第1章 反比例函数（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材湘教版九年级下册

第1章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限． 2．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数图象上的点满足． A． ，点在函数图象上． B． ，点在函数图象上． C． ，点不在函数图象上． D． ，点在函数图象上． 3．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 4．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 5．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 6．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 7．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 8．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 9．小臻想探究不同远视眼镜镜片的度数与焦距的关系．她将收集到的镜片[对应度数y（单位：度）已知]正对太阳，前后移动镜片，直至地面上的光斑最小，此时用刻度尺测出镜片中心到光斑的距离x（即焦距，单位：）．她记录多组数据后，用计算机绘制了y与x的关系图象（如图）．根据图象判断，下列结论正确的是（     ） A．y与x的关系式为 B．镜片度数越大，镜片中心到光斑的距离越大 C．当时， D．镜片度数越小，镜片中心到光斑的距离越大 【答案】D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：该函数图象过点， 设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项错误，不符合题意； 镜片度数越小，镜片到光斑的距离越大，故D选项正确，符合题意． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若，，则； ③； ④当时，四边形一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】①利用平行四边形对角线平分的性质，结合中点坐标公式即可得出的表达式进行判断； ②设的中点为H，利用中点坐标公式即可求得点B的坐标，从而得到的值； ③利用三角形面积公式表示出的表达式，从而进行判断； ④根据题意可得出，通过一线三垂直模型证明，从而得出，但不一定是，继而得到四边形不一定是正方形． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，的中点在y轴上， ∴， 设，则， ∴，故①正确； ②由题意，设的中点为H， ∵， ∴的中点， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③，故③正确； ④由题意，∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，但不一定是， ∴四边形不一定是正方形，故④错误， 综上所述，正确结论为①③． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 【答案】 【分析】使用待定系数法求解，先设反比例函数的通用解析式，再将已知点的坐标代入计算比例系数，即可得到目标函数解析式． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为（）， ∵ 函数图象过点， ∴ 将，代入解析式，得， 解得， ∴ 该函数的解析式为． 12．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限的性质，得到比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得 ． 13．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的象限分布和增减性，先判断的符号，再比较第一象限内与的大小. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小； ∵， ∴点在第三象限，可得； ∵， ∴点，都在第一象限，可得； 综上可得. 14．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 15．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 16．如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，． 18．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 【答案】(1) (2)120千帕 【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可； （2）把立方米代入计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． 19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3) 【分析】（1）把点代入反比例函数求出，再代入点横坐标求出，将、两点代入一次函数解析式，列方程组求出和． （2）对比一次函数图象在反比例函数图象上方部分，读出对应的自变量范围是或． （3）由两个三角形面积比为得到线段比，设，利用两点间距离公式列方程求出，得到． 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵ 一次函数 的图象经过点 ，， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得， ∴ 的取值范围是 或 ． （3）解：∵ 点 在线段 上，连接，，． ∴ 设，其中， ∵， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不合题意，舍去） 当 时，， ∴ 点 的坐标为 ． 20．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 21．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据图2将和代入求出，可知当时的值，结合题干公式即可求出此时总电阻的值； （2）设，由（1）可知，当时，，此时，代入求解即可； （3）求出R关于V的函数解析式，分别将、代入R关于V的函数解析式求出R的值，可知当时，R的取值范围，根据反比例函数的性质得到随的增大而减小，分别将、代入求出I的值，可知电流表显示电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 23．【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【答案】(1)①；②12.5 (2)①；②40 (3) 【分析】（1）①由平衡式得为定值，设，得，把数值代入可求得K的值，即可求得表达式； ②由题意得，即可求得最小的质量； （2）①根据杠杆平衡原理得，即，代入，克的值，即可求解； ②由变形得，根据y的系数即可解答； （3）先求出物体A真实质量为120克，用100克秤砣时y的值，换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量，偏差则为真实质量与测量值的差． 【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克； （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克； （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：． 24．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) -4 1.反比例函数y=x的图象位于（） A.第一、三象限 B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限 6 2.下列各点不在反比例函数y=图象上的是(） A.(3,2) B.（1.5,-4) c.（-2,3) D.（-2,-3) 3.如图，函数男=+5与%产>0的图家相交于44)，862两点，当>为时，的取值花 围是() VA A.4<x<6 B.4<x<8 C.4<x<7 D.x>4 4已知点A,小B(6,马)都在反比例函数y=_+2 的图象上，且片<0<2，则x’x的关系是 () A.<0<x B. 0<x2< C.<0<5 D.<<0 5如图。正方形ABCD的边长为4：其中它的中心与原点重合，ABx轴，BCy轴，反比例函数y子 与y x的图像均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积是() 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.10 4 6,如图，点4在双曲线y=上，点B在双曲线y x上，且ABIx轴，点C、D在x轴上，若四边形 ABCD为矩形，则它的面积为() 12 OD C A.4 B.6 C.8 D.12 7.在同一平面直角坐标系中，函数y=-:+1与y=(k≠0)的图象大致是〔) x<0)和少=9 、 8.如图，点4和点B分别在反比例函数y= (x>0)两个图象上，AB‖x轴且交y轴 于P,若PA:PB=23,则k的值为() 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.3 B.-3 C.4 D.-6 9.小臻想探究不同远视眼镜镜片的度数与焦距的关系.她将收集到的镜片[对应度数y(单位：度)己知] 正对太阳，前后移动镜片，直至地面上的光斑最小，此时用刻度尺测出镜片中心到光斑的距离x(即焦距， 单位：m),她记录多组数据后，用计算机绘制了y与x的关系图象（如图），根据图象判断，下列结论 正确的是() y/度 1000 600 P(0.25,400) 200 0o2406m Ay与的关系式为y=100 B.镜片度数越大，镜片中心到光斑的距离越大 C.当x=0.2时，y=50 D.镜片度数越小，镜片中心到光斑的距离越大 10。如图，在平面直角坐标系0中，点4，B分别是反比例西数y-上（x>0与%-上(x<0图案上的 动点，AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,点C在y轴的正半轴上，连接AB,若四边形OACB是平行四 边形，给出下面四个结论： D 3/10 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 AD k ①BEk2: ②若421,0C=4,则5=4 ③o@=k+k @当东+6=0 ，四边形 ACB一定是正方形. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） A(3,-4) 11.已知一个反比例函数的图象过点 ,则该函数解析式为 12.己知反比例函数y=m x的图象在第一、三象限，则m的取值范围为 13.已知(：，)，(，)，(：，)是反比例函数'=x的图象上的三个点，且x<0<x<x,则片，2， 的大小关系为 (用“<”连接) 14.列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间 )与行驶的平均速度 (km)之间的反比例函数关系如 图所示.若列车要在2h内到达，则速度至少需要提高到km/h. ◆th 3 0200 v/(km/h) 15。老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开肩到关闭及关闭后，温度℃)与时 间个的变化图像，龙中仍段是恒温阶段，C度是恒温系统关闭阶段，是反比例周藏y一〔>0)图像 的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为25℃；②k的值为200；③温度在25℃的时间有8h; 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④恒温系统在一天内保持温度不低于20℃的时间有13h.其中说法正确的是 (填序号)· 15 0412 24 16.如图，在x轴的正半轴依次截取 A=44=44,过点4，么，分别作x轴的垂线与反比例函数 y=(x>0)的图象相交于点RB,B,得0P4,△4A:△44：并设其面积分别为S,S,S,以此 类推，则S的值为 y= P P2 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已蜘反比制压数y=左（生为常数，且k40>的网象经过点6，）. ()求该反比例函数的解析式： (2)当x=-8时，求y的值 18.某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P(千帕)是气球的体积V(立方 米)的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）· P(千帕) 200 150 100 A1.5,64) 50 o0.511.52立方米) 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个函数的解析式： (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 19.如图，一次函数y=x+6与反比例函数y= 的图象相交于4,2)，B(-2,m)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： ②根据图象，直接写出满足x+b>的，的取值范围， (3)若点P在线段AB上，且 SA40P:SADOP=1:4 求点P的坐标。 20,如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=kx+b的图象交于A山，6)、B(-3,m) ①求、、b的值： (2)求△AOB的面积： ③若M,小、N飞，均是反比例函数y一图象上的两点，且5<本：片<2，指出点M、N各位于 哪个象限，并简要说明理由。 21.如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图.其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑 杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子.油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下， 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数.因此电流表上一定的示数对应着 油面一定的高度.如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量.电 流/（单位：A)与总电阻R(单位：D)成反比例，其中R=R+R,已知 R=20 2.可变电阻R(单 R≥0 位： 2)与油量体积”（单位：L)之间的关系如图2所示， 0.当油箱内油量体积为35L时，电流 表显示为0.1A R(单位：2) Ro 240 浮 60V(单位：L) 图1 图2 (1)当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值： (2)求I关于总电阻R的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足4≤'≤55时，求电流表显示电流的取值范围. k 2.如图，一次函数y=2x+b与反比例函数y=x的图象交于点A,B(-8,-2). 备用图(1) 备用图(2) (1)求点A的坐标： (②)若点C为x轴上一点，△ABC的面积为15，求点C的坐标 k≤x+b的解集是： (3)直接写出不等式x2 k ④若点p在y轴上，点Q在反比例函数y=x的图象上，且A'B'P,Q恰好是一个平行四边形的四个 顶点，直接写出符合条件的所有点Q的坐标. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史.《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理， 为杆秤的发明奠定了理论基础. 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 材料2：如图2，移动提纽0，秤杆在水平位置平衡， 材料3：如图3，记秤钩的质量为”m克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为m克，右杆的质量记为“克， 秤砣的质量为m克，它们对应的力臂长分别为 acm、l左cm,l右cm ycm m%a,m发km为常数). (其 我们可以得到 m倒a+m左l左=m能y+m右 现有秤杆（己经确定提纽O位置），秤钩各一个，秤砣若干.请 按照以下步骤完成后续问题： 动力臂1 阻力臂12 提纽O 提纽O 支点O 动力F 阻力F2 秤钩 秤砣 图1 图2 图3 (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线.已知当 m能=50 克，杆秤不称重物保持平衡时， y=0.5cm ①请直接写出秤砣对应的力臂长'关于m的函数表达式： ②如果测定定盘星(0刻度线)时，秤砣最大可滑动距离为2m,那么可选用的秤砣最小质量为. 克. =2.5cm,me=100 (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知 克，重物的质量为 x克， ①请求出y关于x的函数表达式： ②秤砣和提纽O的距离每增加lcm，杆秤上表示质量的刻度数需要增加 克 (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体A的质量为120克.现在把秤砣换成 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t(t<100) 克，再次称重，测得的物体A的质量与真实质量偏差了 克（用含字母的代数式表示）. 24.数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为 “相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点. 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定.如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点， 所以它们是“陌生函数”， 1 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定y=2x-1与'=x的关系时，由函数表达式得 2x-1=1 ,去分母得2x2-x-1=0,因为△=9>0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”· 【问题解决】 y,=kx+b m 图1 ·图2 图3 (0四对于函数0y=-3 x,②y=2x,③y=-3x+1.其中①与②是“—函数”，①与③是“函 数”： （因活X-受(m0）与为=+6（发≠0）是友好函数”，知图2，当≥时，倒取植范国是 n 若y=x(n+0)与y=2x-6是“相连函数”，则n的值为一 ⊙如图.过点CQ.的直接4：对应的国数分别与》-会（传0，女<0>， =k(k3≠0，x>0) 是“相连函数”，相连点分别为P,。,,与产抽分别交于4，B两点，已知4B=10,6=-25,求 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+k好 的值。 10/10 第1章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C C A D D A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12． 13． 14．300 15．①③④ 16． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2)3 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为；----------3分 （2）解：当时，．----------6分 18．(1) (2)120千帕 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即；----------3分 （2）解：把立方米代入中，得千帕．----------6分 19．(1)； (2) 或 (3) 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵ 一次函数 的图象经过点 ，， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数的解析式为．----------3分 （2）解：观察图象可得， ∴ 的取值范围是 或 ．----------5分 （3）解：∵ 点 在线段 上，连接，，． ∴ 设，其中， ∵， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不合题意，舍去） 当 时，， ∴ 点 的坐标为 ．----------8分 20．(1)，，； (2)8 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，．----------3分 （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ．----------6分 （3）点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限．----------8分 21．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）．----------3分 （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为．----------6分 （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围．----------10分 22．(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为；----------2分 （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或；----------5分 （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或；----------7分 （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或．----------10分 23．(1)①；②12.5 (2)①；②40 (3) 【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克；----------3分 （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克；----------7分 （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：．----------12分 24．(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”．----------3分 （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得．----------7分 （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴．----------12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $