湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（四）

《湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A A D C BD ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由得.故. 又因为. 由此可得. 2．A 【详解】，所以其共轭复数为：. 3．A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．D 【分析】由独立事件有，结合概率的性质及已知求概率即可. 【详解】由题设，则. 故选：D 5．A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以. 6．A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 7．D 【分析】利用基底表示向量和，再根据数量积公式和运算律，即可求解. 【详解】， ， 所以， . 8．C 【分析】先由两个三棱锥外接球半径相等推出底面菱形为正方形；建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正切值. 【详解】设，则.直四棱柱中，底面. 三棱锥外接球半径，其中是底面三角形外接圆半径. 由，得. 由正弦定理： ，. 菱形中，，故. 菱形对角线相等底面是正方形. 以为原点建系：，，，，. ，，. 设平面的法向量， ，令，得，即. 设直线与平面所成角为， ，， . 【点睛】外接球半径相等底面两三角形外接圆半径相等，得到菱形对角线相等，判定底面为正方形. 9．BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D. 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误； 若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 10．ABC 【分析】对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确；对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确；对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确；对选项D，根据，即可判断D错误. 【详解】对选项A，连接，因为平面，且平面，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对选项B，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误. 故选：ABC 11．ABD 【分析】根据繁殖规律推导递推关系，结合初始值逐项计算即可得到对应项的值即可判断A选项，利用递推关系将偶数项转化为相邻奇数项的差，裂项相消后求和即可判断B选项，对前项和进行裂项相消，得到，将不等式转化为，通过查找数列项的值确定最小即可判断C选项，用数学归纳法证明平方和等式，关键是利用递推关系 完成从到的递推即可判断D选项． 【详解】首先根据题目给出的特殊繁殖规律： 雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系： 第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的母亲的祖辈数量； 第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的父亲的祖辈数量 + 它的母亲的祖辈数量； 最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列， 结合已知的，，可以依次算出前几项： ， 接下来逐个验证选项： 选项A：根据递推结果，，所以A正确； 选项B：利用递推关系 ， 对偶数项求和：，故B正确； 选项C：计算前项和， ， 要求，即， 已知， 因此，，最小是10不是11，所以C错误； 选项D：当时，，成立； 假设当时等式成立，即， 当时， ， 所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确． 12．360 【分析】相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，据此可得答案. 【详解】由题可得相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，则安排方法有： . 故答案为：. 13．/0.75 【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解. 【详解】由两边平方得，所以． 故答案为： 14．/ 【分析】同构思想：把不等式两边整理成同一个函数的形式，利用单调性脱去外层函数，转化为普通恒成立求最值问题. 【详解】首先， ， 令，则， 所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以m的取值范围是，即实数m的最大值为． 15．(1). (2)6 【分析】（1）根据向量垂直关系建立的三角函数关系式，通过特殊的三角函数值即可求解； （2）通过三角形的面积公式以及余弦定理，可得的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）由，得，即， 若，则，与矛盾，故， 由此可得，又，故. （2）由(1)知，结合三角形面积公式得，化简得， 由余弦定理得，整理得， 代入，得，解得，负根舍去， 故的周长为. 16．(1)，； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用直方图的性质可得，利用百分位数的概念及直方图可得； （2）由题可得，分别求概率可得分布列，再利用期望公式即得. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 解得； 前5个矩形的面积为0.83，第6个矩形的面积为0.08， 从而. （2）用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭的频率比为3:4:5，总共抽取12人， 因此这三类家庭被抽取的人数分别为3人、4人、5人， 这里面不少于2吨总人数为5人，少于2吨总人数为7人，故， ，， ，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为：. 17．(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）由题设得几何体为正八面体，其内切球球心为原点，半径为原点到其中一面的距离，利用等体积转换可得半径，即可计算表面积. （3）通过平面方程求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，， 由，得， 所以平面的方程为． （2）方程经过点， 则集合所围成的几何体为如下图的正八面体. 则的内切球球心为，半径为点到平面的距离. 由得. 由得. 则，解得. 所以的内切球的表面积为. （3）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 由已知得， 设为平面的一个法向量，则. 令，得，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19．(1)阶单调函数 (2) (3) 由题意知，，． 因为当时，恒成立，且存在，使得， 即恒成立，且. 令，则在上恒成立，且． 因此是的最小值点，也是极小值点，所以．     由，得． 由，得． 所以，解得或． 又因为，因此. 下面证明： 因为且，所以角的终边在第三象限， 即（），因为，所以①． 又因为， 由，得， 即（），且在上恒成立，所以， 于是．② 综合①②，得，所以． 【分析】（1）根据“阶单调函数”的定义及零点存在性定理判断可得； （2）先由函数是阶单调函数，利用导数讨论得，进而将问题转化为曲线：上的点到直线：上的点的距离.再构造函数，用导数判断成立，得曲线在切线上方（除切点以外），再用点到直线间的距离公式计算可得. （3）令，由条件可得在上恒成立，且及，进而可得.证明：先由三角函数值的正负号可得角（），进而可得；又由，再结合条件可得，从而可得及. 【详解】（1）因为，得， 易得，所以不是阶单调函数． ，则，， 由零点存在性定理得在上存在零点，所以不是阶单调函数． ，因为，所以，无零点， 所以是阶单调函数． （2）由函数，的定义域为， 且，． 因为是阶单调函数，所以在上无零点． 若，当充分大时，必存在，， 所以有零点，不符合条件． 若，当充分大时，必存在，， 同理，不符合条件． 所以，． 验证：的零点为，，无零点，符合题意．     表示曲线：上的点到直线：上的点的距离． 由，可得，令，得，切点为， 则曲线上与直线平行的切线方程为． 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 即，所以，因此曲线在切线上方（除切点以外）． 直线在切线下方，故最短距离即为切点到直线的距离， 所以的最小值为． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（四） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知相互独立，，则（    ） A．0.96 B．0.64 C．0.16 D．0.84 5．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 6．定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 8．在直四棱柱中，底面是菱形，若三棱锥与三棱锥的外接球半径相等，则直线与平面所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（   ） A． B．平面 C．正方体的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 11．某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有__________种用数字作答 13．已知，则______． 14．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角所对的边分别为，已知，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 16．我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得87%的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图： (1)求a，m的值； (2)在用水量位于区间[1，2.5）的三类家庭中按照分层抽样的方法抽取12人参加由政府组织的一个听证会（每个家庭有1个代表参会），再从这12人中抽3个代表发言，记月均用水量不少于2吨人数为X，求X的分布列和数学期望. 17．已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，，，求平面的方程； (2)若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． (1)判断函数是几阶单调函数； (2)若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； (3)设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $