专题24.2 随机事件的概率（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题24.2 随机事件的概率 教学目标 1.理解概率的定义，体会概率是描述随机事件的数学模型。 2.掌握等可能事件概率的计算公式，会求简单事件的概率。 3.知道用大量重复试验的频率可作为事件概率的估计值。 4.会用列举法（树状图法或列表法）计算简单事件发生的概率。 教学重难点 1.重点 （1）概率的定义与概率的取值范围 （2）等可能事件的概率公式 （3）用列举法（列表法、树状图法）求概率 2.难点 （1）正确列举所有等可能的结果，做到不重不漏 （2）频率与概率关系的理解 （3）两步及多步试验概率的综合应用 知识点01：概率的定义及其意义 1.定义：一个事件发生的可能性就叫做该事件的 。 2.表示：事件A发生的概率用P )表示，记作P(A)＝a（0≤a≤1），读作" "。 3.意义：用概率来衡量事件在某一次试验中发生的 ；事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 4.注意：概率大（小）只能说明事件发生的可能性大（小），不能说明事件一定（不）发生。 【即学即练】 1．据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 知识点02：概率的取值范围 事件类型 概率值 说明 必然事件 P(A)＝1 不可能事件 P(A)＝0 随机事件 0＜P(A)＜1 可能发生也可能不发生 任何事件 0≤P(A)≤1 概率的取值范围 【即学即练】 1．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 知识点03：等可能事件的概率公式 1.公式：一般地，在一次试验中，如果有n种可能出现的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 。 2.关键：①清楚关注的事件包含的结果（m种）；②清楚试验共有多少种等可能的结果（n种）；两者之比就是所求概率。 3.注意：等可能事件须满足所有结果发生的可能性都相等。 【即学即练】 1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 知识点04：频率与概率的关系 1.频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验次数n的比值称为事件A发生的频率。 2.关系：当试验次数n很大时，事件A发生的频率稳定在某个确定数值附近，这个确定的数值就是 ；因此可用大量重复试验的频率估计概率。 3.注意：频率是试验值，随试验次数变化，只是概率的估计值；概率是先于试验客观存在的确定理论值。二者不能等同。 【即学即练】 1．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（     ） A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗 知识点05：列举法求概率（列表法与树状图法） 1.树状图法： 反映事件发生的各种结果出现的次数和方式并求概率；当一次试验涉及两个或两个以上因素时适用。 2.列表法： 反映事件发生的各种结果并求概率；当一次试验涉及两个因素且等可能结果数目较多时适用，可做到不重不漏。 3.步骤：先列举出所有等可能结果（n），再找出关注事件包含的结果（m），代入公式计算。 【即学即练】 1．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率． 题型01 概率的定义与表示 理解概率是事件发生可能性大小的度量，会用P(A)表示，结合定义判断说法的正误。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）现实生活中，为了强调某件事是一定会发生的，我们可能会夸张地说“它百分之两百会发生”．在数学中，有没有“发生的机会是百分之两百”这种说法？ 【变式题1-1】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法中不正确的是（     ） A．频率等于概率 B．“如果是有理数，那么”是必然事件 C．不可能事件发生的概率为0 D．“8，15，17是勾股数”是必然事件 【变式题1-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【变式题1-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 题型02 用等可能事件概率公式求概率 先确定所有等可能结果数n，再找关注事件包含的结果数m，代入求解。 【例题2】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． 【变式题2-3】.（2026·全国·模拟预测）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 题型03 用频率估计概率 观察大量重复试验的频率，取趋于稳定的数值作为概率的估计值。 【例题3】.（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【变式题3-2】.（24-25九年级上·云南德宏·期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 题型04 由频率求概率或频数 由频率公式变形，已知频率与总次数求频数，或估计概率后求期望次数。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）请在你自己使用的计算器上探索产生随机整数的方法，并利用计算器产生随机整数设计一个试验，估计50个人中有2个人生日相同的概率． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 题型05 用列表法/树状图法求概率 ①涉及两个因素时列表，横行竖列分别表示两次结果，列出所有等可能结果后再用公式 ②求涉及两个或两个以上因素时画树状图，逐层列举结果，数清总结果数n与关注结果数m求概率。 【例题5】.（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【变式题5-1】.（24-25九年级上·云南德宏·期末）近几年，德宏的旅游业发展持续火爆．某数学小组制作了四张芒市旅游景点卡片，如图，分别是“勐焕大金塔”、“勐焕银塔”、“勐巴娜西珍奇园”、“傣族古镇”（依次用字母A、B、C、D表示这四个景点），卡片除正面内容不同之外，其余均相同，背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)将四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张，恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是______； (2)若小明先从A、B、C、D这4张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后背面朝上放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到相同景点的概率． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 题型06 不放回（无放回）抽样问题 无放回抽取时每次结果数递减，用树状图或列表列举，注意第二次结果数比第一次少。 【例题6】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． (1)若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． (2)老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）现有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》人物名称的卡片：．哪吒，．敖丙，．太乙真人，．无量仙翁．将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中． (1)从这4张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的人物名称是“．太乙真人”的概率是______； (2)从这4张卡片中任意取出1张，记录后放回，再从中任意取出1张，求两次取出的2张卡片上的名称为“．哪吒”“．敖丙”的概率． 【变式题6-2】.（26-27九年级下·全国·课后作业）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，七年级班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任老师设计了一个摸球游戏来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小、质地完全相同的乒乓球，在这个乒乓球上分别写上，，（每个字母分别代表一位同学，其中，代表两位女生，C代表男生），搅匀后，老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据两个乒乓球上的字母决定谁去参加比赛． (1)老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为________； (2)请用列表法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）在一个不透明的袋子里有除颜色外其它都相同的5个红球和2个白球． (1)先从袋子里取出（）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． ①如果事件是必然事件，则的值为__________； ②如果事件是随机事件，则的值为__________． (2)先从袋子中取出个红球，不放回，再放入除颜色外其它都相同的个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 题型07 转盘、摸球等面积与数量概率 指针落在某区域概率等于该区域面积占总面积之比；摸到某色球概率等于该色球数占总球数之比。 【例题7】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； (2)假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 题型08 概率的实际应用与综合 将实际问题抽象为等可能试验，用列表或树状图列举，结合概率公式及实际意义求解。 【例题8】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）好又多超市周年庆举办趣味抽奖活动，其中一项为摸球领奖游戏，在抽奖袋里装有4个白色纪念球、6个红色幸运球，小球大小、手感一模一样，搅匀后顾客依次摸球．小明率先伸手随机摸出1个球，拿出来一看是白色纪念球． (1)若工作人员把摸出的白球放回抽奖袋，重新摇匀后让小明再摸一球，求小明再次摸到白球的概率； (2)若工作人员没有放回小明摸出的白球，直接用袋子里剩下的小球让小明继续摸球，求第二次摸到白球的概率． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外，其他都完全相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：________，________； (2)当摸球次数足够多时，估计摸到白球的概率是________；（精确到） (3)若袋中有个白球，则袋中有多少个红球？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 一、单选题 1．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 2．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 3．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 二、填空题 4．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是_________个． 5．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 6．数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 三、解答题 7．一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 8．在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． (2)求这样的点落在第四象限的概率． 9．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 1．在甘肃特色农产品展销会上，主办方举办了“抽取农产品卡片赢奖品”的活动，在一个不透明的箱子中装有四张除图案外完全相同的卡片，卡片上分别印有四种特色农产品（如图）及其主色调：A：兰州百合（主色为白）、B：静宁红苹果（主色为红）、C：陇南绿橄榄（主色为绿）和D：甘州红枸杞（主色为红）．参与者随机从箱中抽取一张卡片，记录信息后不放回，再随机抽取第二张．若两次抽到的卡片所代表的农产品主色调均为红色，即可获得一张10元代金券． (1)随机抽取一次卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求通过两次抽卡片能够获得代金券的概率． 2．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.2 随机事件的概率 教学目标 1.理解概率的定义，体会概率是描述随机事件的数学模型。 2.掌握等可能事件概率的计算公式，会求简单事件的概率。 3.知道用大量重复试验的频率可作为事件概率的估计值。 4.会用列举法（树状图法或列表法）计算简单事件发生的概率。 教学重难点 1.重点 （1）概率的定义与概率的取值范围 （2）等可能事件的概率公式 （3）用列举法（列表法、树状图法）求概率 2.难点 （1）正确列举所有等可能的结果，做到不重不漏 （2）频率与概率关系的理解 （3）两步及多步试验概率的综合应用 知识点01：概率的定义及其意义 1.定义：一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率。 2.表示：事件A发生的概率用P(A)表示，记作P(A)＝a（0≤a≤1），读作"事件A发生的概率等于a"。 3.意义：用概率来衡量事件在某一次试验中发生的可能性大小；事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 4.注意：概率大（小）只能说明事件发生的可能性大（小），不能说明事件一定（不）发生。 【即学即练】 1．据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，概率用于表示事件发生可能性的大小，只需根据降雨概率的含义判断选项即可． 【详解】∵概率表示事件发生可能性的大小，是接近的概率， ∴该数据说明明天全市下雨的可能性较高，但降雨不是必然事件，也不是不可能事件， 由此可得：A：“可能性较高”正确；B：“一定不会下雨”错误；C：“可能性较低”错误；D：“一定会下雨”错误． 知识点02：概率的取值范围 事件类型 概率值 说明 必然事件 P(A)＝1 一定会发生 不可能事件 P(A)＝0 一定不会发生 随机事件 0＜P(A)＜1 可能发生也可能不发生 任何事件 0≤P(A)≤1 概率的取值范围 【即学即练】 1．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 【答案】A 【分析】根据概率的含义和必然事件、随机事件的定义，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ A选项中明天的降水概率为，概率大于，意味着明天下雨的可能性较大，∴A正确； ∵ 任意三角形的内角和一定是，该事件是必然事件，不是随机事件，∴B错误； ∵ 彩票中奖概率表示中奖的可能性，买张这种彩票也不一定会中奖，∴C错误； ∵ 抛硬币每次抛出，正面向上的概率都是，和之前的抛掷结果无关，∴D错误. 知识点03：等可能事件的概率公式 1.公式：一般地，在一次试验中，如果有n种可能出现的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2.关键：①清楚关注的事件包含的结果（m种）；②清楚试验共有多少种等可能的结果（n种）；两者之比就是所求概率。 3.注意：等可能事件须满足所有结果发生的可能性都相等。 【即学即练】 1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 知识点04：频率与概率的关系 1.频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验次数n的比值称为事件A发生的频率。 2.关系：当试验次数n很大时，事件A发生的频率稳定在某个确定数值附近，这个确定的数值就是事件A发生的概率；因此可用大量重复试验的频率估计概率。 3.注意：频率是试验值，随试验次数变化，只是概率的估计值；概率是先于试验客观存在的确定理论值。二者不能等同。 【即学即练】 1．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（     ） A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗 【答案】B 【详解】解：∵多次摸取试验后摸到红色幸运星的频率稳定在， ∴可估计摸到红色幸运星的概率为， ∴盒子中红色幸运星的数量约为（颗）． 知识点05：列举法求概率（列表法与树状图法） 1.树状图法：用树状图反映事件发生的各种结果出现的次数和方式并求概率；当一次试验涉及两个或两个以上因素时适用。 2.列表法：用表格反映事件发生的各种结果并求概率；当一次试验涉及两个因素且等可能结果数目较多时适用，可做到不重不漏。 3.步骤：先列举出所有等可能结果（n），再找出关注事件包含的结果（m），代入公式计算。 【即学即练】 1．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率． 【答案】 【分析】选择列表法，枚举所有甲、乙选择主题的可能结果，因为每个主题被选中的概率相同，所以每个基本事件发生的可能性相等．从枚举的所有结果中，找出甲和乙选择主题相同的结果个数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：用列表法分析所有等可能的结果如下：                             甲 乙 A B C A B C 由上表可知：共有种等可能的结果，其中甲和乙选择相同主题的结果有种（即，，． ∴甲和乙选择相同主题的概率为：． 题型01 概率的定义与表示 理解概率是事件发生可能性大小的度量，会用P(A)表示，结合定义判断说法的正误。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）现实生活中，为了强调某件事是一定会发生的，我们可能会夸张地说“它百分之两百会发生”．在数学中，有没有“发生的机会是百分之两百”这种说法？ 【答案】没有这种说法，理由如下： ∵刻画事件发生可能性大小的数值称为概率， 所有事件的概率取值范围是， ∴． ∵必然事件是一定发生的事件， 其概率为1， 也就是100%，， 超出了概率的取值范围． ∴ 数学中没有“发生的机会是百分之两百”的说法． 【分析】依据概率的取值范围进行解答即可． 【详解】解：没有这种说法，理由略． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法中不正确的是（     ） A．频率等于概率 B．“如果是有理数，那么”是必然事件 C．不可能事件发生的概率为0 D．“8，15，17是勾股数”是必然事件 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念，以及必然事件，不可能事件的性质和勾股数的定义，要求选出不正确的说法． 【详解】解：A 、频率是通过试验得到的统计结果，是概率的近似估计值，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，但频率不等于概率，因此该说法不正确； B、∵任何有理数的绝对值都是非负数，即对任意有理数，恒成立，∴该事件是必然事件，说法正确； C、根据概率的定义，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，说法正确； D、∵，且，，都是正整数，符合勾股数的定义，∴“，，是勾股数”一定成立，是必然事件，说法正确． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】解：“佛山市明天的降水概率为”，说明当天佛山市下雨的可能性较大． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 【答案】D 【分析】根据相关知识点逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A：在1,2,3,4,5这5个数中，奇数有3个，偶数有2个，，取得奇数的可能性更大，A错误； B：“水中捞月”是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不是随机事件，B错误； C：10张彩票中有1张奖票，每个人摸到奖票的概率都是，中奖概率和摸奖顺序无关，C错误； D：连续抛掷硬币3次都是正面朝上，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，D正确． 题型02 用等可能事件概率公式求概率 先确定所有等可能结果数n，再找关注事件包含的结果数m，代入求解。 【例题2】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 【答案】 /0.25 【分析】根据概率公式，用所求情况数除以总等可能情况数即可计算结果． 【详解】解：一共有4种等可能的抽卡片结果，其中抽出标有数字为4的卡片的结果只有1种， ∴抽出标有数字为4的卡片的概率为． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． 【答案】/ 【分析】根据概率的计算公式，用红球个数除以所有球的总个数，即可求出摸到红球的概率． 【详解】解：∵盒子里总共有球个，其中红球有个， ∴摸到红球的概率为． 【变式题2-3】.（2026·全国·模拟预测）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 【答案】 【分析】先统计去掉标点后的总汉字数，再统计其中数词的个数，根据概率公式计算结果． 【详解】解：去掉标点后，这句诗词共有汉字：七、八、个、星、天、外、两、三、点、雨、山、前，总个数为， 其中属于数词的是七、八、两、三，总个数为， 数词出现的概率为． 题型03 用频率估计概率 观察大量重复试验的频率，取趋于稳定的数值作为概率的估计值。 【例题3】.（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察统计图得出频率稳定的数值即可． 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【分析】大量的试验后，频率约等于概率，利用红色卡片的数量除以其频率即可求出总的卡片数量． 【详解】解：根据题意有：． 【变式题3-2】.（24-25九年级上·云南德宏·期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用大量重复试验下频率稳定于概率的规律，观察多组绿豆发芽试验的频率随试验粒数增加逐渐稳定在附近，据此估计绿豆发芽的概率约为． 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.94 【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即可作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格中优等品的频率数据，随着抽取足球的数量不断增加，频率依次为0.94、0.945、0.938、0.935、0.938、0.939、0.941， 结果精确到0.01，整体逐渐稳定在0.94附近． 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是0.94． 题型04 由频率求概率或频数 由频率公式变形，已知频率与总次数求频数，或估计概率后求期望次数。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）请在你自己使用的计算器上探索产生随机整数的方法，并利用计算器产生随机整数设计一个试验，估计50个人中有2个人生日相同的概率． 【答案】（1）试验前提：假设一年有365天． （2）试验操作：利用计算器产生的随机整数，每个整数对应一天的生日；每生成50个随机整数为一次试验，检查是否存在重复的数． （3）估计方法：重复进行大量试验，用有重复数的试验次数与总试验次数的比值作为概率的估计值． （4）估计结果：50个人中有2个人生日相同的概率约为0.97． 【分析】按照试验前提、试验操作、估计方法、估计结果的步骤设计试验即可． 【详解】略 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) 估计红球有个，白球有个 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率的思路，用总球数乘以估计得到的红球概率，计算出红球数量，再得到白球数量； （2）分三种情况讨论取出2个球的颜色组合，分别计算每种情况发生的概率和对应条件下摸到白球的概率，再求和得到最终结果，用到概率的基本计算方法． 【详解】（1）解：∵盒子中共有小球个，摸到红球的概率约为， ∴红球的估计数量为：（个）； 白球的估计数量为：（个）． （2）解：由（1）可知，盒中原有4个红球，6个白球，一次性取出2个球，分三种情况计算： 从10个球中一次性取2个，共有种等可能的取法， ①取出2个红球： 取出2个红球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有6个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ②取出1个红球1个白球： 取出1红1白的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有5个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ③取出2个白球： 取出2个白球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有4个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； 将三种情况的概率相加得总概率： ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)0.57；0.604 (2)0.6 (3)12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． 【详解】（1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，然后变形即可求出b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 题型05 用列表法/树状图法求概率 ①涉及两个因素时列表，横行竖列分别表示两次结果，列出所有等可能结果后再用公式 ②求涉及两个或两个以上因素时画树状图，逐层列举结果，数清总结果数n与关注结果数m求概率。 【例题5】.（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【答案】抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的情况有种， ∴抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为． 【变式题5-1】.（24-25九年级上·云南德宏·期末）近几年，德宏的旅游业发展持续火爆．某数学小组制作了四张芒市旅游景点卡片，如图，分别是“勐焕大金塔”、“勐焕银塔”、“勐巴娜西珍奇园”、“傣族古镇”（依次用字母A、B、C、D表示这四个景点），卡片除正面内容不同之外，其余均相同，背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)将四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张，恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是______； (2)若小明先从A、B、C、D这4张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后背面朝上放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到相同景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有种等可能结果，两人抽到相同景点有4种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四张卡片（A、B、C、D）除正面内容不同之外，其余均相同， ∴恰好抽到“B．勐焕银塔”的概率是， （2）解：画树状图如下， 由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽到相同景点有4种， 他俩抽到相同景点的概率． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. 【详解】（1）解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； （2）解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下： 可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 【分析】（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算； （2）通过画树状图统计总数量． 【详解】（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； （2）略 题型06 不放回（无放回）抽样问题 无放回抽取时每次结果数递减，用树状图或列表列举，注意第二次结果数比第一次少。 【例题6】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． (1)若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． (2)老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 【答案】(1)抽中“云粉蝶”的概率为． (2)两人抽到同种蝴蝶的概率为． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D，然后根据题意画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到同种蝴蝶的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：若随机抽取一张卡片，有4种结果，抽中“云粉蝶”的情况只有一种，抽中“云粉蝶”的概率为． （2）解：设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两人抽到同种蝴蝶的结果有4种， 所以两人抽到同种蝴蝶的概率为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）现有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》人物名称的卡片：．哪吒，．敖丙，．太乙真人，．无量仙翁．将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中． (1)从这4张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的人物名称是“．太乙真人”的概率是______； (2)从这4张卡片中任意取出1张，记录后放回，再从中任意取出1张，求两次取出的2张卡片上的名称为“．哪吒”“．敖丙”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式即可得到答案； （2）设两次抽取的卡片分别为第1张、第2张，用树状图表示出所有的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》人物名称的卡片：．哪吒，．敖丙，．太乙真人，．无量仙翁．从这4张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的人物名称是“．太乙真人”的概率是； （2）解：设两次抽取的卡片分别为第1张、第2张，用树状图表示出所有的结果如图． 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片上名称为“A．哪吒”“B．敖丙”的结果有2种， 两次取出的2张卡片上的名称为“A．哪吒”“B．敖丙”的概率． 【变式题6-2】.（26-27九年级下·全国·课后作业）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，七年级班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任老师设计了一个摸球游戏来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小、质地完全相同的乒乓球，在这个乒乓球上分别写上，，（每个字母分别代表一位同学，其中，代表两位女生，C代表男生），搅匀后，老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据两个乒乓球上的字母决定谁去参加比赛． (1)老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为________； (2)请用列表法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】共有种可能出现的结果，其中是“男生”的有种，可得出老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率； 用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，进而求出概率． 【详解】（1）解：共有种可能出现的结果，其中是“男生”的有种， 所以老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为， 故答案为：； （2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 一共有种可能出现的结果，其中是“一男一女”的有种， 所以恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率为． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）在一个不透明的袋子里有除颜色外其它都相同的5个红球和2个白球． (1)先从袋子里取出（）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． ①如果事件是必然事件，则的值为__________； ②如果事件是随机事件，则的值为__________． (2)先从袋子中取出个红球，不放回，再放入除颜色外其它都相同的个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1)①2；②1 (2)3 【分析】（1）根据事件的分类，进行作答即可； （2） 根据可能性大小的计算公式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：①如果事件是必然事件，则袋子里全是红球，没有白球，故； ②如果事件是随机事件，则袋子里有红球，也有白球，故只能取出1个白球，即； （2）解：依题意得：． 解得：． 答：的值是3． 题型07 转盘、摸球等面积与数量概率 指针落在某区域概率等于该区域面积占总面积之比；摸到某色球概率等于该色球数占总球数之比。 【例题7】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 【答案】(1)袋中白球的个数是3 (2)选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 理由：依题意列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 由表易知共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种， 采用“在线支付”获得20元礼金券的概率为，采用“现金支付”获得20元礼金券的概率为． ， ∴选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论． 【详解】（1）设袋中白球的个数为x， 从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是 ， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 袋中白球的个数是3； （2）略． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； (2)假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】(1) (2)； (3)黑球8个，白球12个 【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个． 【详解】（1）解：由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近 摸到白球的概率为 摸到黑球的概率为； （3）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 口袋中有白球（个）， 黑球（个）． 题型08 概率的实际应用与综合 将实际问题抽象为等可能试验，用列表或树状图列举，结合概率公式及实际意义求解。 【例题8】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）好又多超市周年庆举办趣味抽奖活动，其中一项为摸球领奖游戏，在抽奖袋里装有4个白色纪念球、6个红色幸运球，小球大小、手感一模一样，搅匀后顾客依次摸球．小明率先伸手随机摸出1个球，拿出来一看是白色纪念球． (1)若工作人员把摸出的白球放回抽奖袋，重新摇匀后让小明再摸一球，求小明再次摸到白球的概率； (2)若工作人员没有放回小明摸出的白球，直接用袋子里剩下的小球让小明继续摸球，求第二次摸到白球的概率． 【答案】(1)P（摸到白球） (2)P（摸到白球） 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当把这个白球放回口袋后，口袋中有4个白球、6个红球，此时再随机摸出一球， 所有等可能的结果总数为，所求事件中可能出现的结果数为4， 所以P（摸到白球） ． （2）解：如果不将这个白球放回口袋中，那么口袋中有3个白球、6个红球，此时再随机摸出一球，所有等可能的结果总数为，所求事件中可能出现的结果数为3， 所以 P（摸到白球） ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外，其他都完全相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：________，________； (2)当摸球次数足够多时，估计摸到白球的概率是________；（精确到） (3)若袋中有个白球，则袋中有多少个红球？ 【答案】(1)， (2) (3)12个 【分析】（1）根据频率公式计算即可； （2）根据频率估计概率即可求解； （3）设有x个红球，根据概率公式列出方程计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：当摸球次数很多时，摸到白球的频率稳定在附近， 因此当摸球次数足够多时，估计摸到白球的概率是； （3）解：设有x个红球， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 故袋中有12个红球． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 一、单选题 1．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【答案】B 【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误. 【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个， ∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小， A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误； B、摸出红球的可能性最大，故B正确； C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误； D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误. 2．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 3．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 二、填空题 4．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是_________个． 【答案】 8 【分析】已知盒中黑色棋子的数量，以及任意摸出一个棋子摸到黑色棋子的概率，通过概率的基本计算关系可求出盒中棋子的总个数． 【详解】解：根据初中概率的基本定义，摸到黑色棋子的概率等于黑色棋子的数量除以盒中棋子的总数量， ∵已知黑色棋子有2个，摸到黑色棋子的概率为， ∴盒中棋子总数量=黑色棋子数量÷摸到黑色棋子的概率， 代入数值计算得． 5．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】观察图形，确定总格子数和黑色区域格子数，利用概率公式计算即可． 【详解】解： ∵游戏板总共有9个相同的小正方形，其中黑色区域占据了其中4个小正方形， ∴击中黑色区域的概率是． 6．数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 三、解答题 7．一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； （2）解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 8．在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． (2)求这样的点落在第四象限的概率． 【答案】(1)画树状图如下： 由树状图可知，两次摸球共有种等可能的结果，对应的点坐标分别为、、、、、、、、． (2) 【分析】（1）画出树状图，写出对应的坐标即可； （2）根据直角坐标系中，各象限的点的坐标特征，结合（1）中结果，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）可知，共有种等可能的结果，其中，第四象限的点有、两种， ∴点落在第四象限的概率为． 9．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500；210 (2)补全条形统计图为： (3)甲、乙同时被选中的概率为 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； （2）解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 1．在甘肃特色农产品展销会上，主办方举办了“抽取农产品卡片赢奖品”的活动，在一个不透明的箱子中装有四张除图案外完全相同的卡片，卡片上分别印有四种特色农产品（如图）及其主色调：A：兰州百合（主色为白）、B：静宁红苹果（主色为红）、C：陇南绿橄榄（主色为绿）和D：甘州红枸杞（主色为红）．参与者随机从箱中抽取一张卡片，记录信息后不放回，再随机抽取第二张．若两次抽到的卡片所代表的农产品主色调均为红色，即可获得一张10元代金券． (1)随机抽取一次卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求通过两次抽卡片能够获得代金券的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次都抽主色调为红色的农产品卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种， ∴从中任意抽取一张卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率为． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次都抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种， ∴两次抽到能够获得代金券的概率为． 2．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $