2026-2027学年北师大版九年级上册数学 期中考前模拟拔高卷一（第1章-4章）-

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷一（第1章-4章） 一、选择题（共30分） 1．如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 2．某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果，且，那么四边形是正方形 7．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 8．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 二、填空题（共24分） 11．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 12．我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为_________．（结果保留根号） 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 14．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 15．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 16．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 17．以的顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交射线、于点、；再分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为________． 18．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 三、解答题（共66分） 19．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 20．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 22．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 23．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，连接，，如图2所示，求的度数． 24．如图，小亮从点出发，沿着的路线以的速度跑向地．当他出发后，小冰从地出发沿相同路线追赶．当小冰跑到距地的处时，小亮在处，他们在阳光下的影子在同一条直线上，此时，处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线上． (1)他们的影子在同一条直线上时，两人相距______． (2)小冰追赶小亮的速度是______． 25．如图1，矩形的对角线、交于点． (1)若，，求的长； (2)如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由； (3)如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值． 26．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷一（第1章-4章） 一、选择题（共30分） 1．如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 2．某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每次降价的百分率为，根据“连续两次降价后的售价为128元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这个百分率是． 3．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 4．如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，，即得，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半及等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，∵点为的中点， ∴， ∴． 5．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长． 【详解】解：菱形中，有，， ， ． ， ， ，， ， ． 6．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果，且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 故选项A正确，不符合题意； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形， 故选项C正确，不符合题意； 且， 平分， 四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形， 故选项D错误，符合题意． 7．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 8．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵用平行线分线段成比例作线段的核心逻辑是：两条从同一点出发的射线，先在射线上依次截取全部已知的定长线段，再作平行线，最后截出的未知线段是作图的结果，不能一开始就去画还没求出来的， ∴选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，图中对应线段成比例，满足，符合题意． 9．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：， ， ， A、， ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 【答案】B 【分析】根据“倍根方程”的定义，结合韦达定理求出与的关系，进而求出代数式的值． 【详解】解：先对方程因式分解：， ， 解得，， 由“倍根方程”定义，一根是另一根的倍，分两种情况： ①若： ， ②若： ． 综上可知，代数式的值为或． 二、填空题（共24分） 11．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 12．我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为_________．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为，已知书的长为，代入比值关系即可计算得到宽的长度． 【详解】解：∵ 书的宽与长之比为黄金比，黄金比为，书的长为． ∴ 书的宽为． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，可通过根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式为，其中，，, ∴ 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积， 将上述结果代入代数式，计算得． 14．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，推导得到a的取值范围，选取一个符合条件的数作答即可． 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数不为0，即 解得. 因此任意不等于6的数都符合题意，例如取． 15．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 16．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，根据，得到，，然后利用相似比等于对应高的比列式计算即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 如图，设河的宽度为米， ∵河的两岸有一段是平行的， ∴， ∴，， ∴ ，即， ∴， 即河的宽度为米． 17．以的顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交射线、于点、；再分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为________． 【答案】 【分析】根据作图过程可知，点、到点的距离相等，点到点、的距离都等于，从而可判定四边形的四条边均相等，即该四边形为菱形；利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合已知的面积和一条对角线长，可求出另一条对角线长，进而通过勾股定理求得边长． 【详解】解：设对角线与相交于点，根据题目作图可得， ∵以点为圆心作弧交射线、于点、， ∴， ∵分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点， ∴，四边形是菱形， 由菱形的性质可知，对角线互相垂直且平分，即，，， ∵， ∴， 菱形的面积， ∵， ∴， 解得 ， ∴， 在中，由勾股定理可得： ． 18．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， 利用勾股定理可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴（负值已舍去）， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（共66分） 19．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据完全平方公式把化简后进行因式分解得，解出即可得答案. （2）把根据十字相乘法分解因式得，解出即可得答案. （3）把的右边根据提公因式法分解因式，再移项后进行因式分解得，解出即可得答案. 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， （3）解： 或 ， 20．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 21．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 22．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 23．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，连接，，如图2所示，求的度数． 【答案】(1)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴与平行，与平行， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到与平行，与平行，则由平行线的性质和角平分线的定义可推出，则可证明，据此可证明平行四边形是菱形． （2）连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图2所示，连接， 由（1）得四边形是菱形， ∴，与平行， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 24．如图，小亮从点出发，沿着的路线以的速度跑向地．当他出发后，小冰从地出发沿相同路线追赶．当小冰跑到距地的处时，小亮在处，他们在阳光下的影子在同一条直线上，此时，处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线上． (1)他们的影子在同一条直线上时，两人相距______． (2)小冰追赶小亮的速度是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行投影的性质，确定，再利用求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，然后求出小亮的时间，减去得到小冰的时间，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， ． 在中，， ， ， 解得，即他们的影子在同一条直线上时，两人相距． 故答案为：． （2）解：（2）由（1），得， ∴在中，， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是运用题目已知信息找到三角形相似． 25．如图1，矩形的对角线、交于点． (1)若，，求的长； (2)如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由； (3)如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值． 【答案】(1) (2)证明：，理由如下∶ 延长与的延长线交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得和，利用勾股定理求解即可； （2）延长与的延长线交于点，结合矩形的性质得和、，有，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，即可证明，得到和，进一步得到，即可证明，结合等腰三角形的三线合一得到； （3）连接、，根据矩形的性质得和，得到，即可证明，进一步证明四边形为平行四边形，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据同底等高得到和，即有，得到，进一步证明，有和，由平行线的性质得，即可求得和、，结合和，化简即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则， ∴四边形为平行四边形， ∴， 过点作交于点，过点作交于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ． 26．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 【答案】(1)；或； (2)，． 【分析】把代入一元二次方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得的值； 通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，然后按照“幸运数”定义求解即可． 【详解】（1）解：当时，代入一元二次方程得到方程， ∴“幸运数”为； ∵的“幸运数”是， ∴，整理得， ， 解得，， ∴的值为或； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵关于的一元二次方程是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，一元二次方程化为， ∴， ∴方程的“幸运数”为． 学科网（北京）股份有限公司 $