第31章 圆（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）九年级下册

第31章 圆 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰．经检测，挂饰的三条线段满足，且工匠在边角处清晰刻下了，为完整复原这枚挂饰的形制，考古人员需要计算出的度数．根据所学几何知识，点，，在以点为圆心的同一个圆上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 3．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 7．如图，四边形内接于，为直径，点C是的中点，连接．若，则的度数为________． 8．如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为________． 9．如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ________．（用含的式子表示） 10．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 11．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则________． 12．如图，是的外接圆，为，连接，，，若，，则弧的长是 ________（结果保留）． 13．如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为________． 14．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为________． 15．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为________． 16．如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 17．点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时，________； （2）如图2，当时，________． 18．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19．（11分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为________； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 20．（11分）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． （1）【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （3）【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 21．（11分）已知等边三角形边长为6，点P为平面内一点，连接． （1）如图1．若点P在内部，，请作出的外接圆，并找出圆心O． （2）如图1，求证：为的切线． （3）如图2，若点P在内部，以边作等边三角形，若，求的最小值． 22．（11分）已知，． （1）求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若为，为，求的半径． 23．（11分）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． （1）求证：； （2）若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 24．（11分）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． （1）求的长； （2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 25．（12分）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：是切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31章 圆 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰．经检测，挂饰的三条线段满足，且工匠在边角处清晰刻下了，为完整复原这枚挂饰的形制，考古人员需要计算出的度数．根据所学几何知识，点，，在以点为圆心的同一个圆上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得点，，在以点为圆心的同一个圆上，然后通过圆周角定理即可求解． 【解析】如图， ∵， ∴点，，在以点为圆心的同一个圆上， ∴， ∴， ∴的度数为．故选B． 2．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【解析】如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 3．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【解析】连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解析】∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选D． 5．在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题根据圆周角定理确定“好点”的轨迹是两段圆弧，再分别验证三个结论即可．用到圆周角定理、两点坐标距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程、扇形面积公式等初中知识点，根据相关知识进行求解即可． 【解析】已知，则，， 根据圆周角定理，满足的点的轨迹是两段圆弧，如图： ①圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故是“好点”，①正确； ②圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故也是“好点”，又， ∴满足的点的轨迹是两段圆弧（实线部分），所有“好点”围成的区域是两个弓形的面积和， 对任意一个弓形，对应扇形圆心角为，扇形面积为， 面积为， 总面积为，故②正确； ③设点C坐标为，则，则， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切； 由得， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切， 如图，当和时，直线与满足的点的两段圆弧相切， 由图知，当时，直线上不存在“好点”， 故当且时，直线上不一定有两个“好点”，故③错误． 综上，①②正确，答案选A． 6．如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据圆周角定理判断出点在以为直径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可得． 【解析】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以为直径的圆上， ∴所对的圆心角的度数是， 故选C． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 7．如图，四边形内接于，为直径，点C是的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】（或110度） 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题关键； 根据圆周角定理得出，，然后求出，再根据圆内接四边形的性质得出，即可求出答案． 【解析】点C是的中点， ， 为的直径， ， 四边形内接于， ， ． 故答案为． 8．如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到的度数，从而求出的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【解析】如图，连接． ∵， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 9．如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ________．（用含的式子表示） 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【解析】∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为米． 10．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案． 【解析】如图所示，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则________． 【答案】50 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【解析】连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为50． 12．如图，是的外接圆，为，连接，，，若，，则弧的长是 ________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，求得，过作，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【解析】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长是， 答案为：．故答案为$\frac{4\sqrt{3}\pi }{3}$． 13．如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为________． 【答案】，或 【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意得出，半径，分三种情况：作轴于点交于，此时；作轴于，交于，此时；作交轴于，交于，此时；分别利用相似三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【解析】点和点，是的一条直径， （3），，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， （3），， ， （3）； 作轴于，交于，则，， ， （3），， ， （2）； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， （3），， ，， （1）； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为，或． 14．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为________． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【解析】点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为或者． 15．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理得到． 【解析】连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为． 16．如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 【答案】（或37度） 【分析】先设，，根据同弧所对的圆周角相等，推出，，根据三角形的内角和定理得到，再根据四点共圆得到，，通过计算可推出，最后根据，列出方程计算即可． 【解析】设，， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴．故答案为（或37度）． 17．点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时，________； （2）如图2，当时，________． 【答案】 【分析】（1）利用含度角的直角三角形的性质求出长，然后根据垂径定理，利用证明，得到解题即可； （2）连接，，过作交延长线于，过作于，则，先根据已知求得，分别证明、是等腰直角三角形，得到 ，利用勾股定理分别求解得到，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：在图1中，∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为； （2）解：如图，连接，，过作交延长线于，过作于，则， ∵，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，， 由勾股定理得 解得(负值舍去) ， 则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，，由勾股定理得， 解得(负值舍去)， 则， 在中， ， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的基本性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造等腰直角三角形求解是解答的关键． 18．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【解析】如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19．（11分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为________； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】（1） （2）在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【解析】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    （2）． （2），，， ，， ， 点在的外部． 20．（11分）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． （1）【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （3）【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 【答案】（1） 如图圆心即为所求： （2） 如图： 即为所求作的圆心； （3） 如图： 即为所求作的圆心， 【分析】（1）以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心； （2）方法同（1）； （3）连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心即可得到结论． 本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：拓展探究： 如图： 即为所求作的圆心， 理由：连接，，， ，的垂直平分线交于， ，， ， 点是点，，三点所在的圆心． 21．（11分）已知等边三角形边长为6，点P为平面内一点，连接． （1）如图1．若点P在内部，，请作出的外接圆，并找出圆心O． （2）如图1，求证：为的切线． （3）如图2，若点P在内部，以边作等边三角形，若，求的最小值． 【答案】（1） 如图， （2） 证明：连接并延长，交于点M，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵为圆的直径， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为的切线． （3） 【分析】（1）利用三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点的性质解答即可； （2）连接并延长，交于点M，连接，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，利用等边三角形的性质和三角形的面积公式分别求得三个三角形的面积，利用已知条件化简得到，则为直角三角形，，利用点的轨迹的性质得到点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，当三点共线时的值最小，即可得出结论． 【解析】（1）解：1．作的垂直平分线， 2．作的垂直平分线，与交于点O， 3．以点O为圆心，以为半径画圆O， 则为的外接圆，点O为圆心； （2）略 （3）解：过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， ∴点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，如图， 当三点共线时的值最小， 由题意得：， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 22．（11分）已知，． （1）求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若为，为，求的半径． 【答案】（1） 如图所示： （2）的半径为5． 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键． （1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可； （2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值． 【解析】（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． 23．（11分）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． （1）求证：； （2）若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； （2）①；②30 【分析】（1）由菱形的性质及，利用边角边即可证明； （2）①连接交于点，过作于点，由菱形的性质及正弦函数关系可求得；由，得，由正弦函数关系求得，此即平行线与之间的距离； ②由题意知，是锐角三角形；当时，；当时，，从而得，即得，，最后求得的值． 【解析】（1）略 （2）解：①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形外心，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 24．（11分）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． （1）求的长； （2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 直线与相交，理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相交． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． （ ）连接并延长交于点，连接，由可得，进而得，，利用勾股定理得，得到，再由勾股定理即可得到的长； （ ）直线与相交．过点作于，由三角函数得，得到，进而得，再根据三角形的面积得，即可求证． 【解析】（1）解：连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）略 25．（12分）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：是切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； （2） （3） 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【解析】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $