专题1.2 反比例函数的图象与性质（11大题型+高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

专题1.2 反比例函数的图象与性质 教学目标 1. 会用描点法画出反比例函数的图象，知道反比例函数图象是双曲线，掌握画图步骤，学会合理选取自变量的值，注意避开x=0。 2. 通过观察图象，归纳反比例函数的性质，能够根据k的正负判断双曲线所在象限，理解在每个象限内y随x变化的规律。 3. 能运用反比例函数图象与性质解决简单问题，体会数形结合思想，提升读图、识图能力，感受图象直观研究函数的数学方法。 教学重难点 1.重点 （1）掌握反比例函数图象的画法，认识双曲线的基本特征；熟记反比例函数性质，能够根据k>0与k<0准确判断双曲线分布的象限。 （2）利用反比例函数图象性质比较函数值大小，看懂图象上点的坐标含义，理解图象上任意一点横纵坐标乘积等于常数k这一重要结论，能进行基础应用。 2.难点 （1）理解“在每个象限内y随x增大而增大（减小）”，学生容易忽略“每个象限内”这个前提，直接跨象限判断函数值变化，造成概念错误。 （2）体会反比例函数双曲线无限靠近坐标轴但永远不与坐标轴相交；灵活结合图象、坐标、k的几何意义综合分析问题，实现数与形之间灵活转化。 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【即学即练】1．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 2．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 题型01 判断(画)反比例函数图象 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元复习）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【变式3】（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 题型03 判断反比例函数所在象限 【典例1】（26-27九年级上·山东·期中）已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（     ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）反比例函数的图象位于______． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 题型04 判断反比例函数的增减性 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系为_______（用“＜”连接）． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型05 已知反比例函数分布的象限求参数范围 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________． 【变式1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【变式2】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 题型06 已知反比例函数的增减性求参数 【典例1】（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【变式1】（25-26九年级上·广西来宾·期中）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 【变式2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 题型07 由反比例函数的对称性求点的坐标 【典例1】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 题型08 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 题型09 根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例1】（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有，两点，轴于点，轴于点，为的中点，，则的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 【变式1】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 题型10 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 题型11 反比例函数与几何综合 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【变式2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【变式3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 1．当时，反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 4．在反比例函数（a为常数）的图象上有A，B，C三点，若＜0＜＜、则，，的大小关系为（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 5．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．点在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 6．反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 7．双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 8．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 9．已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为 ． 10．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 11．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 12．已知反比例函数经过点和． (1)求m和n的值； (2)若图像上有两点、，且试比较和的大小． 13．已知反比例函数的过点． (1)求这个函数的表达式； (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内y随x的增大怎样变化？ (3)试判断点是否在这个函数图象上，并说明理由． 14．如图一次函数与反比例函数在第一象限交于两点，垂直轴于点，为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 15．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． (2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 16．已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 17．已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y (1)y与x之间的函数关系式为_________； (2)列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 18．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． … … … … 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 2．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 5．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 9．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 10．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 13．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． (3)求的面积． 14．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 15．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 反比例函数的图象与性质 教学目标 1. 会用描点法画出反比例函数的图象，知道反比例函数图象是双曲线，掌握画图步骤，学会合理选取自变量的值，注意避开x=0。 2. 通过观察图象，归纳反比例函数的性质，能够根据k的正负判断双曲线所在象限，理解在每个象限内y随x变化的规律。 3. 能运用反比例函数图象与性质解决简单问题，体会数形结合思想，提升读图、识图能力，感受图象直观研究函数的数学方法。 教学重难点 1.重点 （1）掌握反比例函数图象的画法，认识双曲线的基本特征；熟记反比例函数性质，能够根据k>0与k<0准确判断双曲线分布的象限。 （2）利用反比例函数图象性质比较函数值大小，看懂图象上点的坐标含义，理解图象上任意一点横纵坐标乘积等于常数k这一重要结论，能进行基础应用。 2.难点 （1）理解“在每个象限内y随x增大而增大（减小）”，学生容易忽略“每个象限内”这个前提，直接跨象限判断函数值变化，造成概念错误。 （2）体会反比例函数双曲线无限靠近坐标轴但永远不与坐标轴相交；灵活结合图象、坐标、k的几何意义综合分析问题，实现数与形之间灵活转化。 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【即学即练】1．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 2．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 题型01 判断(画)反比例函数图象 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的解析式得：，结合反比例函数的图像特征即可得答案. 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，不与轴、轴相交，图象在一、三象限，故A、C、D错误，B正确. 【变式1】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别求出表达式即可判断． 【详解】解：当时，，图象在第四象限，且y随x的增大而增大， 当时，，图象在第三象限，且y随x的增大而减小， ∴函数的图象是： 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元复习）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【变式3】（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出函数图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的取值范围_______． 【答案】(1) (2)列表格如下： 描点，连线，绘制函数图象如图所示， (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先列表格，再描点、连线即可； （3）结合函数图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略； （3）解：根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大， ∴在时，函数的最小值为：当时，， ∴在时，函数的取值范围为， 根据函数图象可知反比例函数在时，随的增大而增大，但始终小于零， ∴在时，函数的取值范围为， 综上所述，函数的取值范围为或． 题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点坐标代入反比例函数一般式，求出比例系数k即可确定解析式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 点在函数图象上， 将，代入解析式，得， 解得， 这个函数的解析式为. 【变式1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 题型03 判断反比例函数所在象限 【典例1】（26-27九年级上·山东·期中）已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（     ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】对于反比例函数，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴该函数的图象必在第二、四象限． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）反比例函数的图象位于______． 【答案】 第二、第四象限 【分析】根据反比例函数中系数的符号判断图象所在象限． 【详解】解：反比例函数中，系数， ∵当时，反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴的图象位于第二、四象限． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 【答案】三 【分析】根据正比例函数经过的已知点得到的符号，根据反比例函数的象限位置得到的符号，再利用一次函数的性质判断不经过的象限． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过点， ∴ 代入点坐标得，即． ∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴ ． ∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， 因此一次函数的图象一定不经过第三象限． 题型04 判断反比例函数的增减性 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点、在第四象限的图象上， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系为_______（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，确定函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标的符号判断所在象限，最后比较函数值大小． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点，的横坐标都大于， ，都在第一象限，可得，， ， ， 点的横坐标小于， 在第三象限，可得， ． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴根据反比例函数的图象性质可得． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的分布特征确定比例系数的符号，列不等式求解． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象两支分布在第二、四象限， ∴， 解得． 题型05 已知反比例函数分布的象限求参数范围 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像所在象限确定比例系数的符号，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴，解得：． 【变式1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】根据函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 所以， 故符合要求的是0， 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，随增大而增大，得出，进而得出的取值范围，即可得出答案，解题时注意，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大． 【详解】解：∵ 反比例函数，当时，随增大而增大， ∴， 解得， ∴的值可能是． 故选：D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 题型06 已知反比例函数的增减性求参数 【典例1】（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 【变式1】（25-26九年级上·广西来宾·期中）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性是解本题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）由当时，，当时，，再结合反比例函数的增减性可得答案． 【详解】（1）解：关于的反比例函数的图象经过点， ． ， 解得． 这个反比例函数的解析式为：． （2）解：当时，． 当时，． ， 在每一象限内，随的增大而减小． 当时，的取值范围是． 【变式2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 题型07 由反比例函数的对称性求点的坐标 【典例1】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________． 【答案】10 【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， 线段经过原点， 由双曲线的对称性可知，点坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ． 【变式3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 【答案】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在第一、三象限， ∵， ∴点，在第三象限， ∵函数图象在第三象限内为减函数， ∴， ∵， ∴在第一象限， ∴， ∴、、的大小关系是． 题型08 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 题型09 根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例1】（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有，两点，轴于点，轴于点，为的中点，，则的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】由得，即得，进而得到，再结合图象的位置即可求解． 【详解】解：∵轴于点，轴于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵, ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵双曲线的一支位于第二象限， ∴， ∴． 【变式1】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 【变式2】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为列方程即可解出的值. 【详解】解：如图， 记与轴相交于， ∵矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，，， ∵矩形面积为，， ∴，解得：（舍），， ∴的值为. 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 【答案】6 【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，从而求得的面积；利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】∵ 函数与函数交于A、B两点， ∴ 点A和点B关于原点对称， ， ， 过点A作轴于点E（如下图）， ， ， ， 又∵ 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， ， ． 题型10 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 【变式1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 题型11 反比例函数与几何综合 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 4 【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算． 【详解】设点的坐标为 ． ∵线段沿轴向右平移至线段 ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ． ∵点落在反比例函数的图象上 ， ∴ ． ∴ ． ∴点的坐标为 ． ∴平移的距离为 ． ∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为． 【变式2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 1．当时，反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象位于第一三象限． ∵， ∴反比例函数图象位于第一象限 故选A． 2．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当时，反比例函数的图象位于第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 4．在反比例函数（a为常数）的图象上有A，B，C三点，若＜0＜＜、则，，的大小关系为（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数中值的正负判断函数图象所在象限以及在各象限内的单调性，再结合已知的函数值大小关系确定自变量的大小关系． 先判断反比例函数中的正负，确定函数图象所在象限和单调性，然后根据判断三点所在象限，进而得出的大小关系． 【详解】因为，则． 对于反比例函数（为常数，），当时，函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． 当时，， 所以点在第三象限，那么； 因为当时，，点在第一象限且在每个象限内随的增大而减小．且； 所以，． 综合以上，． 故选：B． 5．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．点在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数解析式和反比例函数值，先利用待定系数法求出函数解析式，进而根据函数解析式得到函数经过的象限和增减性，再求出时的函数值，据此可得答案． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， ，即反比例函数解析式为，故A说法正确，不符合题意； ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故B说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意； 当时，，则点在该反比例函数图象上，故C说法正确，不符合题意； 故选D． 6．反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【答案】 ①④ ②③ 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键；由反比例函数的性质可知：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，，然后问题可求解． 【详解】解：①，图像在第一、三象限； ②，图像在第二、四象限； ③，图像在第二、四象限； ④，，，图像在第一、三象限． 答案是∶ ①④；②③． 7．双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这些知识是关键；根据反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则有，从而可求解． 【详解】解：∵双曲线在每一象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：； 故答案为：． 8．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，， ∴在同一象限内随着的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴（答案不唯一）； 故答案为：1（答案不唯一）． 9．已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可得函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，又由，，可得点A在第二象限，点B在第四象限，据此即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵图象过点，且，， ∴， ∴． 故答案为： 10．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点A不在该反比例函数图象上，点B，C在该反比例函数图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，判断点是否在反比例函数图象上，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出点P的坐标． （1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特点，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点． 设， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴不在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上． 12．已知反比例函数经过点和． (1)求m和n的值； (2)若图像上有两点、，且试比较和的大小． 【答案】(1)， (2)当或时，，当时， 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数的增减性，是解题的关键． （1）将点和代入反比例函数，即可求m和n的值； （2）根据点、，且．分或，比较和的大小． 【详解】（1）解：将点和代入反比例函数， 得， 解得， 答：m和n的值分别为：、； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， ∵点、也在比反比例函数的图象上，且， ∴当或时， 点、同在第三象限或第一象限， ∴； 当时， 点在第三象限，点 在第一象限， ∴． 13．已知反比例函数的过点． (1)求这个函数的表达式； (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内y随x的增大怎样变化？ (3)试判断点是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大 (3)点B在，点C不在 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求反比例函数解析式． （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题． （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入反比例函数中， 即， 解得： ∴与之间的函数表达式为． （2）解：∵在反比例函数中，， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． （3）解：将点、分别代入中， 可得：，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 14．如图一次函数与反比例函数在第一象限交于两点，垂直轴于点，为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， （1）设，则，根据一次函数的图象经过点，求得，代入可得到反比例函数的解析式； （2）联立得出，设直线与轴的交点坐标为，进而求得点的坐标为，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ，， 一次函数的图象经过点， ，解得， ， 把代入反比例函数得：， 答：反比例函数解析式为； （2）解：由，解得或， ； 设直线与轴的交点坐标为，则， 解得： 点的坐标为 答：的面积为10 15．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． (2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)5 (2) (3)点B在，点C不在，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． （1）直接把点代入反比例函数解析式中，求出k的值即可； （2）根据函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大可得，解得k的取值范围； （3）当时，求出反比例函数的解析式，把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【详解】（1）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得； 故答案为：5； （2）解：函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大， ， 解得． （3）解：当时，该反比例函数的解析式为． 将点代入，得，满足反比例函数解析式， 点B在函数图象上． 将点代入，得，不满足反比例函数解析式， 点C不在函数图象上． 16．已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； ②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ∴，解得， ∴； ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称， ∴， ∵，则，解得， ∴， 将代入得解得， ∴； ②∵，则， ∵， ∴，点在第三象限， ∴， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定k、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 17．已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y (1)y与x之间的函数关系式为_________； (2)列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 【答案】(1) (2)2，画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是列反比例函数解析式，画反比例函数图象，利用反比例函数的性质解决问题； （1）根据长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入可得，再根据表格信息描点画图即可； （3）由图象可知，y随着x的增大而减小，结合图象进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵一个长方形的面积为6，长为x，宽为y， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴画出函数图象如图所示． （3）解：由图象可知，y随着x的增大而减小． 而点与点是该图象上的两点，， ∴． 18．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】动手操作：见解析；探究发现：（1）左，；（2）B；应用延伸：（1）右平移个单位长度；向下平移个单位长度；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 动手操作：列表，描点、连线画出函数的图象即可； 探究发现：结合图象填空即可； 应用延伸：根据发现的规律填空即可． 【详解】解：动手操作 列表： … … … … 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现 （1）将反比例函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 应用延伸 （1）将反比例函数的图象先右平移个单位长度，再向下平移个得到函数的图象． 故答案为：右平移个单位长度；向下平移个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 一、单选题 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴点、都在第三象限， ∴． 2．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 3．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． ∴函数图象位于第二、四象限，故D错误． ∵时，在每个象限内，随的增大而增大， ∴A中未限定象限，说法错误，故A错误． 当时，，随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴，故B错误． 当时，分两种情况： ①当时，随的增大而增大， ∵时，， ∴． ②当时，． 综上，或，故C正确． 5．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ，解得． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】先将分别代入和，求得，，联立两个函数解析式解得另一交点，然后结合图象求解． 【详解】解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴ 联立得， 解得或 将代入 ∴ 由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】已知三点在反比例函数图象上，结合的条件，代入横坐标得到纵坐标表达式，即可比较大小． 【详解】解： ∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 9．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 【答案】20 【分析】连接，先根据平行四边形的性质得到，，易证，再根据，推出，进而推出，由，求出，再求出，从而求出，由点D在反比例函数图象上，即可求出k的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，点A，B在x轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数图象上，且， ∴， ∴． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将点代入求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出反比例函数关系式，然后将两个关系式联立求出点B的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再将两个函数关系式联立，并根据只有一个公共点求出a值，然后根据函数值的大小求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴ 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； （2）解：令，， ∴点． ∵直线经过点， ∴， ∴直线的关系式为． 将两个关系式联立，得， ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴有两个相等的实数根， 即， 解得， ∴直线． 将直线和反比例函数联立，得 ， 解得． 当时，；当时，， 所以当或时，． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 13．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或；或 (3) 【分析】（1）根据，结合的几何意义得出，联立双曲线和一次函数解析式，解方程组即可求出、两点坐标； （2）根据图象，结合、两点坐标即可得出时的取值范围；求出时的值，结合图象即可得出时，的取值范围； （3）设交轴于，根据一次函数解析式求出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，轴 ∴， 解得， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴，， 联立双曲线和一次函数解析式得，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴由图象可知，时的取值范围是或； 当时，， 解得， ∴当时，的取值范围是或． （3）解：如图，设交轴于， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴． 14．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）不等式可变形为，即，再结合函数图象即可解答； （3）令直线与反比例函数的函数值为，求出的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：不等式可变形为，即， 两个函数在第一象限的交点为， 结合图象：当时，，即； （3）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ， ， ∵直线与反比例函数的交点为， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 15．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 【答案】(1)2，2 (2) (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求出值，从而确定点坐标，代入一次函数即可求出值． （2）根据平行可判定横坐标相等，设，则，结合四边形的面积，利用割补法列关于的方程，解出即可求出的值． （3）设平移距离为，利用平移后点坐标依然在直线上，即可判断平移后的横纵坐标的变化，利用平移后所在的反比例函数即可求出的值，结合点坐标即可求出平移后坐标． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ． 点在一次函数上， ， ． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为 ， 设， 轴， 点的横坐标为， 在反比例函数上， ． 连接，过点作于点，设与轴交于点，如图所示， ，，． ， ， ， 或（舍去）， ， ． （3）解：由第（2）问可知，，， 设沿射线方向平移，得到，的解析式为，在直线上， ， ， 平移时横坐标增加，纵坐标则增加， ， ， 或（舍去）， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $