专题23.3 锐角三角函数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题23.3 锐角三角函数 教学目标 1.通过实例认识直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的概念。 2.理解同角三角函数间的关系及互余两锐角三角函数间的关系。 3.已知直角三角形的两边，会求任意一个锐角的三角函数值。 4.会求30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的特殊角的度数。 教学重难点 1.重点 （1）正弦、余弦、正切的概念 （2）30°、45°、60°角的三角函数值 （3）同角、互余两锐角三角函数间的关系 2.难点 （1）利用三角函数值求直角三角形的边长 （2）锐角三角函数值的大小比较与增减性应用 （3）由三角函数值判断三角形的形状 知识点01：锐角三角函数 1.锐角三角函数：锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数。 2.定义（在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a、邻边为b、斜边为c）： 　　（1）正弦：锐角A的 的比，记作sinA，； 　　（2）余弦：锐角A的 的比，记作cosA，； 　　（3）正切：锐角A的 的比，记作tanA，。 3.注意： （1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的； （2）sinA、cosA、tanA表示一个整体，是两条线段的比值，没有单位； （3）锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关； （4）用一个大写字母或小写希腊字母表示角时可省略符号"∠"，用三个大写字母或数字表示角时不能省略，如cos∠ABC、sin∠1。 【即学即练】 1．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02：30°、45°、60°角的三角函数值 1.根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得30°、45°、60°角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 2.记忆方法： （1）图形记忆法：利用含 的直角三角形（三边比1:√3:2）和含 的直角三角形（三边比1:1:√2）由定义记忆； （2）增减规律记忆法：sinα随角 ，依次为、、。 【即学即练】 1．求下列各式的值： (1)； (2)． 知识点03：锐角三角函数值的取值范围与增减性 1.取值范围：由于直角三角形斜边大于任意一条直角边，所以有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0。 2.增减性：sinA、tanA的值随∠A的 ，cosA的值随∠A的 。 3.角确定，角的正弦值（余弦值、正切值）就确定，即锐角三角函数值由角的大小唯一确定。 【即学即练】 1．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 知识点04：同角三角函数间的关系 　1.平方关系： 。 　2.商数关系： 。 　3.由平方关系可得：当0°＜∠A＜90°时，，。 　4.注意：，。 【即学即练】 1．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 知识点05：互余的两个锐角的三角函数间的关系 　1.若∠A＋∠B＝90°（∠A、∠B互余），则 ， 。 　2.即任意锐角的正弦（余弦）等于它的余角的余弦（正弦）： ， 。 3.应用：可利用互余关系将正弦转化为余弦，或将余弦转化为正弦进行求值。 【即学即练】 1．若，则_______． 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 紧扣定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边），分清角的对边与邻边，注意三角函数值是比值、只与角的大小有关。 【典例1】. （25-26九年级上·上海金山·周测）如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【变式1】. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 先由勾股定理求出所需边长，再按定义写出比值；也可设参数表示三边后求解。 【典例2】. （2026九年级上·山东·专题练习）在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【变式3】. （2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 题型03 由正弦、余弦、正切的值求边长 根据三角函数值列出比例关系，设出参数（如k）表示边长，再结合勾股定理或已知条件求具体长度。 【典例3】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则等于__________． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【变式3】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 题型04 由三角函数值求点的坐标 把坐标平面中的点到坐标轴的垂线段构造直角三角形，用三角函数关系求出线段长，进而得坐标。 【典例4】. （25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】. （第三十二章锐角三角函数1正弦、余弦与正切）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·广东广州·二模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 求特殊角的三角函数值 熟记30°、45°、60°角的三角函数值表，可结合含特殊角的直角三角形边长比快速写出。 【典例5】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【变式2】. （25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西汉中·期末）计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 题型06 与特殊角三角函数值有关的混合运算 先代入特殊角的三角函数值，再按有理数运算法则计算，注意运算顺序与根式的化简。 【典例6】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式1】. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式3】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算： 题型07 由三角函数值求角的大小 由已知的三角函数值对应特殊角，直接得出角度；非特殊值时可用计算器或互余关系判断。 【典例7】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________． 【变式1】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知是一个锐角且，则的度数是_________． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，，，求和的度数． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 题型08 在网格中求锐角三角函数的值 利用网格中小正方形的边长构造直角三角形，结合勾股定理确定直角边与斜边的长度，再按定义求正弦、余弦、正切的值。 【典例8】. （24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ 　） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点均在正方形网格的格点上，且交于点，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型09 由三角函数值判断三角形的形状 由或非负数的性质，判断各角的三角函数值关系，从而确定三角形的形状。 【典例9】. （2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【变式1】. （2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【变式2】. （25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 题型10 锐角三角函数值的大小比较 利用增减性（sin、tan随角增大而增大，cos随角增大而减小）比较不同锐角三角函数值的大小。 【典例10】. （26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【变式1】. （25-26九年级上·江苏泰州·期末）以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，，，则由小到大的顺序为______． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·单元复习）将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 题型11 同角三角函数间的关系应用 利用、，已知一种三角函数值求其他三角函数值。 【典例11】. （25-26九年级·安徽池州·自主招生）已知，其中，求的值． 【变式1】. （25-26九年级上·山东滨州·期末）我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【变式2】. （25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【变式3】. （24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 题型12 互余两锐角三角函数间的关系应用 利用sinA＝cos(90°−∠A)进行正弦与余弦的相互转化，结合同角关系综合求值。 【典例12】. （2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）在 中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （2025·安徽亳州·三模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 题型13 锐角三角函数的综合应用 综合运用定义、特殊角函数值、同角及互余关系，结合网格、坐标或图形求三角函数值或解决探究问题。 【典例13】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【变式1】. （25-26九年级上·全国·单元复习）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以互相转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) (2)对于的正对值的取值范围是___________ (3)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 【变式2】. （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图中的边上找到点，连结，使； (3)在图中的边上找到点，连结使． 【变式3】. （2026·江苏宿迁·中考真题）综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知公式：．已知．则______． 5．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 6．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 三、解答题 7．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 8．在中，，，，求的值． 9．在一直角三角形中，斜边为8，一条直角边为，这条直角边所对的锐角为，求的值． 10．如图，在中，，于点D，，，求的度数． 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 2．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 3．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； (2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 5．如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.3 锐角三角函数 教学目标 1.通过实例认识直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的概念。 2.理解同角三角函数间的关系及互余两锐角三角函数间的关系。 3.已知直角三角形的两边，会求任意一个锐角的三角函数值。 4.会求30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的特殊角的度数。 教学重难点 1.重点 （1）正弦、余弦、正切的概念 （2）30°、45°、60°角的三角函数值 （3）同角、互余两锐角三角函数间的关系 2.难点 （1）利用三角函数值求直角三角形的边长 （2）锐角三角函数值的大小比较与增减性应用 （3）由三角函数值判断三角形的形状 知识点01：锐角三角函数 1.锐角三角函数：锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数。 2.定义（在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a、邻边为b、斜边为c）： 　　（1）正弦：锐角A的对边与斜边的比，记作sinA，； 　　（2）余弦：锐角A的邻边与斜边的比，记作cosA，； 　　（3）正切：锐角A的对边与邻边的比，记作tanA，。 3.注意： （1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的； （2）sinA、cosA、tanA表示一个整体，是两条线段的比值，没有单位； （3）锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关； （4）用一个大写字母或小写希腊字母表示角时可省略符号"∠"，用三个大写字母或数字表示角时不能省略，如cos∠ABC、sin∠1。 【即学即练】 1．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 知识点02：30°、45°、60°角的三角函数值 1.根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得30°、45°、60°角的三角函数值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 2.记忆方法： （1）图形记忆法：利用含30°角的直角三角形（三边比1:√3:2）和含45°角的直角三角形（三边比1:1:√2）由定义记忆； （2）增减规律记忆法：sinα随角增大而增大，依次为、、。 【即学即练】 1．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03：锐角三角函数值的取值范围与增减性 1.取值范围：由于直角三角形斜边大于任意一条直角边，所以有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0。 2.增减性：sinA、tanA的值随∠A的增大而增大，cosA的值随∠A的增大而减小。 3.角确定，角的正弦值（余弦值、正切值）就确定，即锐角三角函数值由角的大小唯一确定。 【即学即练】 1．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 知识点04：同角三角函数间的关系 　1.平方关系：。 　2.商数关系：。 　3.由平方关系可得：当0°＜∠A＜90°时，，。 　4.注意：，。 【即学即练】 1．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 知识点05：互余的两个锐角的三角函数间的关系 　1.若∠A＋∠B＝90°（∠A、∠B互余），则，。 　2.即任意锐角的正弦（余弦）等于它的余角的余弦（正弦）：，。 3.应用：可利用互余关系将正弦转化为余弦，或将余弦转化为正弦进行求值。 【即学即练】 1．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 紧扣定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边），分清角的对边与邻边，注意三角函数值是比值、只与角的大小有关。 【典例1】. （25-26九年级上·上海金山·周测）如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似． 根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的三角形与原三角形相似，可以判断锐角A的正弦值是否变化． 【详解】解：一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍， 设新三角形为， ， ， 锐角的正弦值没有变化， 故选：C． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 【变式2】. （2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 题型02 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 先由勾股定理求出所需边长，再按定义写出比值；也可设参数表示三边后求解。 【典例2】. （2026九年级上·山东·专题练习）在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 【变式3】. （2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 题型03 由正弦、余弦、正切的值求边长 根据三角函数值列出比例关系，设出参数（如k）表示边长，再结合勾股定理或已知条件求具体长度。 【典例3】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 【变式1】. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则等于__________． 【答案】 【详解】解：，，， ， 即． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 题型04 由三角函数值求点的坐标 把坐标平面中的点到坐标轴的垂线段构造直角三角形，用三角函数关系求出线段长，进而得坐标。 【典例4】. （25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 【变式1】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 【变式2】. （第三十二章锐角三角函数1正弦、余弦与正切）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （2026·广东广州·二模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴交点、的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得， ，即． 令，则， ，即． 在中，由勾股定理得：． ． 题型05 求特殊角的三角函数值 熟记30°、45°、60°角的三角函数值表，可结合含特殊角的直角三角形边长比快速写出。 【典例5】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 【变式1】. （25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 【变式2】. （25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西汉中·期末）计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的正切函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 由特殊角的三角函数值，代入进行乘法运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 题型06 与特殊角三角函数值有关的混合运算 先代入特殊角的三角函数值，再按有理数运算法则计算，注意运算顺序与根式的化简。 【典例6】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】分别计算零指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，二次根式和负整数指数幂，再合并得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型07 由三角函数值求角的大小 由已知的三角函数值对应特殊角，直接得出角度；非特殊值时可用计算器或互余关系判断。 【典例7】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________． 【答案】/30度 【详解】∵为锐角，且， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知是一个锐角且，则的度数是_________． 【答案】 /20度 【分析】利用特殊锐角的正切值得到角度关系，即可求出的度数． 【详解】解：∵ 是一个锐角且， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，，，求和的度数． 【答案】 ， 【分析】分别求出和，即可得解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴，． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 题型08 在网格中求锐角三角函数的值 利用网格中小正方形的边长构造直角三角形，结合勾股定理确定直角边与斜边的长度，再按定义求正弦、余弦、正切的值。 【典例8】. （24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质，三角函数求值，勾股定理．根据题意过点作，利用旋转性质可知，再利用勾股定理求得的长，即可得到答案； 【详解】解：过点作， ， ∵绕着点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】. （2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 【变式2】. （25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点均在正方形网格的格点上，且交于点，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正切值，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，再证明然后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，正方形网格的小正方形的边长为， 依题意，， 取格点，连接， 依题意，， 结合网格特征得， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 结合网格特征，， 则， ∴， 故选：A． 【变式3】. （25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．过点C作于点D，则，，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 则，，． ∴由勾股定理得． ． 故选：D． 题型09 由三角函数值判断三角形的形状 由或非负数的性质，判断各角的三角函数值关系，从而确定三角形的形状。 【典例9】. （2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 【变式1】. （2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 【变式2】. （25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 题型10 锐角三角函数值的大小比较 利用增减性（sin、tan随角增大而增大，cos随角增大而减小）比较不同锐角三角函数值的大小。 【典例10】. （26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏泰州·期末）以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 【变式2】. （25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·单元复习）将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． 题型11 同角三角函数间的关系应用 利用、，已知一种三角函数值求其他三角函数值。 【典例11】. （25-26九年级·安徽池州·自主招生）已知，其中，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用同角三角函数关系求值，先求出，再结合，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，即：， ． 【变式1】. （25-26九年级上·山东滨州·期末）我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的基本关系及新定义运算，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再代入题目规定的公式计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， 故选：A． 【变式2】. （25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 【变式3】. （24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型12 互余两锐角三角函数间的关系应用 利用sinA＝cos(90°−∠A)进行正弦与余弦的相互转化，结合同角关系综合求值。 【典例12】. （2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）在 中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ， ，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴ ， 故选∶B． 【变式2】. （2025·安徽亳州·三模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余的两个角的三角函数关系，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 【变式3】. （26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 题型13 锐角三角函数的综合应用 综合运用定义、特殊角函数值、同角及互余关系，结合网格、坐标或图形求三角函数值或解决探究问题。 【典例13】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 【变式1】. （25-26九年级上·全国·单元复习）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以互相转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) (2)对于的正对值的取值范围是___________ (3)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握“顶角的正对”的定义是解题的关键． （1）先说明是等边三角形可得，再根据“顶角的正对”的定义求解即可； （2）分别求得当无限接近 、无限接近两种情况，分别根据“顶角的正对”的定义求得的极值即可解答； （3）如图：在上取点，使，过点作于，连接，设，则、，再根据勾股定理可得，最后根据“顶角的正对”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：当无限接近时，无限接近0，则无限接近0； 当无限接近时，等腰三角形的底无限接近于腰的二倍，故接近2． 所以的取值范围是． 故答案为． （3）解：如图：在上取点，使，过点作于，连接， 在中，， 设，则． ， 在中，， ． 【变式2】. （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图中的边上找到点，连结，使； (3)在图中的边上找到点，连结使． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】根据网格特点找出中点，然后连结，故点即为所求； 找出格点，，连结，，交于点，证明，则，所以，故点即为所求； 找出格点，连结，，然后证明是直角三角形，再由，故点即为所求． 【详解】（1）解：找出中点，然后连结， 画图略； （2）解：找出格点，，连结，，交于点，则点即为所求； 画图略， 理由：由网格可知， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）解：找出格点，连结，，画图略， 由网格可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴点即为所求． 【变式3】. （2026·江苏宿迁·中考真题）综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 【答案】(1)所求图形，如图所示； (2)， 【分析】（1）先连接，再作的平分线，交于点，然后过点作的垂线，交于点即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则可得，，的长，再求出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 2．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 3．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 二、填空题 4．已知公式：．已知．则______． 【答案】 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可. 【详解】解：由题意， . 5．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 6．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 【答案】1 【分析】连接，由网格可知：，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) 1 (2) 6 (3) (4) 0 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．在中，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，最后代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 9．在一直角三角形中，斜边为8，一条直角边为，这条直角边所对的锐角为，求的值． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出α的邻直角边长度，再根据正切的定义计算的值． 【详解】解：设该直角三角形斜边长为，锐角α的对边长为，邻直角边长为b， ∵该三角形是直角三角形， ∴， ∵锐角的正切为对边与邻边的比值， ∴． 10．如图，在中，，于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】求出的值，进而求出的度数，根据同角的余角相等，得到即可. 【详解】解：∵于点D，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，即，结合，，代入数值到中即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 3．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； (2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，平行四边形即为所求， 【分析】（1）由题意可得点在线段的垂直平分线上，求出点到边的高为，再结合网格画出图形即可； （2）根据得出在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为，结合网格特征以及平行四边形的性质作出平行四边形，先求出的长，再结合正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可得， ∵为等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上， 设点到边的高为， ∵等腰的面积为， ∴， ∴， 图略； （2）解：∵， ∴在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为， 图略， 由勾股定理可得， ∴． 5．如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下： 过点A作于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）过点A作于点F，根据三角形面积公式，得，得到，继而得到，根据等边三角形的判定求解即可； （2）先证明，再根据三角形外角性质，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）得是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $