练考点47等差、等比数列的综合应用（讲义）-2027届高考数学一轮复习

黄金考点47  等差、等比数列的综合应用 1．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 3．若构成等差数列，公差，且其中三项构成等比数列，设，则下列说法正确的是（    ） A．一定大于0 B．可能构成等比数列 C．若，则为5的倍数 D． 4．已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则为等比数列 C．若，则，，成等差数列 D．若，则为等比数列 5．已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（     ） A． B．数列是等差数列 C． D． 6．等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则_____． 7．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 8．设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． （2026·上海·高考真题） 9．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 （2017·北京·高考真题） 10．若等差数列和等比数列满足，，则_______. （2023·北京·高考真题） 11．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． （2022·天津·高考真题） 12．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． （2026·江苏南京·模拟预测） 13．记为等比数列的前项和，为的公比且．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 （2026·广西河池·三模） 14．已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（     ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 （2026·陕西咸阳·三模） 15．记为等差数列的前项和，为的公差，若成公比不为的等比数列，且，则（   ） A． B． C． D． （2026·江西南昌·模拟预测） 16．已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. （2026高三·全国·专题练习） 17．设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． （2026·海南三亚·一模） 18．已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． （2026·陕西咸阳·二模） 19．已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． （2026·江西吉安·模拟预测） 20．已知数列中，， . (1)如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (2)记，若恒成立，求实数的最大值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点47 等差、等比数列的综合应用 【练】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 2．C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 3．C 【分析】特殊值法判断A，根据等差数列通项公式计算求解并结合已知判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，D. 【详解】对于A，取，则为等比数列，，故A错误； 对于B， 若构成等比数列，则， 与公差且矛盾，故B错误； 对于C，若，则为5的倍数，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：C. 4．ABC 【分析】将代入，可得，从而得，即可判断Ａ；将代入，得，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得，分别求出，，的值，根据等差数列的定义判断C；将代入，求得，进而得，再根据等比数列的定义判断D． 【详解】对于A，当时，则，所以， 所以数列是每项均为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B可知当时，，所以， 所以，，， 所以，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，当时，则，所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，所以， 所以，此结果与有关，不是常数， 所以不是等比数列，故D错误． 5．BCD 【分析】利用退一相减法及等比数列定义可求，即可判断A选项，再根据等差数列的定义判断B选项；利用作差法比大小可判断C选项，构造数列满足，计算数列的前项和，可判断D选项. 【详解】由，可得时，①， 当时，，两式相减，可得， 即，因数列为等比数列， 故公比为，由①可得，解得， 故，故A错误； 又因，， 所以，即数列是等差数列，故B正确； 又，即，故C正确； 因，设， 则的前项和为， 所以，故D正确. 6．62 【分析】根据等差中项的性质以及等比数列的通项，建立方程，结合等比数列求和公式，可得答案. 【详解】因为，成等差数列， 所以，则，解得， 则. 故答案为：62. 7． 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 8．(1)，； (2) 【分析】（1）设出公差和公比，由题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）分组求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法求和，得到答案. 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 9．C 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 10． 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值. 【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则， 求得，，那么，故答案为. 【考点】等差数列和等比数列 【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 11． 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 12．(1) (2) 因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）略 （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 13．ABC 【详解】由题意可知， ∴，整理得，解得或， ∵，∴，A选项正确 ∴，∴，∴， ∴，∴数列是等比数列，B选项正确； ，C选项正确； ，∴，∴数列是公差为的等差数列，D选项错误. 14．AC 【分析】根据题意，结合数列通项公式和相关定义、公式逐项分析即可. 【详解】对于A，由得，，则为常数，故是首项为、公比为的等比数列，故A正确； 对于B，数列是首项、公比的等比数列，前项和，故B错误； 对于C，由于，，， 所以，， 因为，公比为常数，因此，，是等比数列，故C正确； 对于D，假设存在连续三项成等差数列，则，代入通项得，化简得，与矛盾， 因此不存在这样的连续三项，故D错误. 15．ABD 【分析】（1）根据条件，直接求出，进而可得，即可判断A和B的正误；对C，通过作差法，即可求解；对D，根据条件得时，，再由进行放缩、裂项求和，即可求解. 【详解】因为成公比不为的等比数列，则， 又，则，解得，故A正确， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，因为， 则，所以，故C错误， 对于D，由选项C知，当时，， 所以，故D正确. 16．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式求出，再结合等差数列的函数特性可得，进而求解即可； （2）根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即， 则，即. （2）由， 则， 两式相减得，， 则. 17．(1) (2)4 【详解】（1）由题意可设， ， ，， 又， ， ，． （2）， ， ，即， 又，的最大值为4． 18．(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简求得，得到数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，求得，结合数列的单调性，即可证得. 【详解】（1）解：因为，两边同时取倒数得，即， 又因为，可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知：，可得， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以， 因为，所以为递增数列， 则， 又因为，所以，所以. 20．(1) (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用梯形的面积公式及错位相减法求和即得. （2）由（1）求出并等价变形不等式，再确定数列单调性求解. 【详解】（1）数列中，由，得，则数列是首项为， 公差为1的等差数列，，因此，， ， 过向轴作垂线，垂足分别为， 记梯形的面积为，则， 因此， 于是， 两式相减得，则， 所以由该折线与直线所围成的区域的面积. （2）由（1）知，则， ， 不等式恒成立， 而数列都是递增数列，则数列是递增数列， 当时，，因此，解得， 所以的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄金考点47  等差、等比数列的综合应用 【2025·全国一卷·第16题】设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 高考新趋势 1. 回归概念证明：加大等差、等比证明题考查比重，要求严谨书写定义式，弱化复杂递推花式构造. 2. 双数列综合常态化：一个等差、一个等比组合框架仍是解答题首选命题素材，设问会更加灵活. 3. 求和方法稳中有变：错位相减热度略降，裂项相消、奇偶分段求和考查频次上升，经常嵌套等差等比背景. 4. 跨模块浅度交汇：数列和不等式、简易函数单调性进行小综合，一般只停留在利用单调性求最值，不深度嫁接导数难题. 5. 开放性设问持续渗透：条件选择、是否存在型问题会间歇性出现，重点考查逻辑推理，不追求复杂计算. 6. 难度整体保持中档：新高考数列大题整体不会设置成整张试卷最难一题，核心是基础综合能力，抓好主干题型就可以拿到绝大多数分数. 命题分析 1.情境创设：纯数学情境，以等比数列的递推关系为背景，第（1）问考查等差数列的基本性质，利用题设条件，结合多种思路均可证明数列为等差数列，并得到其通项公式，为理解并解答第（2）问奠定基础．第（2）问以多项式函数为载体，考查差比数列的求和，解题的关键是首先将问题转化为求差比数列的和，然后利用基本的通性通法解答. 2.问题设计：试题以证明数列是等差数列作为起始，而不是求数列或的通项公式，这在很大程度上降低了试题的起始难度．试题设计巧妙，从易到难，分层递进，相互关联．通过数列引入多项式函数，进而利用其导函数构建差比数列，突出了对数列基本内容和数学转化思想的考查． 3.考查目标：试题考查等差数列的概念与性质、数列的递推关系、差比数列的前项和以及多项式函数的求导；考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力和创新应用等能力，以及灵活应用所学知识分析问题、解决问题的能力；考查了化归思想． 知识总结 ①核心概念：等差数列的基本性质、差比数列的求和、导数计算． ②解题要点：解题的关键是首先将问题转化为求差比数列的和，然后利用基本的通性通法解答． ③拓展关联：等比数列与等差数列是数列的基础模型，在包括物理学、化学、生物学、工程学和经济学等在内的众多领域都有广泛而重要的应用．本题将等差数列与多项式函数有机结合，聚焦差比数列的求和，创新设问方式. 分步解析 （1）第一步：变换递推关系、应用等差数列的定义 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2） 第二步：确定数列的通项公式 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 第三步：导数计算、建立方程组 在中， ， ∴， 第四步：应用错位相减法求 当且时， ∴， ∴ 第五步：求 ∴ . 考情维度 2027命题预判 分值位置 选择、填空题，5分，大题的话13-17分 核心考点 通项公式、求和公式、等比数列性质 命题特点 1.位置稳定、难度分层：数列大题常规处在解答题前半段，中档难度，以两小问梯度设问：第一问等差等比通项证明与求解（送分），第二问求和或衍生综合问题（拉开差距）；小题一般靠前，属于基础题. 2. 重定义本质，弱化偏难怪技巧：近几年明显趋势：直接套公式的裸考减少，转向证明一个数列为等差 / 等比，要求严格使用定义、中项法证明，重视逻辑书写. 3. 双数列混搭成为主流载体：单独纯等差或者纯等比大题占比下降， 等差、等比双数列框架已经成为最常见大题背景. 4. 创新点集中在设问方式，主干知识点不变：结构不良、情境化、开放性设问不断出现，但底层模型仍然是等差等比基本公式与性质，不会脱离教材主干知识超纲. 备考策略 （1）熟记等差、等比两套公式：通项公式、前n项和，把基本量解方程组训练成肌肉记忆，强制训练q=1分类讨论习惯；（2）专项突破：与转化、常见 4 类构造等差、等比的方法； （3）对四大求和方法强化训练：分组、裂项、错位相减、奇偶并项，整理规范答题步骤模板，尤其错位相减，严控计算失误. 考法一 等差、等比数列基本量运算（） 【十年真题*精选】 真题1-1（2017·全国III卷·高考真题） 1．等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（   ） A． B． C．3 D．8 真题1-2（2020·江苏·高考真题） 2．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______． 真题1-3（2019·全国II卷·高考真题） 3．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. (1)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式. 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2017·全国III卷 等差数列通项、求和、等比中项 1.根据等差数列中的项、和等具有等比数列特征，利用等比数列的通项公式、求和公式、性质等，列出关于等差数列中有关元素的方程组，进一步求解. 2.涉及数列的求和问题，除利用等差数列、等比数列求和公式外，往往要利用“数列求和”的多种方法，应予注意. 3.易错点：等比数列公比的遗漏讨论；多解取舍（正项数列、各项为正数）；下标看错. 2020·江苏 等差、等比数列求和公式 2019·全国Ⅱ卷 等差、等比数列定义、通项公式 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026·湖南长沙·三模） 4．公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 模拟1-2（2025·河南信阳·模拟预测） 5．已知等比数列的公比，前项和为，若，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（2024上·北京·高三阶段练习） 6．设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则（    ） A．3 B． C． D．2 考法二  等差、等比数列和的问题 【十年真题*精选】 真题2-1（2016·全国I卷·高考真题） 7．已知是公差为3的等差数列，数列满足． （Ⅰ）求的通项公式；     （Ⅱ）求的前n项和． 真题2-2（2017·全国II卷·高考真题） 8．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 真题2-3（2017·全国I卷·高考真题） 9．记为等比数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并判断是否成等差数列． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2016·全国I卷 等比数列求和、等差数列通项 1.使用等比数列求和公式时，注意分类讨论的思想：当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1； 当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 2.等差等比背景下的复合数列求和： （1）等差 × 等比 →错位相减 （2）等差通项取倒数 →裂项相消 （3） 一个等差一个等比直接相加 →分组求和 （4） 正负交替分段 →奇偶讨论求和 2017·全国II卷 等比、等比数列通项及求和 2017·全国I卷 等比数列通项及求和、等差中项、证明等差数列． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2026·北京丰台·三模） 10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 模拟2-2（2025·山东泰安·模拟预测） 11．已知等差数列的公差为2，，，成等比数列，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 模拟2-3（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末） 12．在数列中，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 考法三  等差、等比双数列问题 【十年真题*精选】 真题3-1（2026·天津·高考真题） 13．已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 真题3-2（2020·全国III卷·高考真题） 14．设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 真题3-3（2019·全国II卷·高考真题） 15．已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2023·天津 等比数列定义、通项、关系 1.证明等比数列的常用方法： （1）定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. （2）等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列. （3）通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 （4）前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 2.递推、与关系式，构造新等比数列求通项；必须写明非零条件，缺少会扣分. 2018·全国I卷 等比数列定义、通项、求和、关系 2018·全国I卷 等比数列的证明、通项 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2026·宁夏银川·模拟预测） 16．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 模拟3-2（2025·贵州黔东南·三模） 17．已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 模拟3-3（24-25高三上·江苏苏州·期中） 18．已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列前项的和． 考法一  等差、等比数列与最值、不等式问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2018·江苏·高考真题） 19．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 真题1-2（2019·浙江·高考真题） 20．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对任意成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记 证明： 真题1-3（2022·全国·统考高考真题） 21．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解题规律*总结】 1.求出通项、前n项和之后，附加不等式：求的最值、恒成立求参数、放缩证明和小于常数. 2.等比数列与不等式综合（放缩、范围）命题特点：利用等比前n项和进行简单放缩，证明数列不等式；多出现在解答最后一小问，区分度高. 3.等差数列根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；根据邻项变号法求最值，有时计算量小． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（26-27高三上·江苏泰州·开学考试） 22．等差数列前项和，对且，设，存在，使得．则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，___________． 模拟1-2（2025·山东泰安·模拟预测） 23．公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（24-25高三上·北京·阶段检测） 24．已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 预测角度 预测缘由 试题指引 备考提醒 等差、等比数列基本量计算 考查基础 如押题第1题 1.等比数列必须有意识讨论公比，等比求和公式适用前提，题干没有说明、各项不为常数时，优先检验常数列是否符合题意.2. 注意等差、等比中项的双向限制 （1）等差中项：无正负限制； （2） 等比中项： 三数成等比；必须附加均不为0，题干出现正项数列、各项为正数，是非常关键的限制性条件，用来舍去负根. 3. 与转换严格守住分界点n=1；由递推构造出新等差 / 等比数列后，一定要回代验证首项是否满足通项，很多学生默认直接成立. 4. 双数列综合问题，注意分清谁是等差、谁是等比，双数列大题等差，等比是主流，做题第一时间圈出来，切忌两个数列性质混用. 5.看清下标，下标数字看错是考场头号失分元凶，尤其下标含有参数时. 6. 留意隐性限制词：正项数列、递增、递减、各项为实数、这些条件往往用来舍去增根、锁定公差、公比符号. 等差、等比数列基本量计算 考查基础 如押题第2题 等差、等比数列基本量计算、等差和的最值 考查基础 如押题第3题 等差、等比数列基本量计算、等比和的最值 考查基础 如押题第4题 等差、等比双数列存在性问题 考查基础、体现融合 如押题第5题 （押题1:等差、等比数列基本量计算） 25．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 （押题2:等差、等比数列基本量计算） 26．若等差数列的公差，等比数列的公比，且，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 （押题3:等差、等比数列基本量计算、等差和的最值） 27．公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． （押题4:等差、等比数列基本量计算、等比和的最值） 28．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．85 D．86 （押题5:等差、等比双数列存在性问题） 29．已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明是等差数列； (2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点47 等差、等比数列的综合应用 【讲】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．A 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 2． 【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意. 等差数列的前项和公式为， 等比数列的前项和公式为， 依题意，即， 通过对比系数可知，故. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题. 3．(1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)，． 【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列； (2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）由(1)可知，，， 所以，． 【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 4．A 【分析】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【详解】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 5．C 【分析】根据题意求得等比数列的首项和公比，即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由题意可得， 所以. 故选：C 6．B 【分析】根据题意可得，运算可得，再根据等差数列通项可求得得解. 【详解】设等差数列的公差为，，由题意可得， 即，解得，又， ，则，， . 故选：B. 7．(Ⅰ)； (Ⅱ) 【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求； （Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求. 试题解析：（Ⅰ）由已知，得， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）和 得， 因此是首项为1，公比为的等比数列. 记的前项和为， 则 【考点】等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 8．（1）；（2）5或. 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出. 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即. （1）∵，结合得， ∴. （2）∵，解得或3， 当时，，此时； 当时，，此时. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 9．(1)； (2)；成等差数列. 【分析】（1）由等比数列通项公式解得，即可求解； （2）利用等差中项证明成等差数列． 【详解】（1）设的公比为.因为，，得， 两式相比得，即，解得，. 故的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以，. 所以 ， 即，故，，成等差数列. 10．C 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得： ， 由于，整理得： 解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 11．A 【分析】根据等差数列的通项公式表示出，，，再结合等比中项的性质列出关于首项的方程，求出首项，最后根据等差数列的前项和公式求出的前项和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，可得，，. 因为，，成等比数列，所以，即. 展开等式左边可得，展开等式右边可得. 则，可得，解得. 根据等差数列的前项和公式，将，代入可得： . 的前项和为. 故选：A. 12．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的定义及等比中项的性质可得结果； （2）根据裂项相消求和法可得结果. 【详解】（1）由，即，可知数列是以1为公差的等差数列．           因为成等比数列，所以，所以，解得，                              所以， 故数列的通项公式为. （2），                则 所以数列的前n项和. 13．(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 14．（1）；（2）. 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 根据题意，有，解得， 所以； （2）令， 所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以， 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目. 15．（1）；（2）. 【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果； (2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为，，， 所以，解得(舍去)或， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，． (2)因为，所以，，， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，． 【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 17．(1), (2) 【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式. (2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和. 【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得 所以, 可知, 设等比数列的公比为,带入得,解得, 可知. （2）有第一问可知,,则. 分组得 计算, 计算 则. 18．(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等比数列， 则， 故； （2）由（1）可知， 故 则 故 故 则 19．27 【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 方法二：由题意结合列举法和二分法即可求解. 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】 设,则当时,,有,则. 设,则共有个数，即; 而,,则， 则的对应关系为： 1 3 2 3 36 2 10 4 5 60 3 30 7 9 108 4 94 12 17 204 5 318 21 33 396 6 1150 38 65 780 观察到,当时，，而时, , 根据指数函数的单调性,当时,,所以 只考虑 即时的情况即可. 则在时,存在使得, 则当时, , , 当时，,此时; 当时,则当时, ,即. ［方法二］：列举法＋二分法 与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑． 1个：； 2个：； 3个：； 4个：； 5个：； 6个：． 发现当时，发生变号，以下用二分法查找： ，所以所求n应在22~29之间． ，所以所求n应在25~29之间． ，，不符合条件；，，符合条件． 因为，而，所以 【点睛】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当时，不等式成立，再寻找时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦． 20．(1)，； (2)证明：结合（1）中的通项公式可得： ， 且， 则. 【分析】（1）首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式； （2）结合（1）的结果对数列进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】（1）设等差数列公差为，由题意可得 ，解得：， 则数列的通项公式为. 其前n项和. 成等比数列， 则， 即:， . （2）略 21．(1) 因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）略 （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 22．3 【分析】先根据求出数列的通项公式，进而写出的表达式，利用的条件可求出和的所有可能值，最后利用等比数列求和公式即可得到答案． 【详解】当时，， 又当时，，故通项为， 对，， 存在，使得，故是正偶数， 因此只能，此时，等比数列前三项和为， 综上，满足条件的仅有3，故前三项和取得最大值时． 23．D 【分析】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可. 【详解】设数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以， 解得， 所以， 故. 由，得，解得.   ∵，∴的最大值为. 故选：D. 24．64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 25．C 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 故选：C. 26．C 【分析】根据等差数列、等比数列的通项公式变形即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 由， 所以，即， 故选：C 27．D 【分析】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可. 【详解】设数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以， 解得， 所以， 故. 由，得，解得.   ∵，∴的最大值为. 故选：D. 28．C 【分析】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 又，，成等差数列，故即， 解得或（舍去），所以，， 因此． 故选：C 29．(1) 证明：因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，， 所以，满足， 所以数列的通项公式为，， 所以，， 所以是等差数列； (2)存在，. 【分析】(1)由数列的前n项和为，可求得，，再由等比数列的定义证明即可. (2)根据题意可求得，，代入中得，只需满足以即可，从而求解的值即可. 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 所以， 要使对一切正整数n都有成立． 即， 即， 所以，解得 . 故存在常数，当时，对一切正整数n都有成立. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $