专题01 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型归纳 题型一利用二次函数求线段最值问题 题型二利用二次函数求线段和最值问题 题型三利用二次函数求线段差最值问题 题型四利用二次函数求周长最值问题 题型五利用二次函数求面积最值问题 题型专练 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-4x+5上运动，过点A作AC⊥x轴于点C,以AC 为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为() A.5 B.4 C.2 D.1 2.在边长为6的正方形ABCD中，点P、O分别为对角线AC、边CD上的动点，且DQ=V2AP,则Pg 的最小值为 B 3.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E、F在AB、AC上，且EFI‖BD,点G在BC上，且 GF⊥EF.给出下面四个结论： 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F O G C ①AC=15: ②延长EF交AD于点H,则EH=2AF; ③sin∠BGF=5: 3 ④线段EG长度的最小值为9， 上述结论中，正确结论的序号有 4.已知线段AB=6,，点P为线段AB上一个动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形 PBEF,且∠DAP=∠FPB=6O° E B D B 图1 图2 (1)如图1，若AP=2,则∠DFB的度数为 0 (2)如图2，在点P的运动过程中. ①直线AC与BF的位置关系是否发生变化，请说明理由： ②M、N分别为对角线AC,BF的中点，连接MN,MN的最小值为 E 同(1)可得 是等边三角形， △APD,△PFB 7E D 分别为对角线 的中点，则 分别过点 M,N AC BF PD.PE M,N 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM,PW分别平分∠APC,∠CPB,PM=PD,PN=)PE, ∴∠MPC+2NPc=APc+ZCPB)=0 .∠MPN=90°， 同(1)可得△APD,△PFB是等边三角形， 设PA=2a,则PB=6-2a,PM=a, PN=V3(3-a) w=+[50-=ar-1a+27-a-+ 5.如图，已知抛物线y=am2+bx+2图象经过A(-1,0),B(4,0)两点 (1)求抛物线的解析式： (2)若C(m,m-)是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过 点D分别作DEIIBC交AC于E,DFI∥AC交BC于F. ①求证：四边形DECF是矩形： ②连接EF,线段EF的长是否存在最小值，若存在，求出EF的最小值：若不存在，请说明理由， 6.如图，Rt△ABC,∠C=90°，∠A=30°，BC=2.P,两点分别从A,C同时出发，点P沿折线 A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度：点 Q以每秒V3个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动.过点P作PD⊥AC于点D,以PD,D为邻边 作矩形PDOE.设运动时间为x秒，矩形PDOE和△ABC重叠部分的图形面积为y. AD B C 备用图 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当点和点D重合时，x=- (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围： 3)在运动过程中，连接P巴，取P№中点O,连接OC,直接写出OC的最小值. 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 7.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别为边AD,CD上的点，且AE=DF,BF与CE交 于点G,连结EF,取EF的中点M,连结DM,GM,则DM+GM的最小值为() E D G B A.6 B.3W2 C.3 D.3V5-3 7 8.如图，抛物线y=-x+)x+2上的点A,C坐标分别为(0,2)，(4,0)，抛物线与x轴负半轴交于点B, 21 点M为y轴负半轴上一点，且OM=2. B 0 M M 备用图 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A',点C的对应点为点C”，在抛物线平移 过程中，当MA+MC的值最小时，新抛物线的顶点坐标为一，MA+MC的最小值为一 9.如图，己知二次函数y=-)+bx+c的图象过点A(0,4),对称轴与x轴交于点B(2,0), 2 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B (备用图) (备用图) (1)求此二次函数的表达式： (2)已知点P是二次函数图象上一点， ①若直线I:y=x+n经过点B,且点P关于直线I的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P坐标. ②设直线PB与二次函数图象另一交点为Q,过二次函数图象顶点作x轴的平行线m,则直线m上是否存 在点M,使得MP+Mg最小？若存在请直接写出这个最小值：若不存在，请说明理由. 10,在平面直角坐标系x0中，抛物线y=r2+2 x+C与y轴交于点C,与x轴交于AB两点（点A 3 在点B的左侧)'其中4(-N3,0), an∠ACo=3 3 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)线段OB上有一动点P,连接CP,当CP+2PB的值最小时，请直接写出此时点P的坐标和CP+2PB 的最小值. (3)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E,连接BD,记ABDE的面积为S, △4BE的面积为S,求3，的最大值。 11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-3,0八B(,0)两点，与y轴交于C(0,3),连接 AC. 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :1 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP.抛物线的对称轴为直线I,点为y轴 上的动点，H⊥I于点H.当△APC面积取得最大值时，求点P的坐标及PO+H0的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移3√2个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线乃与x轴的左侧 交点，点N为抛物线上的一动点.若∠NMC+∠CAB=∠MCO,请直接写出所有符合条件的点N的横 坐标 12,如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-22+x+c与x轴交于A(-1,0),B两点，且经过点C1,4), 连接AC,BC B B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的表达式： (2)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC,垂足为D,E,F是线段BC上动点(E在F 上方)，且EF=√2，连接PE,PF.当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+PF的最小值： (3)将抛物线沿射线CB方向平移√2个单位长度得到抛物线y,点C的对应点为G,M是平移后抛物线y 上一点，射线BM交直线AG于点N,且∠ANB=∠CAB-∠CBA.请直接写出所有符合条件的点M的横坐 标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程。 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 13.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于B点，与y 轴交于C点，抛物线y=ar+br+C(a≠O)经过点A,B,C(点B在点A右侧)，已知点A坐标为(-l,O), 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出△BCP的面积的最大值？ (③)在(2)中当△BCP的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时PG-AG的最大值 14.(24-25九年级下重庆开州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+br-4与x轴交 3 于点A(-1,0),B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线x=2· G 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作PE∥x轴交抛 物线对称轴于点E,作PG⊥BC于点G,求当PE+V2PG取最大值时AM-PM的最大值： (3)将抛物线沿射线BC方向平移2V2个单位，在PE+V2PG取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对 应点，连接FP,在平移后的抛物线上是否存在一点N,使∠FPV=45°，若存在，请求出点N的横坐标. 15.(22-23九年级上福建泉州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，顶点为E(14)的抛物线 y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A,B两点，与y轴的交点为C(0,3),P是抛物线对称轴右侧图象 上的一点，且在x轴的上方. 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求此抛物线的解析式： (②)若直线BP与抛物线对称轴交于点D,当BD-CD取得最大值时，求点P的坐标； (3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F,连接PC,PE,PF,记△PCF,△PEF的面积分别为S,S2, 判断2S+S2是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 16.(2026重庆·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=am2+br-4(a≠0)与x轴交于A(-4,0), B两点，与轴交于点C,OA=2OB,连接AC, (1)求抛物线的表达式： (②)点P为线段AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD‖y轴交x轴于点D,交AC于点E,点F与点G 为x轴上两动点（点F在点G左侧），FG=1.当PE-DE取最大值时，求点P的坐标及PG+CF的最小 值： (3)在(2)中PE-DE取最大值的条件下，将抛物线y=ar2+br-4(a≠0)和点E都沿射线AC方向平移4V2 个单位长度后得到抛物线y和点E,点C为点C的对应点.点M为抛物线y上一动点，若 ∠C'EM=∠CAB+∠ABC,请直接写出所有符合条件的点M坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况 的过程 17.(25-26九年级上·重庆渝北·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+br+C与x轴分别交 于A,B两点，与y轴交于点C.直线y=-x+3经过B,C两点. 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PMLx轴于点M,交BC于点N,点D,E为'轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=I,连接PD,AE.当PN-MN取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+AE的最小值： (3)在(2)中PV-MN取得最大值的条件下，将抛物线y=-x+br+C沿射线CB方向平移2V2个单位长度 得到抛物线y，点K为抛物线)上的一动点.若满足∠KAB=∠BCP，请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18.如图，抛物线y=-x+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 顶点为B.下列四种说法：①-1<m<2:②若2<x<3,则(x-3)}+2(x-3)+m<2:③若点M(-2,) 点V2必，点P(2,y)在该函数图象上，则y<为<y:④点4关于直线x=1的对称点为C:点D在x 轴上，当m=1时，三角形BCD周长的最小值为V26+V2,其中正确结论的个数是() B 2 A.4 B.3 C.2 D.1 19.己知，如图二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0) 抛物线的对称轴为直线x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m). 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 图1 图2 (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标： (②)点9是线段AB上的一动点，过点Q作QEI‖AD交BD于E,连接DO,当△DQE的面积最大时，求点Q 的坐标 (3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四 边形CMWF周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值. 20.如图，已知二次函数y=2-4x+c的图象与x轴交于点A(-l,0)、点C,与y轴交于点B(0,-5). (1)求该二次函数的解析式： (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标，并求出△ABP周 长的最小值： (3)在(2)的条件下，线段AC上是否存在点E,使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存 在写出所有点E的坐标：若不存在，请说明理由. 21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=a2+bx+c交x轴于A(-l,0),B(3,0)两点，与y轴交于 点C(0,-3)】 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数解析式： (②)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD,过点B作BE⊥OD,垂足为E,若BE=2OE,求点 D的坐标： (3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMW的面积为S, △ABN的面积为S,求S,最大值： (④如图3，点G(,m),H(,m-)要是四边形AGHC周长最小，求出m的值，并求出周长最小值. 22.如图，二次函数y=x-(m+)x+m(m是实数，且-1<m<0)的图像与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于点C,已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD,点E在 x轴的正半轴上，OC=EC.连接ED并延长交y轴于点F,连接AF. (1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）； 12 (2)己知点Q在抛物线的对称轴上，当。AFQ的周长的最小值等于5，求m的值. y D E O C E 23,如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y-子+c+c与r轴交于点A40,点 4 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(-l1,O0),与y轴交于点C,连接AC、BC. VA C 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD,过点D作DE⊥AB于点E, DE 1 作DF⊥AC于点F,当DF=2时，求点D的坐标： (3)如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF,在点D由起点B运动到终点C的过程中，求 △PEF周长的最小值， 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24.(24-25九年级上安徽安庆阶段检测)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于 点C,点E为抛物线对称轴I与x轴的交点.若点P为第一象限内对称轴I右侧抛物线上一点，则△PCE面 积的最大值为() 5 5 A.3 B.5 c. D.8 1 25.（25-26九年级上四川泸州期中)如图，将抛物线C:y=2x+2)》-2沿x轴对称后，向右平移3个 单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C,若抛物线C的顶点为A,点P是抛物线C,上一点， 则△POA的面积的最小值为一· 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(24-25九年级下湖北襄阳自主招生)记二次函数少=4的图象为抛物线C,一次函数y=:+4的 图象为直线C,C与C,交于点A、B. (I)设C,与y轴交于点P,点M在C上运动，求PM的最小值及此时点M的坐标： (②)作点A关于y轴的对称点，记为D,连接BD交y轴于点Q, (I)求点Q的坐标： (I)设坐标原点为O,记△OQA与△OBA的面积之和为S,求S的最小值. 27.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b叫做完 全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完 全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的 数学方法，可以求代数式的最大值或最小值 例如：当x取何值时，代数式x2+2x-4有最小（或最大）值？ x2+2x-4=(x2+2x+1)-5 =(x+1)2-5 (x+12≥0， (x+1)2-52-5, ∴.当x=-1时，代数式x2+2x-4有最小值-5. 【直接应用】 (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+ 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求当x取何值时，代数式x2-8x+12有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直 于墙的一边长为x米，当x为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 墙 D 生物园 28.(24-25九年级下·全国二轮复习)【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是(-l,0)、(m,0)、(0,3),抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、 C,点D坐标是(0，-2)，点P是抛物线上位于x轴上方一点. 【特殊化探究】 (1)若m=3, ①求a、b、c的值； ②求△ADP面积的最大值， 【一般化思考】 (2)①对于每一个正数，△ADP面积都存在最大值，试用含L的代数式表示△ADP最大面积S: ②在①的条件下，试探究：△ADP的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在， 请说明理由、 B D 29.(25-26九年级上重庆江津期末)如图，抛物线y=ax2+br-2与x轴分别交于点A(-1,0)、点B(点 3 4在点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线x=2 2 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PB,PC,当△PBC面积最大时，求此时点P的坐标和 △PBC面积的最大值： 3)点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,连接MP,NB,当△PBC面积最大时，求 PM+MN+NB的最小值. 15/15 专题01 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型一 利用二次函数求线段最值问题 题型二 利用二次函数求线段和最值问题 题型三 利用二次函数求线段差最值问题 题型四 利用二次函数求周长最值问题 题型五 利用二次函数求面积最值问题 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 2．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 3．如图，在矩形中，，，点、在、上，且，点在上，且．给出下面四个结论： ①； ②延长交于点，则； ③； ④线段长度的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 ①②④ 【分析】①利用勾股定理计算的长；②利用平行线分线段成比例定理及矩形对角线性质证明；③利用平行线性质并得到三角形相似，从而得到对应角相等，即，由此求解正弦值即可；④建立平面直角坐标系，设点坐标，表示出 坐标，利用两点间距离公式及二次函数性质求最小值． 【详解】解：①在矩形中，，， 在中，由勾股定理得，故正确； ②设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 延长交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③记与交点为点，如图， ，， ， ， ，， ， ， ，故③错误； ④以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作于点，如图， 则，，，， 设直线的解析式为， 将点，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 设， ， 设直线的解析式为， 将点代入可得，，可得， 直线的解析式为， 令，得，即， ， ，， ， 则，即， 则有， ， 即， 则， 当时，取最小值，此时， ，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①②④ ． 4．已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且． (1)如图，若，则的度数为________； (2)如图，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为________． 【答案】(1)90 (2) ①的关系不变，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得是等边三角形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， 直线与的位置关系不发生变化； ② 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知可得是等边三角形，计算得出，进而可得，即可求解； （2）①证明，结合菱形的性质，即可得出结论； ②连接，证明，根据勾股定理表示出，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，，四边形、是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，连接 ∵分别为对角线，的中点，则分别过点， ∴分别平分，， ∴ ∴， 同（1）可得是等边三角形， 设，则，， ， ∴时，有最小值，最小值为. 5．如图，已知抛物线图象经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点（不与、重合），过点分别作交于，交于． ①求证：四边形是矩形； ②连接，线段的长是否存在最小值，若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②存在．的最小值是2． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①利用函数解析式求得点C的坐标，过点作，垂足为，方法一：证明，推出，由，，得到四边形是平行四边形，由此得到结论；方法二：利用勾股定理的逆定理推出，由此得到结论； ②方法一：连接，根据矩形的性质得到当时，的值最小．方法二：连接，设点，利用勾股定理求出，利用函数的最值问题解答． 【详解】（1）∵抛物线图象经过，两点， ∴解之，得 ∴． （2）①证明：∵点在抛物线上， ∴， 解之，得或． 又∵位于第一象限， ∴ ∴， ∴舍去， ∴， ∴点坐标为． 过点作，垂足为，则． 由、、，得，，，． （以下解答提供两种不同方法供参考） 方法一：∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． 方法二：∵，， ∴． ∵，∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． ②存在． 方法一：连接， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，的值最小． ∵， ∴的最小值是2， ∴的最小值是2． 方法二：连接， ∵四边形是矩形，∴ ． 设点， 在中，， ∴当时，的最小值是4． ∵， ∴最小值是2， ∴的最小值是2． 【点睛】此题考查二次函数与图形问题，利用待定系数法求函数解析式，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键． 6．如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为． (1)当点和点重合时， ； (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，得，根据勾股定理求得，由，，得，，即可列方程，求得； （2）分三种情况，一是当时，，，则；二是当时，交于点，此时，，可推导出，则；三是当时，交于点，交于点，则，，，所以，将三个函数关系式分别化简即可； （3）分两种情况，一是点在边上，作于点，先推导出，，可求得，则最小，；二是点在边上，则，，可求得，则最小，，，于是得到的最小值是． 【详解】（1）解：如图1， ，，， ， ， 于点， ， ，， ，， 当点与点重合时，则， ， 故答案为：； （2）解：当点与点重合时，则， ； 当点与点重合时，则， ，此时，则点与点重合； 当时，如图1， 则，， ； 当时，如图2， 则交于点， ，，， ， ； 当时，如图3， 则交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ， 综上所述，； （3）解：当点在边上时，作于点，则，， ， 是的中点， ， ，， 如图4， 点在点的上方，则， 如图5， 点在点的下方，则， ， 在此时最小， ； 当点在边上，如图6， ，， ， 此时最小， ， ，是的中点， ， ， 综上所述，的最小值是． 【点睛】本题重点考查勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、根据图形的性质求函数关系式、二次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 7．如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且． 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点，作出辅助线，将点向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 【详解】解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线， 将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是最小值， 显然点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， 点关于直线对称的对称的点是点，， ， ， 设直线的解析式是：， 由，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ， 平移的距离是， 又， 平移前的抛物线的顶点坐标是， 新抛物线的顶点坐标为，， 故答案为：，． 9．如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． (1)求抛物线的解析式； (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． (3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)，C的最小值为 (3)最大值为 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵   ∴ ∵    ∴， 将、的坐标代入 得：   ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时，的最小值为； （3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 13．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 14．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 15．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴从左到右依次交于A，两点，与轴的交点为，是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在轴的上方． (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线对称轴交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)若直线与抛物线对称轴交于点，连接，，，记，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为3 【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答； （3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为， ∴还可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接． 对于，令，即， 解得：， ∴． ∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线， ∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P． ∵抛物线对称轴为， ∴； （3）存在，最大值为3． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q， 设，直线解析式为：， 则，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键． 16．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 17．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间得出不等式组，求解后可判断①；由抛物线的对称性及抛物线与轴的一个交点在 2 和 3 之间可得出该抛物线与轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断②；结合图象，根据二次函数的性质（离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出便是其他三边和的最小值，可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 解得：，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且， ∴抛物线与轴另一交点横坐标在和 0 之间，， ， ，即， ， 即， ， ，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， 又 ∵， ∴，故结论③错误； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴ 当时，得， ， ∵点关于直线的对称点为， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则， ， 此时的长最短，而的长度一定， ∴周长的最小值为， ， ， ∴周长的最小值为，故结论④正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，对称的性质，求线段和的最小值，两点间的距离等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19．已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求最大值； (4)如图3，点，要是四边形周长最小，求出m的值，并求出周长最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，四边形周长的最小值． 【分析】（1）将代入二次函数，求解即可； （2）过点作，交轴于点，过作于，如下图，利用相似三角形的性质，求得点坐标，进而求得解析式，即可求解； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，利用相似三角形的性质得到，设直线的解析式为，将两点代入得到解析式为，当时，求得点的坐标为，设，利用二次函数求解即可； （4）由勾股定理可得：，，四边形的周长为，则四边形周长的最小值就是求的最小值，利用平移以及对称变换，求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数可得： ，解得 即解析式为：； （2）由题意可得：， ∵ ∴ 设，则，由勾股定理可得： 解得 即，， 过点作，交轴于点，过作于，如下图，    则 ∴，四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 设，则， ∴，解得 即， 即，可得解析式为： 联立二次函数和一次函数得：，解得或（舍去） 即点D的坐标； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，如下图：    则 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为，将两点代入可得 ，解得 得到解析式为， 当时， 即，所以 设，则 ∵ ∴的最大值为 则的最大值为：； （4）由勾股定理可得：， 四边形的周长为：， 则四边形周长的最小值就是求的最小值， 将向下平移一个单位，得到点，则， 则 作点关于的对称点，连接，    则，且 则， 由两点之间线段最短可得，的最小值为，    由勾股定理可得： 即的最小值为， 四边形周长的最小值， 设直线解析式为：， 将，代入可得： 解得 即 将代入可得， 即 可得，解得 综上，，四边形周长的最小值． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质求解最值，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质求解最小值，勾股定理等，综合性比较强，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 22．如图，二次函数（是实数，且）的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，已知点位于第一象限，且在对称轴上，，点在轴的正半轴上，．连接并延长交轴于点，连接． （1）求、、三点的坐标（用数字或含的式子表示）； （2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标； （2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）令 则， ∴，， ∴对称轴为直线， ∴． （2）在中，， ， ，． ． ∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，， ∴，即．（负根舍去） ∵点与点关于对称轴对称， ∴． ∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小． ∴的周长的最小值为， ∴的长最小值为，即． ∵，∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程，图形与坐标，二次函数的对称性，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用二次函数的性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点从点出发沿线段向点运动，到达点停止，连接，过点作于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)如图，设点是线段的中点，连接、、，在点由起点运动到终点的过程中，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2) ； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可得，求出即可得出答案； （3）是顶角不变的等腰三角形（形状不变），故腰长最小时周长最小，即最小时周长最小，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图： 抛物线的函数表达式：：，，点 ，， 令，得， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，， ，， ， ； （3）解：．  ，，是线段的中点， ， 、、、四点在以为圆心，为半径的圆上， ， 是定值， 是顶角不变的等腰三角形，即形状不变， 腰长最小，即最小时，、最小， 当最小时，，如图： ，， 为中点， 而， ，， ， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为． 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 25．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 26．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）记二次函数的图象为抛物线，一次函数的图象为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，点的坐标为或 (2)（I）；（II） 【分析】（1）设，则 ，令，则，利用二次函数的最值解答即可； （2）（I）设，，则，得到，， 设直线的解析式为，得到直线的解析式为， 令，则，解答即可； （II）根据题意，得，， 得，再整理得，得到判别式，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， ， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， 将代入，得， 整理得， 即， ∵为实数， ∴判别式， ∴，整理得， ∴或， ∴的最小值为． 27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 28．（24-25九年级下·全国·二轮复习）【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线 经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，，；②最大值为；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质的应用，一次函数的图象及性质等知识点， （1）①用待定系数法求函数的解析式即可；②求出直线与x轴的交点为，则，当时，面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为，设，再求直线与x轴的交点为，则，当时，的面积有最大值，即；②由，可求S的最小值为； 熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】解（1）①∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，，； ②设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， 当时，的面积有最大值，即； ②的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵ ∴， ∴， 此时，解得， ∴S的最小值为． 29．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型一 利用二次函数求线段最值问题 题型二 利用二次函数求线段和最值问题 题型三 利用二次函数求线段差最值问题 题型四 利用二次函数求周长最值问题 题型五 利用二次函数求面积最值问题 题型一：利用二次函数求线段最值问题 1．D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 2． 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 3． ①②④ 【分析】①利用勾股定理计算的长；②利用平行线分线段成比例定理及矩形对角线性质证明；③利用平行线性质并得到三角形相似，从而得到对应角相等，即，由此求解正弦值即可；④建立平面直角坐标系，设点坐标，表示出 坐标，利用两点间距离公式及二次函数性质求最小值． 【详解】解：①在矩形中，，， 在中，由勾股定理得，故正确； ②设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 延长交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③记与交点为点，如图， ，， ， ， ，， ， ， ，故③错误； ④以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作于点，如图， 则，，，， 设直线的解析式为， 将点，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 设， ， 设直线的解析式为， 将点代入可得，，可得， 直线的解析式为， 令，得，即， ， ，， ， 则，即， 则有， ， 即， 则， 当时，取最小值，此时， ，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①②④ ． 4．(1)90 (2) ①的关系不变，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得是等边三角形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， 直线与的位置关系不发生变化； ② 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知可得是等边三角形，计算得出，进而可得，即可求解； （2）①证明，结合菱形的性质，即可得出结论； ②连接，证明，根据勾股定理表示出，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，，四边形、是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，连接 ∵分别为对角线，的中点，则分别过点， ∴分别平分，， ∴ ∴， 同（1）可得是等边三角形， 设，则，， ， ∴时，有最小值，最小值为. 5．（1）；（2）①见解析；②存在．的最小值是2． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①利用函数解析式求得点C的坐标，过点作，垂足为，方法一：证明，推出，由，，得到四边形是平行四边形，由此得到结论；方法二：利用勾股定理的逆定理推出，由此得到结论； ②方法一：连接，根据矩形的性质得到当时，的值最小．方法二：连接，设点，利用勾股定理求出，利用函数的最值问题解答． 【详解】（1）∵抛物线图象经过，两点， ∴解之，得 ∴． （2）①证明：∵点在抛物线上， ∴， 解之，得或． 又∵位于第一象限， ∴ ∴， ∴舍去， ∴， ∴点坐标为． 过点作，垂足为，则． 由、、，得，，，． （以下解答提供两种不同方法供参考） 方法一：∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． 方法二：∵，， ∴． ∵，∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． ②存在． 方法一：连接， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，的值最小． ∵， ∴的最小值是2， ∴的最小值是2． 方法二：连接， ∵四边形是矩形，∴ ． 设点， 在中，， ∴当时，的最小值是4． ∵， ∴最小值是2， ∴的最小值是2． 【点睛】此题考查二次函数与图形问题，利用待定系数法求函数解析式，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，得，根据勾股定理求得，由，，得，，即可列方程，求得； （2）分三种情况，一是当时，，，则；二是当时，交于点，此时，，可推导出，则；三是当时，交于点，交于点，则，，，所以，将三个函数关系式分别化简即可； （3）分两种情况，一是点在边上，作于点，先推导出，，可求得，则最小，；二是点在边上，则，，可求得，则最小，，，于是得到的最小值是． 【详解】（1）解：如图1， ，，， ， ， 于点， ， ，， ，， 当点与点重合时，则， ， 故答案为：； （2）解：当点与点重合时，则， ； 当点与点重合时，则， ，此时，则点与点重合； 当时，如图1， 则，， ； 当时，如图2， 则交于点， ，，， ， ； 当时，如图3， 则交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ， 综上所述，； （3）解：当点在边上时，作于点，则，， ， 是的中点， ， ，， 如图4， 点在点的上方，则， 如图5， 点在点的下方，则， ， 在此时最小， ； 当点在边上，如图6， ，， ， 此时最小， ， ，是的中点， ， ， 综上所述，的最小值是． 【点睛】本题重点考查勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、根据图形的性质求函数关系式、二次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 题型二：利用二次函数求线段和最值问题 7．B 【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 8． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点，作出辅助线，将点向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 【详解】解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线， 将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是最小值， 显然点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， 点关于直线对称的对称的点是点，， ， ， 设直线的解析式是：， 由，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ， 平移的距离是， 又， 平移前的抛物线的顶点坐标是， 新抛物线的顶点坐标为，， 故答案为：，． 9．(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 10．(1)抛物线的解析式为： (2)，C的最小值为 (3)最大值为 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵   ∴ ∵    ∴， 将、的坐标代入 得：   ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时，的最小值为； （3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值． 11．(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 12．(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 题型三：利用二次函数求线段差最值问题 13．(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 14．(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 15．(1) (2) (3)存在，最大值为3 【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答； （3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为， ∴还可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接． 对于，令，即， 解得：， ∴． ∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线， ∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P． ∵抛物线对称轴为， ∴； （3）存在，最大值为3． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q， 设，直线解析式为：， 则，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键． 16．(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 17．(1) (2)； (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数解析式，线段和差最值与二次函数综合，二次函数与角度综合； （1）先求出，，再代入中计算即可； （2）设，则，，则，当时，取得最大值，此时．再利用对称求的最小值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 题型四：利用二次函数求周长最值问题 18．B 【分析】根据抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间得出不等式组，求解后可判断①；由抛物线的对称性及抛物线与轴的一个交点在 2 和 3 之间可得出该抛物线与轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断②；结合图象，根据二次函数的性质（离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出便是其他三边和的最小值，可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 解得：，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且， ∴抛物线与轴另一交点横坐标在和 0 之间，， ， ，即， ， 即， ， ，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， 又 ∵， ∴，故结论③错误； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴ 当时，得， ， ∵点关于直线的对称点为， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则， ， 此时的长最短，而的长度一定， ∴周长的最小值为， ， ， ∴周长的最小值为，故结论④正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，对称的性质，求线段和的最小值，两点间的距离等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19．(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 20．(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 21．(1)； (2)； (3)； (4)，四边形周长的最小值． 【分析】（1）将代入二次函数，求解即可； （2）过点作，交轴于点，过作于，如下图，利用相似三角形的性质，求得点坐标，进而求得解析式，即可求解； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，利用相似三角形的性质得到，设直线的解析式为，将两点代入得到解析式为，当时，求得点的坐标为，设，利用二次函数求解即可； （4）由勾股定理可得：，，四边形的周长为，则四边形周长的最小值就是求的最小值，利用平移以及对称变换，求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数可得： ，解得 即解析式为：； （2）由题意可得：， ∵ ∴ 设，则，由勾股定理可得： 解得 即，， 过点作，交轴于点，过作于，如下图，    则 ∴，四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 设，则， ∴，解得 即， 即，可得解析式为： 联立二次函数和一次函数得：，解得或（舍去） 即点D的坐标； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，如下图：    则 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为，将两点代入可得 ，解得 得到解析式为， 当时， 即，所以 设，则 ∵ ∴的最大值为 则的最大值为：； （4）由勾股定理可得：， 四边形的周长为：， 则四边形周长的最小值就是求的最小值， 将向下平移一个单位，得到点，则， 则 作点关于的对称点，连接，    则，且 则， 由两点之间线段最短可得，的最小值为，    由勾股定理可得： 即的最小值为， 四边形周长的最小值， 设直线解析式为：， 将，代入可得： 解得 即 将代入可得， 即 可得，解得 综上，，四边形周长的最小值． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质求解最值，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质求解最小值，勾股定理等，综合性比较强，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 22．（1），，；（2） 【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标； （2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）令 则， ∴，， ∴对称轴为直线， ∴． （2）在中，， ， ，． ． ∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，， ∴，即．（负根舍去） ∵点与点关于对称轴对称， ∴． ∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小． ∴的周长的最小值为， ∴的长最小值为，即． ∵，∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程，图形与坐标，二次函数的对称性，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用二次函数的性质是解题的关键． 23．(1)； (2) ； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可得，求出即可得出答案； （3）是顶角不变的等腰三角形（形状不变），故腰长最小时周长最小，即最小时周长最小，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图： 抛物线的函数表达式：：，，点 ，， 令，得， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，， ，， ， ； （3）解：．  ，，是线段的中点， ， 、、、四点在以为圆心，为半径的圆上， ， 是定值， 是顶角不变的等腰三角形，即形状不变， 腰长最小，即最小时，、最小， 当最小时，，如图： ，， 为中点， 而， ，， ， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为． 题型五：利用二次函数求面积最值问题 24．D 25． 26．(1)的最小值为，点的坐标为或 (2)（I）；（II） 【分析】（1）设，则 ，令，则，利用二次函数的最值解答即可； （2）（I）设，，则，得到，， 设直线的解析式为，得到直线的解析式为， 令，则，解答即可； （II）根据题意，得，， 得，再整理得，得到判别式，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， ， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， 将代入，得， 整理得， 即， ∵为实数， ∴判别式， ∴，整理得， ∴或， ∴的最小值为． 27．（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 28．（1）①，，；②最大值为；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质的应用，一次函数的图象及性质等知识点， （1）①用待定系数法求函数的解析式即可；②求出直线与x轴的交点为，则，当时，面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为，设，再求直线与x轴的交点为，则，当时，的面积有最大值，即；②由，可求S的最小值为； 熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】解（1）①∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，，； ②设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， 当时，的面积有最大值，即； ②的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵ ∴， ∴， 此时，解得， ∴S的最小值为． 29．(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $