5.1 等差、等比数列基本量的求解讲义-2027届高三数学一轮复习

第二编 · U5 数列 5.1等差、等比数列基本量 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 等差与等比是全部数列问题的两块地基，高考对它们的考查基本不考“会不会背公式”，而是给一组看上去不太够用的条件，考两件事：能不能把条件压成两个基本量（ 与 ，或 与 ），以及能不能先看脚标再决定要不要解方程。同一道五分小题，走方程组要算两分钟，走下标性质只要一行。 表 1: 高考数列基本量考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 新课标Ⅱ卷 12 只给 与 两项，求 （两个基本量定下整列，方程组） 2026 新课标Ⅱ卷 10 由 解出公比，再判断与 有关的四个命题（基本量、求和性质） 2026 新课标Ⅰ卷 7 以“一百零八塔”分 12 行为情境，按分段规则写出各项再两两分组（定义与建模） 2025 新课标Ⅰ卷 13 正项等比数列的前 4 项和与前 8 项和已知，反求公比（等长片段和、基本量） 2024 新课标Ⅱ卷 12 给出两组项的线性关系，求 （基本量方程组、下标和性质） 把这几年的题摆在一起看，有三条命题线索值得单独拎出来。第一条是“条件不够用”是常态：2026 年新课标Ⅱ卷第 12 题只给 与 ，两个数刚好定下 ，多一个条件都没有；2024 年新课标Ⅱ卷第 12 题给的是 与 两个关系，没有一项是单独已知的，只能整体换成 与 再解；2025 年新课标Ⅰ卷第 13 题只给两个和，问的却是公比，硬解 会绕远路。第二条是先认定义，再动笔算：2026 年新课标Ⅰ卷第 7 题把 12 行的塔数按“第 1 行 1 座、第 2 与第 3 行各 3 座、第 4 与第 5 行各 5 座、第 6 到第 12 行成等差”的规则给出，第一步不是列方程，而是照定义把 一一写出来；2026 年新课标Ⅱ卷第 10 题的四个选项全部绕着 转，而 只藏在一句 里，先把 解出来才有判断的资格。第三条是压轴也在考片段和：表 1 之外，2026 年新课标Ⅰ卷第 14 题给出“每 3 项一段的段和”，要求从中找出连续 9 项构成等比数列并求公比的最大值，关键动作仍是把片段切成等长小段、看段与段之间成什么关系，与本讲模型三完全同构。 还有一条趋势值得注意：等差、等比的小题越来越喜欢把下标写成一对能凑整的数（、、），一看脚标之和就能省掉一半运算，这正是本讲模型二要练的动作。 另一个信号是数列题整体往小题上收：2026 年两卷的解答题（第 15 至 19 题）里没有一道数列题，四道数列题全部落在单选、多选与填空，每题 5 到 6 分。小题的分值变少了，但对速度的要求变高了——基本量方程组若还要现场列、现场解，这一讲的分就丢在计算上，而不是丢在思路上。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 通项 等差 ；等比 （各项非零，） 会从任意一项出发写通项，不只从 出发 求和 等差 ；等比 时 ， 时 会按已知量挑形式，等比先判 基本量 等差由 五个量、两个公式相连；等比由 同理 会“知三求二”，把条件统一换成 与 （或 ） 下标性质 等差：；等比：； 会先验脚标和，再决定算不算 片段和 每 项一段：等差的 成等差；等比的同三段成等比，公比为 会把“前 、前 、前 项和”切成等长段 与 ；， 必须单独验证 会由 的解析式求通项并判断数列类型 中项 等差中项 ；等比中项 （须 ， 有正负两个值） 会设三数 与 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 数列的公式看着多，真正要记的是两个定义、两个求和式，外加一组“看脚标”的性质。这一节把每一条都翻译成一个具体动作——读到题面时手该往哪儿落。 （一）等差数列：定义是“差不变” 题面说 是等差数列，第一反应是把这句话写成对一切正整数 成立的恒等式 它的等价形式有三条：、（等差中项）、。三条的用处各不相同：第一条用来判定，第二条用来处理“三项关系”，第三条用来递推。 动作要领：凡是“证明某数列是等差数列”的题，只许用作差，且差必须算成一个与 无关的数。作差之后若还含 ，说明它不是等差数列，而不是说明你算错了。 （二）等比数列：定义是“比不变”，先查零 等比数列的定义写作 它有一个等差数列没有的前提：每一项都不能是 0。所以判定一个数列是不是等比数列，动作顺序是固定的——先看有没有零项，再作比。若用 验证，那只是必要条件，一项为零时该式恒成立却推不出等比。 作差与作比的选择 题面给的是相邻两项的差或线性递推 ，往等差方向想；给的是比或 ，往等比方向想。两者混用时先确认零项，再动笔。 （三）通项：不要总从首项出发 等差数列的通项有一个更好用的形式 即已知哪一项，就以哪一项为基准。等比同理：。题面只给 与 时，用 一步就能定 ，比列出两个关于 的方程快得多。这一条在解选择题与填空题时是省时的关键。 （四）前 n 项和：两套写法，按已知量挑 等差数列求和有两个式子，本质相同但适用情形不同： 等比数列求和必须分类： 后一种形式 在已知 时更省事，且它直接暴露了“等比求和里出现 ”这一结构。 （五）a 与 S 的互译：一个减法，一次验证 已知 求 ，动作只有两步，但第二步不能省： 求出来之后必须把 代回 得到的式子验一次：若吻合，通项统一写；若不吻合， 只能分段写，此时数列通常既不是等差也不是等比。最容易被忽略的是 带非零常数项的情形： 时， 给出 ，可 并不等于 2，只能分段写——这就是紧接着那两条判据里“常数项必须为 0”的由来。由此得到两条常用判据： 是等差数列 （常数项为 0）； 是等比数列（）（常数项与 的系数互为相反数）。两条判据都能反着用：已知 ，则公差是 、首项是 ；已知 ，则公比就是 ，首项为 ，不必再展开算一遍。反面例子也顺手记一个： 两种形式都不符合，，而 时 ，首项不落在规律里，故 不是等比数列。 五个基本量知三求二 等差数列里有 五个量，两个公式把它们连在一起，知道其中三个就能求其余两个。等比数列里是 ，同样知三求二。列方程组时优先消 ：两式相减往往比代入更快，因为 的次数只有一次。 （六）下标性质：先算脚标，再决定要不要解方程 若 （下标之和相等），则等差数列有 ，等比数列有 。特别地，，于是 第二条极好用：奇数项的和等于项数乘中间项。题面问 而只给你 ，或给你 ，都是这一条的直接应用。 把前 n 项和切成等长段 每 项求一次和，得到三段 、、。等差数列中这三段成等差，公差为 ；等比数列中这三段成等比，公比为 （要求段和不为 0）。题面只给“前 4 项和”“前 8 项和”却问公比时，走这条路比解方程组快得多。 （七）变号与最值：数列是函数，但自变量只取正整数 等差数列的通项 是关于 的一次函数（ 时），前 项和 是关于 的二次函数且常数项为 0。于是“ 何时最大”有两种等价做法：找最后一个非负项（解 且 ），或配二次函数看对称轴，取离对称轴最近的正整数。两种做法必须会互相检验，因为对称轴不是整数时，四舍五入的做法容易出错。 本讲的三句话 先看脚标能不能凑对，凑不动再去解方程组；等比一律先查零项与 ；由 求出的通项必验 。三句话覆盖本讲八成的题。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 本讲的分类依据是题面长什么样——给的是项还是和、下标能不能凑对、有没有出现“三个数”这种具体情境。情境一认出来，该用方程组还是用性质就已经定了。 拿到一道基本量的题，先问自己三句话。第一问：题面给的是项，还是前 项和？只给项的，多半在通项公式与下标性质里挑一条；给了 的，要么把和按等长切段，要么用作差把和翻成项，两条路的入口完全不同。 第二问：下标能不能凑对？把题面出现过的下标全部写下来加一加——4+10 与 6+8 都是 14，2+8 是 5 的两倍，10,20,30 成等间隔。凑上了，性质就在眼前，一个未知数都不用设；凑不上，才回头老老实实设 与 。 第三问：有没有“三个数”“依次加上”“插入一个数”这类自然语言？一旦出现，就是三数对称设法的信号：先设成 或 ，再列方程，未知数立刻少一个。 三问过完，模型也就定了。还要说明一句：模型之间并不互斥。例 3 的两个小问是同一组条件在等差与等比里的两种走向，例 5 既能走“找最后一个非负项”，也能走“配二次函数看对称轴”，两种做法都归在同一个模型下。分模型的意义不在归类本身，而在于让第一反应落在省运算的那条路上——会解方程组只是及格线，能看出不必解方程组才是这一讲要练的动作。 表 3: 数列基本量问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 知三求二 给两项（或一项加一个前 项和），问另一项或前 项和 全部换成 与 （），解二元方程组 例 1 二 · 脚标凑对 给的是几项相加，下标能凑成同一个和，如 先算脚标和，用 凑中项 例 2 三 · 等长分段 给前 项和与前 项和，问前 项和或公比 把和切成等长段，段和成等差或成等比 例 3 四 · 由和判型 题面直接给 的解析式（含 或 型） 作差求通项，回代验 ，再按定义判型 例 4 五 · 先正后负 首项为正、公差为负，问前多少项的和最大 找最后一个非负项，或配二次函数看对称轴 例 5 六 · 三数插入 “三个数成等差，改动后又成等比”这类具体数字情境 三数设 或 消元 例 6 （一）模型一：知三求二 识别标志是条件与结论都落在具体的项或和上，且下标之间看不出对称性。标准动作是把每一条条件都改写成只含 与 （或 ）的式子，联立解出这两个基本量，之后要求的量不过是再代一次。易错处有两个：一是把 的公式记成 （多写一个 ）；二是等比数列解出 后忘记负根。 （二）模型二：脚标凑对 识别标志是题面出现两项以上相加，把它们的下标写下来一加，和往往相等。标准动作是先算脚标和、找出“中间那一项”，用 （ 为偶数时）化简，再配合 直接出答案。易错处是把等差的“和下相等”与等比的“积相等”混用——同样是脚标和相等，等差给出的是 ，等比给出的是 。 （三）模型三：等长分段 识别标志是题面成对地出现前 项和、前 项和，问公比或问前 项和。标准动作是把和轴按每 项切一刀，得到三段，等差时三段成等差、等比时三段成等比（公比 ）。易错处是段和为 0 时仍写成等比：等比数列的每一项都非零，段和为零就不再有“公比”可言，必须回到基本量重算。 （四）模型四：由和判型 识别标志是题面直接给出 的解析式，问通项，或问“是不是等差（等比）数列”。标准动作是分两步作差：，，然后把 代回第二个式子验证。易错处正是省掉验证： 这类式子作差得到 ，但 不满足它，数列从第二项起才成等比，整体不是等比数列。 （五）模型五：先正后负 识别标志是首项为正、公差为负（或题面说数列递减），问前 项和的最大值，或问“ 最大能到哪个 ”。标准动作是找符号发生翻转的位置：解不等式组 且 ，得到的 就是使 最大的项数；若某一项恰为 0，则它与前一项的和相等，最大值对应两个 。易错处是把二次函数对称轴直接四舍五入而不比较两侧整数，或忘了 必须是正整数。 （六）模型六：三数插入 识别标志是题面用自然语言叙述几个具体的数：“三个数成等差数列”“依次加上某个数后成等比”“插入一个数使它们成等比”。标准动作是设元时让对称性替你消元：三数成等差设 （和已知时 立刻定出），三数成等比设 ；四数成等差设 。易错处是设成 导致方程变三元，以及漏解——对称设法下 （或 ）常有两个取值，两个都要检验是否满足“各项非零”。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 译成基本量 → 解方程（组） → 校验。第二步是把题面条件统一翻译成 与 （或 ）的式子，第四步专管四件事：等比的零项与 、由 求通项时 的验证、 必须取正整数、负根与增根的去留。 （一）模型一：知三求二 例题 1（模型一·一项与一个和定基本量） 记 为等差数列 的前 项和。已知 ，。 （1）求 的通项公式； （2）求 。 