专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型 题型一 反比例函数与三角形的综合问题 题型二 反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三 反比例函数与矩形的综合问题 题型四 反比例函数与菱形的综合问题 题型五 反比例函数与正方形的综合问题 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1．(1) (2) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出、，过点作轴于点，由三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出、， 再计算，即可得，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值； （2）先由（1）得反比例函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式，设直线向左平移后的解析式为，联立直线与反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时的值，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 如图，过点作轴于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 把， 代入，得 ，， 解得，， ∴直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，解析式为， 联立得， 把①代入②，得， 两边同乘并整理，得， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，方程有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，的取值范围是． 2．(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数，求出点坐标，再用待定系数法求一次函数解析式； （2）求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，分割法求三角形的面积； （3）分三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴， ∵，当时，， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵平移， ∴设直线的解析式为，把，代入得：， ∴，当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴，交于点，过点作于点，    ∵， ∴的面积为； （3）设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，，解得：或（舍去）； ②时，，解得：或（舍去）； ③时，，解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 3．(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； （3）解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求出，再由得到，即可求解，即可求解点D的坐标； （3）分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，C， ∴， ∵，， ∴， ∴B点坐标为， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：如图，当时，而 ∴， ∴ 则， 解得， 如图，当时，而 ∴， ∴ 则， 解得， 综上：当m的值是或时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 5．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）设直线与y轴交于点C，则点C为，根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入中，得， 反比例函数的表达式为； 在的图象上， ， 将坐标代入得，， 解得， 次函数的表达式为； （2）解：设直线与y轴交于点C，则点C为， ； （3）解：观察函数图象知，的解集为或． 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6．(1)，直线的函数解析式为 (2)点或点 【分析】（1）根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式； （2）根据平行四边形的性质可以求得，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵点， ∴． 又轴， ∴点． 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 设点的坐标为， ∵， ∴ 解得或， ∴点或点． 7．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值， （1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解； （2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，    ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 8．(1) (2)36 【分析】(1) 过点A作轴于点H，利用解析式，结合勾股定理确定点A的坐标，后解答即可． (2)根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）过点A作轴于点H，如图．    ∵点A在直线上， 设． ∵点A在第一象限， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点A坐标为： ∴的中点M的坐标为 ∵点F为的中点， ∴平行x轴 设， ∴， 解得， ∴ 如图1，作轴，轴，垂足为点H、G，则 ∴， ∴ ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式的确定，平行线的判定与坐标的关系，熟练掌握反比例函数的性质，勾股定理是解题的关键． 9．(1) (2)，点M的坐标为 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可； （2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到长度；M点的纵坐标可由向上平移到得出，将点M纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是平行四边形， ， 点C坐标为， 点C在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为； （2）解：向上平移得到， 点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是， 点F在反比例函数的图象上， 点F的坐标为， ， ， 点M的纵坐标， 点M在反比例函数的图象上， 点M的横坐标为， 点M的坐标为． 10．(1) 证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 11．(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到点的坐标为，继而根据为的中点，得到，进而根据待定系数法得到反比例函数的解析式． （2）连接，根据反比例函数的图象与矩形的边交于点，得到，进而得到，设，根据折叠的性质和勾股定理列方程，并解方程得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 点在边上， ， ， ， 点的坐标为， 点为的中点， ，， ， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， 设点， ，解得， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ． 12．(1)， (2)或 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出反比例函数的解析式为，再结合点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上，计算即可得出点F的坐标； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， E是的中点， ， 反比例函数过点E， ， 反比例函数的解析式为， 点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上， ∴当时，， ； （2）解：由（1）知，，， ， 当与相似时，分以下两种情况： ①当时，， 即， ， ， 此时点； ②当时，， 即， ， ， 此时点， 综上，符合条件的点P坐标为或． 13．(1) (2)6 【分析】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数与几何综合，数形结合是解题关键． （1）求出点D的坐标，设反比例函数的解析式为，再代入求解即可． （2）求出点E的坐标，根据矩形的面积减去两个三角形的面积即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点， ∴点D的坐标为． 设反比例函数的解析式为． 将点代入，得，解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在矩形中，反比例函数的图象和相交于点E， ∴点E的纵坐标为4， 将代入得， 解得：． ∵在矩形中，，， ∴，，，． ∴四边形的面积为． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 15．(1) (2)存在，点的横坐标为或 (3)或 【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可； （）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解； （）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可； 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：存在，理由： 当在下方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，连接，，， ∵，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 当在上方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，同理①知， 同理（）得：直线的解析式为，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 综上可得，点的横坐标为或； （3）解：∵， ∴，， 如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴； 当，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理可证：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得（不合，舍去）或； 综上，符合条件的的值为或． 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质； （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论； （2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵点D的坐标为， ∴，， ∴由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故答案为：5； （2）解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∴轴， ∴在直线上， ∴ ∵， ∴点的坐标为， 将点代入，得 ∴． 17．(1)， (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数性质以及反比例函数和一次函数的交点问题， 过点作轴的垂线，垂足为点，则，结合菱形的性质即可得点的坐标为，点的坐标为，代入解析式求解即可； 由点的坐标为，结合沿y轴翻折得点的坐标为，由一次函数的性质即可判断出满足题意得范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点， 点， 则由勾股定理，得． ∵四边形是菱形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 顶点在反比例函数的图象上， ； （2）解：根据题意得点的坐标为， ∵，且点是交点， ∴． 18．(1)y；B(8,4)； (2)①(2,)；②或． 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得反比例函数的函数表达式为；求出知菱形边长为，故； （2）①菱形的对称中心为，直线平分菱形的面积，则直线经过点，此时直线的解析式为联立解析式可解得的坐标； ②求出，当直线交边于，时，求出，直线解析式为，联立解析式可解得的横坐标；当直线交边于，时，求出 ，同法可得的横坐标为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， 反比例函数的函数表达式为； ， ， 四边形是菱形， ，轴， ； （2）①， 菱形的对称中心为的中点， 直线平分菱形的面积， 直线经过点，此时直线的解析式为， 联立， 解得或， ； ②，， ， 当直线交边于，时，如图： ∴， ， ， ， 直线解析式为， 联立可得， 解得或舍去， 的横坐标为； 当直线交边于，时，如图： ， ， ， 由，得直线解析式为， 令得， ， 直线解析式为， 联立得， 解得或舍去； 的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式 （3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 【详解】（1）解：的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 过，， ， 解得， 直线解析式为：； （3）解：设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20．(1)，； (2)或； (3)(-3，-2)或(5，6) 【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）根据题意可求出点B坐标，再根据反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出x的取值范围即可； （3）设直线AB与x轴的交点为M，由一次函数解析式即可求出M点坐标．根据菱形的性质求得菱形面积，即可得出的值．设P点坐标为(x，x+1)，分类讨论①当点P在x轴下方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．②当点P在x轴上方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标． 【详解】（1）如图，连接AD，交x轴于点E， ∵D(1，-2)， ∴OE=1，ED=2， ∵四边形AODC是菱形， ∴AE=DE=2，EC=OE=1， ∴A(1，2)， 将A(1，2)代入直线，得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 将A(1，2)代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）联立 ， 解得：，． ∴B(-2，-1)． ∵反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 由图象可知当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当或时，反比例函数值大于一次函数值时． （3）设直线AB与x轴的交点为M，如图， ∵OC=2OE=2，AD=2DE=4， ∴， ∵， ∴， 对于直线y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1 ∴M(-1，0)． 设P点坐标为(x，x+1)， ①当点P在x轴下方时， ∴，即， ∴ 解得x=-3， ∴此时P点坐标为(-3，-2)； ②当点P在x轴上方时， ∴，即 ∴ 解得x=5， ∴P点坐标为(5，6)． 综上可知，P点坐标为(-3，-2)或(5，6) 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21．(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数系数k的几何意义等知识，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键； （1）把和分别代入反比例函数的解析式求出相应的y与x即可； （2）根据，结合k的几何意义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为7， ∴， 当时，，当时，， ∴； （2）解：当的面积为20 时，即， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴反比例函数的解析式是． 22．(1) (2)存在， (3)5 【分析】本题主要考查了反比例函数和正方形的结合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用待定系数法求函数解析式，图象交点坐标和一元二次方程的解的关系，求图形的面积等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质得出，然后得出，最后利用待定系数法即可求解； （2）联立函数解析式，列出一元二次方程求解即可得出点的坐标； （3）根据平行线得出，得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在上， ， ， ； （2）解：由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； （3）解：如图所示，连接， ， ， ． 故答案为：． 23．(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数和几何的综合，正方形的性质等知识． （1）由正方形的性质求出点E的坐标，根据点E的坐标即可求出反比例函数的解析式． （2）先得出点C的坐标，再求出正方形的面积，设点的横坐标为．根据，求出x的值，再根据反比例函数求出对应的y值即可得出点p的坐标了． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， ． 四边形为正方形， 点的坐标为， 即 ， 反比例函数的解析式为． （2）解：∵点，点 ∴ ， ∵是正方形， ∴点， 设点的横坐标为． 的面积等于正方形面积的， 则， 即． 解得或． 点在反比例函数图象上， 当时，； 当时，． 点的坐标为或 24．(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 25．(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数与几何图形的综合的五种模型 题型归纳 题型一反比例函数与三角形的综合问题 题型二反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三反比例函数与矩形的综合问题 题型四反比例函数与菱形的综合问题 题型五反比例函数与正方形的综合问题 题型专练 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1,如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边在x轴上，点B、C的坐标分别为(-2,0)、(6,0)， k 反比例函数y=(x>0)的图象交4C于点A,D: (1)求k的值： (②)将。4BC沿x轴向左平移>0)单位长度，当反比例函数y=(x>0)的图象与三角形至少有一个公共 点时，求t的取值范围。 2.知图，少兰x>0)与一次蜀数y=心+n的图限交于点4亿0：且y=m+n与y=+2的图象交于y 轴上同一点B.将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象交于点C,交y轴于点 D,且点C的横坐标为3. 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)连接AC、AD,求△ACD的面积： (3)在x轴负半轴上确定一点E,使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合 条件的点E的坐标。 3.如图，-次函数y=x+6与x轴交于点C40):与少特交于点瓜，并与反比例画数y=买(x<0)的图 象交于点A(-l,n)」 (1)求一次函数与反比例函数的表达式： m (②)已知P为反比例函数y=x（x<0)的图象上一点，且S=2Sos’求点P的坐标： (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的 坐标，若不存在，请说明理由。 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A,C的坐标分别为 A(-3,0),C(1,0),BC:AC=3:4 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求过点B的双曲线y=(k≠0)的函数表达式： (2)D是x轴上一点，当△ADB∽aABC时，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，若P,Q分别是线段AB和线段AD上的动点，连接PQ,设AP=DQ=m,若以A、 P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，求出的值. 77 5.已知一次函数y=:+b与反比例函数y=x的图像交于A(-2,八B(1,n)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)求三角形AOB的面积； ③)结合图像直接写出不等式&x+b>的解集. 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6如图.已如在￥行四边形OMBC中，点0为坐标原点，点450，C2.3小反比例西数y-兰〔k≠0的 图象经过点C (I)求k的值及直线OB的函数解析式： (②点p为反比例函数y=x图象上任意一点，若SAo4=2Sac,求点p的坐标. 7.如图，平行四边形OABC中，Sg边形oMc=8,B(O,4),它的边OC在x轴的负半轴上，对角线OB在y轴 的正半轴上.反比例函数y=x的图像经过点A 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的表达式： (2)过点A的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点D,连接BD,直接写出△ABD面积的取值范围. 8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴的正半轴上，四边形OACB为平行四边形，OA 所在直线的解析式为y-青，反比函数y-（x>0)在第一象限内的图象经过点4，与BC文于友反，已 4 知OA=10,点F为BC的中点. (1)求反比例函数的解析式： (2)求△AF0的面积. 9.如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(9,0),D(O,3),点C在反比 例函数y=文的图象上. G M/ E B A (1)求反比例函数的表达式： k (2②)将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH,使点F在反比例函数y=的图象上，GH与反 比例函数图象交于点M,连接AE,求AE的长及点M的坐标， 10.如图，已知，A(0,8),B(-6,0),将线段AB水平向右平移10个单位长度得到线段DC(点A对应点 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,连接D'AC·反比例函数y=上(x>0)的图象经过点D B OC (1)证明：四边形ABCD为菱形： (2)求此反比例函数的解析式： k (B)己知在反比例函数y=x的图象(c>O)上一点V,y轴正半轴上一点M且四边形ABMN是平行四边形， 求点M的坐标. 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 11,如图，矩形OABC的顶点小、C分别在太y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4,n)在边 AB 1 B,反比份函数yk0在第一象限内的图象经过点八、E'且OA分 B G D O H (1)求反比例函数的解析式， (2)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与太y轴正 半轴交于点H、G,求线段OG的长， 12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为矩形，B(-4,2),反比例函数的图象过线段BC的中点 E,交AB边于点F 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y= 6 E A (I)求反比例函数k的值和点F的坐标： (2)若P为线段AO上一动点，当△BEF与△AFP相似时，求点P的坐标. 13.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3,4)，点D为4B的中点，反比例函数的图象 经过点D且和BC相交于点E. YA \E B A (1)求反比例函数的解析式： (2)求四边形ODBE的面积. 14.如图，在范形04BC中，O1=g"OC-6:反比例屉数y-经x≥0)的图家与BC·AB分别交于M N两点，且MB=2MC. M (1)求反比例函数的解析式： (2)设点P为线段OA上一点，若CP=PN,求点P的坐标. k 15.如图1，矩形OABC的顶点AC分别在x、y轴的正半轴上，反比例函数y=x(k≠0，x>0)在第 一象限内的图象经过点D、E. 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 ()点F为对角线OB上一点且在反比例函数图象上，满足OF=2BF,点E(6,m)在边BC上，且 BC:OC=1:2,求反比例函数解析式： (2)在(1)的条件下，反比例函数上是否存在点，满足Soc:S,o0=2:1,若存在，求点2的横坐标； (3)我们把有一个内角为45°的三角形称为“美好三角形”，这个45°的内角称为“美好角”，这个角的两 边称为“美好边”，如图2，若点B的坐标为(2，)，则当△ODE为“美好三角形”时，直接写出反比例函 数表达式中k的值. 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反 比例西数y在(x>0)的图象上，点D的坐标为3,4) O(C) (I)菱形ABCD的边长为. (2)求k的值 17.如图，菱形OB4C的项点A在反比例函数y=冬c>0的图象上点B在y轴上，点C43). 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (1)求k的值和点B的坐标. ②将菱形OB1C沿y轴翻折，点4的对应点为点：若点是反比例函数y=上x<0的图象与一次西数 ykx+b化，<0)的图象的交点，请直接写出>k,x+b时x的取值范国 18.如图，平面直角坐标系xO少中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，A,B在第一象限，反比例 函数y=（>0)的图象经过点43,4). (备用图) (1)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标： (②点p在反比例函数y-(x>0)的图象上 ①若直线OP平分菱形OABC的面积，求点P的坐标： ②若直线OP将菱形OABC的面积分成1：3两部分，则点P的横坐标是_. 19.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，菱形0ABC的顶点A的坐标为(3,4)，点B在反比例函数 y->0)的图象上，连接OB·过点B作BD1OB交，拍于点D延长O4文反比例国数y->0) 的图象于点P,连接BP 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 ()求反比例函数y=的解析式： (2)求直线BD的解析式： (3)直接写出△OPB的面积. 20.如图，一次函数=kx+1的图象与反比例函数y化>0)点的图象相交于A,B两点，点C在x轴正 半轴上，点D(1,-2),连接OA、OD、DC、AC,四边形OACD为菱形. (I)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围： (③)设点P是直线AB上一动点，且SAaA2S菱形oAcD,求点P的坐标. 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21.如图，正方形ABCD的边长为7，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立平面直 角坐标系，反比例函数y(K>Q)的图象与CD交于B点，与C交于P 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V个 B (1)求点E、F的坐标（用k表示）： (②)若△AEF的面积为20时，求反比例函数的解析式， 3 2.已知直线乃=一2x+3与x轴交于点A:与y轴交于点B,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD: 双曲线为=，经过点C,连接OC交AB于点E,连接ED B E 0 A (1)求双曲线的函数关系式： (2)双曲线与正方形是否存在除点C外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填 “不存在”结论： (3)四边形OEDA的面积为. (直接填答案). 23.如图，四边形ABCD为正方形，点A(一14,2)，点B(-14,-12),且反比例函数的图象经过正方形的中 心E VA 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式 (2)若点P是反比例函数图象上的点，△OCP的面积等于正方形ABCD面积的2，求点P的坐标. 24.小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中(“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼 成)，点A与点(-，O)重合，点B的横坐标为3，点E,H在x轴上，小正方形EFGH的边长为2.反比例 函数y=的图象经过点B,C D (I)求反比例函数的表达式： ②若一次函数y=2x+m与反比例函数y x（x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上点 B,C之间的部分时（点M可与点B,C重合），求的取值范围， 25.如图，直线y=-3x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,以线段AB为边，在线段AB的左侧作正方 形ABCD点C在反比例函数y冬(+0)的图象上 D (I)求点A、点B、点C的坐标： (2)将正方形ABCD沿x轴正方向平移，得到正方形AB'C"D' ①当正方形ABCD'的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上.试描述平移过程 ②当正方形A'B'CD'的边A'B与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点E.在坐标平面内是否存在点 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F,使得以点O、E、B、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积：若不存在，请说明理 由 12112 专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型 题型一 反比例函数与三角形的综合问题 题型二 反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三 反比例函数与矩形的综合问题 题型四 反比例函数与菱形的综合问题 题型五 反比例函数与正方形的综合问题 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，点的坐标分别为、，反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)将沿轴向左平移单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出、，过点作轴于点，由三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出、， 再计算，即可得，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值； （2）先由（1）得反比例函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式，设直线向左平移后的解析式为，联立直线与反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时的值，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 如图，过点作轴于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 把， 代入，得 ，， 解得，， ∴直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，解析式为， 联立得， 把①代入②，得， 两边同乘并整理，得， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，方程有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，的取值范围是． 2．如图，与一次函数的图像交于点，且与的图象交于轴上同一点．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象交于点，交轴于点，且点的横坐标为3．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)在轴负半轴上确定一点，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数，求出点坐标，再用待定系数法求一次函数解析式； （2）求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，分割法求三角形的面积； （3）分三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴， ∵，当时，， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵平移， ∴设直线的解析式为，把，代入得：， ∴，当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴，交于点，过点作于点，    ∵， ∴的面积为； （3）设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，，解得：或（舍去）； ②时，，解得：或（舍去）； ③时，，解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 3．如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； （3）解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 4．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A，C的坐标分别为． (1)求过点B的双曲线的函数表达式； (2)D是轴上一点，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若分别是线段和线段上的动点，连接，设，若以A、P、Q为顶点的三角形与相似，求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求出，再由得到，即可求解，即可求解点D的坐标； （3）分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，C， ∴， ∵，， ∴， ∴B点坐标为， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：如图，当时，而 ∴， ∴ 则， 解得， 如图，当时，而 ∴， ∴ 则， 解得， 综上：当m的值是或时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 5．已知一次函数与反比例函数的图像交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求三角形的面积； (3)结合图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）设直线与y轴交于点C，则点C为，根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入中，得， 反比例函数的表达式为； 在的图象上， ， 将坐标代入得，， 解得， 次函数的表达式为； （2）解：设直线与y轴交于点C，则点C为， ； （3）解：观察函数图象知，的解集为或． 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6．如图，已知在平行四边形中，点为坐标原点，点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，直线的函数解析式为 (2)点或点 【分析】（1）根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式； （2）根据平行四边形的性质可以求得，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵点， ∴． 又轴， ∴点． 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 设点的坐标为， ∵， ∴ 解得或， ∴点或点． 7．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值， （1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解； （2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，    ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴的正半轴上，四边形为平行四边形，所在直线的解析式为，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F，已知，点F为的中点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】(1) 过点A作轴于点H，利用解析式，结合勾股定理确定点A的坐标，后解答即可． (2)根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）过点A作轴于点H，如图．    ∵点A在直线上， 设． ∵点A在第一象限， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点A坐标为： ∴的中点M的坐标为 ∵点F为的中点， ∴平行x轴 设， ∴， 解得， ∴ 如图1，作轴，轴，垂足为点H、G，则 ∴， ∴ ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式的确定，平行线的判定与坐标的关系，熟练掌握反比例函数的性质，勾股定理是解题的关键． 9．如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 【答案】(1) (2)，点M的坐标为 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可； （2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到长度；M点的纵坐标可由向上平移到得出，将点M纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是平行四边形， ， 点C坐标为， 点C在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为； （2）解：向上平移得到， 点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是， 点F在反比例函数的图象上， 点F的坐标为， ， ， 点M的纵坐标， 点M在反比例函数的图象上， 点M的横坐标为， 点M的坐标为． 10．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) 证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 11．如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与轴正半轴交于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到点的坐标为，继而根据为的中点，得到，进而根据待定系数法得到反比例函数的解析式． （2）连接，根据反比例函数的图象与矩形的边交于点，得到，进而得到，设，根据折叠的性质和勾股定理列方程，并解方程得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 点在边上， ， ， ， 点的坐标为， 点为的中点， ，， ， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， 设点， ，解得， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，反比例函数的图象过线段的中点E，交边于点F． (1)求反比例函数k的值和点F的坐标； (2)若P为线段上一动点，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出反比例函数的解析式为，再结合点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上，计算即可得出点F的坐标； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， E是的中点， ， 反比例函数过点E， ， 反比例函数的解析式为， 点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上， ∴当时，， ； （2）解：由（1）知，，， ， 当与相似时，分以下两种情况： ①当时，， 即， ， ， 此时点； ②当时，， 即， ， ， 此时点， 综上，符合条件的点P坐标为或． 13．如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点，反比例函数的图象经过点D且和相交于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数与几何综合，数形结合是解题关键． （1）求出点D的坐标，设反比例函数的解析式为，再代入求解即可． （2）求出点E的坐标，根据矩形的面积减去两个三角形的面积即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D为的中点， ∴点D的坐标为． 设反比例函数的解析式为． 将点代入，得，解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在矩形中，反比例函数的图象和相交于点E， ∴点E的纵坐标为4， 将代入得， 解得：． ∵在矩形中，，， ∴，，，． ∴四边形的面积为． 14．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 15．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、． (1)点为对角线上一点且在反比例函数图象上，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； (2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； (3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 【答案】(1) (2)存在，点的横坐标为或 (3)或 【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可； （）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解； （）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可； 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：存在，理由： 当在下方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，连接，，， ∵，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 当在上方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，同理①知， 同理（）得：直线的解析式为，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 综上可得，点的横坐标为或； （3）解：∵， ∴，， 如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴； 当，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理可证：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得（不合，舍去）或； 综上，符合条件的的值为或． 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)菱形的边长为____________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质； （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论； （2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵点D的坐标为， ∴，， ∴由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故答案为：5； （2）解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∴轴， ∴在直线上， ∴ ∵， ∴点的坐标为， 将点代入，得 ∴． 17．如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点． (1)求k的值和点B的坐标． (2)将菱形沿y轴翻折，点A的对应点为点，若点是反比例函数的图象与一次函数的图象的交点，请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数性质以及反比例函数和一次函数的交点问题， 过点作轴的垂线，垂足为点，则，结合菱形的性质即可得点的坐标为，点的坐标为，代入解析式求解即可； 由点的坐标为，结合沿y轴翻折得点的坐标为，由一次函数的性质即可判断出满足题意得范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点， 点， 则由勾股定理，得． ∵四边形是菱形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 顶点在反比例函数的图象上， ； （2）解：根据题意得点的坐标为， ∵，且点是交点， ∴． 18．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，，在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的函数表达式和点的坐标； (2)点在反比例函数的图象上． ①若直线平分菱形的面积，求点的坐标； ②若直线将菱形的面积分成两部分，则点的横坐标是 ． 【答案】(1)y；B(8,4)； (2)①(2,)；②或． 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得反比例函数的函数表达式为；求出知菱形边长为，故； （2）①菱形的对称中心为，直线平分菱形的面积，则直线经过点，此时直线的解析式为联立解析式可解得的坐标； ②求出，当直线交边于，时，求出，直线解析式为，联立解析式可解得的横坐标；当直线交边于，时，求出 ，同法可得的横坐标为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， 反比例函数的函数表达式为； ， ， 四边形是菱形， ，轴， ； （2）①， 菱形的对称中心为的中点， 直线平分菱形的面积， 直线经过点，此时直线的解析式为， 联立， 解得或， ； ②，， ， 当直线交边于，时，如图： ∴， ， ， ， 直线解析式为， 联立可得， 解得或舍去， 的横坐标为； 当直线交边于，时，如图： ， ， ， 由，得直线解析式为， 令得， ， 直线解析式为， 联立得， 解得或舍去； 的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式 （3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 【详解】（1）解：的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 过，， ， 解得， 直线解析式为：； （3）解：设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20．如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数 点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2 ），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围； (3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)(-3，-2)或(5，6) 【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）根据题意可求出点B坐标，再根据反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出x的取值范围即可； （3）设直线AB与x轴的交点为M，由一次函数解析式即可求出M点坐标．根据菱形的性质求得菱形面积，即可得出的值．设P点坐标为(x，x+1)，分类讨论①当点P在x轴下方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．②当点P在x轴上方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标． 【详解】（1）如图，连接AD，交x轴于点E， ∵D(1，-2)， ∴OE=1，ED=2， ∵四边形AODC是菱形， ∴AE=DE=2，EC=OE=1， ∴A(1，2)， 将A(1，2)代入直线，得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 将A(1，2)代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）联立 ， 解得：，． ∴B(-2，-1)． ∵反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 由图象可知当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当或时，反比例函数值大于一次函数值时． （3）设直线AB与x轴的交点为M，如图， ∵OC=2OE=2，AD=2DE=4， ∴， ∵， ∴， 对于直线y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1 ∴M(-1，0)． 设P点坐标为(x，x+1)， ①当点P在x轴下方时， ∴，即， ∴ 解得x=-3， ∴此时P点坐标为(-3，-2)； ②当点P在x轴上方时， ∴，即 ∴ 解得x=5， ∴P点坐标为(5，6)． 综上可知，P点坐标为(-3，-2)或(5，6) 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21．如图，正方形的边长为 7 ，以所在的直线为 x 轴， 以所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，反比例函数（）的图象与交于 E 点，与 交于 F 点． (1)求点E、F的坐标（用k表示） ； (2)若的面积为20 时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数系数k的几何意义等知识，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键； （1）把和分别代入反比例函数的解析式求出相应的y与x即可； （2）根据，结合k的几何意义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为7， ∴， 当时，，当时，， ∴； （2）解：当的面积为20 时，即， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴反比例函数的解析式是． 22．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． (1)求双曲线的函数关系式； (2)双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； (3)四边形的面积为______（直接填答案）． 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【分析】本题主要考查了反比例函数和正方形的结合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用待定系数法求函数解析式，图象交点坐标和一元二次方程的解的关系，求图形的面积等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质得出，然后得出，最后利用待定系数法即可求解； （2）联立函数解析式，列出一元二次方程求解即可得出点的坐标； （3）根据平行线得出，得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在上， ， ， ； （2）解：由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； （3）解：如图所示，连接， ， ， ． 故答案为：． 23．如图，四边形为正方形，点，点，且反比例函数的图象经过正方形的中心E． (1)求反比例函数的解析式． (2)若点P是反比例函数图象上的点，的面积等于正方形面积的，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数和几何的综合，正方形的性质等知识． （1）由正方形的性质求出点E的坐标，根据点E的坐标即可求出反比例函数的解析式． （2）先得出点C的坐标，再求出正方形的面积，设点的横坐标为．根据，求出x的值，再根据反比例函数求出对应的y值即可得出点p的坐标了． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， ． 四边形为正方形， 点的坐标为， 即 ， 反比例函数的解析式为． （2）解：∵点，点 ∴ ， ∵是正方形， ∴点， 设点的横坐标为． 的面积等于正方形面积的， 则， 即． 解得或． 点在反比例函数图象上， 当时，； 当时，． 点的坐标为或 24．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $