第2讲等差数列与等比数列基础讲义-2027届高三数学一轮复习

等差数列与等比数列 基本量运算、判定与前 n 项和 基本量运算与判定 等差数列与等比数列的所有结论，归根到底都由两个量决定：首项，以及相邻两项之间的固定差（或固定比）。首项记为 ，公差记为 ，公比记为 。把这两个量求出来，通项、某一项、前 项和就都能写出来 ——这一步叫求基本量。 求基本量的路数只有一条：题目给什么条件，就把它写成关于 与 （或 与 ）的等式。给的是某两项，就用 展开；给的是某两段和，就用 展开。几个条件就列几个方程，解出来即可。等差数列的通项里 与 是一次的，所以条件再多也是线性方程组。 有一类条件不必展开就能用，靠的是下标之间的关系。等差数列里，下标之和相等的两项之和也相等： 时 。更一般地，下标成等差数列时，对应的项也成等差数列；反过来，几个项的下标能凑成等差，就能直接用首尾配对。识别出这种结构，往往比硬展开省一半的算式。 判断一个数列是不是等差数列，有三条路：相邻两项的差恒为常数（定义法）；中间一项的两倍等于它前后两项之和（中项法）；通项能写成关于 的一次式（通项法）。等比数列把「差」换成「比」照搬，只是公比不能为零，并且判断之前要先确认各项都不为零 —— 只要有一项为零，比值就无从谈起。这几条判定与求基本量的路数配合起来，本知识的题基本都能落地。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】已知首项，条件给的是 与 的和，问的是 。三者落在同一个等差数列上，把条件写成关于 与 的方程即可。 【关键】。代入 得 ，解得 。于是 。故选 B。 【易错】，若先求 再往回推，中间要多绕一步。首尾配对时中项的下标是两个下标的中点， 与 的中点是 ，写成 或 都会算错 。 【答案】B 变式1-1（单选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【切入点】首项没给，给的是 与 。用 可以把 挖出来，再由 与 定公差。 【关键】，得 。，即 ，。于是 。故选 A。 【易错】由 求出的是第 项，不是首项也不是公差。从 到 跨了两个公差单位，写成 会把公差放大一倍。 【答案】A 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知各项均为正数的等比数列，若，则公比 = （ ） A. B. 2 C. D. 4 【切入点】两个条件都含首项 ，把两式相除可以把 消掉，只剩关于 的方程。 【关键】，。两式相除得 ，左端化为 ，整理得 ，解得 或 。数列各项均为正数，故 ；又 而 ，所以 ，取 。故选 B。 【易错】 除以 之后剩下的是 ，约掉的是因式而不是幂次，写成 就整道做错。解出两支之后要回题检验：正项的条件排除负根，而 虽为正，却会让 ，也要剔除。 【答案】B 例2（单选·★★☆☆☆） 为等差数列的前项和。若，则公差 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】条件 里只有和，没有单独的项。把三个 都用 展开，首项会自己消掉，只剩下 。 【关键】，，。代入得 ，右端合并为 ，于是 ，，。故选 C。 【易错】 的表达式里 的系数是 、 的系数是 ，两处都容易少乘。更快的验算方式是看出 ，它与 之间相差 ，用片段和的眼光看，三个式子都落在下标 的整数倍上。 【答案】C 变式2-1（填空·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = ______． 【切入点】只给了 与 ，要求 。三段的长度都是 ，正好是片段和的结构，不必求出公比。 【关键】等比数列中，、、 依次成等比数列。已知 ，，设公比为 ，则 。于是 ，。故填 。 【易错】片段和成等比的前提是公比 。本题 ，条件满足，可以用这条性质。算的时候注意第三段是从 往后数的，最后要把 加回去才得到 。 【答案】 例3（单选·★★☆☆☆） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【切入点】条件 的两端都是和，直接展开会引出两个未知量。注意 可以用中间项表示：，这样两端就都归到「若干项之和」上。 【关键】，因为 。条件是 ，即 。三个下标之和等于被表示项下标的三倍，于是 ，得 。故选 B。 【易错】三数之和等于其中一项的三倍，条件是三项下标的平均数等于那一项的下标。这里被表示的是 ，所以下标的平均数是 ，三个下标之和为 。若只让 与 关于 对称，得到的是 ，三数之和成了 ，与题设的 差一项。 【答案】B 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 【切入点】条件把 与 、 连在一起。把 拆成 ，所有量都能用 与 表示，条件就变成一个方程。 【关键】设公比为 ，由 得 ，。 即 ，两边乘 得 ，整理为 ，解得 或 。数列为正项，故 ，A 项正确。 【关键】取 时 ，，各项随 增大而减小，C 项正确。，于是 ，D 项正确。数列各项虽逐渐趋近于 ，却永远取不到 ，也就没有最小项，B 项错误。故选 ACD。 【易错】B 项是这一族题里最典型的陷阱：单调递减的正项数列有下界，但没有最小项。把「趋近于 」当成「最小值为 」是常见误解。另外把 拆开时 应写成 ，方向用反会让 的两支互换。 【答案】ACD 前 项和与最值 前 项和是把前 项累加起来，等差与等比各有一条现成公式。等差数列有首尾配对的形式 ，也有只用基本量的形式 。两个形式等价，条件里给的是末项就用前者，给的是首项与公差就用后者。 后一个形式说明一件事：等差数列的前 项和是关于 的二次式，而且常数项必定为零。这条反过来也成立 —— 只要某个数列的前 项和能写成这种没有常数项的二次式，它一定是等差数列，二次项的系数是公差的一半。用它判断数列类型，比逐项作差快得多。 求 的最大值或最小值，有两条路。一条是配方：把 整理成完全平方加常数的样子，顶点的横坐标就是最值点的位置。注意 只能取正整数，顶点落在两个整数之间时，要把左右两个整数都代进去比一比。另一条是看正负项的转折：每往后加一项，只要这一项还是正的， 就继续增大；一旦某一项变成负的， 就开始回落。所以最值就出现在 变号的地方。 等号的情形要单独看。如果某一项恰好等于零，加它既不增也不减，于是相邻两个下标处取到同一个最值。题目问「取得最大值时的 」时，这样的两支都要写出来，只写一个就漏了。 等比数列求和的公式要分两种情况。公比为 时各项相同，此时 ；公比不为 时才用 。动笔之前先看一眼公比有没有可能是 ，这不只是套哪条公式的问题，也关系到后面能不能用片段和的性质。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 【切入点】问的是「使 最大的 」。 一直在增大，直到加进来的那一项变成负数。所以先由两个条件定出公差，再看通项在哪里变号。 【关键】，得 。，即 ，。于是 。，，，所以从第 项起 开始减小，而第 项为零不影响累加，。使 最大的 为 或 。故选 C。 【易错】第 项等于零是这道题的关键：它加进去既不增也不减，于是最大值在 与 两处同时取到。只答 会漏掉一支。另外由 求出的 是第 项，它与 之间隔着三个公差单位，写成 会把公差算错。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 【切入点】条件是一个比值小于 ，它同时告诉了两件事：两项异号，且分子的绝对值更大。首项是正数，所以前一项为正、后一项为负。 【关键】由 知两项异号。，而数列单调递减，故 ，并且由比值小于 得 ，即 。 【关键】判断 的符号用两条对称性：，。；；。所以使 的 的最小值为 。故选 C。 【易错】比值小于 与「异号」并不等价：异号只说明比值小于 ，小于 还额外要求分子的绝对值更大，这一步决定了 的符号。找符号变化的界时，用 与 两个公式交替试探，比把通项求和再解不等式快得多； 与 只差一项，必须逐个确认。 【答案】C 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前n项和为，且。当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【切入点】条件是三个 的大小关系。相邻两个 相减就得到一个或几个项，把「和的大小」翻译成「项的符号」。 【关键】 给出 。 给出 ，所以 。 给出 ，所以 。 【关键】于是 ， 在 处取得最大值，。再看 能撑到哪一项：，而 ，，所以 。。故选 B。 【易错】 展开成三项之和 ，不能只写成 之类 ——三段和给的是中间项的符号。求 时容易只算 就收工，忘了 也要核对；本题两者同为负，结论一致，但换一道题就可能只差这一项。 【答案】B 变式4-3（多选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为23 【切入点】条件 比较的是三段和，把相邻两段相减，得到的是第 、 项的符号。 【关键】 给出 ； 给出 。两者合起来得 ，于是公差 ，A 项正确。 【关键】 是关于 的一次式，公差为 ，与 的公差 不相等，B 项错误。由 知 在 处最大，C 项正确。再看符号：，而 ，所以使 的最小正整数 为 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项问的是两个公差是否相等， 的公差是原公差的一半，而 本身相邻两项之差是 ，不是常数；三个对象各有各的公差，别混为一谈。D 项里 是偶数项的和，要用 ； 是奇数项的和，用 。 【答案】ACD 例5（填空·★★☆☆☆） 已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 【切入点】首项没给，公差也没给，但两项的差可以定公差，再由公差回推首项。最值既可以看转折，也可以直接配方。 【关键】，故 。。于是 。求 ：。配方得 ，顶点正好落在 ，所以最大值为 。故填 。 【易错】 的二次项系数是负的，说明抛物线开口向下，顶点处取最大值而不是最小值。验证一下：、、， 之后再往后加就是负数了，与配方结果一致。 【答案】4 变式5-1（填空·★★★☆☆） 等比数列的前n项和为，若，，则 = ________． 【切入点】给的是 与前两项之和，两者相减正好得到第 、 项之和。而这两段之比就是公比的平方。 【关键】。等比数列中后一段是前一段的 倍：，即 ，。于是 ，。故填 。 【易错】每一次往后推一段，乘的是 而不是 ，因为一段里有两项。若用 公式去求，需要先解出 与 ，多两次运算；用「等长的两段之和成等比、公比为 」一步就够。 【答案】 例6（单选·★★★☆☆） 已知是首项为6的等差数列。当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「当且仅当 时取最大值」把最值点的位置钉死了：第 项还是正的，第 项已经是负的。除此之外不可能在别处取得最大值。 【关键】首项为 ，通项 。要让 成为最大值点，需要 而 ： 给出 ； 给出 。所以 的取值范围是 。故选 C。 【易错】题目的「当且仅当」把等号排除在外。假如 ，那么 ，最大值在 与 两处都取到，就不再是「当且仅当 」。所以两个不等式都必须严格： 与 ，端点一律不取。选项里专门给了两个带方括号的干扰项，就是用来检端点判断的。 【答案】C 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则 = （ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 【切入点】条件 里只出现和，首项为 。套公式之前必须先问一句：公比会不会等于 ？ 【关键】 时各项都是 ，，条件成立，此时 。 时 ，条件给出 ，即 。 给出 ，与前提矛盾，舍去； 给出 ，所以 。综上 或 。故选 B。 【易错】漏掉 这一支是这道题最常见的失分点：公比为 时求和公式的分母为零，不能直接套 ，只能单独算。本题两支都成立，答案必须把 与 都写进去。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列与等比数列 基本量运算、判定与前 n 项和 基本量运算与判定 等差数列与等比数列的所有结论，归根到底都由两个量决定：首项，以及相邻两项之间的固定差（或固定比）。首项记为 ，公差记为 ，公比记为 。把这两个量求出来，通项、某一项、前 项和就都能写出来 ——这一步叫求基本量。 求基本量的路数只有一条：题目给什么条件，就把它写成关于 与 （或 与 ）的等式。给的是某两项，就用 展开；给的是某两段和，就用 展开。几个条件就列几个方程，解出来即可。等差数列的通项里 与 是一次的，所以条件再多也是线性方程组。 有一类条件不必展开就能用，靠的是下标之间的关系。等差数列里，下标之和相等的两项之和也相等： 时 。更一般地，下标成等差数列时，对应的项也成等差数列；反过来，几个项的下标能凑成等差，就能直接用首尾配对。识别出这种结构，往往比硬展开省一半的算式。 判断一个数列是不是等差数列，有三条路：相邻两项的差恒为常数（定义法）；中间一项的两倍等于它前后两项之和（中项法）；通项能写成关于 的一次式（通项法）。等比数列把「差」换成「比」照搬，只是公比不能为零，并且判断之前要先确认各项都不为零 —— 只要有一项为零，比值就无从谈起。这几条判定与求基本量的路数配合起来，本知识的题基本都能落地。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 变式1-1（单选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知各项均为正数的等比数列，若，则公比 = （ ） A. B. 2 C. D. 4 例2（单选·★★☆☆☆） 为等差数列的前项和。若，则公差 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式2-1（填空·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = ______． 例3（单选·★★☆☆☆） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 前 项和与最值 前 项和是把前 项累加起来，等差与等比各有一条现成公式。等差数列有首尾配对的形式 ，也有只用基本量的形式 。两个形式等价，条件里给的是末项就用前者，给的是首项与公差就用后者。 后一个形式说明一件事：等差数列的前 项和是关于 的二次式，而且常数项必定为零。这条反过来也成立 —— 只要某个数列的前 项和能写成这种没有常数项的二次式，它一定是等差数列，二次项的系数是公差的一半。用它判断数列类型，比逐项作差快得多。 求 的最大值或最小值，有两条路。一条是配方：把 整理成完全平方加常数的样子，顶点的横坐标就是最值点的位置。注意 只能取正整数，顶点落在两个整数之间时，要把左右两个整数都代进去比一比。另一条是看正负项的转折：每往后加一项，只要这一项还是正的， 就继续增大；一旦某一项变成负的， 就开始回落。所以最值就出现在 变号的地方。 等号的情形要单独看。如果某一项恰好等于零，加它既不增也不减，于是相邻两个下标处取到同一个最值。题目问「取得最大值时的 」时，这样的两支都要写出来，只写一个就漏了。 等比数列求和的公式要分两种情况。公比为 时各项相同，此时 ；公比不为 时才用 。动笔之前先看一眼公比有没有可能是 ，这不只是套哪条公式的问题，也关系到后面能不能用片段和的性质。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前n项和为，且。当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 变式4-3（多选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为23 例5（填空·★★☆☆☆） 已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 变式5-1（填空·★★★☆☆） 等比数列的前n项和为，若，，则 = ________． 例6（单选·★★★☆☆） 已知是首项为6的等差数列。当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则 = （ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $