专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型 题型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 2．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【答案】6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】（1）先通过一次函数表达式求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）先求出点坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：将代入， ， 解得， ． 不等式的解集为或． （3）解：如图， 设直线交y轴于点C，令，则， ，． 的面积为8． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 5．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 6．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 7．如图，动点分别在轴，轴的正半轴上，动点在反比例函数的图象上，若轴，是以为底边的等腰三角形，则的面积为____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键．过点B作于点C，设，则可求，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点B作于点C， 设， ∵轴． ∴，， ∴． 故答案为：4． 8．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． (1)求双曲线解析式； (2)的面积． 【答案】(1)双曲线解析式为； (2)． 【分析】（1）利用等边三角形的性质求出点的坐标，再代入双曲线解析式求． （2）设等边的边长为，利用中点和高表示坐标，代入双曲线方程求，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点作轴于点， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为． （2）解：设等边的边长为，其中， ， 过点作轴于点， 同理可知，点为中点， 的横坐标为，即的横坐标为， ∴的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数求，得到点坐标，再把两个交点代入一次函数，解二元一次方程组求参数，写出解析式； （2）先求一次函数和轴交点坐标，沿轴把大三角形拆成两个小三角形，套用三角形面积公式求和． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点为直线与轴的交点，如图： 令，解得， ∴点的坐标为， 由（1）知：，， ∴． 11．如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据反比例函数的性质求出，从而可得，，将代入反比例函数计算即可得出结果； （2）直线的解析式为，令直线交轴于点，求出，得到，再由计算即可得出结果； （3）求出直线的解析式为，从而求出，得到，，计算得出，则，设，再分两种情况：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点；当点在第一象限时，过点作轴交直线于点，分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 如图：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时点的横坐标为； 如图，当点在第一象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 【分析】（1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 13．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_________． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 15．如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； （2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 17．如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图像可知一次函数位于反比例函数上侧时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3），， 由图像可知，一次函数位于反比例函数上侧时， 或． 18．【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 19．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 20．如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，则矩形的面积为_____． 【答案】24 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键，先求出点A、C坐标，设，由对称性得，根据求出点C坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，进而求出结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， 由对称性得 设，由对称性得， 在矩形中，， ， （此时为A点，舍去）， ， 作轴于点E，作轴于点F， ， 矩形对角线交于坐标原点， ， 故答案为：24． 21．如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： (1)反比例函数的解析式； (2)矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把代入即可得到结论； （2）先求出点的纵坐标，代入解析式后求出横坐标，即可得到点坐标，进而求出，通过矩形的面积求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：由题意可知，， ∴点的纵坐标为， 代入，可得， ∴点C的坐标为， ． 故． 22．如图，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，、两点在轴上．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． (3)图中矩形的面积是________． (4)当，且时自变量的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，求得即可； （3）根据矩形的性质得到，根据矩形的面积公式即可得到结论； （4）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）把代入得，， 反比例函数的解析式为； （2）点、， 点与点关于原点对称， ； （3）四边形是矩形， 矩形的面积 （4）当时，即 解得 结合函数图象可得当，且时，或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 23．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2) 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴. 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2）略 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 25．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 26．如图，在反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，，…，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为……，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 27．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 28．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，顶点在第一象限，．反比例函数的图象与分别交于点．过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象的对称性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）确定反比例函数图象关于对称，则利用即可求解． 【详解】（1）解， 轴， 点的纵坐标为4，即， ．             将代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：在等腰直角三角形中，， ， ．             轴，， 点的横坐标为4． 将代入，得， ， ．         又， 点C，E关于直线对称．         又反比例函数的图象关于直线对称， ． 29．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)点的坐标是______，______； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，求的面积． 【答案】(1)，8 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．（1）根据点是点和点的中点即可求出答案；把点坐标代入反比例函数的解析式即可；（2）先求出点的坐标，再求出的长，然后根据即可得解． 【详解】（1）解：∵点是菱形的对角线的交点， 即点是点和点的中点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：；   将点的坐标代入反比例函数中得， 解得：； （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ∴点的纵坐标为4． 当时，， ， 点的坐标为． ． ． 30．综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数几何问题，矩形判定及性质，菱形性质及面积公式，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等． （1）根据题意把代入求出即可； （2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，得到，继而求得菱形和扇形面积，继而得到本题答案； （3）设直线的表达式为，分情况讨论，当和时，待定系数法求出直线解析式即可求得本题答案． 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的表达式为； （2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 轴于点，且是的中点， ， ， ； （3）解：设直线的表达式为， 代入点和点，得：， ①当时，设直线的表达式为，代入点得， 联立， 得：（舍），， 当时，， ； ②当时，设直线的表达式为，代入点， 得：，联立，得：（舍）， 当时，， ， 综上所述，点坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数中k的几何意义的五种模型 题型归纳 题型一反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型专练 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1.如图，过点CL0)作两条直线，分别交暖数y兰（✉>0，y=x<0的图象于点4点B:造接 AB,若AB∥x轴，则△ABC的面积是() A.1 B.2 C.3 D.6 8 2.如图，反比例函数y=上两点A'B的横坐标分别为业，2m'则。4OB的面积是 3.如图。-次画数y+2与反比例商数y的网象相安于点42小B6,-) 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的表达式： 1 (2请直接写出关于x的不等式2x+2>的解集： (3)连接AO,B0,求△AOB的面积。 4.如图，一次函数y=红+6与反比例函数y的图象交于4L,6),BB,)两点。 B C (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOB的面积： )结合完整的函数图象，请直接写出不等式：-b>的解失， 3 5.如图，反比例函数片=的图象与一次函数乃，=c+b的图象交于A(m,3),B(-3,n)两点. (1)求一次函数的解析式及△AOB的面积； (2)根据图象直接写出不等式>c+b的解集： 6.如图，反比例函数片=x的图象经过点A(-1,-3),连接A0并延长交反比例函数图象于点B’C为反比 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例函数图象上一点，横坐标为-3，一次函数2=心+b的图象经过B、C两点，与x轴交于点D,连接 AC、AD D (1)求反比例函数y和一次函数y2的表达式： (2)求△ACD的面积： (3)当>y2时，直接写出自变量x的取值范围. 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 4B分别在镇，y轴的正半轴上，动点p在反比例函数y>0的图象 轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形，则△PAB的面积为 VA 8图：4O1B为等腰三角形，B=OB:反比例西数y-点k40过点B:若心=8，则人 9.如图。小，4都在双曲线y=年(x>0的图像上，及，2在x销上，已知B(2,0),A04R,AB4B, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都是等边三角形. y B B2 (1)求双曲线解析式： (2)△B4,B2的面积. 10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+n与反比例函数y=x的图象交于A(-3,1),B(山，b)两 点，连接OA,OB. B (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)求△AOB的面积. 山，如图。直线AB与反比例函数y-人≠0)的图象分别交于4机m,Bm+3两点，直线AC交x轴 于点C,交y轴于点D(0,2),连接OA,OB. (1)求反比例函数的表达式： (2)求△AOB的面积： (3)在直线AC的下方，反比例函数图象上有一点P,使得S㎡=3S,cop,请直接写出点P的横坐标. 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+b与反比例函数y= x的图象交于AB两点，且点A 的坐标为(-2，n),点B的坐标为(4，-2) (I)求出一次函数和反比例函数的表达式： (2)观察图象，请直接写出x+b> x时的取值范围； (3)点C的坐标为(O,-),连接AC,BC,求AABC的面积. 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 1B。知图、在平面直角坐标系0，中，平行四边形OMBC的顾点B在y转上，项点A在反比例函数y= 的图象上，顶点C在反比例函数y兰的图象上，则平行四边形O4BC的面积是() A.8 B.10 C.12 D.14 14.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形0ABC的顶点A在反比例函数y=:上，顶 5 点B在反比例函数y=x上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，已知平行四边形oABC的顶点4C都在反比例函数y=x的图象上，已知点c的坐标为(2,3)， 点B的纵坐标为4， B (1)求A点坐标； (2)连接AC,求平行四边形OABC的面积. D E FxC(2,3),A(6,1) .B(8,4). :.CD=3,AE=1,BF=4」 ∴.S平行四边形OABC=S.COD+S梯形BCDF-S。AOE-S梯形ABPB =S梯形BCDF一S梯形MBFB -×B+4x8-2)-×0+4x8-6) =21-5 6 16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形O4BC的顶点A在反比例函数y=上， 10 顶点B在反比例函数y=x上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形O4BC的面积. 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1。如图。在。AcD中，现点4的坐标是Q:AD轴，一次面数y-1与反比例高致y套的图象 都经过B(-l,a)、D两点. D (①)求k,a的值； (2)求平行四边形ABCD的面积： (3)根据图象，直接写出不等式x-1≥，的解集。 18.【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为(：，)B(:,),则P中点坐标为 +龙，+2 2 2 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B,C在第 一象限，四边形OABC是平行四边形. 【构建联系】 若点C在反比例函数y=x的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3. (1)求反比例函数的表达式： (2)如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y-x图象上，求平行四边形OABC的面积： 【深入探究】 (3)如图3，将直线1：y= 一4x向上平移6个单位得到直线1，直线1，与函数y=(>0)图象交于 7/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN M,M,两点，点P为M,M,的中点，过点M,作M,N⊥l于点N,请直接写出P点坐标和OP的值. VA M M N 0 图1 图2 图3 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 19,反比例函数y=-x<0)如图，则矩形O4PB的面积是(） VA y A.6 B.-6 C.3 D.-3 8 20.如图，矩形4BCD对角线交于坐标原点O:且顶点均在反比例函数y=-x的图象上，设A(4,m),则 矩形ABCD的面积为一· A B 2L.如图，已知矩形ABCD的顶点A(2,2),C都在反比例函数y=的图象上，AB=1求： 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 (1)反比例函数的解析式： (2)矩形ABCD的面积. 22.如图，矩形ABCD的顶点A3,2)、C(-3,2)在反比例函数y=x的图象上，BD两点在x轴上. yA A B (1)求反比例函数的解析式： (2)求AC的长。 (3)图中矩形ABCD的面积是 (4当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围是 23.如图，A(x,y),B(x,),C(x,)为反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的三点，且 x<2<x. H B C O DEF (1)比较，2，的大小 (2)过A,B,C三点分别作两坐标轴的垂线，D,E,F和H,N,P为垂足，矩形ADOH,BEON,CFOP 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积S,S2,S之间有怎样的数量关系？为什么？ 24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y=冬>0) 的图象上，已知矩形OABC的长OC和宽OA分别为4,3. G OE A (1)求反比例函数的表达式： (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在BC的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E, F,PE与BC交于点G.若矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P的坐标. 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 25,如图，p:QR为反比例函数y（>0,x>0)图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴。 y轴的垂线，与y轴的交点分别为C,B,A,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S,S2, S3,其中OA:AB:BC=1:2:3.若S2=6,则S+S3=() S2 S S3 A.10 B.12 C.15 D.16 2 26.如图，在反比例函数y=(0)的图象上，有点R,R,B,B,,P,…它们的横坐标依次为1,2,3， x 4,…,,…,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S,S2,S,S4,,Sn,…,则S+S2+S3+…S25的结果为() yx S P2 3 O 1 2 34 4043 4045 4046 4050 A. 2023 B.2024 C.2025 D.2026 k 27.如图，点P,,R为反比例函数y=k>0,x>0)图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴， y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C,B,A,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S,S2,S, 其中OA:AB:BC=1:2:3,若S2=6,则S+S3的值为 C Q S2 R A 0 28.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OBD的顶点B(0,4),顶点D在第一象限，∠OBD=90° 反比例函数y=(x>0的图象与O0,BD分别交于点么CLm·过点D作轴的垂线，交反比例函数 y=x>0)的图象于点E连接OC: D (1)求反比例函数的表达式： (2)求图中阴影部分的面积. 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，对角线OB,AC相交于点D,己知点B8,4),反比例 函数y=冬(c>0)的图象经过点D (I)点D的坐标是，k=」 (2)延长BC交反比例函数的图象于点E,交'轴于点F,连接DE,求△ODE的面积. 30.综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，点A 和点P(N5,-在反比例函数y=图象上.以点p为顶点，OP为边构造菱形oPOR:AM⊥x轴于点M, 且M是AC的中点，连接OA、OC;以点O为圆心，OP为半径作弧PR. y个 M P(3,1) k ()求反比例函数y=x的表达式： (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点4的坐标为(-l,V5),连接4，在反比例函数y=元的图象上找一点E,在坐标平面内找一点F, 使得以A、P、E、F为顶点的四边形是以AP为边的矩形，求出点E的坐标 12112 专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型 题型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1．C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 2．6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 3．(1) (2)或 (3)8 【分析】（1）先通过一次函数表达式求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）先求出点坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：将代入， ， 解得， ． 不等式的解集为或． （3）解：如图， 设直线交y轴于点C，令，则， ，． 的面积为8． 4．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 5．(1)，4 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 6．(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 7．4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键．过点B作于点C，设，则可求，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点B作于点C， 设， ∵轴． ∴，， ∴． 故答案为：4． 8． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(1)双曲线解析式为； (2)． 【分析】（1）利用等边三角形的性质求出点的坐标，再代入双曲线解析式求． （2）设等边的边长为，利用中点和高表示坐标，代入双曲线方程求，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点作轴于点， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为． （2）解：设等边的边长为，其中， ， 过点作轴于点， 同理可知，点为中点， 的横坐标为，即的横坐标为， ∴的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ． 10．(1)， (2)4 【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数求，得到点坐标，再把两个交点代入一次函数，解二元一次方程组求参数，写出解析式； （2）先求一次函数和轴交点坐标，沿轴把大三角形拆成两个小三角形，套用三角形面积公式求和． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点为直线与轴的交点，如图： 令，解得， ∴点的坐标为， 由（1）知：，， ∴． 11．(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据反比例函数的性质求出，从而可得，，将代入反比例函数计算即可得出结果； （2）直线的解析式为，令直线交轴于点，求出，得到，再由计算即可得出结果； （3）求出直线的解析式为，从而求出，得到，，计算得出，则，设，再分两种情况：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点；当点在第一象限时，过点作轴交直线于点，分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 如图：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时点的横坐标为； 如图，当点在第一象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 【分析】（1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 13．D 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 14．4 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 15．(1) (2) 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； （2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 16． 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 17．(1) (2)6 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图像可知一次函数位于反比例函数上侧时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3），， 由图像可知，一次函数位于反比例函数上侧时， 或． 18．（1）（2）9（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 19．A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 20．24 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键，先求出点A、C坐标，设，由对称性得，根据求出点C坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，进而求出结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， 由对称性得 设，由对称性得， 在矩形中，， ， （此时为A点，舍去）， ， 作轴于点E，作轴于点F， ， 矩形对角线交于坐标原点， ， 故答案为：24． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把代入即可得到结论； （2）先求出点的纵坐标，代入解析式后求出横坐标，即可得到点坐标，进而求出，通过矩形的面积求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：由题意可知，， ∴点的纵坐标为， 代入，可得， ∴点C的坐标为， ． 故． 22．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，求得即可； （3）根据矩形的性质得到，根据矩形的面积公式即可得到结论； （4）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）把代入得，， 反比例函数的解析式为； （2）点、， 点与点关于原点对称， ； （3）四边形是矩形， 矩形的面积 （4）当时，即 解得 结合函数图象可得当，且时，或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 23．(1) (2) 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴. 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2）略 24．(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 25．C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 26．D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 27． 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 28．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象的对称性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）确定反比例函数图象关于对称，则利用即可求解． 【详解】（1）解， 轴， 点的纵坐标为4，即， ．             将代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：在等腰直角三角形中，， ， ．             轴，， 点的横坐标为4． 将代入，得， ， ．         又， 点C，E关于直线对称．         又反比例函数的图象关于直线对称， ． 29．(1)，8 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．（1）根据点是点和点的中点即可求出答案；把点坐标代入反比例函数的解析式即可；（2）先求出点的坐标，再求出的长，然后根据即可得解． 【详解】（1）解：∵点是菱形的对角线的交点， 即点是点和点的中点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：；   将点的坐标代入反比例函数中得， 解得：； （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ∴点的纵坐标为4． 当时，， ， 点的坐标为． ． ． 30．(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数几何问题，矩形判定及性质，菱形性质及面积公式，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等． （1）根据题意把代入求出即可； （2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，得到，继而求得菱形和扇形面积，继而得到本题答案； （3）设直线的表达式为，分情况讨论，当和时，待定系数法求出直线解析式即可求得本题答案． 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的表达式为； （2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 轴于点，且是的中点， ， ， ； （3）解：设直线的表达式为， 代入点和点，得：， ①当时，设直线的表达式为，代入点得， 联立， 得：（舍），， 当时，， ； ②当时，设直线的表达式为，代入点， 得：，联立，得：（舍）， 当时，， ， 综上所述，点坐标为或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $