专题02 一次方程和方程组中含参问题16大题型71题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题02一次方程和方程组中含参问题 基础·固本强基 题型1已知方程的解，代入求参数的值（高频点） 题型2根据一元一次方程定义，求参数（基础点） 题型3根据二元一次方程（组）定义，求参数（高频点） 提升·进阶突破 题型4 方程组的解满足另外一个代数式，求参数（重点） 题型5 两个方程组同解问题，求参数（重点） 题型6 方程（组）有无数组解、无解问题，求参数（重点） 题型7 看错系数、错解还原，求原参数（重点） 题型8构造二元一次方程组求解（重点） 题型9 一元一次方程中同解问题求参数（重点） 题型10 一元一次方程中错看、漏写类题型（重点） 题型11 已知两个一元一次方程解的关系求参数（重点） 题型12已知三元一次方程组的解求参数（重点） 拔高·压轴破难 题型13含参数方程组解为整数解，求参数（难点） 题型14 解满足x、y 互为相反数/相等，求参数（重难点） 题型15 含参方程与新定义结合选填（重难点） 题型16 一元一次方程与新定义结合（重难点） 基础·固本强基 题型1已知方程的解，代入求参数的值（共5小题） 【模型】解代入求值模型→把已知方程的解直接代入原方程，得到只含有参数的一元一次方程，求解得到参数 【步骤】①将题目给出的解代入原方程；②整理化简，得到只含参数的方程；③解方程求出参数；④回代原方程检验 【易错】代入负数时忘记添加括号；混淆未知数与参数，代错式子 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于x的方程的解是0，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东云浮·一模）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元一次方程的解（是常数），那么的值为（   ） A．13 B．2 C．1 D． 5．（25-26七年级下·四川资阳·期中）若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（    ） A．27 B．1 C． D．0 题型2根据一元一次方程定义，求参数（共5小题） 【模型】一元一次方程定义限定模型→满足三个条件：只含一个未知数、未知数次数为 1、一次项系数不为 0 【步骤】①令未知数的指数等于 1；②列出不等式保证一次项系数≠0；③联立计算参数；④验证，舍去不符合条件的值 【易错】容易漏掉一次项系数不等于 0 这个隐藏限制条件 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 7．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期中）如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是___________． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则______． 9．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如果是关于的一元一次方程，求______． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）若方程是关于的一元一次方程，求_________． 题型3根据二元一次方程（组）定义，求参数（共5小题） 【模型】二元一次方程定义限定模型→含有两个未知数，未知数最高次数都是 1，两个未知数的系数均不为 0 【步骤】①令两个未知数的次数都等于 1；②保证两个未知数系数都不等于 0；③计算参数，剔除让系数为 0 的取值；④检验 【易错】只看次数，忽略其中一个未知数系数不能为 0 的条件 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 12．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是二元一次方程，则______． 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是________． 14．（25-26七年级下·北京石景山·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）若关于x，y的方程，是关于，的二元一次方程，则的值是________． 提升·进阶突破 题型4方程组的解满足另外一个代数式，求参数（共5小题） 【模型】解联动条件模型→把参数看作常数，先用参数表示出 x、y，再将 x、y 代入附加等式，构建新方程求参数 【步骤】①视参数为常数，解方程组，用参数表示 x、y；②把 x、y 代入题干给出的关系式；③解方程求出参数；④回代检验 【易错】解题顺序颠倒，先求参数再代入计算 16．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）若是关于、的方程的解，则______________． 17．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）已知是关于的方程组的解，则______． 18．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是________． 19．（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知是二元一次方程的一组解，则________． 20．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）关于，的二元一次方程的一个解是，则_______． 题型5两个方程组同解问题，求参数（共5小题） 【模型】同解方程组模型→两组方程组拥有完全相同的一组公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数 【步骤】】①挑选两个不含参数的方程联立，求出公共的 x、y；②把这组公共解代入含有参数的方程；③计算参数的值；④检验 【易错】直接联立带参数的方程计算，分不清哪些方程不含参数 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 22．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 23．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）已知方程组的解和方程组的解相同， (1)求这两个方程组的公共解． (2)求的值． 24．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． 25．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 题型6方程（组）有无数组解、无解问题，求参数（共5小题） 【模型】一次方程组解判定模型：对于，有无数组解；无解 【步骤】①把方程整理成标准的形式；②写出对应系数比例式；③分无解、无数解两种情况讨论；④求出参数并验证 【易错】比例式对应关系写反，混淆无解和无数解的判定条件 26．（25-26七年级上·天津南开·期中）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 27．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足______． 29．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果关于的方程无解，那么实数________． 30．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x，y的二元一次方程组无解，则______． 题型7看错系数、错解还原，求原参数（共5小题） 【模型】错解还原模型→看错系数得到的错解，满足没有看错的方程；利用错解先求出参数，再计算正确解【步骤】①区分看错的项、没有看错的项；②将错解代入没有看错的方程，求出参数；③将参数放回原方程，算出正确解；④检验 【易错】把错解代入已经看错系数的方程 31．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则____． 32．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 33．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 34．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）解关于x、y的方程组时，甲正确地解得方程组的解为，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为． (1)求a、b、c的值； (2)的值． 35．（25-26七年级下·山东威海·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 题型8构造二元一次方程组求解（共5小题） 【模型】条件构造方程组模型→根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组，再消元求解 【步骤】①读懂题意，提取两组等量关系；②设未知数，列出标准二元一次方程组；③选用代入或者加减消元法求解；④检验作答 【易错】等量关系理解错误，列出来的方程组和题意不符 36．（2026·山东潍坊·模拟预测）当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 37．（25-26七年级下·北京·期中）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·山东德州·期中）在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为12和18，已知，则的值是__________ 39．（25-26七年级下·陕西西安·期中）对于任意的实数，，规定，若，，则的值为___________． 40．（25-26七年级下·贵州黔东南·期中）设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 题型9一元一次方程中同解问题求参数（共5小题） 【模型】一元一次同解方程模型→两个一元一次方程解相同，先解不含参数的方程，把解代入含参方程求参数 【步骤】①先解没有参数的一元一次方程，得到解；②把这个解代入含参数的方程；③解出新方程求出参数；④检验 【易错】直接联立两个一元一次方程，混淆同解的使用方法 41．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程与的解相同．若，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，求的值． 42．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 43．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程． (1)若，该方程的解为________； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 44．（25-26六年级下·山东济宁·期中）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 45．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 题型10一元一次方程中错看、漏写类题型（共5小题） 【模型】一元一次错解还原模型→看错符号、漏写分母、漏写括号得到错解，错解满足看错之后的方程，反求参数 【步骤】①写出看错之后对应的方程；②把错解代入看错后的方程求出参数；③将参数带回原方程，计算正确解；④检验 【易错】错解直接代入原始正确方程计算 46．（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 47．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 48．（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 49．（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 50．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘，因而求得的解是，求原方程正确的解． 题型11已知两个一元一次方程解的关系求参数（共5小题） 【模型】解的关系联动模型→先分别解两个方程（解用参数表示），再根据 “解相等、解互为相反数、解存在倍数关系” 列等式求参数 【步骤】①分别解两个方程，用参数表示各自的解；②根据题干给出的解的数量关系列方程；③解方程求出参数；④检验 【易错】搞反两个解之间的大小、倍数、正负关系 51．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 52．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）若关于x的方程的解是关于y的方程的解的6倍，求k的值． 53．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 54．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 55．（25-26七年级上·江苏南通·期中）两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． 题型12已知三元一次方程组的解求参数（共6小题） 【模型】解代入求值模型→方程组的解满足方程组里每一个方程，把已知的一组解直接代入三元一次方程组，得到只含参数的新方程组，求解得到参数 【步骤】①把给出的的值，代入原三元一次方程组；②整理得到关于参数的方程组；③解这个方程组求出参数；④把参数代回原方程组检验 【易错】代入的时候符号出错；漏代其中某一个方程，只代入部分方程求参数 56．（25-26七年级下·四川遂宁·期中）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 57．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 58．（25-26七年级下·全国·期中）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 59．（25-26七年级下·全国·期中）关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级下·山东威海·期中）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 51．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 拔高·压轴破难 题型13含参数方程组解为整数解，求参数（共5小题） 【模型】整数解限定模型→先用参数表示未知数，根据 x、y 为整数，分析整除条件，筛选符合条件的参数【步骤】①解方程组，把 x、y 写成含参数的代数式；②根据 x、y 是整数，分析整除条件；③列举所有符合条件的参数；④回代验证 【易错】只考虑正因数，漏掉负因数，出现漏解 52．（18-19七年级下·福建福州·期中）已知a为正整数，关于x、y的方程组的解都是整数，则a2＝（　　） A．1或16 B．4或16 C．1 D．16 53．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 54．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 55．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 56．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 题型14解满足 x、y 互为相反数 / 相等，求参数（共5小题） 【模型】附加条件联动模型→增加条件（互为相反数）或者，和原方程组联立求解 【步骤】①写出附加等式：或者；②和原方程联立，求出 ；③代入含参方程求出参数；④检验 【易错】概念混淆，把互为相反数理解成 57．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组的解x与y互为相反数，则k的值是_______． 58．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程组的解x的值是y的值的3倍，则___________． 59．（25-26七年级下·河南信阳·期中）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为___________． 60．（25-26七年级下·贵州黔西南·期中）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 __． 61．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为__． 题型15含参方程与新定义结合选填（共3小题） 【模型】新定义转化模型→读懂题目新定义运算规则，翻译成常规等式，转化为含参一次方程（组），求解参数 【步骤】①拆解新定义运算，转化成普通代数式；②列出含参数的方程（组）；③解方程求参数；④带回新定义验算 【易错】看不懂新运算规则，代数式翻译错误 62．（25-26七年级下·四川乐山·期中）定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”． （1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）． ①；②；③． （2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________． 63．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成（a，b为非零整数）的形式为______．若是一个“完美数”，且，则______． 64．（25-26七年级下·北京石景山·期中）关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． (1)下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①；    ②；    ③；    ④． (2)若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； (3)当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 65．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 66．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； (2)下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ (3)若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值． 题型16一元一次方程与新定义结合（共5小题） 【模型】一元一次新定义转化模型→根据新定义列出一元一次方程，结合一元一次方程定义或者方程的解求参数 【步骤】①按照新定义列出等式；②整理为一元一次方程标准形式；③结合条件求解参数；④检验是否满足一元一次方程要求 【易错】整理后忽略一元一次方程一次项系数不为 0 的隐藏条件 67．（25-26七年级上·福建莆田·期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 68．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 69．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 70．（2025七年级上·重庆·期中）已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的输出多项式为，记为．例如：若，则的输出多项式．根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的输出多项式________； (2)若，设是的输出多项式．则关于x的方程的解为_______； (3)已知是关于x多项式，关于x的方程有无数个解，求的值； (4)若，的解为，求关于y的一元一次方程的解． 71．（25-26七年级上·山东日照·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一次方程和方程组中含参问题 基础·固本强基 题型1已知方程的解，代入求参数的值（高频点） 题型2根据一元一次方程定义，求参数（基础点） 题型3根据二元一次方程（组）定义，求参数（高频点） 提升·进阶突破 题型4 方程组的解满足另外一个代数式，求参数（重点） 题型5 两个方程组同解问题，求参数（重点） 题型6 方程（组）有无数组解、无解问题，求参数（重点） 题型7 看错系数、错解还原，求原参数（重点） 题型8构造二元一次方程组求解（重点） 题型9 一元一次方程中同解问题求参数（重点） 题型10 一元一次方程中错看、漏写类题型（重点） 题型11 已知两个一元一次方程解的关系求参数（重点） 题型12已知三元一次方程组的解求参数（重点） 拔高·压轴破难 题型13含参数方程组解为整数解，求参数（难点） 题型14 解满足x、y 互为相反数/相等，求参数（重难点） 题型15 含参方程与新定义结合选填（重难点） 题型16 一元一次方程与新定义结合（重难点） 基础·固本强基 题型1已知方程的解，代入求参数的值（共5小题） 【模型】解代入求值模型→把已知方程的解直接代入原方程，得到只含有参数的一元一次方程，求解得到参数 【步骤】①将题目给出的解代入原方程；②整理化简，得到只含参数的方程；③解方程求出参数；④回代原方程检验 【易错】代入负数时忘记添加括号；混淆未知数与参数，代错式子 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于x的方程的解是0，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程解的意义及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解的意义及解一元一次方程是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 解得：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 把代入方程，即可得出一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：． 故选：C． 3．（2025·广东云浮·一模）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元一次方程的解（是常数），那么的值为（   ） A．13 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算．将代入中，计算求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26七年级下·四川资阳·期中）若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（    ） A．27 B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，关键在于熟练掌握解方程的方法．将代入方程解出k值即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴， 整理得：， 解得：． 故选：B． 题型2根据一元一次方程定义，求参数（共5小题） 【模型】一元一次方程定义限定模型→满足三个条件：只含一个未知数、未知数次数为 1、一次项系数不为 0 【步骤】①令未知数的指数等于 1；②列出不等式保证一次项系数≠0；③联立计算参数；④验证，舍去不符合条件的值 【易错】容易漏掉一次项系数不等于 0 这个隐藏限制条件 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得：． 7．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期中）如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是___________． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的最高指数必须为1，且系数不为，因此，解此绝对值方程即可． 【详解】解：依题意得： ， 解得或， 故答案为1或3． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及解法，熟练掌握一元一次方程的定义及解法是解题的关键；由题意易得且，则有或，然后分情况进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程是一元一次方程，可知：且， 解得：或，， 当时，则原方程为，解得：， ∴； 当时，则原方程为，解得：， ∴； 故答案为或． 9．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如果是关于的一元一次方程，求______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，，进而求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）若方程是关于的一元一次方程，求_________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义，根据一元一次方程的定义可得，，求出m值即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ，， ， 故答案为：2． 题型3根据二元一次方程（组）定义，求参数（共5小题） 【模型】二元一次方程定义限定模型→含有两个未知数，未知数最高次数都是 1，两个未知数的系数均不为 0 【步骤】①令两个未知数的次数都等于 1；②保证两个未知数系数都不等于 0；③计算参数，剔除让系数为 0 的取值；④检验 【易错】只看次数，忽略其中一个未知数系数不能为 0 的条件 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，且， 由，得， 解得或， ∵， 即， ∴． 12．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可列方程，，解得，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，，解得，， ∴． 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的定义，含未知数的项的最高次数都为1，且方程组共含两个未知数，由此得到系数和次数的关系，求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵方程组是关于，的二元一次方程组， ∴二次项的系数必须为，且的次数为， ∴， 解得， ∴． 14．（25-26七年级下·北京石景山·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，该方程需要含有两个未知数，所含未知数的项的次数都为1，且x的系数不为0，据此列出关于m的条件求解即可． 【详解】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解绝对值方程，得或，即或， 由不等式，得， 综上可得，． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）若关于x，y的方程，是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】3 【分析】先根据二元一次方程的定义列出关于m、n的方程组，求出m、n的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴ ， 解得，， ∴． 提升·进阶突破 题型4方程组的解满足另外一个代数式，求参数（共5小题） 【模型】解联动条件模型→把参数看作常数，先用参数表示出 x、y，再将 x、y 代入附加等式，构建新方程求参数 【步骤】①视参数为常数，解方程组，用参数表示 x、y；②把 x、y 代入题干给出的关系式；③解方程求出参数；④回代检验 【易错】解题顺序颠倒，先求参数再代入计算 16．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）若是关于、的方程的解，则______________． 【答案】 【分析】将给定的，的值代入原方程，即可计算得到的值． 【详解】解：∵是关于、的方程的解， ∴， ∴． 17．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）已知是关于的方程组的解，则______． 【答案】 【分析】将已知的方程组解代入原方程组，得到关于和的二元一次方程组，求解后计算即可． 【详解】解：是关于的方程组的解， 将，代入原方程组，得 整理得 ，得， 解得 把代入，得． 解得 ． 18．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 19．（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知是二元一次方程的一组解，则________． 【答案】 【分析】将已知的方程解代入二元一次方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：将代入方程 得 将代入 得 20．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）关于，的二元一次方程的一个解是，则_______． 【答案】 【详解】解：关于，的二元一次方程的一个解是， ∴， 解得． 题型5两个方程组同解问题，求参数（共5小题） 【模型】同解方程组模型→两组方程组拥有完全相同的一组公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数 【步骤】】①挑选两个不含参数的方程联立，求出公共的 x、y；②把这组公共解代入含有参数的方程；③计算参数的值；④检验 【易错】直接联立带参数的方程计算，分不清哪些方程不含参数 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 22．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 【答案】， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 23．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）已知方程组的解和方程组的解相同， (1)求这两个方程组的公共解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值， （2）将（1）求出的解代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， （2）解：把代入，，得， ， 解得：， ∴． 24．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先解关于，的方程组，再解关于，的方程组，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，联立， 解得， 将代入得：， 解得， 则． 25．（25-26七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同， (1)求方程组的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值. 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为. （2）解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得. 题型6方程（组）有无数组解、无解问题，求参数（共5小题） 【模型】一次方程组解判定模型：对于，有无数组解；无解 【步骤】①把方程整理成标准的形式；②写出对应系数比例式；③分无解、无数解两种情况讨论；④求出参数并验证 【易错】比例式对应关系写反，混淆无解和无数解的判定条件 26．（25-26七年级上·天津南开·期中）关于的方程无解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及知道一元一次方程的解求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解得，根据方程无解，可知，从而求得答案． 【详解】解： 关于的方程无解 故选：A． 27．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将进行去分母、移项、合并同类项得，根据该方程无解并结合题意即可求解． 【详解】解： ， ∵方程无解， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的无解问题，理解题意是解决本题的关键． 28．（25-26七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 【详解】 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 29．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果关于的方程无解，那么实数________． 【答案】 【分析】根据方程无解得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：果关于的方程无解， 且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，对于方程，当且时，方程无解． 30．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x，y的二元一次方程组无解，则______． 【答案】− 【分析】根据加减消元法消去y，得到x，因为方程组无解，所以令分母等于0，使这个解无意义，则原方程组无解． 【详解】解：， ①×2得：2mx＋6y＝18③， ②×3得：3x−6y＝3④， ③＋④得：（2m＋3）x＝21， ∴x＝， ∵方程组无解， ∴2m＋3＝0， ∴m＝−． 故答案为：−． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用消元法求得x的值． 题型7看错系数、错解还原，求原参数（共5小题） 【模型】错解还原模型→看错系数得到的错解，满足没有看错的方程；利用错解先求出参数，再计算正确解【步骤】①区分看错的项、没有看错的项；②将错解代入没有看错的方程，求出参数；③将参数放回原方程，算出正确解；④检验 【易错】把错解代入已经看错系数的方程 31．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 32．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组； 根据二元一次方程组的解的定义，将分别代入，可以求出的值，再将 代入求出的值，进而得出，再代入原方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：将分别代入得：， 解得：， 将，代入后，左右两边不相等， 故：，将，代入后可得： ，解得：， 原方程组为 ①+②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 33．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 34．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）解关于x、y的方程组时，甲正确地解得方程组的解为，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为． (1)求a、b、c的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，求代数式的值；正确理解题意是解题的关键； （1）由甲正确地求得方程组的解，代入方程组，则可得关于a、b的方程，且求得c的值；把乙因为把c抄错了而得到的解代入方程组的第一个方程中，也可得关于a、b的方程；联立这两个方程，即可求得a与b的值； （2）把（1）中求得的三个值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，甲求得方程组的解满足方程组， 所以有， 解得：； 乙因抄错了c而得到的解必是的解， 即； 联立得：， 解方程组得：， 故； （2）解：当时， ． 35．（25-26七年级下·山东威海·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b； （2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b． 【详解】（1）解：将代入方程组中的第二个方程得：①， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 联立①② 解得：； （2）设把b看成了m， 把，代入方程， 得 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 题型8构造二元一次方程组求解（共5小题） 【模型】条件构造方程组模型→根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组，再消元求解 【步骤】①读懂题意，提取两组等量关系；②设未知数，列出标准二元一次方程组；③选用代入或者加减消元法求解；④检验作答 【易错】等量关系理解错误，列出来的方程组和题意不符 36．（2026·山东潍坊·模拟预测）当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将和分别代入原式，化简后将两式相加可消去含的项，直接求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理得 ①， ∵当时，， ∴，整理得②， ∴，得， ∴． 37．（25-26七年级下·北京·期中）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 38．（25-26七年级下·山东德州·期中）在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为12和18，已知，则的值是__________ 【答案】 【分析】根据题意得到二元一次方程组，利用整体代入思想和加减消元法即可求解． 【详解】解：由题意可得： 由可得： 整理得 ∵ ∴ 解得． 39．（25-26七年级下·陕西西安·期中）对于任意的实数，，规定，若，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于，的二元一次方程组，求解得到，的值后，即可计算出的结果； 【详解】解：根据规定，结合已知条件得， 整理得， 解得，， ． 40．（25-26七年级下·贵州黔东南·期中）设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 【答案】 【分析】设个数中含有个，个，由题意列方程组求出的值，进而代入代数式计算即可求解． 【详解】解：设个数中含有个，个， ∵不影响计算结果， ∴由题意得，， 解得， ∴． 题型9一元一次方程中同解问题求参数（共5小题） 【模型】一元一次同解方程模型→两个一元一次方程解相同，先解不含参数的方程，把解代入含参方程求参数 【步骤】①先解没有参数的一元一次方程，得到解；②把这个解代入含参数的方程；③解出新方程求出参数；④检验 【易错】直接联立两个一元一次方程，混淆同解的使用方法 41．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程与的解相同．若，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，求的值． 【答案】1 【详解】解：解方程， 解得． 把代入，得 解得． 因为，在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， 所以． 因为是最大的负整数， 所以， 所以． 42．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 43．（2026七年级上·全国·期中）已知关于的方程． (1)若，该方程的解为________； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （3）先求出方程的解，再根据相反数的定义，得到的解为，代入求出m的值即可． （4）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正整数倍，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：解，得 ， ∵的解与方程的解互为相反数， ∴的解为， 即， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 44．（25-26六年级下·山东济宁·期中）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 45．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 【答案】16 【分析】先求出，再将代入，求出m的值，最后将代入代数式计算即可． 【详解】解：解，得 ， ∵关于方程与关于方程的解相同， ∴将代入，得 ， 解得， ∴ ． 题型10一元一次方程中错看、漏写类题型（共5小题） 【模型】一元一次错解还原模型→看错符号、漏写分母、漏写括号得到错解，错解满足看错之后的方程，反求参数 【步骤】①写出看错之后对应的方程；②把错解代入看错后的方程求出参数；③将参数带回原方程，计算正确解；④检验 【易错】错解直接代入原始正确方程计算 46．（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 47．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】把代入到去分母后的方程可得，可得原方程为，进一步解方程即可. 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 48．（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 【答案】，原方程的正确解为 【分析】先把代入忘记乘以的方程里解出的值，再把的值代入原方程求出原方程的正确解． 【详解】解：由题可得当时，， 化简得，，即，， 把代入得，， 解得，； 故原方程为， 方程两边同时乘以得，， 化简得，， 解得，． 49．（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 50．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘，因而求得的解是，求原方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，方程的解的定义，利用错误的解题过程和结果，反推未知参数是解题关键． 先根据题意写出错误去分母后的方程，代入错误的解求出，再把代入原方程，按正确步骤求解得到． 【详解】解：根据题意，错误去分母后的方程为：①， 把代入①得：，解得：， 则原方程为， 去分母得：，解得， 故原方程的解为． 题型11已知两个一元一次方程解的关系求参数（共5小题） 【模型】解的关系联动模型→先分别解两个方程（解用参数表示），再根据 “解相等、解互为相反数、解存在倍数关系” 列等式求参数 【步骤】①分别解两个方程，用参数表示各自的解；②根据题干给出的解的数量关系列方程；③解方程求出参数；④检验 【易错】搞反两个解之间的大小、倍数、正负关系 51．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数的定义，一元一次方程的解及一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．先解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以是方程的解，代入计算即可求解． 【详解】解：解方程， ， ， ， 解得， 两个方程的解互为相反数， ∴是方程的解， 代入，得， ， ， ， ， 解得． 52．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）若关于x的方程的解是关于y的方程的解的6倍，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是先分别求出两个方程的解，再根据“的解是的解的倍”这一条件建立关于的方程，进而求解的值． 先解关于的方程，求出的值；再解关于的方程，用表示出的值；最后根据列出方程，解出． 【详解】解： ， ， ∴． 又∵， ， ∴． ∵ 的解是的解的倍， ∴ ，，，． 故答案为：． 53．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先解两个方程得出，，再根据两方程的解互为相反数得出，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， ， 去分母得， 去括号得，， 合并同类项得， ∵两个方程的解互为相反数 ∴， 解得，， ∴的值为． 54．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知关于x的方程的解比关于y的方程的解小，求a的值． 【答案】 【分析】先求得关于x的方程的解，从而得到关于y的方程的解，然后代入方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：解方程， 得； 由题意可知，关于y的方程的解为， 将代入方程中，得， 解得． 55．（25-26七年级上·江苏南通·期中）两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，解一元一次方程，理解方程解的含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键． 先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， ∵方程的解比方程的解小4， ∴， 解得． 题型12已知三元一次方程组的解求参数（共6小题） 【模型】解代入求值模型→方程组的解满足方程组里每一个方程，把已知的一组解直接代入三元一次方程组，得到只含参数的新方程组，求解得到参数 【步骤】①把给出的的值，代入原三元一次方程组；②整理得到关于参数的方程组；③解这个方程组求出参数；④把参数代回原方程组检验 【易错】代入的时候符号出错；漏代其中某一个方程，只代入部分方程求参数 56．（25-26七年级下·四川遂宁·期中）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 57．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 58．（25-26七年级下·全国·期中）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 59．（25-26七年级下·全国·期中）关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 60．（25-26七年级下·山东威海·期中）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 51．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 拔高·压轴破难 题型13含参数方程组解为整数解，求参数（共5小题） 【模型】整数解限定模型→先用参数表示未知数，根据 x、y 为整数，分析整除条件，筛选符合条件的参数【步骤】①解方程组，把 x、y 写成含参数的代数式；②根据 x、y 是整数，分析整除条件；③列举所有符合条件的参数；④回代验证 【易错】只考虑正因数，漏掉负因数，出现漏解 52．（18-19七年级下·福建福州·期中）已知a为正整数，关于x、y的方程组的解都是整数，则a2＝（　　） A．1或16 B．4或16 C．1 D．16 【答案】D 【分析】根据加减法，可得（a+2）x＝6，根据a是正整数，x、y的值是整数，可得答案． 【详解】， ①+②得， （a+2）x＝6， ∵a为正整数，x为整数， ∴a＝1，x＝2或a＝4，x＝1， 又∵y是整数， ∴a＝4，， ∴a2＝16． 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 53．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 54．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 55．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 【答案】或 【分析】先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值． 【详解】解： 由②得，， 将代入，得， 解得 ∵方程组的解是正整数， ∴和是正整数 ∴是6和9的正公约数 ∴的值为1或3 当时，； 当时， 故整数的值为或． 56．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 题型14解满足 x、y 互为相反数 / 相等，求参数（共5小题） 【模型】附加条件联动模型→增加条件（互为相反数）或者，和原方程组联立求解 【步骤】①写出附加等式：或者；②和原方程联立，求出 ；③代入含参方程求出参数；④检验 【易错】概念混淆，把互为相反数理解成 57．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组的解x与y互为相反数，则k的值是_______． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，正确的得出x，y与k的关系是解题的关键．解方程组，用k分别表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，即可求出k的值． 【详解】解：， ①-②，得， 解得：③， 将③代入①，得， 二元一次方程的解x与y互为相反数， ∴， ， 故答案为：． 58．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程组的解x的值是y的值的3倍，则___________． 【答案】 【分析】根据x和y的关系，将方程组中的x用含y的式子表示；原方程变成关于y和a的二元一次方程组，求出y的值，即可得出的值． 【详解】解：∵x是y的3倍， ∴， 把代入方程组， 得：， 由①得， 把代入②，得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，用含有y的式子代替x是解决此题的关键． 59．（25-26七年级下·河南信阳·期中）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】由x与y的值互为相反数得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值． 【详解】解：由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得：， 解得：，， 则m的值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 60．（25-26七年级下·贵州黔西南·期中）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 __． 【答案】1 【分析】先将x+2y=1和2x-y=7组成二元一次方程组，解得x、y的值后代入kx-y=4即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入得： ， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了方程的解，解二元一次方程组，理解方程的解的意义是本题的解题关键． 61．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为__． 【答案】0 【分析】根据x+y=2求出5x+5y=10，方程组的两方程的两边分别相加得出5x+5y=3k+10，得出方程3k+10=10，求出方程的解即可． 【详解】解：， ①②得：， ， ， ， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程和解二元一次方程组等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键． 题型15含参方程与新定义结合选填（共3小题） 【模型】新定义转化模型→读懂题目新定义运算规则，翻译成常规等式，转化为含参一次方程（组），求解参数 【步骤】①拆解新定义运算，转化成普通代数式；②列出含参数的方程（组）；③解方程求参数；④带回新定义验算 【易错】看不懂新运算规则，代数式翻译错误 62．（25-26七年级下·四川乐山·期中）定义：若关于、的二元一次方程组的解满足，则称这个方程组为“单位差方程组”． （1）下列方程组中是“单位差方程组”的是________（填正确的序号）． ①；②；③． （2）对于任意不为的数，关于、y的方程组都是“单位差方程组”，则________． 【答案】 ①② 或 【分析】（1）先根据新定义，分别求解每个方程组，验证是否为1； （2）根据“单位差方程组”的定义可知，然后分和两种情况求解． 【详解】（1）①解：解方程组， 可得：， ， 方程组是单位差方程组； ②解：解方程组：， 可得：， ， 方程组是单位差方程组； ③解：解方程组， 可得：， ， 方程组不是单位差方程组； 综上所述，是“单位差方程组”的是①②； （2）解：对任意方程组都是单位差方程组， ， 当时， 解方程组， 解得：， 把代入， 可得：， 整理得：， 为任意非的数， ， 解得：， ； 当时， 解方程组， 解得：， 把代入， 可得：， 为任意非的数， ， 解得：， ， 综上所述，或． 63．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成（a，b为非零整数）的形式为______．若是一个“完美数”，且，则______． 【答案】 11 【分析】本题主要考查了新定义．根据 “完美数”的定义解答即可． 【详解】解：因为； 所以13写成（a，b为非零整数）的形式为； 因为，且S为整数， 所以S取6，7，8，9， 因为是一个“完美数”，且只有是“完美数”， 所以， 即． 故答案为：；11 64．（25-26七年级下·北京石景山·期中）关于x，y的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于x，y的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和2”方程组． (1)下列方程组是“合和3”方程组的是__________（只填写序号）； ①；    ②；    ③；    ④． (2)若关于x，y的方程组是“合和”方程组，求的值； (3)当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组，直接写出a，b的值． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【分析】（1）根据“合和3”方程组的定义逐一判断即可； （2）利用加减消元法解方程组得到，根据“合和”方程组的定义得到，据此建立方程求解即可； （3）根据“合和”方程组的定义得到，联立，解方程组得到；把代入中得，根据对于任意的，等式都成立，得到，则． 【详解】（1）解：①∵， ∴方程组的解不满足， ∴方程组不是“合和3”方程组； ② 得，解得， 把代入⑤得，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴方程组是“合和3”方程组； ③ 得， ∴， ∴方程组不是“合和3”方程组； ④∵， ∴方程组的解满足， ∴方程组是“合和3”方程组； 综上所述，是“合和3”方程组的是②④； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“合和”方程组， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，对于的每一个值，关于x，y的方程组都是“合和”方程组， ∴当时，， 联立 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 把代入中得， ∴， ∴， ∵对于任意的，等式都成立， ∴， ∴． 65．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ∴根据题意，得， 解得； （2）解：存在，理由如下： 解方程组， 得， 点是“和谐点”， ， 即， 解得， 综上所述，当时，点是“和谐点”． 66．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； (2)下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ (3)若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1)2或4 (2)②③ (3)或 【分析】（1）根据计算即可； （2）分别判断是否符合即可； （3）根据加减消元法求出的值，根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴， 解得：或； （2）解：①由可知，不是“开心”方程组； ②由可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； ④两方程相加得，化简得，可知，不是“开心”方程组； （3）解： 得， ∴， ∵关于x，y的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得：或． 题型16一元一次方程与新定义结合（共5小题） 【模型】一元一次新定义转化模型→根据新定义列出一元一次方程，结合一元一次方程定义或者方程的解求参数 【步骤】①按照新定义列出等式；②整理为一元一次方程标准形式；③结合条件求解参数；④检验是否满足一元一次方程要求 【易错】整理后忽略一元一次方程一次项系数不为 0 的隐藏条件 67．（25-26七年级上·福建莆田·期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】（1）先求解给定的一元一次方程的解，再求解关于的方程的所有解，验证是否存在使得； （2）先解方程，再求解关于的一元一次方程，根据建立方程求解； （3）先解关于的方程，再根据表示，代入关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； 的值为3或9； （3）的值为或，理由如下： 由， 解得：， ， ， 即的一个解是：， ， 整理得：， ∵分母m不能为0， ， ， ①当时，， ②当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法、绝对值方程的解法以及新定义“十全十美方程”的理解与应用；解题步骤包括：先求出给定一元一次方程的解，再求出关于的方程的所有解，根据判断是否为“十全十美方程”，对于涉及参数的问题，通过解方程建立参数关系求解． 68．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到，根据题意可得，可求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解： 解得， 解得， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2） 解得， 解得， 关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ，即， 无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ， 解得， ， 解得， ． 69．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为3，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得； （2）解：∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为3， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 70．（2025七年级上·重庆·期中）已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的输出多项式为，记为．例如：若，则的输出多项式．根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的输出多项式________； (2)若，设是的输出多项式．则关于x的方程的解为_______； (3)已知是关于x多项式，关于x的方程有无数个解，求的值； (4)若，的解为，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握解一元一次方程的解法． （1）根据输出多项式的定义求解即可； （2）根据输出多项式的定义求出，然后解方程即可； （3）根据，得出，根据有无数个解，得出方程有无数个解，从而得出，，求出a、b的值，最后得出答案即可； （4）根据输出多项式的定义求出，则可得出的解为，然后把变形为，故得出，最后解方程即可． 【详解】（1）解：若，则它的输出多项式； （2）解：∵，是的输出多项式， ∴， 又， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∵有无数个解， ∴方程有无数个解， 即方程有无数个解， ∴，， 解得：，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∵的解为， ∴的解为， 对于方程，变形为， ∴， 解得：． 71．（25-26七年级上·山东日照·期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $