值，
（3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案．
【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元．
根据题意列方程：
化简得
解得
则足球单价为（元）．
答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元．
（2）由题意得，，方案①总费用：（元）
方案②总费用：（元）
令总费用相等，得：
解得．
答：当时，两种方案购买总费用相同．
（3）当时，分别计算不同方案的费用：
①全部使用方案①：总费用为（元）
②全部使用方案②：总费用为（元）
③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为：（元）
混合方案费用更低．
答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱．
题型13一元一次方程日历问题（共5小题）
【模型】日历规律模型→日历中同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，根据圈出的数之间的和、差、倍数关系列方程。
【步骤】①设其中一个日期为x；②表示出其余相关日期；③根据和或倍数关系列方程；④求解；⑤检验日期是否符合实际月份范围。
【易错】同一列规律记错为差1；跨月日期未考虑；结果超出合理范围不舍去。
61．（26-27七年级上·全国·期中）在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数．
(1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号．
(2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)153；25
(2)30号．
【分析】（1）设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、，然后根据3个数字的和为51就可以列出方程求解，最后就可以求出最后一天；
（2）设中间的数为x，那么根据表中规律可以用x分别表示其余的八个数，再利用总和为198即可列出方程，解方程就可以解答．
【详解】（1）解：设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、，
依题意得，
∴，
∴其余两个数是：11，23，
∴9个数分别是9、10、11、16、17、18、23、24、25，
∴这9个数的和为153，最后一天是25号；
（2）能．设中间的数为x，依题意得：
，
∴
∴，
∴框出的9个日期最后一天是30号．
62．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________
(2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________；
(3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)10，16，22
(3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下：
设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为，
当时，
解得，不是整数，
∴这4个数的和不可能是68．
【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可；
（2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可；
（3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可．
【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为，
由题意得，
解得，
∴中间的数为20；
（2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为，
由题意得，
解得，
∴
∴这三个数分别为10，16，22；
（3）略
63．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，．
(1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____．
(2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)22
(2)不能，理由如下：
解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，
∵这五个数的和为93，
∴，
解得
是整数
此情况不成立，即这五个数的和不可能是93．
【分析】（1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得；
（2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8，
∵所表示的数为14，
∴表示的数为；
（2）略．
64．（26-27七年级·全国·期中）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题：
(1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115；
(2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)解：不能，理由如下：
设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，
则由题意得，
解得，
则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130．
【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图；
（2）同（1）列方程求解即可．
【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，
则由题意得，
画图如下见答案；
（2）略
65．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为（用含的式子表示）：
(2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为（用含的式子表示）；
(3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为（用含的式子表示）：
(4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为；
(5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)8
(5)日
【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可；
（2）根据上方的数比下方的数小7求解即可；
（3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可；
（4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解；
（5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1，
∴中间的数为，则右边的数为；
（2）解：∵上方的数比下方的数小7，
∴若中间的数为，则上方的数为；
（3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为，
∴这3个数的和为：；
（4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是，
∴，
∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可，
观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8．
（5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，
五个星期一的和为：，
解得，即2号是星期一，
∴16号是星期一，
∴15号是星期日．
拔高·压轴破难
题型14一元一次方程水箱调配、溶液浓度问题（共5小题）
【模型】溶液混合模型→两种不同浓度溶液混合，混合前后溶质总量不变，溶液总质量为两种溶液质量之和。
【步骤】①设其中一种溶液质量为未知数；②表示混合前后溶质；③根据“混合前溶质=混合后溶质”列方程；④求解；⑤检验浓度是否合理。
【易错】混合后溶液质量误算；高浓度和低浓度混淆；百分比与小数混用。
66．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深，把一高度为的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深现将储水箱中的水匀速注入水池，注水时水池水面与石柱上底面持平；继续注水后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深．根据上述信息，解答下列问题：
(1)注水1分钟后储水箱中的水深为_______；
(2)注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
(3)若石柱的体积为，请直接写出注水前储水箱中水的体积_______
【答案】(1)10
(2)2
(3)1080
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系建立方程求解是解题的关键．
（1）根据题意，求出储水箱每分钟的出水量，然后进行计算即可．
（2）根据题意，求出储水箱每分钟的出水量和水池每分钟的注水量，然后进行计算即可，
（3）先求出石柱的底面积，通过列方程求出水池底面积，最后列方程求出注水前储水箱中水的体积即可．
【详解】（1）解：由题意得：储水箱每分钟的出水量为，
∴注水1分钟后储水箱中的水深，
故答案为10．
（2）解：由题意得：储水箱每分钟的出水量为，水池每分钟的注水量，
设时，储水箱和水池中的水的深度相同，
，
，
答：注水时，储水箱和水池中的水的深度相同．
（3）解：石柱的体积为，
∴石柱的底面积为，
由题意得：，
解得，
，
解得，
∴注水前储水箱中水的体积
故答案为1080
67．（25-26七年级上·广西梧州·期中）糖水中糖的质量糖水总质量浓度，比如，一杯浓度为的糖水千克，含糖量为千克，用公式表示为：．
(1)一桶原材料糖水质量为千克，浓度为，则其糖的质量为___________千克？
(2)饮料的甜度对口感和人体健康有着显著的影响，过度摄入糖分易引发肥胖症等健康问题．经研究表明，某种饮料的最佳甜度（即糖水浓度）为．现有一种原料甜度（浓度）为的饮料千克，若要将其调配至最佳甜度，需要额外添加多少非糖饮料（非糖饮料不含糖）？请通过列方程来解决．
【答案】(1)；
(2)千克．
【分析】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）直接运用题目给出的糖的质量计算公式代入数值计算即可；
（）设需要额外添加千克非糖饮料，由调配前饮料中糖的质量为：（千克），调配后糖水总质量为千克，浓度为，且糖的质量不变，得，然后解方程即可．
【详解】（1）解：已知糖水总质量千克，浓度，
根据公式，可得糖的质量为（千克），
故答案为：；
（2）解：设需要额外添加千克非糖饮料，
∵调配前饮料中糖的质量为：（千克），调配后糖水总质量为千克，浓度为，且糖的质量不变，
∴，
，
，即，
解得，
答：需要额外添加千克非糖饮料．
68．（25-26七年级下·广西崇左·期中）综合与实践
全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：
开私家车二氧化碳排放量耗油量
家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量
家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量
(1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？
(2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量；
(3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？
【答案】(1)
(2)私家车耗油量为，天然气使用量为
(3)
【分析】（1）直接代入数值计算自来水碳排放量；
（2）设未知数，根据总碳排放量的数量关系列一元一次方程，求解得到两种用量；
（3）先根据减少的百分比分别求出下个月各项用量，再代入公式计算总碳排放量即可．
【详解】（1）解：已知家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量，小阳家本月用水吨，
，
答：小阳家本月家用自来水的碳排放量是；
（2）解：设小阳家本月天然气使用量为，则私家车耗油量为．
根据题意，开私家车碳排放量加天然气碳排放量等于，
可得：，
解得：
则私家车耗油量为．
答：小阳家本月私家车耗油量为，天然气使用量为；
（3）解：私家车耗油量：，
天然气使用量：，
自来水使用量：，
总碳排放量为三种排放量相加：，
答：小阳家下个月这几项总的碳排放量是．
69．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息：
产品名称
产品规格
有效成分
用途
二氧化氯消毒片
每片质量1克
二氧化氯含量
消毒杀菌
已知：溶液浓度．请解答下列问题：
(1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值．
(2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？
【答案】(1)
(2)可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据溶液浓度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设可稀释成x千克浓度为的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
答：a的值为；
（2）解：设可稀释成千克浓度为的消毒溶液，
由题意得：，
解得：，
∴加水（千克），
答：可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克．
70．（25-26七年级上·河南安阳·期中）手工扎染需要调配低浓度的活性染料（溶质）溶液．某品牌的活性染料（溶质）速溶片，每片质量1克，有效成分含量为，可直接溶于水（溶剂）制得染料溶液．
已知：溶液浓度．请解答下列问题：
(1)扎染布料配制千克浓度为的染料溶液用于布料染色，刚好需要该速溶片片，求的值；
(2)浅色布料需要更淡的染料，扎染师用千克浓度为的染料溶液，可稀释成多少千克浓度为的染料溶液？稀释过程中需加水多少千克？
【答案】(1)
(2)可稀释成千克浓度为的染料溶液，稀释过程中需加水千克
【分析】本题主要考查溶质、溶液、浓度之间的数量关系(浓度公式)的应用，包括根据浓度公式列方程求解未知量，以及溶液稀释过程中溶质质量不变的核心规律．
（）统一单位后，代入浓度公式列方程，求解得出；
（）依据稀释前后溶质质量不变列方程，求出稀释后溶液质量，再计算出加水量．
【详解】（1）解：千克克
由题意，得，
解得：．
答：的值为．
（2）解：设可稀释成千克浓度为的染料溶液，
由题意，得．
解得，
需加水（千克）．
答：可稀释成千克浓度为的染料溶液，稀释过程中需加水千克．
题型15实际应用与动点综合压轴题（共5小题）
【模型】动点行程综合模型→点在线段或折线上运动，设时间t为未知数，用含t的式子表示路程、线段长度或位置，再根据等量关系列方程。
【步骤】①设运动时间为t；②表示出动点走过的路程；③根据距离、相遇、追及或面积关系列方程；④分情况讨论；⑤舍去不符合实际的解。
【易错】没有分类讨论；动点到达终点后继续计算；线段长度表达式符号错误。
71．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）如图，根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
(1)若将数轴折叠，使点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是_______；
(2)若此数轴上M，N两点之间的距离为2026（点M在点N的左侧），且当点A与点C重合时，点M与点N也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是M：_______，N：_______；
(3)若数轴上P，Q两点间的距离为m（点P在点Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使点P与点Q重合，则P，Q两点表示的数分别为P：_______，Q：_______；（用含m，n的式子表示这两个数）
(4)若数轴上点D与原点O的距离是点D与30所对应的点E的距离的5倍，求点D表示的数是多少．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
(4)或
【分析】（1）根据点A与点C重合，先求出折点为，设与点B重合的点表示的数是x，则求解即可；
（2）根据重合的性质和两点间的距离列式求解即可；
（3）由题意得到表示数n的点到P，Q两点距离为求解即可；
（4）设点D表示的数为d，分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点C表示的数为，点B表示的数为，
∵将数轴折叠，使点A与点C重合，
∴折点为：，
设与点B重合的点表示的数是x，则：，解得：，
∴与点B重合的点表示的数是．
（2）解：由（1）可知折点为，
设点M表示的数为，则点M到折点的距离为，点N到折点的距离为，
∴，解得：，
∴点M和点N到折点的距离为，
∴点N表示的数为：．
（3）解：∵数轴上P，Q两点间的距离为m(点P在点Q左侧)，表示数n的点到P，Q两点的距离相等，
∴表示数n的点到P，Q两点距离为，
∴点P表示的数为：，点Q表示的数为：．
（4）解：设点D表示的数为d，
∵点D与原点O的距离是点D与30所对应的点E的距离的5倍，
∴，且必不成立，
①当时，有，解得：，
②当时，有，解得：．
综上，点D表示的数为或．
72．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是的“K倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：．
(1)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题：①；
②若点C在数轴上且，则点C表示的数为；
③若点D是数轴上一点，且，求点D表示的数．
(2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为25，点M，N为线段上的两点，点M更靠近点F（对点E，F而言），且，，求线段的长度．
【答案】(1)①②2③3或11
(2)5或7.5
【分析】（1）①根据新定义，求得、即可求解；
②根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可；
③根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可；
（2）根据新定义得到，，设，分点M在N的左边和右边两种情况，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：①由数轴知，，
∴，则；
②∵点C在数轴上且，
∴，
∴点C为的中点，
∴点C表示的数为2；
③∵点D是数轴上一点，且，
∴，
∵点A表示的数为，点B表示的数为5，
∴，
当点D在线段上时，点D表示的数为3，
点D在线段的延长线上，点D表示的数为11，
∴点D表示的数为3或11；
（2）解：∵点E表示的数为，点F表示的数为25，
∴
∵，，
∴，，
设，则，，
∵点M、N为线段上的两点，
∴分两种情况，
当点M在N的左边时，如图，
∴，
解得，
∴，
当点M在N的右边时，如图，
∴，
解得，
∴，
综上可知：的长为：5或7.5．
73．（25-26七年级下·江苏南京·期中）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图1中与的值．
(2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)，
(2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个
【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得：；
（2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，
将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个），
∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；
∴，
解得，
∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个．
74．（25-26七年级下·河南周口·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形．
你能求出这些小长方形的长和宽吗？
【思路分析】
(1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______．
【问题解决】
(2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽．
【拓展延伸】
(3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度．
【答案】(1)；
(2)小长方形的长是，宽是
(3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为
【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可；
（2）联立（1）中两二元一次方程求解即可；
（3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程．
（2）解：根据题意，得，
解得，
答：小长方形的长是，宽是．
（3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，
根据题意，得，
解得，
答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为．
75．（25-26七年级下·北京·期中）数学实践：用标准卡纸制作礼盒．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图．
(1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值．
(2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？
【答案】(1)80；12；22
(2)142
【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
（2）分别求出100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒需要的小长方形和小正方形的个数，再判断需要的卡纸数即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
根据题意得：，
∴．
∴n的值为80，x的值为12，y的值为22；
（2）解：100个竖式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形，
50个横式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形，
所以，100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒一共需要（个）小长方形，（个）小正方形，
又每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形
所以，1张标准卡纸可以剪裁成12个小正方形，
所以，（张）标准卡纸，还剩下2个小长方形；
（张）标准卡纸，还剩下4个小正方形；
4个小正方形可拼成2个小长方形，
所以，，不足1张标准卡纸，
所以，做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要张卡纸．
题型16三元一次方程组三个等量综合应用题（共5小题）
【模型】三量综合模型→题目含三个未知量，且有三组独立等量关系，通过两次消元将三元化为二元，再化为一元求解。
【步骤】①设三个未知量；②列出三个三元一次方程；③先消去同一个未知数，得到二元一次方程组；④解二元组并回代；⑤将结果代入三个原方程检验。
【易错】两次消元消去不同未知数；回代计算错误；三个方程中有重复条件仍当作独立方程。
76．（26-27八年级上·全国·期中）今有鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一，凡百钱买鸡百只．问：鸡翁母雏各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：只公鸡价值钱，只母鸡价值钱，只小鸡合计价值钱．购买只鸡总共花了钱，则公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
【答案】公鸡、母鸡、小鸡各买了只、只、只或只、只、只或只、只、只
【分析】设公鸡买了只，母鸡买了只，小鸡买了只，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设公鸡买了只，母鸡买了只，小鸡买了只，
根据题意，得，
化简，得，
②①，得，
∴，
∵是正整数，
∴为正整数，
∴的值可能为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
答：公鸡、母鸡、小鸡各买了只、只、只或只、只、只或只、只、只．
77．（25-26七年级下·浙江金华·期中）某文具店为了庆祝“六一”儿童节，推出了笔记本、签字笔和荧光笔的组合优惠．下表是该文具店的促销内容信息．
项目
套餐价格（元）
比分开买省的费用（元）
（一本笔记本）（一支签字笔）
11
4
（一支签字笔）（一支荧光笔）
7
3
（一本笔记本）（一支荧光笔）
12
5
（一本笔记本）（一支签字笔）（一支荧光笔）
m
6
试根据要求回答问题：
(1)若小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔，且以最省钱的方式购买，他需要付多少元？
(2)表中“m”处的数值是多少？
(3)已知笔记本的单价是11元/本，班级学习委员带了205元钱去采购，笔记本买了a本、签字笔买了b支、荧光笔买了c支，且a，b，c为正整数，求的最大值．
【答案】(1)18元
(2)
(3)57
【分析】（1）根据最省钱方案进行解答即可；
（2）设笔记本单价为元，签字笔单价为元，荧光笔单价为元，根据题意列出三元一次方程组进行解答即可；
（3）分情况讨论后得到，，，即可求出答案．
【详解】（1）解：购买“笔记本签字笔”套餐和“签字笔荧光笔”套餐最省钱．
所以，小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔，
且以最省钱的方式购买，他需要付18元．
（2）设笔记本单价为元，签字笔单价为元，荧光笔单价为元，
根据题意可知“套餐价格节省的钱分开买的总价”，
所以可列方程组，
由可得，，
即分开买“笔记本签字笔荧光笔”的价格为21元，比分开买省6元，
所以套餐价格．
（3）解：∵笔记本的单价为11元/本，
∴由题意计算可得签字笔单价为4元，荧光笔单价为6元．若购买2支签字笔需8元，而购买“签字笔荧光笔”套餐只需7元即可获得2支笔．所以考虑尽可能多地购买“签字笔荧光笔”套餐．
，
∴若购买29或28套“签字笔荧光笔”，则无法再购买笔记本；
若购买27套，则还剩16元，可再购买套餐“笔记本签字笔”和一支“签字笔”，
此时，，，
的最大值是57．
78．（25-26七年级下·山东德州·期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，我们不需要单独求出每一个未知数的具体数值，而是要得到关于这些未知数的整体表达式的值，如以下问题：
已知实数满足，，求和的值．
本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则，；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、本日记本共需元，买支铅笔、本日记本共需元，利用上述“整体思想”求购买5支铅笔、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么．
【答案】(1)，
(2)购买支铅笔、本日记本共需元
(3)
【分析】（1）把两个方程相减、加即可得到答案；
（2）设每支铅笔元，每本日记本元，则，然后即可求解；
（3）由得，，，然后进行加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
由可得，
由得，
∴；
（2）解：设每支铅笔元，每本日记本元，
则，
，得，
，得，
∴，
∴购买支铅笔、本日记本共需元；
（3）解：∵
∴，，，
∴，得，
∴，
，得，
，得，
∴，
即．
79．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值．
(2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？
(3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元
(3)
【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果；
（2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果；
（3），由可得，即可得出结果．
【详解】（1）解：，
由可得：，
由可得：，
∴；
（2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，
由题意可得：，
由可得：，
由可得：，
∴，
∴（元），
故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元；
（3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，，
∴，
由可得：，
∴．
80．（25-26八年级上·广东深圳·期中）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表：
等级
A
B
C
票价（元/张）
未知
未知
150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．
(1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？
(2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．）
【答案】(1)小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元
(2)他购买的门票总数为8或9或10张
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键．
（1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意列方程组，然后解方程组即可；
（2）设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，根据题意列出方程，然后根据x、y、z是整数，列举符合条件的x、y、z值即可求解．
【详解】（1）解：设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，
根据题意可得：，
解得：，
故（元），
答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元；
（2）解：设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，
根据题意可得：，
当，时，；
当，时，；
当，时，，只有这几种方案是整数，符合题意，
故小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张．
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专题03一次方程与方程组实际应用
基础·固本强基
题型1一元一次方程配套和差倍分问题
题型2一元一次方程行程基础问题（重点）
题型3一元一次方程工程基础问题
题型4二元一次方程组简单配套问题（重点）
题型5一元一次方程比赛积分基础问题（重点）
题型6一元一次方程数字问题
题型7一元一次方程（组）古代问题（重点）
提升·进阶突破
题型8一元一次方程销售利润问题（重难点）
题型9一元一次方程分段计费问题（难点）
题型10二元一次方程组行程相遇追及问题（难点）
题型11二元一次方程组方案选择基础问题（重点）
题型12一元一次方程方案选择问题（重点）
题型13一元一次方程日历问题（重点）
拔高·压轴破难
题型14一元一次方程水箱调配、溶液浓度问题（重难点）
题型15方程实际应用与动点综合压轴题（难点）
题型16三元一次方程组三个等量综合应用题（重难点）
基础·固本强基
题型1一元一次方程配套和差倍分问题（共5小题）
【模型】和差倍分等量模型→抓住“共、差、倍、比”等关键词，梳理数量间的加减或倍数关系，设一个未知量建立一元一次方程。
【步骤】①审题，找出核心等量句；②设合适的未知量为x；③用含x的式子表示相关量；④根据等量关系列方程；⑤解方程、检验并作答。
【易错】倍数关系写反；“多、少”处理错误；单位不统一。
1．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？
2．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
3．（25-26七年级上·河南开封·期中）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？
4．（25-26七年级下·山西临汾·期中）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？
5．（25-26六年级下·山东威海·期中）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人．
(1)甲、乙两车间各有多少人？
(2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？
题型2一元一次方程行程基础问题（共5小题）
【模型】行程基础模型→基本关系：路程=速度×时间，同一对象匀速运动时，常根据路程相等或时间相等列方程。
【步骤】①明确已知速度、时间、路程；②设未知量；③画线段图分析运动过程；④根据路程关系列方程；⑤统一单位后求解检验。
【易错】时间分段处理错误；停留时间忽略；速度单位和时间单位不统一。
6．（25-26七年级上·广东·期中）甲、乙两人从相距240米的两地同时出发相向而行，甲的速度是，乙的速度是．设出发后t秒相遇．
(1)列方程求出t的值；
(2)相遇时甲走了多少米？
7．（26-27七年级上·全国·期中）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度．
8．（26-27七年级上·天津·期中）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）请问爸爸追上小明用了多长时间？
（2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？
9．（26-27七年级上·湖南长沙·期中）小希从家骑车去电影院，每分钟行米，走了全程的三分之一时发现，如果按照这个速度骑行会迟到分钟，于是他提速到每分钟行米，结果还是迟到了分钟．那么小希家到电影院的路程是多少米？
10．（26-27七年级上·湖南湘西·期中）锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？
题型3一元一次方程工程基础问题（共5小题）
【模型】工程基础模型→常把总工作量看作1，基本关系：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于总工作量。
【步骤】①确定各主体工作效率；②设工作时间或完成量为未知数；③用含未知数的式子表示各部分工作量；④根据“总工作量=1”列方程；⑤求解并检验。
【易错】分不清单独工作、合作工作的效率；容易直接把工作时间相加当作合作时间；忘记先算出每个人的工作效率。
11．（26-27七年级上·浙江湖州·期中）要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？
12．（26-27八年级上·甘肃张掖·期中）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？
13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？
14．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天．
(1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？
(2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？
15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程．
(1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？
(提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间)
(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
题型4二元一次方程组简单配套问题（共5小题）
【模型】配套配比模型→两类部件按固定数量比配套，通常有两个等量关系：总人数/总材料关系、部件配套比例关系。
【步骤】①设两个未知量，如生产甲、乙部件的人数；②根据总人数或总材料列第一个方程；③根据配套比例列第二个方程；④解方程组并验证配套比。
【易错】配套比例写反；两个方程不是独立等量关系；结果不是正整数时不舍去。
16．（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套．
(1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？
(2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？
17．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解）
18．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（辆）
汽车运费（元辆）
(1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送；
(2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
19．（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计）
20．（25-26七年级上·山东临沂·期中）完成如下项目式学习表
情境
挖掘
眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（àidài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播．
素材整合
某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．
工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿．
任务
解决
任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？
题型5一元一次方程比赛积分问题（共5小题）
【模型】比赛积分模型→总积分=胜场积分+平场积分+负场积分，先确定胜、平、负各自积分，再根据总场次和总积分列方程。
【步骤】①审题，明确比赛场次和积分规则；②设胜场或平场为未知数；③表示出总积分；④根据总积分列方程；⑤求解并检验场次是否合理。
【易错】胜、平、负积分规则混淆；总场次与胜平负场数关系错误。
21．（26-27七年级上·湖南湘西·期中）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？
22．（25-26七年级下·吉林长春·期中）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数．
23．（25-26七年级下·福建泉州·期中）2026年6月，被誉为“小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？
24．（25-26七年级下·河南周口·期中）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？
25．（25-26七年级上·山东临沂·期中）某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
10
10
40
(1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分；
(2)甲同学得了70分，他答对了几道题？
(3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？
题型6一元一次方程数字问题（共5小题）
【模型】数字表示模型→两位数=10×十位数字+个位数字，三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字，根据数位变化或数字关系列方程。
【步骤】①设某一位数字为x；②用x表示原数和新数；③根据题意写出等量关系；④列方程求解；⑤检验数字是否在0—9范围内。
【易错】数位值表示错误；新数与原数关系理解错误；忽略数字取值范围。
26．（25-26七年级上·全国·期中）一个六位数的首位数字为1．如果把这个数字移到原来个位数字的右边，得到一个新的六位数，那么新得到的数是原数的3倍．求原来的六位数．
27．（25-26七年级下·河南周口·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数．
28．（25-26七年级下·河南周口·期中）一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
29．（2026·陕西·模拟预测）一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？
30．（25-26七年级下·广东东莞·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．
(1)求这个两位数．
(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？
(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．
题型7一元一次方程（组）古代问题（共5小题）
【模型】古题翻译模型→把古文数量关系翻译成现代数学语言，常见类型有分配、工程、行程、鸡兔同笼等，再建立一次方程或方程组。
【步骤】①逐句翻译题意；②找出未知量和等量关系；③设未知数并列方程（组）；④求解；⑤检验答案是否符合古题意思。
【易错】古文关键词理解错误；数量关系翻译颠倒；单位不一致。
31．（26-27七年级上·全国·期中）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？
32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）《孙子算经卷下第十九题》．今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问本米几何？（提示：一斗=10升）
33．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？
34．（26-27八年级上·全国·期中）今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？（1斤两，1两铢）
35．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？
提升·进阶突破
题型8一元一次方程销售利润问题（共5小题）
【模型】销售利润模型→核心关系式：,根据利润、利润率或者销售额的等量关系列一元一次方程
【步骤】①审题，区分进价、标价、折扣、售价、利润、利润率；②选取合适的量设未知数；③用含未知数的代数式表示售价、利润；④根据题干给出的等量关系列方程；⑤解方程，检验结果是否符合销售实际，最后作答
【易错】混淆利润率的分母，误除以售价；折扣理解出错，例如八折直接乘8；利润、亏损的正负符号处理错误。
36．（26-27七年级上·辽宁沈阳·期中）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？
37．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损．
(1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元．
(2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：
①购买商品总价不超过元，不优惠；
②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠；
③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠；
按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？
38．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克．
(1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？
(2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？
(3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？
39．（26-27七年级·全国·期中）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值．
40．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？
题型9一元一次方程分段计费问题（共5小题）
【模型】分段计费模型→总费用=各段费用之和，不同区间收费标准不同，先判断用量所在区间，再分段计算。
【步骤】①判断总量是否跨档；②分段表示每一段费用；③根据总费用列方程；④求解后验证是否落在对应区间。
【易错】全部用量直接按高档单价计算；分段点处理错误；列方程时某一段漏算。
41．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价：
峰时段（）电价为元/千瓦时；
谷时段（—次日）电价为元/千瓦时．
(1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元；
(2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简；
(3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时．
42．（25-26七年级上·山西朔州·期中）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
43．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过220度的部分
a
第2档
超过220度但不超过300度的部分
0.55
第3档
超过300度的部分
已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元．
(1)填空：表中a的值为；
(2)求小明家10月份的用电量；
(3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量．
44．（25-26七年级上·福建福州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量；
(1)当时，水费为________元；
当时，水费为________元；（用含x的式子表示）
(2)
月份
10月
11月
12月
用水量
15
22
a
小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？
45．（26-27七年级·全国·期中）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算．
用气量（立方米）
单价（元）
第一档
（含）
2.53
第二档
（含）
2.78
第三档
600以上
3.54
(1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？
(2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？
题型10二元一次方程组行程相遇及追及问题（共5小题）
【模型】相遇追及模型→相遇问题：路程和=总距离；追及问题：路程差=初始距离，结合时间、速度关系列方程组
【步骤】①判断运动类型：相遇或追及；②设两个速度或时间为未知数；③根据路程和或路程差列两个方程；④解方程组并检验。
【易错】相向、同向混淆；运动时间不同步；追及距离和相遇距离混淆。
46．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为．
(1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度；
(2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等．
47．（25-26七年级上·重庆·25-26）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？
48．（25-26七年级下·全国·期中）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）．
(1)甲、乙每小时各行多少千米？
(2)若甲出发后两人相距1km，求的值．
49．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？
50．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要．
(1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？
(2)求的长度．
题型11二元一次方程组方案选择基础问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→先通过两组条件列方程组求出单价或单位费用，再计算不同方案的总费用，进行比较。
【步骤】①设两种物品单价为未知数；②根据两组购买信息列方程组；③求出单价；④分别计算各方案费用；⑤选择最优方案。
【易错】求完单价后代入数量错误；只比较部分费用；忽略整数要求。
51．（26-27七年级上·全国·期中）某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座）
(1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？
(2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？
52．（25-26七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
53．（25-26七年级下·广西南宁·期中）有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t．
(1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？
(2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？
(3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？
54．（25-26七年级下·四川广元·期中）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元．
(1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？
(2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案．
55．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息：
信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元．
信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元．
(1)求绿萝、兰草每盆分别是多少元．
(2)若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）．
①用含的代数式表示．
②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多．
题型12一元一次方程方案选择问题（共5小题）
【模型】方案对比模型→给出多种收费、购买、租车方案，先用代数式写出每种方案的总费用表达式，再分情况比较费用大小，确定最优方案
【步骤】①审题，找出每种方案的收费规则；②设合适的未知量；③分别列出各个方案费用的代数式；④列方程求出费用相等时的临界值；⑤分区间讨论，判断不同范围下哪个方案更划算；⑥检验取值是否符合实际，给出结论
【易错】找错临界等量关系；忽略自变量的取值限制（正整数、非负数）；只计算单个数值，缺少分类讨论。
56．（25-26六年级下·山东东营·期中）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题．
(1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
57．（25-26七年级上·全国·期中）延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：
购票张数1~50张
每张票的价格为13元
购票张数51∼100张
每张票的价格为11元
购票张数100张以上
每张票的价格为9元
其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．
(1)两个班各有多少学生？
(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
(3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？
58．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
59．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
60．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1
九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买个足球根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多．
素材2
该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款；
方案②：买一个足球送一条跳绳．
现学校要购买足球个，跳绳（）根．
问题解决
(1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？
(2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案．
题型13一元一次方程日历问题（共5小题）
【模型】日历规律模型→日历中同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，根据圈出的数之间的和、差、倍数关系列方程。
【步骤】①设其中一个日期为x；②表示出其余相关日期；③根据和或倍数关系列方程；④求解；⑤检验日期是否符合实际月份范围。
【易错】同一列规律记错为差1；跨月日期未考虑；结果超出合理范围不舍去。
61．（26-27七年级上·全国·期中）在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数．
(1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号．
(2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由．
62．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________
(2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________；
(3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由．
63．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，．
(1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____．
(2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由．
64．（26-27七年级·全国·期中）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题：
(1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115；
(2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由．
65．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为（用含的式子表示）：
(2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为（用含的式子表示）；
(3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为（用含的式子表示）：
(4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为；
(5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期．
拔高·压轴破难
题型14一元一次方程水箱调配、溶液浓度问题（共5小题）
【模型】溶液混合模型→两种不同浓度溶液混合，混合前后溶质总量不变，溶液总质量为两种溶液质量之和。
【步骤】①设其中一种溶液质量为未知数；②表示混合前后溶质；③根据“混合前溶质=混合后溶质”列方程；④求解；⑤检验浓度是否合理。
【易错】混合后溶液质量误算；高浓度和低浓度混淆；百分比与小数混用。
66．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深，把一高度为的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深现将储水箱中的水匀速注入水池，注水时水池水面与石柱上底面持平；继续注水后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深．根据上述信息，解答下列问题：
(1)注水1分钟后储水箱中的水深为_______；
(2)注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
(3)若石柱的体积为，请直接写出注水前储水箱中水的体积_______
67．（25-26七年级上·广西梧州·期中）糖水中糖的质量糖水总质量浓度，比如，一杯浓度为的糖水千克，含糖量为千克，用公式表示为：．
(1)一桶原材料糖水质量为千克，浓度为，则其糖的质量为___________千克？
(2)饮料的甜度对口感和人体健康有着显著的影响，过度摄入糖分易引发肥胖症等健康问题．经研究表明，某种饮料的最佳甜度（即糖水浓度）为．现有一种原料甜度（浓度）为的饮料千克，若要将其调配至最佳甜度，需要额外添加多少非糖饮料（非糖饮料不含糖）？请通过列方程来解决．
68．（25-26七年级下·广西崇左·期中）综合与实践
全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：
开私家车二氧化碳排放量耗油量
家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量
家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量
(1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？
(2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量；
(3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？
69．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息：
产品名称
产品规格
有效成分
用途
二氧化氯消毒片
每片质量1克
二氧化氯含量
消毒杀菌
已知：溶液浓度．请解答下列问题：
(1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值．
(2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？
70．（25-26七年级上·河南安阳·期中）手工扎染需要调配低浓度的活性染料（溶质）溶液．某品牌的活性染料（溶质）速溶片，每片质量1克，有效成分含量为，可直接溶于水（溶剂）制得染料溶液．
已知：溶液浓度．请解答下列问题：
(1)扎染布料配制千克浓度为的染料溶液用于布料染色，刚好需要该速溶片片，求的值；
(2)浅色布料需要更淡的染料，扎染师用千克浓度为的染料溶液，可稀释成多少千克浓度为的染料溶液？稀释过程中需加水多少千克？
题型15实际应用与动点综合压轴题（共5小题）
【模型】动点行程综合模型→点在线段或折线上运动，设时间t为未知数，用含t的式子表示路程、线段长度或位置，再根据等量关系列方程。
【步骤】①设运动时间为t；②表示出动点走过的路程；③根据距离、相遇、追及或面积关系列方程；④分情况讨论；⑤舍去不符合实际的解。
【易错】没有分类讨论；动点到达终点后继续计算；线段长度表达式符号错误。
71．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）如图，根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
(1)若将数轴折叠，使点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是_______；
(2)若此数轴上M，N两点之间的距离为2026（点M在点N的左侧），且当点A与点C重合时，点M与点N也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是M：_______，N：_______；
(3)若数轴上P，Q两点间的距离为m（点P在点Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使点P与点Q重合，则P，Q两点表示的数分别为P：_______，Q：_______；（用含m，n的式子表示这两个数）
(4)若数轴上点D与原点O的距离是点D与30所对应的点E的距离的5倍，求点D表示的数是多少．
72．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）已知点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是的“K倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：．
(1)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题：①；
②若点C在数轴上且，则点C表示的数为；
③若点D是数轴上一点，且，求点D表示的数．
(2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为25，点M，N为线段上的两点，点M更靠近点F（对点E，F而言），且，，求线段的长度．
73．（25-26七年级下·江苏南京·期中）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图1中与的值．
(2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
74．（25-26七年级下·河南周口·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形．
你能求出这些小长方形的长和宽吗？
【思路分析】
(1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______．
【问题解决】
(2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽．
【拓展延伸】
(3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度．
75．（25-26七年级下·北京·期中）数学实践：用标准卡纸制作礼盒．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图．
(1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值．
(2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？
题型16三元一次方程组三个等量综合应用题（共5小题）
【模型】三量综合模型→题目含三个未知量，且有三组独立等量关系，通过两次消元将三元化为二元，再化为一元求解。
【步骤】①设三个未知量；②列出三个三元一次方程；③先消去同一个未知数，得到二元一次方程组；④解二元组并回代；⑤将结果代入三个原方程检验。
【易错】两次消元消去不同未知数；回代计算错误；三个方程中有重复条件仍当作独立方程。
76．（26-27八年级上·全国·期中）今有鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一，凡百钱买鸡百只．问：鸡翁母雏各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：只公鸡价值钱，只母鸡价值钱，只小鸡合计价值钱．购买只鸡总共花了钱，则公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
77．（25-26七年级下·浙江金华·期中）某文具店为了庆祝“六一”儿童节，推出了笔记本、签字笔和荧光笔的组合优惠．下表是该文具店的促销内容信息．
项目
套餐价格（元）
比分开买省的费用（元）
（一本笔记本）（一支签字笔）
11
4
（一支签字笔）（一支荧光笔）
7
3
（一本笔记本）（一支荧光笔）
12
5
（一本笔记本）（一支签字笔）（一支荧光笔）
m
6
试根据要求回答问题：
(1)若小明想买1本笔记本、2支签字笔和1支荧光笔，且以最省钱的方式购买，他需要付多少元？
(2)表中“m”处的数值是多少？
(3)已知笔记本的单价是11元/本，班级学习委员带了205元钱去采购，笔记本买了a本、签字笔买了b支、荧光笔买了c支，且a，b，c为正整数，求的最大值．
78．（25-26七年级下·山东德州·期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，我们不需要单独求出每一个未知数的具体数值，而是要得到关于这些未知数的整体表达式的值，如以下问题：
已知实数满足，，求和的值．
本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则，；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、本日记本共需元，买支铅笔、本日记本共需元，利用上述“整体思想”求购买5支铅笔、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么．
79．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值．
(2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？
(3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值．
80．（25-26八年级上·广东深圳·期中）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表：
等级
A
B
C
票价（元/张）
未知
未知
150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．
(1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？
(2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．）
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