第24章 随机事件及其概率 章末考点整合与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

章末芳点整名 01分点突破 考点一 事件类别的判断 1.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑 球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3 个球，下列事件属于必然事件的是 () A.至少有1个球是白色球 B.至少有1个球是黑色球 C.至少有2个球是白球 D.至少有2个球是黑色球 考点二用频率估计概率 2.如图，是一个面积为4cm正方形 微信二维码.小明利用所学概率知 识估算二维码中黑色部分的面积 在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试 验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左 右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2. 考点三用列表法和树状图法求概率 3.小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵 渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种 民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验 “瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为 A. R c D. 4.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2只，那么取出的鞋是同一双的概率为( A. R c 5.如图，从一个大正方形中截去面 积为3cm和12cm的两个小正 3 cm 方形.若随机向大正方形内投一 12 cm 粒米，则米粒落在图中阴影部分 的概率为 A c号 n 合与素养提升 6.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片 的正面分别标有数字一1,0,1,3.把四张卡片 背面朝上，随机抽取一张，记下数字并放回洗 匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取卡片上 的数字之积为负数的概率是 7.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同 的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中 一次性摸出两个小球. (1)请用列表格或画树状图的方法列出所有可 能性； (2)若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到 两个小球颜色不同，乙获胜.这个游戏对甲、乙 双方公平吗？请说明理由. 02真题演练 8.(2025·浙江)下列事件是必然事件的是 A.三角形内角和是180° B.端午节赛龙舟，红队获得冠军 C.掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D.打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发 射实况 102 9.（2025·青岛)如图，小 黄 红 明和小刚分别设计了两 白 蓝 红 个转盘（每一个转盘中 蓝 的扇形面积均相等)，两人利用设计出的两个 转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各 转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转 盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出 紫色的概率是 A号 c n号 10.【跨化学·元素】如图，将四种化学元素制作 成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是 非金属元素的概率是 铁：Fe 铜：Cu 氧：O 碳：C 金属元素 金属元素非金属元素非金属元素 11.（2025·成都)从一1,1,2这三个数中任取两 个数分别作为a,b的值，则关于x的一元二次 方程ax2十bx十1=0有实数根的概率为 12.【跨物理·天平】(2025·安 徽)在一个平衡的天平左、右 两端托盘上，分别放置质量 为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所 示).现从质量为10g,20g,30g,40g的四件物 品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘 上，则天平恢复平衡的概率为 13.(2025·四川)如图，在正方形ABCD中，分 别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径 画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米 (米粒大小忽略不计)，则米粒落在图中阴影 部分的概率为 第13题图 第14题图 14.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正 常，随机闭合开关S,S2,S3中的任意两个， 至少让一个小灯泡发光的概率是 03素养提升 5.淇河被誉为鹤壁的母亲河，是《诗经》里面出 现最多的河流，经过鹤壁市的保护、治理和开 发，淇河把《诗经》文化，自然美景和现代元素 融为一体，体现了“绿水青山就是金山银山” 的发展理念.淇河两岸有着丰富的生态资源， 其中淇河鲫鱼、缠丝蛋、无核枣和冬凌草最为 有名，为了宣传鹤壁，小明同学以“淇河鲫鱼、 缠丝蛋、无核枣和冬凌草”为创意原型，设计 了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极 向上的吉祥物形象：A.唧唧，B.丝丝，C.核 核，D.冬冬.现有四张创意卡片，正面分别是 这四种吉祥物的图案（每一张上面只有一个 吉祥物图案)，创意卡片背面完全相同，现将 背面朝上，洗匀放好. (1)小丽从四张创意卡片中任意抽取一张，则 抽到“丝丝”的概率为 (2)小刚从四张纪念卡片中随机抽取两张，请 你用列表法或画树状图法求抽到的两张卡片 恰好是“丝丝”和“核核”的概率∴.△ABG≌△CDG(AAS), ∴.AG=C'G: 13v5-1:2②)号 (2)由(1)可知△ABG≌△C 16tanB=子cosB=号 3 DG,∴.GD=GB,∴.AG+GB= AD,设AG=x,则GB=8-x, 17.旗杆AB的高度约为17m. 方法技巧专题 求锐角三角函数的 在Rt△ABG中，.AB2+AG 常见四种方法 =BG,即62+x2=(8-x)2, 解得x= 4,sin∠ABG= 1.B2号 7 3.sin∠BAD= AG 4 BG 8西 1 4. 5 6.2 7.C 第2课时特殊角的三角函数值 8sin∠EBC- 14 1.C2.A3.D4.A 5.45°6.40° 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形 7.(1)1+ 2(2)- 1 ：(3)11. 1.C2.A 8.60°9.60 3.∠A=30°，∠B=60°，AB=4V6. 4.B5.B6.2 10.B11.A12.30° 13.(4,√3) 7.AB=15. 14.(1)6:(2)1. 8.60°或120°4或2 15.(50/3+50)m. 9.D10.A11.A12.B 16.(1)2-3:(2)√2-1. 13.60 23.3.2用计算器求锐角 14.AF=2√5-√6 三角函数值 1.B2.(1)0.4136;(2)0.6115 15.(1)证明略；(2)tan∠EDF= 3 3.(1)0=5619':(2)0=414': 第2课时仰角、俯角 (3)0=7352:(4)0=710'. 1.B2.B3.C4.1824 4..cos∠BAC=0.625, 5.9.56.(20√5-20) .∠BAC≈51.3°. 7.58.A9.20√510.14.4 5.(1)111:(2)11; 11.CD的长度约为54m. (3)设a为锐角，tana·tan(90° 12.如果船不改变航线继续向西 -a)=1: 航行，没有触礁危险. (4)1. 13.(1)AB=25.6(m) 6.(1)随着锐角度数的增大，它的 (2)经过12s时，无人机刚好离 正弦值逐渐增大，它的余弦值 开圆圆的视线EB. 逐渐减小： 第3课时坡度和坡角 (2)sin18°<sin34°<sin50°<1.A2.B3.280 sin62°<sin88°，cosl8°>cos34° 4.30°和20√5米5.606.2√5 >c0s50>c0s62°>c0s88. 7.A8.B9.A10.A (3)= 11.3412.21013.1.5 (4)sinl0°<cos70°<sin50°<14.水坝原来的高度为12米. cos30°. 15.需要拆除.理由略。 阶段提升自测（三）】 章末考点整合与素养提升 1-5 DCABC 6-8 CAA 9.110.②③④11.6 1.B2.D3.A 5.C 7 12.号114员 6.D7.号 8.C9. 16 49 10.43811.6.312.A13.A 11 1.42 1 14.C15.316.23或3√/2 2. 4.D5.D 17.古树DE的高度为(40-10/3)m 6.买一张彩票可能会中奖，买100 第24章随机事件及其概率 张彩票不一定中奖。 24.1在重复试验中观察随机现象 7.A8.D 第1课时确定事件与随机事件 9.(1)0.68,0.74,0.68,0.69, 1.B2.B3.C4.=5.B 0.705,0.701;(2)当n很大时， 6.(1)、(2)、(4)是随机事件，(3)是不 落在“铅笔”的频率将会接近0.7； 可能事件，(5)是必然事件. (3)获得铅笔的概率是0.7； 7.(1)n=2.(2)n=6.(3)2<6. (4)圆心角的度数为252° 8.(1)不可能(2)C 10.(1)“3点朝上”出现的频率是 第2课时用频率估计事件 6 发生的机会的大小 品-。“5点朝上”出现的频 1.C2.C3.12 率是器=方：2)小预的说法 1 4.(1)0.180,0.170,0.167,0.165, 0.168,0.163;(2)0.167;(3)通过 是错误的.这是因为：“5点朝 多次试验，对其他点数出现的频： 上”的频率最大并不能说明“5 率进行观察，均稳定在石附近， 点朝上”这一事件发生的概率 最大.只有当试验的次数足够 5.8个. 大时，该事件发生的频率稳定 6.(1)取出白球的机会是子： 在事件发生的概率附近；小红 的判断是错误的，因为事件发 (2)袋中的红球有6个. 生具有随机性，故“6点朝上” 24.2随机事件的概率 的次数不一定是100次. 24.2.1概率及其意义 11.(1)P(抽到的是不合格品)= 1.C2.A3.D4.A5.A 1 6.(1)P(抽到两位数)= 2 (2)共有12种情况，其中 抽到的都是合格品的情况有6 (2)P(抽到的数是2的倍数) 种，P(抽到的都是合格品)三 立：(3)P(抽到的数大于10)= :(3)x的值大约是16. 1 品 24.2.3列举所有机会均等的结果 7.D8.B9.A10.A11.B 1.C2.D 4.10 5.B 12号138 6.B7.C 8.4 9.C10.B 话名 9 11.B12.9 (2)需要在这个口袋中再放入 2个白球. (2)1 15.(1)由于B、C下面标2，说明它 们为中心的8个方格中有2个 15.)号，(2)图略，向西参观的 地雷，而C的右边已经有一个， 概率较大。 A就是一个地雷，还有一个 章末考点整合与素养提升 可能在B、C的位置， 1.B2.2.83.D4.A5.A ∴.现在还剩下2个地雷； 1 (2)根据(1)得PA有地雷)=1， 6.4 7.(1)总共12种情况.图略；(2) 这个游戏对甲、乙双方不公平， 24.2.2频率与概率 明显乙获胜的概率更高. 50 8.A9.C (2)画树状图略，抽到的两张 10.司 卡片恰好是“丝丝”和“核核” 13平 1号 的概率为行 15 夹册《提分专练》参考答案 专练01二次根式的双重非负性 +3,即2<c<8, 典例导练 ∴.原式=√(c-2)7 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴.y √c-8r 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, =1c-21-2c-81=c-2-8 解得x=士8，.x十y=11或-5. 知能检测 1.由题意得，2十6=0' /2m-4=0 专练03最简二次根式 典例导练 解得 /m=2 由题意得：1-x>0,∴.x-1<0,∴.(x n=-3' ∴.√m+=√13. =-1- 2.由题意，得(m-3)≥0，∴.m≥ 1 3,∴.2m-4>0,∴.2m-4+n =-1-x +2|十√(m-3)7十4=2m可知能检测 化简为：2m-4+|n+2|+ 1.(1)D(2)D √(m-3)r+4=2m 2.由题意，得2x+1=x十3，解得：x ∴.n+2|+√(m-3)m=0, =2,∴.A=55,B=35, .n+2|≥0，/(m-3)n≥0， A+B=C,.C=A+B=8√5 ∴.n+2=0,(m-3)=0, =√320，C=√/10x十3y, .n=-2,m=3,.(m十n)224= ∴.10x+3y=320,∴.20+3y 12024=1. 320,解得：y=100,.√2y-x 专练02运用√/a=|a化简 =√2×100-22=/196=14. 典例导练 专练04二次根式的混合运算 原式=|a-1|+a-3|,当a<1 典例导练 时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a 原式=[(2√2+3)(2√2-3)]203· =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤3(2√2-3)-2-11-21=(8 时，原式=(a-1)+(3-a)=2=2, 9)2·(2√/2-3)-√2+1-√2= 符合条件；当a>3时，原式=(a一1) -2√2+3-2+1-√2=4-42. +(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍 知能检测 去.∴.a的取值范围是1≤a≤3. 知能检测 1)Vm×8-6X5=√400 2 1.(1)-a1-b (2)由题意，得a<0,1<a<2,b /=20-5=20-3=17 N >0,0<b<1, ∴.a+1<0,a+b0,b>0, (2)(1-2√3)2-(2-√5)(2+√5) ∴.√(a+1)+-√(a+b) =1-43+12-(4-3) =la+1+61-la+b =1-4w3+12-1=12-43 =-a-1+b+a+b=2b-1. (3)(5+2)(W5-2)+|1-√2| 2.由三边关系定理，得5-3<c<5√5×6=5-4√2-1-32=-22. 51