第 1 步 · 认模型：条件是一条关于项、一条关于和，下标 4 与 6 看不出对称关系，属于最典型的模型一——把两个条件都翻译成 与 。 第 2 步 · 译成基本量：由通项公式与前 项和公式， 第 3 步 · 解方程（组）：第二个方程两边同除以 3，得 。由第一个方程 ，代入： 从而 。于是 故 。 第 4 步 · 校验：回代验两条原始条件： ✓； ✓。再用另一套求和公式复核 ：，，与上面一致。，数列递增， 随 增大而增大，不存在符号翻转的问题。 解基本量方程组的两条省算路 一是先约公因数： 除以 3 后再联立，数字立刻变小。二是优先消 ：两个方程里 的系数不同，用 把方程写成只含 的形式常常更快，例如 这类以中间项为基准的改写。 （二）模型二：脚标凑对 例题 2（模型二·四项之和定中项） 记 为等差数列 的前 项和。已知 （1）求 ； （2）求 。 第 1 步 · 认模型：题面给的是四项相加，而这四项的下标 4,6,8,10 关于 7 对称（4+10=6+8=14），且要求的 的项数是奇数——模型二，先凑脚标，不解方程组。 第 2 步 · 译成基本量：这里“基本量”是中间项 而不是 与 。由 ， 第 3 步 · 解方程（组）：代入条件得 再由奇数项求和公式 ，取 即 ： 第 4 步 · 校验：用基本量复核第一条推导：， 被完全消掉，说明 由条件唯一确定，与公差无关； 同样与 无关。因此本题不需要求出 与 ，若硬设两个未知数，会发现方程不够——这正是模型二与模型一的区别。 等差与等比的下标性质别混用 脚标和相等时，等差数列给出项的和相等：；等比数列给出项的积相等：。两条形同实异，把等比的积关系用到等差上（或反之）是这一类题最常见的错因。 （三）模型三：等长分段 例题 3（模型三·同一条件在两种数列里） 记 为数列 的前 项和。已知 ，。 （1）若 是等差数列，求 ； （2）若 是等比数列，求 。 图 1: 把前 30 项按每 10 项切成等长三段 第 1 步 · 认模型：条件给的是 与 ，问的是 ，下标 10,20,30 成等长间隔——模型三，把和轴按每 10 项切一刀。 第 2 步 · 译成基本量：记三段之和 第 1 问里等差数列的三段成等差，第 2 问里等比数列的三段成等比（公比 ）。 第 3 步 · 解方程（组）： （1） 成等差，公差 ，故 ， （2） 成等比，公比 ，故 ， 第 4 步 · 校验：第（1）问回到基本量核算：，，联立解得 ，，于是 ✓。第（2）问要检查两件事：一是 （若 ，则 ，与条件矛盾，故分类讨论中的 一支应舍去）；二是三段 10,20,40 均不为 0，“段和成等比”的前提成立。 时 有正负两个取值，但 只依赖 ，两解结果相同。 段和为零时等比这一支失效 把 说成“成等比”，前提是段和不为 0。例如 、 时第二段为 0，此时不存在公比可言，必须回到 与 重算。等差一支没有这个限制，段和可以为 0。 （四）模型四：由和判型 例题 4（模型四·由前 n 项和解析式判型） 已知数列 的前 项和满足下列条件，分别求 的通项公式，并判断它是等差数列还是等比数列： （1）；（2）。 第 1 步 · 认模型：题面直接给出 的解析式，要求通项并判型——模型四。第（1）问是 的二次式，第（2）问含 ，分别指向等差与等比，但结论必须由作差与验证得出，不能由式子外形直接猜。 第 2 步 · 译成基本量：两条都用 第 3 步 · 解方程（组）： （1）。当 时 把 代入 得 3，与 相同，故对一切 有 。又 恒为常数，所以 是等差数列，首项为 3，公差为 2。 （2）。当 时 把 代入 得 2，与 相同，故 。各项均不为 0，且 恒为常数，所以 是等比数列，首项为 2，公比为 2。 第 4 步 · 校验：第（1）问回代求和： ✓。第（2）问回代求和： ✓。两问的 都已单独验证，这正是本题的关键一步——若把 拿来作同样的运算，会得到 而 ， 不吻合，数列不是等比数列。 由 S 的解析式直接判型的两条判据 是等差数列 ，即常数项必须为 0；（）是等比数列 ，即常数项与指数项系数互为相反数。两条判据都来自 的那次验证，用之前先检查式子是否满足这个结构。 （五）模型五：先正后负 例题 5（模型五·前 n 项和的最大值） 记 为等差数列 的前 项和。已知 ，，求 的最大值及此时 的值。 图 2: 等差数列的通项是直线上一串孤立点 第 1 步 · 认模型：首项为正、公差为负，数列单调递减，问的是 何时最大——模型五。要点是找到“ 由正转负”的位置。 第 2 步 · 译成基本量：， 第 3 步 · 解方程（组）： 做法一（找最后一个非负项）：令 故 时 ，而 ，所以加到第 8 项时和最大： 做法二（配二次函数）：，对称轴为 。 只能取正整数，比较对称轴两侧：，，故 时取最大值 136。 第 4 步 · 校验：两种做法结论一致。再检查边界：，说明第 8 项确实还在“加进去会变大”的一侧；，从第 9 项起越加越小。若题面改成 、，则 ，此时 ，最大值对应两个 ——这正是“某一项恰为 0”必须单独检查的原因。 对称轴不是整数时别只靠四舍五入 是关于 的二次函数，但自变量只取正整数。对称轴为 8.25 时取 没问题；一旦对称轴恰好在两个整数的正中间（如 8.5）， 与 相等，两个都是最大值。稳妥的做法是解 且 ，再顺手比较对称轴两侧的整数。 （六）模型六：三数插入 例题 6（模型六·三个数先等差后等比） 三个数成等差数列，它们的和为 9。若把这三个数依次加上 1，1，3，所得的三个数依次成等比数列，求原来的三个数。 第 1 步 · 认模型：题面是“三个数”的自然语言情境，且和已知——模型六。对称设法能让中间项立刻定出来，把三元降成二元。 第 2 步 · 译成基本量：设原来的三个数为 （和为 9 已自动满足，只剩一个未知数 ）。加上 1,1,3 后得到 第 3 步 · 解方程（组）：三数成等比，中间项的平方等于两端之积： 解得 或 。 时，原来的三个数为 1,3,5，所得三数为 2,4,8； 时，原来的三个数为 7,3,−1，所得三数为 8,4,2。 第 4 步 · 校验：逐一回代。1,3,5 是公差为 2 的等差数列，和为 9 ✓；2,4,8 中 ，且各项非零，是公比为 2 的等比数列 ✓。7,3,−1 是公差为 −4 的等差数列，和为 9 ✓；8,4,2 中 ，是公比为 的等比数列 ✓。两组都符合题意，都要保留。还要检查一处：等比中项式 是三数成等比的必要条件，只有当三数均不为 0 时才是充要的；把 代回，三数分别为 2,4,8 与 8,4,2，均非零，故两组解都成立。 故原来的三个数为 1,3,5 或 7,3,−1。 三数四数的对称设法 三数成等差：设 （和已知时 直接定出）；三数成等比：设 （积已知时 直接定出）。四数成等差：设 ，此时公差是 ，最后一步别记错。四数成等比且要求积时，同样按对称指设 一类形式，能省掉大量展开。 五、易错点辨析 本讲的失分点高度集中：公式记错一个系数、少讨论一种情形、少验一个 。下表六条按出现频率排列。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 等比求和直接套 该式分母含 ， 时无意义 先判 是否为 1： 时 ，含参题必须分两支讨论 由 求通项时只写 该式只在 成立， 并未定义 分两段求，再把 代回验证；不吻合就保留分段形式，并据此改判数列类型 见 就断定是等差数列 忘了常数项 时首项与通项对不上 等差数列的 必为 （）； 时从第二项起才等差 由 只写 开四次方丢负根，或漏掉“正项”这一限制 先写 ，再回看题面：各项为正舍 −2，未限制则两解都要保留 把等差的下标和性质用到等比上 两条性质形式相近：一个是和，一个是积 等差：；等比： 、 时仍说三段成等比 第二段为 0，等比数列各项（各段和）不能为 0 段和出现 0 时改回 与 直接算，并检查 是否使某些段为零 六、当堂检测 A 组对应六个模型的基本动作，限时 15 分钟；B 组是基本量方程组、片段和与含参讨论，限时 20 分钟；C 组是两道压轴小问，限时 20 分钟。 （一）A 组：基础过关 A1 在等差数列 中，，，求公差 与 。 A2 在等比数列 中，，，求公比 与首项 。 A3 记 为等差数列 的前 项和。若 ，求 。 A4 记 为等比数列 的前 项和。若 ，，求 。 （二）B 组：能力提升 B5 记 为等差数列 的前 项和。若 ，，求 。 B6 一个正项等比数列的前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，求该等比数列的公比。 B7 记 为等差数列 的前 项和。已知 ，公差 为整数，且 ，。求 ，并求 取得最大值时 的值。 B8 记 为各项均为正数的等比数列 的前 项和。已知 ，，求 。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知数列 满足 ，且 （1）证明：数列 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设 （ 为正整数），求 。 C10 已知等差数列 的首项 ，公差 ，且 是 与 的等比中项。 （1）求 的通项公式； （2）求使 成立的最小正整数 。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：，。 提示：，故 ，。求 时用跨项形式更省事：，不必再回到 。易错点：把 写成加 8 个公差，实际只差 8−4=4 个。 A2答案：，。 提示：，故 ，（实数范围内立方根唯一，不必讨论负根）。再由 得 。易错点：把 记成 ，下标差是 5−2=3。 A3答案：45。 提示：，故 ，；而 。本题不需要求 与 。易错点：把 写成 后试图另求 ，条件不够，反而算不出来。 A4答案：11。 提示：，用 。易错点：，分子是 1−(−32)=33；符号一错，答案变成 。可逐项相加复核：1−2+4−8+16=11。 （二）B 组 B5答案：95。 提示：把两条条件都换成 与 ： 第一式乘 2 得 ，与第二式相减得 ，，代回得 。于是 也可用下标性质走捷径： 与 的脚标和都是 7，故 ，与 相减得 ，即 ，，，结果一致。易错点： 的系数 3 只管第一项，展开时别写成 。 B6答案：2。 提示：按每 4 项切段，三段和 、、 成等比，公比为 。由前两段 实数范围内 ；数列各项为正， 时项会正负交替，故舍去 −2，。再由 可得 ，与“正项”一致。易错点：一是解 直接写 而不说明为何舍 −2；二是忘记先排除 （ 时 ）。 B7答案：， 时 最大，最大值为 87。 提示： 得 ； 得 。故 ，其中的整数只有 。于是 ，令 得 ，即 ，，故 时和最大，；用 复核一致。易错点：一是把“ 最大”当成“ 最大”，数列递减时 才是最大的项；二是解出 的范围后忘记 只能是整数，把 −5.4 或 −4.5 直接代成边界值。 B8答案：65。 提示：按每 4 项切段，三段和为 、、，它们成等比，公比 ，故第三段为 ， 本题不必求 与 （事实上 给出 ，正项数列舍负根）。易错点：把 直接当成第二段用，写成“5,20 成等比”，正确关系是 才是第二段。 （三）C 组 C9答案：（1），；（2）。 提示：（1）把递推式两边同乘 ，得 ，即 令 ，则 对一切 成立，且 ，故 是首项为 3、公差为 1 的等差数列，，于是 。证明题的这一步必须写出“差是与 无关的常数”这一句，只算出前几项不算证明。 （2），逐项求导并用 ： 故 。这是“等差乘等比”型数列的和式，用错位相减：记上式为 ，两边同乘 −2，得 两式相减，左边为 ，右边同一幂次上的系数恰好都差 1，于是 方括号内是 项的等比和，等于 ，代入并去分母得 ，即 用 验算： 时 ，公式给 ✓； 时 ，，公式给 ✓。易错点： 时方括号内一项也没有，错位相减后剩下的项数最容易多数或少数一项。 C10答案：（1）；（2）。 提示：（1）等比中项给出 ，即 由 得 ，故 。易错点：把 是 与 的等比中项写成 后，忘记 这一限制而保留 这支。 （2），即 。由 ，，得最小正整数 。易错点：解 得到 ，取 ；若把不等号方向或取整弄反，会误取 13。 学科网（北京）股份有限公司 $