第二十七章 反比例函数（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 3．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 6．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 7．潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 8．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．一个水池装水，如果每小时排水量为，那么将水池中的水排完所需的时间（小时）与之间的函数表达式为_________． 14．对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 15．已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 16．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 17．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 18．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 20．（6分）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 21．（8分）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 22．（8分）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 23．（8分）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 24．（8分）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的． (1)王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表． 每分钟漏沙的体积/ 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有______立方厘米的沙子． ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成______比例关系． ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏______立方厘米的沙子． (2)如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 25．（10分）综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 26．（12分）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质得出，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在某象限内随的增大而增大， ∴， ∵点在该反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴n的值可能是． 3．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 4．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 5．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 6．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 7．潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据初始压强和体积求出常数，再代入变化后的压强计算对应气体体积即可． 【详解】解： ，初始状态下 ，， ， 当压强降至 个标准大气压时，代入 得 ， 此时气体体积为 8．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先利用根的判别式求出的取值范围，再联立两个函数得到一元二次方程，结合的取值范围与非负数的性质判断方程根的个数即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 解得 ， 联立反比例函数与一次函数可得， ， 整理，得， ∵，， ∴，即该方程没有实数根， ∴两个函数无交点． 11．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】C 【分析】利用反比例函数解析式得到，的表达式，代入所求分式化简，再根据已知判断化简结果的符号即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，即原式的值为负数． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．一个水池装水，如果每小时排水量为，那么将水池中的水排完所需的时间（小时）与之间的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】根据总排水量等于每小时排水量乘以排水时间，结合总排水量等于水池原有水量，建立等式推导函数表达式； 【详解】解：∵水池总水量为，每小时排水量为，排水时间为小时，总排水量等于每小时排水量乘以排水时间，且排完全部水时总排水量等于总水量， ∴，整理得，其中排水量． 14．对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【答案】 【分析】将已知的值代入反比例函数解析式，计算得到的值． 【详解】解：把代入，得． 15．已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 16．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 【答案】， 或， 【分析】利用交点联立方程，求出的值，即可求出两个交点的坐标． 【详解】解：联立方程组： 将①代入②， 两边同乘得，， 去括号得， 移项得，， 系数化为1得，， 因式分解：， 解得：或． 当时， 当时， ∴， 或，． 17．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 18．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数 的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 20．（6分）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【答案】(1) (2)至少为 【分析】（1）直接由圆锥体积公式求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为； （2）解：把代入可得， 解得（）， 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为． 21．（8分）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）先完成表格，再描点、连线即可； （3）结合图象即可得到y的最大值． 【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）略 （3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当时，． 22．（8分）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)小时 (3) 【分析】（）利用待定系数法求出函数的解析式，再根据题意求出自变量取值范围即可； （）分别求出段和段温度为的时刻，再相减即可； （）求出温度不低于的时间，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设双曲线的函数解析式为， 将代入，得， ∴， 当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为 时刻为时， 令， 解得， ∴段温度为 的时刻为时， ∵（小时）， ∴大棚在时内，温度不低于 的时长为小时； （3）解：由题意知，日出时间为时，大棚气温是，符合要求， 由（）得，时后，大棚气温低于 ， ∴符合要求的时间只有（小时）， ∴至少需要推迟（小时）． 23．（8分）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到 ，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 24．（8分）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的． (1)王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表． 每分钟漏沙的体积/ 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有______立方厘米的沙子． ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成______比例关系． ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏______立方厘米的沙子． (2)如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)①13.5立方厘米；②反比例；③6.75立方厘米 (2)3.14立方厘米 【分析】（1）①先选取表格中一组每分钟漏沙体积与对应时间，二者相乘求出沙子总体积即可； ②先判断，再根据反比例定义判定比例关系即可； ③先利用①求出的沙子总体积，再用总体积除以规定时间2分钟，算出每分钟漏沙体积即可； （2）先确定上部剩余沙子为小圆锥，找出底面直径、高，再代入圆锥体积公式计算即可． 【详解】（1）解：①（立方厘米）， 这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子． ②∵，乘积一定， ∴在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系． ③（立方厘米）， 如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏6.75立方厘米的沙子． （2）解：（立方厘米）， 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米． 25．（10分）综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【答案】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 26．（12分）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A B D C D C C A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. 15. 16. ， 或， 17. 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，（2分） ∴这个反比例函数的表达式为；（3分） （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上；（5分） 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上．（6分） 20.【详解】（1）解：由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为；（2分） （2）解：把代入可得， 解得（），（4分） 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为．（6分） 21.【详解】（1）解：∵y是x的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为；（2分） (2) （4分） （3）解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当时，．（6分） 22.【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴线段的函数解析式为，（1分） 设双曲线的函数解析式为， 将代入，得， ∴，（2分） 当时，， ， 段的函数解析式为；（3分） （2）解：令， 解得，（5分） 段温度为 时刻为时， 令， 解得，（6分） ∴段温度为 的时刻为时， ∵（小时）， ∴大棚在时内，温度不低于 的时长为小时；（6分） （3）解：由题意知，日出时间为时，大棚气温是，符合要求， 由（）得，时后，大棚气温低于 ， ∴符合要求的时间只有（小时）， ∴至少需要推迟（小时）．（8分） 23.【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴，（1分） 把代入得到，解得；（2分） （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴，（3分） ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为；（5分） （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或．（8分） 24.【详解】（1）解：①（立方厘米）， 这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子．（1分） ②∵，乘积一定， ∴在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系．（2分） ③（立方厘米）， 如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏6.75立方厘米的沙子．（5分） （2）解：（立方厘米）， 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米．（8分） 25.【详解】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；    （2分）     ②当时，， 即，说明随的增大而增大．（4分） (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，    （5分）      因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”．（10分） 26.【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，，（1分） ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，（3分） ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴；（4分） （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，（5分） ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为；（6分） 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为；（7分） 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或；（8分） (3)不变，的定值为（9分） 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 3．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 6．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 7．潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 8．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．一个水池装水，如果每小时排水量为，那么将水池中的水排完所需的时间（小时）与之间的函数表达式为_________． 14．对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 15．已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 16．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 17．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 18．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 20．（6分）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 21．（8分）已知y是x的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； x 1 2 3 6 … y … (3)当时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为___________． 22．（8分）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 23．（8分）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 24．（8分）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的． (1)王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表． 每分钟漏沙的体积/ 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有______立方厘米的沙子． ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成______比例关系． ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏______立方厘米的沙子． (2)如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 25．（10分）综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 26．（12分）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $