精品解析：湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

衡阳市八中2026届高三第一学期期中考试 数学试题 命题人：徐五洲 审题人：廖洪波 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（ ）． A. 厂商希望（1），客户希望（2） B. 厂商希望（2），客户希望（1） C. 厂商希望（1），客户希望（1） D. 厂商希望（2），客户希望（2） 5. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）. A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为1 7. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，命题，命题，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域是 C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称 10. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ） A. 满足回归模型的假设 B. 不满足回归模型的假设 C. 满足回归模型的假设 D. 不满足回归模型的假设 11. 已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公比的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 不存在，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程是______． 13. 已知在中，，则________. 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 17. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设. （1）写出面积关于的函数解析式； （2）求函数的最小值及相对应的的值. 18. 已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026届高三第一学期期中考试 数学试题 命题人：徐五洲 审题人：廖洪波 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z，然后根据实部为0可得. 【详解】因为是纯虚数， 所以，得. 故选：B 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集、补集的概念即可求解. 【详解】由已知可得，又，∴． 故选：D. 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 4. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（ ）． A. 厂商希望（1），客户希望（2） B. 厂商希望（2），客户希望（1） C. 厂商希望（1），客户希望（1） D. 厂商希望（2），客户希望（2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象和实际的意义即可判断. 【详解】产商希望价高销售数量都大，客户希望数量大价格低，因为（1）是产品的单价随数量的增加而增加，是厂商希望的；图（2）是产品单价随数量的增加而降低，是客户所希望的，A对． 故选：A. 5. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，由为正三角形，为线段的中点即可求得. 【详解】如图，在正方体中，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 易知为正三角形，又为线段的中点， 所以， 故选:B． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 7. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到，由向量数量积公式求出答案. 【详解】设，则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为， 因为，所以， 即，即， 所以，即 ，C正确. 故选：C 8. 在中，命题，命题，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换解命题P可得A，B，C必有一个为直角；根据平面向量的线性运算与垂直关系的向量表示解命题Q可得A为直角，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】命题P：由，及， 得， ∴ ， 得，则，，必有一个为0， ∴A，B，C必有一个为直角． 命题Q：由得， 即，得，即，∴A为直角， 故P是Q的必要不充分条件. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域是 C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式、值域性质、对称性逐一判断即可. 【详解】A：的最小正周期是，所以本选项正确； B：由， 所以的值域是，因此本选项正确； C：因为， 所以的图像不关于点对称，因此本选项不正确； D：因为为最大值， 所以的图像关于直线对称，因此本选项正确， 故选：ABD 10. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ） A. 满足回归模型的假设 B. 不满足回归模型的假设 C. 满足回归模型的假设 D. 不满足回归模型的假设 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差e的假定的含义，即可判断答案. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定， 残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内， 故由已知残差图可知残差与观测变量x有线性关系， 因此残差模型不满足回归模型的假设，不满足回归模型的假设， 故选：BD 11. 已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公比的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 不存在，使得成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差等比数列的通项和数列为周期数列，当时，求值判断选项A；和4是等差数列中的项，求出项数n，根据数列为周期数列，周期为，解出m的值判断选项BC；若，有，设， ，由， ，可得结论判断选项D. 【详解】等差数列通项公式：，且， 等比数列通项公式：，且， 对一切正整数，都有，∴数列为周期数列，周期为， 当时，，A选项正确； 当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得， 对一切正整数，都有，则有， 解得，B选项正确； 当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得， 对一切正整数，都有，则有， 得，方程有多组解，如等等，C选项错误； ， 若， 则有， 令，函数图象抛物线对称轴， 所以在或时取最大值， 令，则 ， 所以不可能成立， 即不存在，使得，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：数列中涉及到的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，本题的关键条件是：数列为周期数列，周期为，其中前项构成等差数列，通项公式，第项到第项构成等比数列，通项公式为，而和4是等差数列中的项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再利用点斜式写出方程即可. 【详解】当时，，切点为. 易知，所以， 所以所求的切线方程为，即． 故答案为： 13. 已知在中，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边可得，再由余弦定理可求出，进而可求，从而利用二倍角公式可解. 【详解】解：因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得，所以，从而， 所以， 故答案为：. 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值． 【详解】 平面的方程为， 平面的法向量为， 同理，平面的法向量为， 两平面夹角的余弦值为， 平面经过点， ， 设的法向量为，则，令，则， 设的方向向量为，则，令，则， 平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即， 平面与平面夹角的余弦值为 ， ，， ，当且仅当时取等号， 平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 【答案】（1） 设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． （2） 连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 【解析】 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知等差数列的前n项和为，且，（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式. （2）利用错位相减，化简解可得出答案. 【小问1详解】 由题意知：，（） 即：化简得. 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 因为 所以 ①， 可得 ②， ①-②得：. 故. 17. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设. （1）写出面积关于的函数解析式； （2）求函数的最小值及相对应的的值. 【答案】（1），； （2）当时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式得函数解析式； （2）由三角函数的和差公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，可得所求最小值． 【小问1详解】 ，， 又，，，则， 中，，中，， ，； 【小问2详解】 ， ，， 当，即时，取得最小值为． 18. 已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；. ②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1， 由椭圆的几何性质，可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 所以，可得， 又由，所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②由①知：， 可得， 所以， 令，则，所以， 因为函数在上为单调递增函数， 所以在上为单调递减函数， 故当时，面积取得最大值，最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 【答案】（1）凹区间为，凸区间为； （2）①； ②对不等式两边取对数，问题等价于， 恒成立， 构造函数，， 即恒成立， ，令， ， 令，即，解得， 所以是函数的凹区间， ，所以当时，是凹函数， 由①知，，当时，等号成立， 所以时，恒成立， 即恒成立. 【解析】 【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间； （2）①表达出的坐标，由得到结论； ②对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合①的结论得到答案. 【小问1详解】 因为的定义域为，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的凹区间为，凸区间为； 【小问2详解】 ①对于凹函数定义域中的任意两个自变量， ，， ，， 所以，， 由，有， ②略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $