专题01一次方程与方程组（计算专练）14大题型70题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01一次方程与方程组（计算专练） 基础·固本强基 题型1基础一元一次方程（仅移项、合并同类项）计算（重点） 题型2含括号的一元一次方程计算（重点） 题型3代入消元法解简单二元一次方程组计算（重点） 题型4基础加减消元法解二元一次方程组计算（重点） 提升·进阶突破 题型5含分母的一元一次方程计算（重点） 题型6系数为小数的一元一次方程计算（难点） 题型7需要先调整系数的加减消元法方程组计算（难点） 题型8先化简整理再求解的方程/方程组计算（重点） 题型9判断一元一次方程解题过程是否正确并改正（重点） 题型10判断二元一次方程组解题过程是否正确并改正（重点） 题型11解三元一次方程组（难点） 拔高·压轴破难 题型12特殊法解二元一次方程组（难点） 题型13换元法解二元一次方程组（重难点） 题型14含有绝对值的一元一次方程（重难点） 基础·固本强基 题型1基础一元一次方程（仅移项、合并同类项）计算（共5小题） 【模型】移项合并求解模型→通过移项，将含未知数项移到左边，常数项移到右边，合并同类项化为，系数化为1得到方程的解 【步骤】①移项，移项要变号；②合并同类项，化简成；③两边同时除以未知数系数，系数化为1；④带回原方程检验 【易错】移项忘记改变符号；混淆“移项变号”和式子内部交换位置 1．（25-26七年级上·广东·期中）解方程：． 2．（26-27七年级上·全国·期中）利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 3．（26-27七年级上·全国·期中）利用移项解一元一次方程： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）解方程：． 5．（26-27六年级上·黑龙江绥化·期中）解方程． (1) (2) (3) (4) 题型2含括号的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】去括号解方程模型→先根据去括号法则去掉括号，再依次移项、合并同类项、系数化为1求解 【步骤】①去括号，注意括号前系数与正负号；②移项；③合并同类项；④系数化为1；⑤检验 【易错】括号前面是负号时，括号内各项没有全部变号；漏乘括号内的项 6．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）计算： 7．（26-27七年级上·全国·期中）求解本章第1节中的方程：． 8．（26-27七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）解方程： 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）求未知数x． (1) (2) 题型3代入消元法解简单二元一次方程组计算（共5小题） 【模型】代入消元模型→变形其中一个方程，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解 【步骤】①选择易变形方程，变形为形式；②代入另外一个方程，消去一个未知数；③解一元一次方程；④回代求出另一个未知数；⑤写成方程组解的形式；⑥检验 【易错】回代时代入变形前的同一个方程；代入计算时符号出错 11．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）解方程组： 12．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1) (2) 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）解方程组． 14．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）解方程组：． 15．（25-26七年级下·河南周口·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 题型4基础加减消元法解二元一次方程组计算（共5小题） 【模型】加减消元模型→两个方程中同一个未知数系数互为相反数或者相等，直接两式相加/相减消去一个未知数 【步骤】①观察系数，确定直接相加或者相减消元；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数；⑤写出解并检验 【易错】做减法消元时，后一个方程所有项没有全部变号 16．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）解方程组：． 17．（25-26七年级下·云南西双版纳·期中）解方程组： 18．（25-26八年级上·广西柳州·期中）解方程组； 19．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）解方程组． 20．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）解方程组： 提升·进阶突破 题型5含分母的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】去分母解方程模型→等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，去掉分母，再按流程求解 【步骤】①找分母最小公倍数，等式**每一项**都乘公倍数；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥检验 【易错】常数项漏乘最小公倍数；分子是多项式时，去掉分母后没有添加括号 21．（2026七年级上·全国·期中）解方程：． 22．（26-27七年级上·重庆江北·期中）解方程： 23．（25-26七年级上·广东·期中）解方程：． 24．（26-27七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 25．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 题型6系数为小数的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】小数化整解方程模型→利用分数的基本性质，把小数系数化为整数系数，再去分母求解 【步骤】①利用分数性质，将含小数的式子分子分母同乘倍数化为整数；②去分母；③去括号；④移项合并；⑤系数化为1；⑥检验 【易错】混淆分数基本性质与等式性质，给无关项随意扩大倍数 26．（26-27七年级上·重庆江北·期中）解方程： 27．（26-27七年级上·重庆·期中）解方程： 28．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）解方程 ． 29．（26-27七年级上·重庆渝北·期中）解方程： 30．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 题型7需要先调整系数的加减消元法方程组计算（共5小题） 【模型】系数配平加减消元模型→给两个方程分别同乘合适的数，使同一个未知数系数相等或互为相反数，再加减消元 【步骤】①选定要消去的未知数；②两个方程分别乘对应数字，配平系数；③加减消元，得到一元一次方程；④求解、回代、检验 【易错】只给含未知数项乘系数，常数项不跟着乘；配平计算出错 31．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解方程组： (1)； (2)． 32．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 33．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）解方程组： (1) (2) 34．（25-26七年级下·西藏昌都·期中）解方程组： (1)． (2) 35．（25-26八年级上·山东青岛·期中）解下列方程组： (1) (2) 题型8先化简整理再求解的方程/方程组计算（共5小题） 【模型】先整理再求解模型→先对方程（组）去括号、合并同类项化简，整理成标准形式后再解方程 【步骤】①先化简式子，去掉括号，合并同类项；②整理成或者的标准形式；③选择合适方法求解；④检验 【易错】还没有整理标准就直接消元、移项；化简过程符号出错 36．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）解方程组 (1) (2) 37．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）解方程组 ． 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解方程组： 39．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 40．（25-26七年级下·山东威海·期中）解方程组： 题型9判断一元一次方程解题过程是否正确并改正（共5小题） 【模型】错步辨析纠错模型→对照解方程五步（去分母、去括号、移项、合并、系数化1）逐行查找错误步骤，再写出正确过程 【步骤】①逐行阅读解题步骤；②定位出错步骤，标注错误原因；③写出规范正确的完整解方程过程；④检验结果 【易错】只修改答案，不改正前面错误步骤；找错时忽略隐藏符号问题 41．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是． (2)上述小萌的解题过程从第步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 42．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 43．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一： (1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____； (2)第三步变形的依据是_____； 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是_____； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____ 44．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ．……第五步 (1)小颖的解答过程从第__________步开始出错，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 45．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 题型10判断二元一次方程组解题过程是否正确并改正（共5小题） 【模型】方程组错步辨析纠错模型→对照代入/加减消元流程逐行核查，定位错误，重新规范计算 【步骤】①逐行检查消元、代入、计算步骤；②写明错误点以及错误原因；③重新写出完整规范解题过程；④检验解 【易错】消元时系数运算错误识别不出来；回代步骤的错误容易忽略 46．（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 47．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）解方程组． 解：由②得．③…………………………（第1步） 把③代入②得．……………………（第2步） 即，所以原方程组有无数组解．………………（第3步） 指出上面的解法从第几步出现错误，并写出正确的解答过程． 48．（25-26七年级下·广东中山·期中）在解方程组时，小华的解法如下： 解：②，得．③第一步 ①③，得．第二步 将代入②，得．第三步 所以该方程组的解是．第四步 (1)其中第一步的依据是___________________________； (2)其中第________步开始出现错误； (3)请帮小华同学写出正确的解答过程． 49．（25-26七年级下·河北唐山·期中）习题课上，数学老师出示了一道数学题：解方程组 下面是甲、乙两位同学的消元过程： 甲同学： 解：，得 乙同学： 解：方程可变形为 将代入，得 (1)判断甲，乙两位同学的消元过程是否正确：甲同学________，乙同学________；（填“正确”或“错误”） (2)请选择一种你喜欢的方法，解这个方程组． 50．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③  …………第一步 ，得  …………第二步 两边都除以，得  …………第三步 将代入①，得，解得  …………第四步 所以，原方程组的解为  …………第五步 (1)上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是____________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 (2)小明同学的解题过程从第_____步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解________________． 题型11解三元一次方程组（共5小题） 【模型】逐步消元降次模型→三元→二元→一元，核心思想消元，优先消去系数简单的同一个未知数，转化为熟悉的二元一次方程组求解 【步骤】①观察三个方程，选定优先消去的未知数； ②任选两组方程（方程 1、方程 2；方程 1、方程 3）消元，得到两个二元方程，组成二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④把求出的值代回任意一个原三元方程，求出最后一个未知数； ⑤写出三元方程组的解，代入三个原方程全部检验。 【易错】两次消元消去的不是同一个未知数；回代时代入计算符号出错；最后不检验，只满足部分方程。 51．（26-27八年级上·全国·期中）解方程组： 52．（26-27八年级上·全国·期中）解方程组： 53．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）解方程组：． 54．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 55．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）解方程组． 拔高·压轴破难 题型12特殊解法解二元一次方程组（共5小题） 【模型】特殊结构巧解模型→观察方程组结构（轮换式、和差型），不使用常规消元，整体相加、整体相减简化计算 【步骤】①观察方程组式子结构特点；②整体相加或者整体相减，得到x+y、x-y的值；③联立新的简易方程组求解；④检验 【易错】强行套用常规加减消元，增加计算量；整体运算时符号出错 56．（25-26九年级下·广东湛江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·浙江温州·期中）我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 58．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型13换元法解二元一次方程组（共5小题） 【模型】换元简化方程组模型→把方程组内重复的整式设为新元，简化方程组，求出新元之后再回代求原来未知数 【步骤】①设重复整体为m、n，换元，简化方程组；②解关于m、n的二元一次方程组；③回代，还原成原来未知数的方程；④再次解方程求出x、y；⑤检验 【易错】换元之后忘记回代；回代解方程时计算失误 61．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 62．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 63．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 64．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 65．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 题型14含有绝对值的一元一次方程（共5小题） 【模型】绝对值方程分段讨论模型→把绝对值部分看作整体，先求出绝对值整体的值，再根据绝对值定义分类去掉绝对值符号求解 【步骤】①移项，整理成|A|=B(B≥0)的形式；②分类：A=B或者A=-B；③分别解两个一元一次方程；④检验，舍去使绝对值内无意义或者不符合条件的解 【易错】忽略B<0时方程无解的情况；去绝对值分类讨论漏情况 66．（26-27七年级上·四川·期中）若，，为互不相等的偶数，满足 ，且，则使等式 成立的的值为_____________． 67．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）若实数满足，则所有满足条件的的乘积为___________． 68．（2025七年级上·全国·期中）解方程：． 69．（2025七年级上·浙江·期中）解方程：． 70．（2025六年级上·全国·期中）解方程：． 1/5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一次方程与方程组（计算专练） 基础·固本强基 题型1基础一元一次方程（仅移项、合并同类项）计算（重点） 题型2含括号的一元一次方程计算（重点） 题型3代入消元法解简单二元一次方程组计算（重点） 题型4基础加减消元法解二元一次方程组计算（重点） 提升·进阶突破 题型5含分母的一元一次方程计算（重点） 题型6系数为小数的一元一次方程计算（难点） 题型7需要先调整系数的加减消元法方程组计算（难点） 题型8先化简整理再求解的方程/方程组计算（重点） 题型9判断一元一次方程解题过程是否正确并改正（重点） 题型10判断二元一次方程组解题过程是否正确并改正（重点） 题型11解三元一次方程组（难点） 拔高·压轴破难 题型12特殊法解二元一次方程组（难点） 题型13换元法解二元一次方程组（重难点） 题型14含有绝对值的一元一次方程（重难点） 基础·固本强基 题型1基础一元一次方程（仅移项、合并同类项）计算（共5小题） 【模型】移项合并求解模型→通过移项，将含未知数项移到左边，常数项移到右边，合并同类项化为，系数化为1得到方程的解 【步骤】①移项，移项要变号；②合并同类项，化简成；③两边同时除以未知数系数，系数化为1；④带回原方程检验 【易错】移项忘记改变符号；混淆“移项变号”和式子内部交换位置 1．（25-26七年级上·广东·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 2．（26-27七年级上·全国·期中）利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的性质和解一元一次方程，解题的关键是能灵活运用等式的性质． （1）先方程两边同减，再系数化为，即可得到答案； （2）先方程两边同加，再系数化为，即可得到答案； 【详解】【小题1详解】 解：方程两边减3，得． 方程两边除以2，得． 【小题2详解】 解：方程两边加1，得． 方程两边乘2，得． 3．（26-27七年级上·全国·期中）利用移项解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）解方程：． 【答案】 【分析】先移项、合并同类项，再系数化为，即可得出方程的解． 【详解】解： 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 5．（26-27六年级上·黑龙江绥化·期中）解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型2含括号的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】去括号解方程模型→先根据去括号法则去掉括号，再依次移项、合并同类项、系数化为1求解 【步骤】①去括号，注意括号前系数与正负号；②移项；③合并同类项；④系数化为1；⑤检验 【易错】括号前面是负号时，括号内各项没有全部变号；漏乘括号内的项 6．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）计算： 【答案】 【分析】先左右两边同乘最小公倍数去分母，再解方程即可． 【详解】解： ． 7．（26-27七年级上·全国·期中）求解本章第1节中的方程：． 【答案】 【详解】解： 解得． 8．（26-27七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）求未知数x． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型3代入消元法解简单二元一次方程组计算（共5小题） 【模型】代入消元模型→变形其中一个方程，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解 【步骤】①选择易变形方程，变形为形式；②代入另外一个方程，消去一个未知数；③解一元一次方程；④回代求出另一个未知数；⑤写成方程组解的形式；⑥检验 【易错】回代时代入变形前的同一个方程；代入计算时符号出错 11．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）解方程组： 【答案】 【分析】用代入消元法解二元一次方程组． 【详解】解： 把①代入②得 ， 把代入①得 ∴方程组的解为． 12．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得，，解得， 把代入①得到，， 所以是原方程组的解； （2）解：， 由①得，③， 把③代入②得，，解得， 把代入③得到，； 所以是原方程组的解． 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）解方程组． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 解得． 把代入得：． ∴原方程组的解为． 14．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）解方程组：． 【答案】这个方程组的解是 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由①，得：③   把③代入②，得： 解这个方程，得： 把代入③，得： 解得 这个方程组的解是． 15．（25-26七年级下·河南周口·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把方程①代入②消去y，解得，再代入求y，即可； （2）整理方程②，得③，代入方程①得，把代入③，即可求解． 【详解】（1）解：， 把方程①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解是； （2）解：， 由②得：③， 把③代入①，得：， 解得：， 把代入③，得：， ∴方程组的解是． 题型4基础加减消元法解二元一次方程组计算（共5小题） 【模型】加减消元模型→两个方程中同一个未知数系数互为相反数或者相等，直接两式相加/相减消去一个未知数 【步骤】①观察系数，确定直接相加或者相减消元；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数；⑤写出解并检验 【易错】做减法消元时，后一个方程所有项没有全部变号 16．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为． 17．（25-26七年级下·云南西双版纳·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解： ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得 所以，方程组的解是． 18．（25-26八年级上·广西柳州·期中）解方程组； 【答案】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 19．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）解方程组． 【答案】 【详解】解： ，得 把代入①，得 解得 原方程组的解为 20．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 提升·进阶突破 题型5含分母的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】去分母解方程模型→等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，去掉分母，再按流程求解 【步骤】①找分母最小公倍数，等式**每一项**都乘公倍数；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥检验 【易错】常数项漏乘最小公倍数；分子是多项式时，去掉分母后没有添加括号 21．（2026七年级上·全国·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解： 22．（26-27七年级上·重庆江北·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： ． 23．（25-26七年级上·广东·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 24．（26-27七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 25．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 题型6系数为小数的一元一次方程计算（共5小题） 【模型】小数化整解方程模型→利用分数的基本性质，把小数系数化为整数系数，再去分母求解 【步骤】①利用分数性质，将含小数的式子分子分母同乘倍数化为整数；②去分母；③去括号；④移项合并；⑤系数化为1；⑥检验 【易错】混淆分数基本性质与等式性质，给无关项随意扩大倍数 26．（26-27七年级上·重庆江北·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： ． 27．（26-27七年级上·重庆·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： 整理，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 28．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）解方程 ． 【答案】 【详解】解： 将方程中各分数分母的小数化为整数，得 方程两边同乘去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 29．（26-27七年级上·重庆渝北·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： 30．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型7需要先调整系数的加减消元法方程组计算（共5小题） 【模型】系数配平加减消元模型→给两个方程分别同乘合适的数，使同一个未知数系数相等或互为相反数，再加减消元 【步骤】①选定要消去的未知数；②两个方程分别乘对应数字，配平系数；③加减消元，得到一元一次方程；④求解、回代、检验 【易错】只给含未知数项乘系数，常数项不跟着乘；配平计算出错 31．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得， 把代入得，解得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入得，解得， ∴． 32．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 33．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察到和互为相反数，直接用加减消元法，两式相加消去求出，再代回方程求即可； （2）先把带分母的方程去分母化成整数系数方程组，再用加减消元法，消去求出，再代入原方程求出即可． 【详解】（1）解：， 得，解得， 把代入①得，解得， 故原方程组的解为； （2）解：， 得， 得， 得，解得， 把代入②得，解得， 故原方程组的解为． 34．（25-26七年级下·西藏昌都·期中）解方程组： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②，得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 故原方程组的解为 （2）解： ，得 ，得 ，得 把代入①，得 解得 故原方程组的解为 35．（25-26八年级上·山东青岛·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型8先化简整理再求解的方程/方程组计算（共5小题） 【模型】先整理再求解模型→先对方程（组）去括号、合并同类项化简，整理成标准形式后再解方程 【步骤】①先化简式子，去掉括号，合并同类项；②整理成或者的标准形式；③选择合适方法求解；④检验 【易错】还没有整理标准就直接消元、移项；化简过程符号出错 36．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 37．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）解方程组 ． 【答案】 【分析】先将原方程组整理为标准二元一次方程组，再用代入消元法求解． 【详解】解：原方程组整理得， 由可得， 将代入可得， 解得，代入， 解得， 故原方程组的解为． 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组化简为， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 39．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入①得， ∴， ∴方程组的解为． 40．（25-26七年级下·山东威海·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：原方程可化为 ，得 解得 把代入，得 解得 ∴原方程组的解为 题型9判断一元一次方程解题过程是否正确并改正（共5小题） 【模型】错步辨析纠错模型→对照解方程五步（去分母、去括号、移项、合并、系数化1）逐行查找错误步骤，再写出正确过程 【步骤】①逐行阅读解题步骤；②定位出错步骤，标注错误原因；③写出规范正确的完整解方程过程；④检验结果 【易错】只修改答案，不改正前面错误步骤；找错时忽略隐藏符号问题 41．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是． (2)上述小萌的解题过程从第步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 42．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 【答案】(1)一，去分母时，多项式分子未加括号，错误将变形为，符号错误； (2) 【分析】本题为解一元一次方程的纠错问题，按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，检查原解题过程找出错误，再按正确步骤计算得到方程的正确解即可． 【详解】（1）解：原方程为．去分母时，给方程两边同乘4，对分子是多项式的需要添加括号，正确形式应为， 因此第一步开始出现错误，错误为去分母时多项式分子未加括号，符号错误． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 43．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一： (1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____； (2)第三步变形的依据是_____； 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是_____； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____ 【答案】(1)一；去分母时，1漏乘了6 (2)等式的基本性质1 (3) (4)移项要注意变号 【分析】（1）根据等式的性质2求解； （2）根据等式的性质1求解； （3）根据解一元一次方程的步骤求解； （4）根据解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）解：解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）解：第三步变形的依据是等式的基本性质1； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解：建议：移项要注意变号． 44．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小颖同学解一元一次方程的过程： 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ．……第五步 (1)小颖的解答过程从第__________步开始出错，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，去分母时，方程右边的常数1没有乘最简公分母6 (2) 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【分析】（1）根据去分母法则求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数的系数化为1即可． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，方程右边的常数1没有乘最简公分母6； （2）略 45．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）略 题型10判断二元一次方程组解题过程是否正确并改正（共5小题） 【模型】方程组错步辨析纠错模型→对照代入/加减消元流程逐行核查，定位错误，重新规范计算 【步骤】①逐行检查消元、代入、计算步骤；②写明错误点以及错误原因；③重新写出完整规范解题过程；④检验解 【易错】消元时系数运算错误识别不出来；回代步骤的错误容易忽略 46．（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． 【详解】（1）解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． （2）略 47．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）解方程组． 解：由②得．③…………………………（第1步） 把③代入②得．……………………（第2步） 即，所以原方程组有无数组解．………………（第3步） 指出上面的解法从第几步出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】从第2步出现错误，， 正确解答： 由②得，③， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， 所以方程组的解为． 【分析】用代入消元法解二元一次方程组． 【详解】略 48．（25-26七年级下·广东中山·期中）在解方程组时，小华的解法如下： 解：②，得．③第一步 ①③，得．第二步 将代入②，得．第三步 所以该方程组的解是．第四步 (1)其中第一步的依据是___________________________； (2)其中第________步开始出现错误； (3)请帮小华同学写出正确的解答过程． 【答案】(1) 等式的基本性质2 (2) 二 (3) 解：，得．③ ①③，得，解得． 将代入②，得，解得． 所以该方程组的解是． 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）第二步，计算出错； （3）利用加减消元法解方程组即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 49．（25-26七年级下·河北唐山·期中）习题课上，数学老师出示了一道数学题：解方程组 下面是甲、乙两位同学的消元过程： 甲同学： 解：，得 乙同学： 解：方程可变形为 将代入，得 (1)判断甲，乙两位同学的消元过程是否正确：甲同学________，乙同学________；（填“正确”或“错误”） (2)请选择一种你喜欢的方法，解这个方程组． 【答案】(1)错误；错误 (2) 【分析】（1）先分析甲同学的加减消元过程：根据两个方程中x的系数相同，用时需对两个方程的各项分别做减法，根据等式的性质判断计算是否正确；分析乙同学的代入消元过程：要将方程②变形为用x表示y的形式，根据等式的性质移项，判断变形结果是否正确； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程组 得：， 整理得：， 故甲同学的消元过程错误； 方程可变形为 将代入得：， 故乙同学的变形过程错误； （2）解：方程组 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为． 50．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③  …………第一步 ，得  …………第二步 两边都除以，得  …………第三步 将代入①，得，解得  …………第四步 所以，原方程组的解为  …………第五步 (1)上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是____________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 (2)小明同学的解题过程从第_____步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解________________． 【答案】(1)B (2)三，. 【分析】（1）根据小明使用的方法进行判断即可； （2）第三步，计算出错，利用加减消元法进行计算即可. 【详解】（1）解：由题可知，小明使用的方法为加减消元法； （2）解：第三步，除以时，等式右边没有变号； ，得③ ，得，解得， 将代入①，得，解得； 所以，原方程组的解为. 题型11解三元一次方程组（共5小题） 【模型】逐步消元降次模型→三元→二元→一元，核心思想消元，优先消去系数简单的同一个未知数，转化为熟悉的二元一次方程组求解 【步骤】①观察三个方程，选定优先消去的未知数； ②任选两组方程（方程 1、方程 2；方程 1、方程 3）消元，得到两个二元方程，组成二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④把求出的值代回任意一个原三元方程，求出最后一个未知数； ⑤写出三元方程组的解，代入三个原方程全部检验。 【易错】两次消元消去的不是同一个未知数；回代时代入计算符号出错；最后不检验，只满足部分方程。 51．（26-27八年级上·全国·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解： 得， 得，代入得， ， 将，代入得， ， ∴方程组的解为． 52．（26-27八年级上·全国·期中）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减法求出的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：①②，得④， ② ③，得 ⑤， ⑤④，得 ， ∴， 把代入④，得， ∴， 把，代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 53．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】用加减消元法先消去和求出，再依次计算求出和． 【详解】解：， ②③得：， 解得， 把代入②得：④， ④①得：， 把代入①得：， 解得， 因此原方程组的解为． 54．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得 解得 将代入①得 解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得 得 得 将代入②得 解得 将代入⑤得 解得 ∴方程组的解为． 55．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）解方程组． 【答案】 【分析】利用加减消元法消去未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求得的值后，再代入原方程求出． 【详解】解： 得，即， 得，即， 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 所以原方程组的解为． 拔高·压轴破难 题型12特殊解法解二元一次方程组（共5小题） 【模型】特殊结构巧解模型→观察方程组结构（轮换式、和差型），不使用常规消元，整体相加、整体相减简化计算 【步骤】①观察方程组式子结构特点；②整体相加或者整体相减，得到x+y、x-y的值；③联立新的简易方程组求解；④检验 【易错】强行套用常规加减消元，增加计算量；整体运算时符号出错 56．（25-26九年级下·广东湛江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 57．（25-26七年级下·浙江温州·期中）我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴， 解得． 58．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对比两个方程组的结构，利用换元思想，将新方程组中看作原方程组的，看作原方程组的，结合已知原方程组的解即可求出和． 【详解】解：关于a，b的二元一次方程组的解是， 方程组中， 解得：． 59．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将所求方程组中的和看作整体，对应原方程组的未知数，即可求解． 【详解】解：∵已知方程组的解是， 待解方程组与原方程组结构完全相同， ∴可得， 解方程组得． 60．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 题型13换元法解二元一次方程组（共5小题） 【模型】换元简化方程组模型→把方程组内重复的整式设为新元，简化方程组，求出新元之后再回代求原来未知数 【步骤】①设重复整体为m、n，换元，简化方程组；②解关于m、n的二元一次方程组；③回代，还原成原来未知数的方程；④再次解方程求出x、y；⑤检验 【易错】换元之后忘记回代；回代解方程时计算失误 61．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【答案】 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． 62．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 63．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 64．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． (1)方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； (2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； (3)拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； （2）解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． 65．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为，且关于，的二元一次方程组为， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 即，． 题型14含有绝对值的一元一次方程（共5小题） 【模型】绝对值方程分段讨论模型→把绝对值部分看作整体，先求出绝对值整体的值，再根据绝对值定义分类去掉绝对值符号求解 【步骤】①移项，整理成|A|=B(B≥0)的形式；②分类：A=B或者A=-B；③分别解两个一元一次方程；④检验，舍去使绝对值内无意义或者不符合条件的解 【易错】忽略B<0时方程无解的情况；去绝对值分类讨论漏情况 66．（26-27七年级上·四川·期中）若，，为互不相等的偶数，满足 ，且，则使等式 成立的的值为_____________． 【答案】8或32 【分析】根据题意可知为互不相等的偶数，再根据，求出 ，根据分情况列方程求解即可. 【详解】解：∵为互不相等的偶数， ∴为互不相等的偶数， ∵，， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 当时， ， ，方程化为 ，解得； 当时， ， ，方程化为 ，无解； 当时， ， ，方程化为 ，解得． 67．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）若实数满足，则所有满足条件的的乘积为___________． 【答案】 / 【分析】根据绝对值的零点，，分区间讨论，去掉绝对值符号后解一元一次方程，得到所有符合条件的解，再计算乘积. 【详解】解：令绝对值内的式子为0，得，，，即分界点为，，，分四个区间讨论： 1. 当时，原式去掉绝对值得：，整理得，解得，符合，是原方程的解； 2. 当时，原式去掉绝对值得：，整理得，解得，不符合，舍去； 3. 当时，原式去掉绝对值得：，整理得，解得，不符合，舍去； 4. 当时，原式去掉绝对值得：，整理得，解得，符合，是原方程的解； 所有满足条件的的乘积为. 68．（2025七年级上·全国·期中）解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 69．（2025七年级上·浙江·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟知绝对值的意义． 根据绝对值的性质逐层去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴或， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴或 ∴或（不合题意，舍去）， 或． 70．（2025六年级上·全国·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 1/5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $