培优专题02 反比例函数与几何综合题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

培优专题02 反比例函数与几何综合题型归纳 常考题型·精准突破 题型1：反比例函数与三角形面积问题 题型2：反比例函数与四边形面积问题 题型3：反比例函数与图形平移综合 题型4：反比例函数与图形旋转综合 题型5：反比例函数与图形折叠综合 题型6：反比例函数与动点综合问题 题型7：反比例函数与相似三角形综合 题型8：反比例函数与最短路径问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1反比例函数与三角形面积问题 1．如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵点在反比例函数图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，轴， ∴， ∵， ∴； 设点，则点， A，，不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； B，，符合题意； C，∵， ∴， ∵不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； D，∵， ， ∴不符合题意． 2．如图，的顶点A是双曲线上的动点，过点A作轴交双曲线于点C，顶点B在y轴上，下列说法正确的是（ ） A．的周长存在最大值 B．的面积存在最小值 C．的周长始终不变 D．的面积始终不变 【答案】D 【分析】设点，由题意易得，，，然后问题可求解． 【详解】解：设点， ∵轴， ∴， ∴的高即为点A的横坐标， ∴，故D选项正确，B选项错误； 由两点距离公式可得，， ∴， ∴的周长由a、b的值决定，故A、C错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． 3．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是______，的面积是______． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数的的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，设，得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，即可得出；根据点C是的中点和三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，再结合轴可得即可解答． 【详解】解：过点A作轴，如图所示： 根据题意设， ∴， 点C是的中点， ∴点C的横坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是双曲线上的一点， ∴，即， ∴， 点C是的中点， ∴； 点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 点B在双曲线上，轴， ∴， ∴． 故答案为：2；4． 4．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】 / 【分析】根据平行四边形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式，联立解析式求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 5．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、B两点，轴，垂足为C，的面积是1． (1)求的值； (2)若点P在该双曲线上，且的面积等于面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． （1）求出，分别代入与即可得到答案； （2）求出，由的面积等于面积的得到．根据得，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于、B两点，轴， ∴B点横坐标为1，即， ∵的面积为1， ∴点的纵坐标为2， ∴． 将代入， 得，． （2）∵，， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴或． ◆题型2反比例函数与四边形面积问题 1．如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的7倍，则（   ） A．24 B．14 C．12 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，全等三角形的性质和判定，一次函数解析式的求法，以及反比例函数解析式的求法等知识点，解决此题的关键是作出辅助线证明．如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H，证明，根据已知条件可设点C和D的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据四边形的面积是面积的倍，求出点C或点D坐标． 【详解】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，交于M点，过C点作，垂足为H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 设，， 则， 解得， ∴D的坐标是． 设直线解析式为， 将A、D两点坐标代入得： ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，点、在反比例函数的图象上，四边形为平行四边形，与轴交于点，与轴交于点，且四边形的面积是面积的3倍．则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】连接，作轴于，轴于，根据题意易得，则，即点E为的中点，设E点坐标为，由，，求出，，把，代入得，求出t的值，即可得到，，；再利用待定系数法得直线的解析式为，进而求出H点坐标，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，作轴于，轴于， ∵四边形的面积是面积的3倍， ∴平行四边形的面积是面积的4倍， ∴， ∴，即点E为的中点， 设E点坐标为， ∵，， ∴， ∵，且，而点先向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， ∴先向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， 把，代入得， 解得， ∴，，； 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 令得， ∴点坐标为， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式和三角形面积公式进行几何计算． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx+1与双曲线 y=（k>0）相交于点A，B，已知点B（a，-2），点C在×轴正半轴上，点D（2，-3），连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为__________； （2）不等式>mx+1 的解集是__________； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为_______． 【答案】 x<-3或0<x<2 或 【分析】依题意（1）由题，AODC为菱形，又点D（2，-3），得点A的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）点B在反比例函数上，将点B的坐标代入；数形结合得不等式的解集； （3）由（1）菱形AODC的面积；点P在y轴上运动，设点P（0，y）为，面积相等即可； 【详解】（1）由题可知，AODC为菱形，又点D（2，-3）； 由图可知，点D与点A关于轴对称，∴ 点A（2， 3）； 将点A的坐标，代入反比例函数解析式： ，可得； ∴ 反比例函数的表达式为：； （2）由（1）知反比例函数表达式为：；又点B在反比例函数上，故将点B（a，-2），代入反比例函数表达式，可得，∴点B（-3，-2） 又直线与反比例函数相交于点A、B，结合图形； ∴ 可得的解集为：或 ； （3）由（1）知结合菱形AODC的性质可知各点的坐标分别为：、、、； ∴ 菱形AODC的面积为：； 又点P在y轴上运动，设点P（0，y）为，∴ △APO的面积为：； 又菱形AODC的面积与△APO的面积相等； ∴ ，∴ 或； ∴ 点P的坐标为：（0，12）或（0，-12）； 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和菱形的性质，重点在于熟练函数解析式的计算和应用； 5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值． （2）通过分析与的面积和与矩形面积的关系，结合点的位置确定的取值范围． （3）根据的面积是矩形面积的一半，设边上高的为h，求出高，分别讨论点在上完下方时和点在上完上方时，求解得到点的坐标． 【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图象上， ， ，， ； （2）解：， ， ∵， ∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件， ； （3）解：， ， ， ， ，设边上高的为h， ， 点在的下方时， 时， 当时，， 点的坐标为； 点在的上方时， 时， 当时，， 点的坐标为． ◆题型3 反比例函数与图形平移综合 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入反比例函数解析式可求出的值，确定反比例函数表达式．因为矩形对角线互相平分，点是中点，所以利用中点坐标公式可求出平移前点的坐标．因为矩形向左平移时点的纵坐标不变，将纵坐标代入反比例函数解析式求出平移后点的横坐标．根据平移距离等于平移前点的横坐标减去平移后点的横坐标，计算即可． 【详解】反比例函数过点，代入得， ∴反比例函数为． ∵矩形对角线互相平分， ∴E是的中点，，的坐标分别为，． ∴点E的横坐标为：，纵坐标为：． 矩形向左平移时，点的纵坐标不变，仍为． 将代入反比例函数， ∴平移后的横坐标． 平移距离． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直角的一条直角边落在y轴上，且点A与点O重合，，将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度．若点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上．则的长度为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设的长度为，根据题意，得，，根据平移性质，得，即，根据点在反比例函数图象上，列出等式解答即可． 本题考查了平移的性质，反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的长度为，根据题意，得，，根据平移性质，得，即， 根据点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上． 故， 解得， 故选：C． 3．如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据点，，的坐标可得点的坐标为，根据平移的方向和距离可得点，，、平移后的对应点的坐标，分别求出当点在反比例函数的图像上时和点在反比例函数的图像上时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：矩形的顶点，，的坐标分别为，，， 点的坐标为， 将矩形向右平移个单位后， 顶点，，、的坐标分别为，，，， 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：； 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：， ． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图象上的一点，如图，将线段向左平移，平移后的对应线段为，点落在反比例函数的图象上，已知线段扫过的面积为8，则________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，平移的性质，解题的关键是通过平行四边形的面积公式进行求解． 设点，根据平移的性质可得，根据线段扫过的面积为和平行四边形的性质可得，即可求得． 【详解】解：设点，根据平移的性质可得， 则， 故线段扫过的面积为， 解得， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，边在轴上，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将向上平移，得到，平移后边与反比例函数的图象交于点．若边的中点平移后的对应恰好落在的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点A的坐标，则可利用待定系数法求反比例函数的表达式； （2）先确定点M的坐标，设平移距离并表示点的坐标，利用点在函数图像 【详解】（1）解： ，边在轴上，，， 点A的坐标． 反比例函数的图象经过点， ，解得． 反比例函数的表达式． （2）解：如图 点，点，点M为的中点， 点M的坐标为，即． 设向上平移的距离为m，则点M的对应点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，解得∶． 点C在边上，且是由向上平移个单位得到的， 点C的纵坐标为． 当时，代入， 得∶ ，解得∶． 经检验，是原方程的解． 点C的坐标为． ◆题型4 反比例函数与图形旋转综合 1．如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点D是的中点求出点B的坐标和反比例函数解析式，再由得到点C的横坐标，代入反比例函数解析式求得点C的坐标，再根据点D是的中点求出点A的坐标，再根据旋转的周期性得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点，点D是的中点， 又∵ ∴， 将点代入得： ∴ ∴反比例函数的解析式是． ∵ ∴点C的横坐标是4， 当时，， ∴ 又∵点D是的中点，， ∴ ∵绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴点A的坐标每4次旋转作为一个循环， ∵，第三次旋转之后点A的坐标是 ∴第次旋转结束时，点A的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，旋转的性质等知识，利用数形结合思想和掌握旋转的周期性是解题的关键． 2．已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．设点，根据将点绕原点旋转后得到点，可得，易得，，然后由四边形的面积求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上， 可设点， ∵将点绕原点旋转后得到点， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 【答案】 【分析】作轴于点，证明，进而求出点的坐标，进而求出值即可. 【详解】解：∵直线与轴、轴分别相交于点、两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 4．如图，矩形中，顶点在坐标原点，顶点、分别在、轴的正半轴上，顶点在反比例函数（为常数，，）的图象上，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，若点的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则_______． 【答案】 【分析】设，则，，根据旋转的性质得到，，于是得到，于是得到方程，求得，（负值舍去），即可得到结论． 【详解】解：设， 则，， 矩形绕点按逆时针反向旋转得到矩形， ∴，， ∴点坐标为：， ，在此反比例函数图象上， ， ， ， ，（负值舍去）， 的值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）解直角三角形求出，从而得到，根据题意得出即可得到反比例函数解析式； （2）根据旋转的三要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向可知分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵轴于点，，， ∴在中，， ∴， ∵点A在直线上，当时，， ∴， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：将绕点旋转，并没有说清楚是顺时针还是逆时针，故分两种情况： 在①顺时针旋转，如图所示： ， ， 在第四象限， ； ②逆时针旋转，如图所示： ， ， 在第二象限， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形以及待定系数法求反比例函数的解析式等知识，解题的关键是求出点A的坐标． ◆题型5 反比例函数与图形折叠综合 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，三角函数的应用，解方程，求反比例函数的解析式；设，，根据勾股定理求出，得，过点D作轴交轴于点G，证，设，即，由勾股定理得，求出m，n即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，，， 设，， 由折叠的性质得，，， ∴， 解得， ∴， 过点D作轴交轴于点G， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵在第四象限，则，， ∴，即 ∵，即，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴过点的反比例函数关系式为， 故选：A． 2．如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长是（   ） A． B．8 C． D．5 【答案】A 【分析】首先根据翻折变换的性质，可得，；然后设点E的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 沿折叠，点B刚好与边上点D重合， ，， ，， ， ， 设点E的坐标是， 则，， ， ， 解得， ∴点E的坐标是， 设反比例函数， ， ∴反比例函数解析式为， ∵F点纵坐标为8， ，解得，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，反比例函数与几何的综合，把握折叠的不变性是解题的关键． 3．如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点D作，根据反比例函数的性质，结合勾股定理，一线三直角相似模型解答即可． 【详解】解：过点D作，垂足为G，如图所示． ∵点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E， ∴，，． 又∵与关于直线对称，点F恰好落在x轴上， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， 即， 解得：． 故答案为：3． 4．如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为，E是BC边上一点，将沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为______． 【答案】 【分析】根据△ABE与△ADE是全等可得BE=DE，设BE=a=DE，CE=，在Rt△AOD中，AD=AB=10，AO=8，由勾股定理，即可得到OD=6，所以CD=4，然后在利用勾股定理可得a的值，可求出反比例函数的表达式，进而求出点F的坐标，可求出AF的长． 【详解】解：根据题目条件可知，△ABE与△ADE是全等的，所以BE=DE， 设BE=a=DE，CE=， 在Rt△AOD中，AD=AB=10，AO=8，由勾股定理， 即， 所以， 在Rt△DCE中，由勾股定理， 即，求出，CE=3， 所以， 因为点E在反比例反函数上，可得k =103=30，即可， 又因为点F在反比例函数上，设， 可得：，即AF的长为． 故答案：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质和轴对称的性质．设计到了勾股定理求线段的长度，正确理解轴对称得到相等的线段，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键，熟练掌握反比例函数的图象与性质是正确求解的基础． 5．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到长，求出长，设出点坐标，利用直角，得到点坐标，从而得到反比例函数解析式； （2）根据反比例函数解析式，得到点坐标，得到长，从而得到结果． 【详解】（1）解：沿折叠，， ，， 四边形是矩形，，， ， ， 设， ，， ， 即， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， ， 即， ． ◆题型6 反比例函数与动点综合问题 1．如图，点A和点B都在反比例函数的图象上，且线段过原点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，P是线段上的动点，连接．设的面积为S，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义．利用反比例函数中k的几何意义求出的面积，再根据线段过原点得到与、面积的关系，进而确定面积的取值范围． 【详解】解：设点A坐标为， 点A 在反比例函数的图象上， ． 点A和点B都在反比例函数的图象上，且线段过原点， ． 过点A作x轴的垂线，垂足为点C， ，． ，． P是线段上的动点， ，即． 故选：D． 2．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点，当时，点P的坐标为________． 【答案】/ 【分析】利用待定系数法求出，，从而可得点，即，设点，则，计算即可得解． 【详解】解：把点代入，得， 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点，即． 设点， 则． 解得， ∴点的坐标为． 4．如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，设点A的坐标为，根据轴，轴，分别求出点和点的坐标，进而表示出线段和的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，设点A的坐标为， ∵轴，轴，且点B、C在反比例函数的图象上， ∴，，且， ∴，， ∴． 5．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ②， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． ◆题型7反比例函数与相似三角形综合 1．如图，点，，以线段为边在第二象限作矩形，双曲线（）过点D，连接，若四边形的面积为6，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D作轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出．设，则，根据三角形的面积求出x，即可求出和，得出答案即可． 【详解】解：∵点，， ∴，， 过D作轴于M，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， 解得：， 则，，， 即D点的坐标为， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线上，当长度最小时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，判断出当且仅当点，，三点共线时，最小；借助勾股定理求出；过点作于点，证出，求得，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ， 当且仅当点，，三点共线时，最小， ，， ， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ， 解得，， ， ， 点在双曲线上， ， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，构造直角三角形．利用反比例函数的几何意义求出两个小直角三角形的面积．证明这两个小直角三角形相似，利用面积比等于相似比的平方求出与的比值．最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，分别落在函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中，． 4．如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设等边的边长为，结合三角形面积，求出，，证明，利用相似三角形对应边成比例，求出，，从而得到点的坐标，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设等边的边长为， ，， ， 等边的面积为， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 5．如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． ◆题型8 反比例函数与最短路径问题 1．如图，已知反比例函数（），点为坐标原点，点为反比例函数上的一点，过点的直线与坐标轴交于、两点，，点为直线上一动点，一只小蚂蚁从点出发沿方向爬至点，在上爬行速度为1单位/秒，在上爬行速度为2单位/秒，求爬行的最短时间为______秒．    【答案】3 【分析】作于点D，设，求出，代入函数解析式求出，可得；以为边在第一象限内作等边三角形，作，垂足分别为N、M，如图，可得，可知小蚂蚁爬行的时间为，由此求出即可解决问题． 【详解】解：作于点D，设， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵P在上， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， 以为边在第一象限内作等边三角形，作，垂足分别为N、M，如图， 则， ∴， ∴， 根据题意可得：小蚂蚁爬行的时间为， ∴小蚂蚁爬行的最短时间是， 在直角三角形中，； ∴小蚂蚁爬行的最短时间是3秒； 故答案为：3．    【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，正确得出小蚂蚁爬行的最短时间是是解题的关键． 2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数解析式； (2)在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用反比例函数求出，的坐标；再利用一次函数与反比例函数的交点可以求出一次函数的解析式 (2) 过点作直线，当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式等于零，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的横坐标是，反比例函数经过点 ∴将代入中 ∴ ∴ ∵点的纵坐标为，反比例函数经过点 ∴将1代入中 ∴ ∴ ∴将，代入一次函数 ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为： （2）解：如图所示，过点作直线 ∵当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短 ∴设直线的解析式为：， ∴由 ∴解得： ∴由题意得 ∴或(舍去) ∴解方程得： ∴解得： ∴ ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程的根的判别式等知识，理解题意、灵活运用知识点解决问题是解题的关键． 3．如图，直线y=-x-2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4． (1)求双曲线的解析式； (2)设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标； (3)在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)y=-； (2)Q（）或Q（-）； (3)P（0，1）． 【分析】（1）先由在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4，得出点C横坐标为-4，代入y=-x-2，求得y=4，即可得C(-4,4)，把C(-4,4)代入y=，即可求出m值，即可求解； （2）先求出点A、B坐标，再根据S△QOB=2S△AOB，求出点Q横坐标，代入y=-，即可求得点Q纵坐标，从而得出点Q坐标； （3）设点A关于y轴对称点为点E，连接CE交y轴于点P，此时PA+PC最短，最短值=CE，由点A、点E关于y轴对称，即可求得点E(,0)，再用待定系数法求出CE解析，继而求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4， ∴点C横坐标为-4， 把x=-4代入y=-x-2，得y=-×(-4)-2=4， ∴C(-4,4)， 把C(-4,4)代入y=，得-4=， ∴m=-16， ∴双曲线的解析式为：y=-； （2）解：把x=0代入y=-x-2，得y=-×0-2=-2， ∴B(0,-2)， 把y=0代入y=-x-2，得0=-x-2， ∴x=-， ∴A(-,0)， ∵S△QOB=2S△AOB， ∴， ∴， 解得xQ=， 把x=代入y=-，得y=-6， 把x=-代入y=-，得y=6， ∴Q(,-6)或(-,6)； （3）解：设点A关于y轴对称点为点E，连接CE交y轴于点P，如图， 此时PA+PC最短，最短值=CE， ∵A(-,0)， ∴E(,0)， 设直线CE的解析式为y=kx+b， 把E(,0)，C(-4,4)代入，得 ，解得：， ∴直线CE的解析式为y=x+1， 把x=0代入y=x+1，得y=1， ∴P（0,1）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象性质，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握一次函数与反比例函数图象性质和用待定系数法求函数解析式是解题词的关键． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y=mx+b，可求直线解析式；过点C作CD⊥x轴，根据三角形全等可求C（3，1），进而确定k； （2）设与AB平行的直线y=-2x+h，联立-2x+h=，当△=h2-24=0时，点P到直线AB距离最短； 【详解】解：（1）将点，点，代入， ∴， ∴； ∵过点作轴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴≌（）， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）设与平行的直线， 联立， ∴， 当时，，此时点到直线距离最短； ∴； 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 2．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作交于点，由等边三角形的性质和解直角三角形求出，把点坐标代入双曲线，即可求出值，进而求出双曲线的表达式． 【详解】解：过点C作交于点， ∵等边三角形的边长是， ∴，， ∵点C是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线过点， ∴， 解得：， ∴该双曲线的表达式为． 3．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 4．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 5．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 8．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 【答案】 【分析】由、均为正三角形，可得同位角，推出；两条平行线间距离处处相等，因此点、点到直线的距离相等，与同底、等高，故面积相等，即，再设，结合等边三角形三线合一得到底、高，由点在双曲线上得，代入三角形面积公式即可求出，进而得到的数值． 【详解】解：和均为正三角形， ， ， 点和点到的距离相等， 又和有相同的底边， ， 过点作， 设点， 是等边三角形， ， ， 点在双曲线上， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 10．如图，在中，，点．反比例函数的图象经过点，，且点的横坐标是1． （1）点的纵坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 【答案】 6 【分析】（1）把代入函数即可求解； （2）过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，过点C作轴，交于点E，交于点F，易证，得到，设（），则，，，，代入即可求解． 【详解】解：（1）把代入函数，得， ∴点A的纵坐标为6． （2）过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，过点C作轴，交于点E，交于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得或 经检验，或都是原方程的解，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点B的坐标为． 11．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 13．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 14．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，点的坐标分别为、，反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)将沿轴向左平移单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出、，过点作轴于点，由三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出、， 再计算，即可得，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值； （2）先由（1）得反比例函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式，设直线向左平移后的解析式为，联立直线与反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时的值，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 如图，过点作轴于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 把， 代入，得 ，， 解得，， ∴直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，解析式为， 联立得， 把①代入②，得， 两边同乘并整理，得， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，方程有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，的取值范围是． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，再求出点，，的坐标，进而可得，的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入函数得：， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：由题意得：点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 将代入函数得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 反比例函数与几何综合题型归纳 常考题型·精准突破 题型1：反比例函数与三角形面积问题 题型2：反比例函数与四边形面积问题 题型3：反比例函数与图形平移综合 题型4：反比例函数与图形旋转综合 题型5：反比例函数与图形折叠综合 题型6：反比例函数与动点综合问题 题型7：反比例函数与相似三角形综合 题型8：反比例函数与最短路径问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1反比例函数与三角形面积问题 1．如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 2．如图，的顶点A是双曲线上的动点，过点A作轴交双曲线于点C，顶点B在y轴上，下列说法正确的是（ ） A．的周长存在最大值 B．的面积存在最小值 C．的周长始终不变 D．的面积始终不变 3．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是______，的面积是______． 4．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 5．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、B两点，轴，垂足为C，的面积是1． (1)求的值； (2)若点P在该双曲线上，且的面积等于面积的，求点P的坐标． ◆题型2反比例函数与四边形面积问题 1．如图，的顶点A、B的坐标分别是，，顶点C，D在双曲线上．边交y轴于点E，四边形的面积是面积的7倍，则（   ） A．24 B．14 C．12 D．7 2．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．8 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，点、在反比例函数的图象上，四边形为平行四边形，与轴交于点，与轴交于点，且四边形的面积是面积的3倍．则四边形的面积为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx+1与双曲线 y=（k>0）相交于点A，B，已知点B（a，-2），点C在×轴正半轴上，点D（2，-3），连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为__________； （2）不等式>mx+1 的解集是__________； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． ◆题型3 反比例函数与图形平移综合 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直角的一条直角边落在y轴上，且点A与点O重合，，将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度．若点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上．则的长度为（   ） A． B． C．1 D．2 3．如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 4．在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图象上的一点，如图，将线段向左平移，平移后的对应线段为，点落在反比例函数的图象上，已知线段扫过的面积为8，则________． 5．如图，在中，，边在轴上，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将向上平移，得到，平移后边与反比例函数的图象交于点．若边的中点平移后的对应恰好落在的图象上，求点的坐标． ◆题型4 反比例函数与图形旋转综合 1．如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为(    )    A． B． C． D． 2．已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 4．如图，矩形中，顶点在坐标原点，顶点、分别在、轴的正半轴上，顶点在反比例函数（为常数，，）的图象上，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，若点的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则_______． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． ◆题型5 反比例函数与图形折叠综合 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长是（   ） A． B．8 C． D．5 3．如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为______． 4．如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为，E是BC边上一点，将沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为______． 5．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． ◆题型6 反比例函数与动点综合问题 1．如图，点A和点B都在反比例函数的图象上，且线段过原点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，P是线段上的动点，连接．设的面积为S，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点，当时，点P的坐标为________． 4．如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 5．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． ◆题型7反比例函数与相似三角形综合 1．如图，点，，以线段为边在第二象限作矩形，双曲线（）过点D，连接，若四边形的面积为6，则k的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线上，当长度最小时，的值为（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数的图象上，则的值为__________． 4．如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 5．如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． ◆题型8 反比例函数与最短路径问题 1．如图，已知反比例函数（），点为坐标原点，点为反比例函数上的一点，过点的直线与坐标轴交于、两点，，点为直线上一动点，一只小蚂蚁从点出发沿方向爬至点，在上爬行速度为1单位/秒，在上爬行速度为2单位/秒，求爬行的最短时间为______秒．    2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数解析式； (2)在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 3．如图，直线y=-x-2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4． (1)求双曲线的解析式； (2)设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标； (3)在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 4．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 5．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 8．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 9．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 10．如图，在中，，点．反比例函数的图象经过点，，且点的横坐标是1． （1）点的纵坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 11．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 13．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 14．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，点的坐标分别为、，反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)将沿轴向左平移单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题02 反比例函数与几何综合题型归纳 常考题型精准突破 ◆题型1反比例函数与三角形面积问题 1.B 2.D 3.24 4.16√2-16/-16+162 5. 【详解】（④解：：直线）y=mx与双曲线y-相交于4-1o小B两点，BC1x轴： .B点横坐标为1，即C1,0), ,△AOC的面积为1， .点A的纵坐标为2， .A(-1,2) 将A(-L,2)代入y=m,= 得m=-2,n=-2」 (2)A(-1,2),C(1,0). B(1,-2), 1 .S.ABC 2×2×2=2, :APOC的面积等于aABC面积的4， 1 :.=2. SAroc=OCl, x1-vel, .22 解得yp=t1, 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(-2,1)或(2，-1). ◆题型2反比例函数与四边形面积问题 1.A 2.c 3. 【详解】解：连接BD,作CF⊥y轴于F,DM⊥y轴于M, Y M 下T F E B ,四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍， ∴.平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍， 、.SABn=2SABE, ∴，AD=2AE,即点E为AD的中点， 设E点坐标为(0，)， :A(-2,0),B(-1,-2) .D(2,2t, :AB11CD,且AB=CD,而点A(-2,0)先向右平移4个单位，再向上平移21个单位得到点D(2,21), ∴.B(-山，-2)先向右平移4个单位，再向上平移21个单位得到点C(3,-2+21）, 把D(22c8-2+2)代入y-套得k=2×2I=3x-2+20 解得t=3, ·.E(0,3),D(2,6),C(3,4): 设直线BC的解析式为y=mx+n, 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -m+n=-2 将B(-1,-2)C(3,4)代入y=mx+n得13m+n=4· 3 m=- 2 解得 1 n=- 2 直线C的解析式为多： 令x=0得y=2 点坐标为》 .S四边形EHCD=S,HCr+S梯形MDCr-SED 4+}3*36-}26-》 2 35 4 35 故答案为：4· 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质和 平行四边形的性质：会利用待定系数法求函数解析式和三角形面积公式进行几何计算. 6 4.y= x <-3或0<x<2 (0,12)或(0，-12) 5. 【详解】(4解：点E2,m,点Fm+3)在反比例函数y>0,>0)的图象上， .k=2m=(m+3)×1 ∴.m=3, ∴.E(2,3),F(6,1), k=3×2=6: (2)解：BC=8,E(2,3)F(6,1), S矩形HB0D=8x(3-1)=16 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.PBC+SPAD= 25绝形8Cm=8, ∴，当点P在E,F之间的反比例函数图象上时满足条件， .2<n<6: (3)解：E(2,3八F(6,1), .AB=2, BC=8. S矩形ABcD=2×8=16,EC=6、 ∴.SAPEC=8,设边CE上高的为h, .1.CE.h=8, 点p在CE的下方时，=3-时，xe18 :当y=3时，x=18 点p的坐标为18写： 817 点p在CE的上方时，y=3+33时，x=18 18 一之——目、 17 1817 点p的坐标为173 ◆题型3反比例函数与图形平移综合 1.A 2.C 3.2≤m≤9 4.-5 5. 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：∠AB0=90°，边OB在x轴上，OB=4,AB=3, .点A的坐标(4,3) k 反比例函数)=x>0)的图象经过点4： 3-车解得k=12 :反比例函数的表达式y=12 (2)解：如图 B 点 ,点 ,点M为 的中点， ,M} 0(0,0) A(4,3) OA 点的坐标为引.可2》 43 3. 设。4OB向上平移的距离为m,则点M的对应点W的坐标为2号+m 12 ,点M在反比例函数y=的图象上， 3 2,解得：m=9 ~点C在边OB上，且OB是由OB向上平移4.5个单位得到的， :点C的纵坐标为2， 当y2时，代入y=12 9 得：是，解得： 9_12 3 8 经检验，x=3是原方程的解。 89 点C的坐标为32 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4反比例函数与图形旋转综合 1.D 2.C 3.-3 4.5-1 2 5. 【详解】(1)解：：AB⊥y轴于点B,BC=8,OC=10, :在RtAOBC中，OB=VOC2-BC2=6, .C(-8,6) :点A在直线y=2x上，当y=6时，x=3, .A(3,6) :点A在反比例函数y=上， ∴k=3×6=18, 反比例函数的解析式为少=18 (2)解：~将△AOB绕点O旋转90°，并没有说清楚是顺时针还是逆时针，故分两种情况： 在①顺时针旋转，如图所示： B .△A'OB'=△AOB ∴.AB'=AB=3,OB'=OB=6」 A在第四象限， A(6,-3): ②逆时针旋转，如图所示： 6/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 ∴.△AOB兰△AOB ..A'B'=AB=3,OB'=OB=6. :A在第二象限， A(-6,3): 综上所述，A'(6,3)或(6，-3) 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形以及待定系数法求反比例函数的解析式等知识， 解题的关键是求出点A的坐标. ◆题型5反比例函数与图形折叠综合 1.A 2.A 3.3 15 4.4 5. 【详解】(1)解：~△ABE沿AE折叠，B(10,8), .AD=AB=10,DE BE, 四边形ABCO是矩形，AO=BC=8,∠AOD=90°， ∴.0D=VAD2-A02=6, ∴.CD=OC-OD=10-6=4, 设E(10,b) DE=BE=8-b,∠ECD=90°， .CD2+CE2 DE2, 即42+b2=(8-b)2, 7121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=3, E(10,3), k=10×3=30, 30 反比例函数解析式为y= (2)解：F点纵坐标为8， 8=30 3015 x= 84 即AF=15 4 BF=AB-AF=10-15=25 44· ◆题型6反比例函数与动点综合问题 1.D 2.D （84/025 3. 4.2 5. 【详解】(1)解：：AB=3,BC=8,且B在第一象限， ÷B3,8),把B坐标代入y= x,得：k=24 24 则反比例函数关系式为y= x: (2)解：①由题意得：BE=3-t,BF=2t, ∠EBF=90°， ∴当且仅当BE=BF时，△BEF为等腰直角三角形， 即3-t=2t,解得：t=1, 则当t=1时，△BEF是等腰直角三角形； 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②：t=2 .AE=2,BF=4, 由题意得：M在线段AB上方时，四边形EFBM为平行四边形，如图1所示， M B 0 C 图1 ∴.ME=BF=4,此时M坐标为(2,12)： (3)解：存在点D,使△DEF周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点E,连接EF,与y轴交于点D,连接DE,EF, E●3 C 图2 此时△DEF周长最小，即DE=DE, AE=AE'=1,BF=2 BE=AB+AE'=3+1=4, 在Rt△BE'F中，根据勾股定理得：EF=V42+22=2√5， ∴.DE+DF=DE+DF=E'F=2√5. 在RtABEF中，BE=3-1=2,BF=2,根据勾股定理得：EF=√22+22=22， ∴.△DEF的周长最小值为2W5+2√2 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题 的关键 ◆题型7反比例函数与相似三角形综合 1.B 2.B 3.2 4.45 5.. 【详解】(1)解：设一次函数解析式为y=ax+b, 将A(0,-3)、B(6,0)代入y=cx+b, b=3 得16k+b=0 解得 1 b=-3 小一次函数解析式为V=2-3, :点C(m,l)在一次函数图象上， 1 2m-3=1, 解得m=8, :点C(⑧，1)在反比例函数图象上， 心反比例函数解析式为y=8X刘 ，即ys8 (2)解：如图，过点P作PD上x轴于点D, B 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A(0,-3)、B(6,0). ∴0A=3,OB=6, ,点P在反比例函数第一象限图象上， 8 .、pa.0a>0),0n=a’fD=o, a 在△ABO和△OPD中，∠DOP=∠OAB,∠ODP=∠AOB=90°， .△OPD△ABO, 8 .OD=PD,即a=4, OA OB 36 解得a=2或a=-2(舍)， ·点P的坐标为(2,4). ◆题型8反比例函数与最短路径问题 1.3 2. 4 【详解】(1)解：：的横坐标是2，反比例函数为=经过点4 4 将)代入=中 ∴y=2 .A(2,2) :点g的纵坐标为1，反比例函数少=经过点B 4 .将1代入2= x中 ∴.x=4 .B(41) ∴将A(2,2),B(4,l)代入一次函数y=ar+b [2a+b=2 …4a+b=1 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2 1 b=3 23 1 ∴.一次函数的解析式为：y= (2)解：如图所示，过点P作直线PM∥AB 4 y=ax+b :当直线PM与反比例函数y=~,的图像只有一个公共点时，点p到直线4B的距离最短 1 设直线PM的解析式为：y=- 2x+n y=4 x 由 1 2x+n .解得：x2-2x+8=0 ∴.由题意得△=4n2-32=0 “.n=-22或n=22(舍去) ∴.解方程得：x2+4V2x+8=0 解得：x=x2=-2√2 4 ∴.y= -2W5 =-V ∴.P(-22,-2) 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程的根的判别式等知识，理解题意、 灵活运用知识点解决问题是解题的关键。 3. 【详解】(1)解：，在第二象限内的交点为C,CD⊥y轴于点D,且CD=4, ∴点C横坐标为4， 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 3 把=-4代入=2-2，得=-24外2=4， .C(-4,4) 把C44代入父，得4=经 m ∴.=-16， 16 ∴双曲线的解析式为：=。 3 3 (2)解：把=0代入=2-2，得=2×0-2=-2， ∴.B(0,-2), 3 3 把0代入归-2-2，得0=2-2， 4 4 A30。 ·'S△g0B=2S△A0B, 1 1 OB-xg=2×5OAOB, 1 1 4×2. x2刘x0卡2x2刘- 2 8 解得g 8 16 把3代入归x,得6， 8 16 把=3代入 x,得=6， 0361或(361： (3)解：设点A关于y轴对称点为点E,连接CE交y轴于点P,如图， 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 此时PA+PC最短，最短值=CE, 4 A30, 4 30, 设直线CE的解析式为y=k+b, 把E(50),C4,4)代入，得 4k+b=0 、3 ,解得： 4 -4k+b=4 b=1 3 ∴直线CB的解析式为y=4+1, 把0代入归4+1，得=1， ∴.P(0,1). 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象性质，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握 一次函数与反比例函数图象性质和用待定系数法求函数解析式是解题词的关键. 【详解】解：(1)将点A,0),点B(0,2),代入y=m+b, .b=2,m=-2」 .y=-2x+2: ,过点C作CD⊥x轴， ,线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC, ∴△ABO≌△CAD(AAS), 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AD=AB=2,CD=OA=1, .C(3,1) k=3, 3 ..y=. x: (2)设与AB平行的直线y=-2x+h, 联立-2x+h=3 ' ∴-2x2+hx-3=0 当△=2-24=0时，h=±26，此时点P到直线AB距离最短： 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质：熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有 个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键 综合攻坚知能拔高 1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.24 7.12 8.6 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.2 V129-3V129+3 10.6 2 10 11. k 【详解】(1)解：：点PL,2)在反比例函数y=二(x>0)的图象上， ∴k=1×2=2, ÷反比例函数的表达式为y= （2)解：：点P(.2少，Qm小在反比例函数y子6>0)图象上m>1 ..AC=m-1,Co=n,mn=2,0<n<2 :PB,QD垂直于y轴，PA,QC垂直于x轴， ∴四边形ACQE是矩形， .S四边形4coE=ACQC=(m-1)n=mn-n=2-n. S与n的函数关系式为S=2-n(0<n<2), 12. 【详解】(1)解：OB=3,OA=4. 在Rt△AOB中，AB=VOA+OB2=5,B(3,0), 把B(3,0)代入y=2x+b,得0=2x3+b, .b=6, ∴.一次函数的解析式为y=2x-6 四边形ABCD是菱形， ∴.AD=AB=5 :AD∥x轴， ∴.D(5,4) :把D5,4代入反比例函数y=《(k>0). 得k=5×4=20」 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 反比例函数的解析式为y= [20 y= (2)解：将 联立，解得x=-2或x=5, y=2x-6 y=-10y=4 .E(-2,-10) 过点P作x轴的平行线交CE于Q, y B EX .·BC=AD=5 5x4+ 1 ∴.S,cDE=S.BCD+SBCE= ×5×10=35. 2 2 OB=3, C(8,0) 设直线CE的解析式为y=k+b'(K'≠O), 「-2k'+b'=-10 8k'+b'=0 [K'=1 解得6=-8 ∴.直线CE的解析式为y=x-8, 设P(m,2m-6),则Q(2m+2,2m-6), .PQ=2m+2-m=m+2, 1 S.m=2m+22m-6+10)=(m+2, 由题意SaeF2 SACDE, 2a+2-35 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=-2土V 2, :点P为线段BE上的一个动点， .-2≤m≤3， m=-2-V70 -2不合题意（舍去）， ms-2+V 2 ≈2.18， ∴.P(2.18,-1.64) 13. 【详解】解：如图， 分别过点A,C作y轴的垂线，分别交y轴于点D,E,则：∠BEC=∠ADO=90°， 点4在反比例函数=子c<0的图象上 .S△O4= 2=1, ~点C在反比例函数为= 9x>0的图象上， 95 :四边形OABC是矩形， .BC=OA,BCIlOA,AB=OC. 18/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBE=∠AOD. :∠BEC=∠ADO=90°，BC=OA,∠CBE=∠AOD. .△AOD≌aCBE(AMS), .S△AOD=S△BCE,AD=CE,BE=OD, BD=OB-OD,OE=OB-BE .'.BD=OE, AB=OC,AD=CE,BD=OE, ·aCOE≌aABD(SSS), .S△cOE=S△BAHD, .S矩形OABC=S△AOD+S△BCE+S△coE+S△BAD=2×(1+5)=12, ∴矩形OABC的面积为12 14. 【详解】(1)解：B(-2,0),C(6,0), ·BC=8,OB=2, 如图，过点A作AE⊥x轴于点E, D E 又：△ABC是等腰直角三角形， 46=cE= BC=4, :BE=)BC=4, 2 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OE=BE-OB=2, .A(2,4), :反比例函数y=(x>0)的图象经过点4： 、4=2,解得k=8 (2)解：由(1)得k=8, 六反比例函数解析式为=8 x' 设直线AC的解析式为y=ax+b, 把4(2,4)，C(6,0)代入，得 2a+b=4 6a+b=0? a=-1 解得b=6’’ ∴直线AC的解析式为y=-x+6, 将直线向左平移(>0)个单位，解析式为y=-(x+)+6=-x+6-1, y=80 联立得 y=-x+6-t② 8 把①代入@，得-x+6-1, 两边同乘x并整理，得x+(t-6)x+8=0. 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，方程x+(:-6)x+8=0有两个相等的实数根， 即△=(t-6)-4×1×8=0, 解得t=6-4V2,t=6+4√2（不符合题意，舍去）， 当反比例函数)-(x>0)的图象与三角形至少有一个公共点时。，的取值范围是0<1≤6-42： 15. 【详解】(1)解：由题意，将点D(2,)代入函数y=元得：k=2×1=2 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 则该反比例函数的解析式为y=二(x>0)」 (2)解：由题意得：点A的坐标为A(4,0), .0A=4, ,四边形OABC是矩形， ∴.BC=OA=4,AB⊥OA,AB⊥BC,OC⊥BC, 2 21 将x=4代入函数y=元得：y= 42 42) 设直线OB的解析式为y=ax(a≠O), 将点D(2)代入得：2a=1解得a= 1 ·直线oB的解析式为y=2x, 1 ×4=2 将x=4代入函数y=2x得：y=2 .B(4,2) BE=2-13 22 将y=2代入函数y=得：子1， 2 .F(1,2), BF=4-1=3, 六△BEF的面积为BE-BF=x3x 1 2*2*39 4 21/21