专题6.3 角（11题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.3角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01角的概念 知识点02角度制及其换算 知识点03钟表上有关夹角问题 知识点04方位角 2.知识清单 知识点05角平分线 知识点06角的运算 知识点07角的比较 知识点08余角、补角 题型01角的概念和表示 角 题型02角的单位与角度制 题型03钟面角 题型04与方位角有关的计算题 题型05角的比较 题型06三角板中角度计算问题 3.题型精讲 题型07角平分线的有关计算 题型08角n等分线的有关计算 题型09求一个角的余角 题型I10求一个角的补角 题型1与余角、补角有关的计算 基础自测 4.强化训练 能力提升 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学目标 教学重难点 1.理解角的概念（静态、动态）及平角、周角，掌握角的三种表示方法，会用量角器 度量角。 教学目标 2.理解角平分线与等份线的概念，掌握余角、补角的概念及性质。 3.能综合运用角的和差倍分、余补角性质进行角度计算与简单说理。 教学重点 1.角的概念与规范表示，角平分线的意义及几何表达式。 2.余角、补角的概念与性质（同角或等角的余角相等、补角相等）。 教学重难点 教学难点 1.度分秒六十进制换算及角平分线、n等份线的综合计算。 2.余补角性质在复杂图形中的识别与说理应用。 知识清单 知识点01角的概念 1.角的定义： (1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边.如图1所示，角的顶点是点O,边是射线OA、OB. A B (2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2 所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止 位置OB是角的终边. 注意：()两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关， (2)平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形 成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角. 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(B) 平角 周角 图1 图2 2角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法图示记法适用范围 ∠AOB任何情况都适 (1)用三个大 或用。表示顶点的 写字母表示 ∠B0A字母写在中间 以某一点为顶点 (2)用一个大 写宇母表示 <0 的角只有一个 时，可以用项点 表示角 (3)用阿拉 伯数字表示 1 任何情况都造用 (4)用希腊宇 母表示 ∠a 任何情况都适用 a 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字 母. 3.角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角. (2)用量角器可以画出任意给定度数的角、 (3)利用尺规作图可以画一个角等于己知角.。 【即学即练1-1】(26-27七年级上·全国课后作业)下列说法正确的是() A.由两条射线组成的图形叫作角 B.角的大小与角的两边长度有关 C.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.用放大镜看一个角，角的度数变大了 知识点02角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60为1分，记 1 作“1'”，1'的60为1秒，记作“1””.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 1周角=360°，1平角=180°，1°=60'，1′=60”. 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进 位 【即学即练2-1】(26-27七年级上·江西期中)计算：2716'+7244'=」 3/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转 30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 【即学即练3-1】(26-27七年级上·湖南长沙开学考试)在钟面上，当指针指示为8：20时，时针与分针所 组成的较小的夹角为， 度 知识点04方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60°：射线OB的 方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 必 609 东 南 注意：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示. (2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” (3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察 点的正东、正西、正南、正北的方向. (4)图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以0为端点. 【即学即练41】(26-27七年级上全国单元复习)如图，射线OA表示 方向，射线OB表示 方向. 北 A 65° 西 东 25% 南 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 1 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB 4/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 【即学即练51】(25-26六年级下·山东青岛期中)如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分 ∠AOB D C B (1)若∠BOC=20°，求∠BOD的度数： (2)若∠COD=12°，求∠AOB的度数. 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2. A -C 02 -B 注意：()用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）：②重合（一边与刻度尺 上的零度线重合)：③读数（读出另一边所在线的度数） (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°， 105°，120°，135°，150°，165°的角. 【即学即练6-1】(25-26七年级上广东深圳阶段检测)(1)如图(a),将两块直角三角尺的直角顶点 C叠放在一起。 图(a) 图(b) 图(c) 5/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若∠DCE=40°，则∠ACB=一；若∠ACB=120°，则∠DCE= ②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明理由. (2)如图(b),两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的度数有何关系？ 请说明理由. 知识点07角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较， 如比较∠AOB和∠A'O'B'的大小：如下图，由图(1)可得∠AOB<∠A'O'B:由图(2)可得 ∠AOB=∠A'O'B';由图3)可得∠AOB>∠A'O'B. B(B' B B B O(0)A(4')O(0) A(4')O(0) () (2) (3) 【即学即练7-1】(2026吉林长春模拟预测)比较角度的大小：32.18°一32°18.（填“>”“< ”或“=”) 知识点08余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°， 那么称这两个角互为余角，也称互余， 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等. 【即学即练8-1】(26-27七年级上·全国课后作业)7220的角的余角等于 一：2531'的角的补角 等于 题型精讲 题型01角的概念和表示 【典例1】(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)下列关于角的说法，正确的有() 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①角是由两条射线组成的图形： ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关： ③在角的一边的延长线上取一点D: ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形： ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】(25-26七年级上全国课后作业)如图所示，其中小于180°的角共有() B D A,3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式2】(25-26七年级上·全国周测)如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①∠AOC:②∠BOC;③∠0；④∠1；⑤∠AOB;⑥∠COA.其中正确的有 (填序号)。 【变式3】(26-27七年级上全国随堂练习)如图，写出符合下列条件的角： D a (1)能用一个大写字母表示的角有 (2)以B为顶点的角有 (用较简洁的方法表示)： (3)以CD为边的角有 题型02 角的单位与角度制 【典例2】(26-27七年级上全国课后作业)计算：0.75°=‘，7854=。. 【变式1】(26-27七年级上河北期中)计算：4839+673'= 【变式2】(26-27七年级上全国课后作业)填空： 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)7742'+3445'= (2)10818-5623= (3)180°-(3454+2133')= 【变式3】(25-26七年级全国暑假作业)(1)3219+1653'16”= (2)180°-126°43'1"= (3)532528"×5= (4)4136÷3= 题型03钟面角 【典例3】(26-27七年级上全国课后作业)时钟的分针1小时转了度的角，1分钟转了 度的角. 【变式1】(25-26七年级上：广东阶段检测)下午3点30分时，时针与分针的夹角是 0 【变式2】(25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测)时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是 度 【变式3】(25-26七年级上重庆渝北开学考试)有一钟表现在是8点45分，再经过 分钟时，时 针和分针第一次重合 题型04 与方位角有关的计算题 【典例4】(25-26七年级下广西南宁·期中)如图所示，则船B相对于船A的方向为 北 B 209 →东 【变式1】(25-26七年级下·湖北宜昌期中)如图，请准确描述：科技馆在小方家方向m处， 北 科技馆 30° 小方家 200m 【变式2】(25-26七年级下·山东·期中)茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A, 8/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东40°方向上，∠AOB=110°，则B在博贺渔港O的 方向上. 北 西 东 B 南 【变式3】(25-26六年级上：黑龙江哈尔滨·期末)如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距 离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等)，己知以中心的机场为观测点，飞机A在北偏东30°方向20 千米处.回答下面的问题： N(北) 机 (1)飞机B在机场的， 方向上，距离是千米： (2)飞机C在机场的南偏东60°方向，距离是50千米，请在图中标出C的位置. 题型05 角的比较 【典例5】(25-26七年级下山东淄博·期中)已知∠4=5215'，∠B=52.15°，请你比较它们的大小：∠A ∠B.(填“>”“<”或“=”)， 【变式1】(25-26七年级上河南周口期末)比较大小：38.51° 3850'1”.(填“>”“=”或“ <”) 【变式2】(25-26七年级上河南周口期末)若∠A=20.25°，∠B=2025,则∠A ∠B(填“> ”、“=”或“<”) 【变式3】(25-26七年级上四川达州阶段检测)比较大小：(1)0.8 0.9:(2)24.15° 2415'(选填“>”“<”“=”). 题型06 三角板中角度计算问题 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例6】(25-26七年级上河南郑州期末)一把直尺和一块三角板（含30°，60°角）如图所示摆放，直 尺一边与三角板的两直角边分别交于A,D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,F两点，且 ∠CAD=50°，那么∠BAD的大小是（) A.10 B.20° C.30° D.40° 【变式1】(25-26七年级上河南开封·期末)如图，一副三角板（直角顶点重合)摆放在桌面上，若 ∠B0C=40°，则∠A0D= 【变式2】(25-26七年级上贵州期末)如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角 板的直角顶点重合，如果∠1=23°，那么∠2的大小是 度 B 【变式3】(26-27七年级上全国单元测试)综合与实践 【动手操作】 (1)如图，用一副三角尺中的60°和45°这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出105°，15°的角，如 图中∠A0B=105°，∠A0B=15°.只用60°和45°这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪 些度数的角： (填序号)· ①30°：②35°：③50°：④75°：⑤115°；⑥150° 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【思考表达】 (②)现有15°，19°角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为19°-15°=4°，所以我可以画出4°的角 小亮：因为19°-15°=4°，4×4°-15°=1°，我是先画出4°的角，画四次得到16°的角，再减去15°的角得 到1°的角，所以我可以画出1°的角，利用15°，29°角的两种模板和铅笔，你可以画出16°的角吗？请说明 理由 题型07角平分线的有关计算 【典例7】(25-26七年级上山东济南期末)如图，∠A0B=92°，∠A0C=28°，且OM平分∠B0C, ON平分∠AOC. (1)求∠MON的度数： (2)若∠AOB=a,∠AOC=B,求∠MON的度数. 【变式1】(25-26七年级上湖南邵阳期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠COE. E ○ (1)若∠D0E=90°，求∠BOD的度数： (2)若∠COE:∠EOD=3:2,求∠BOD的度数 【变式2】(25-26七年级上浙江金华期末)如图，在同一平面内，已知∠A0B=90°，∠C0D=60°，射 线OD在∠AOB的内部. 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若OD平分∠AOB,求∠AOC的度数： (2)若∠AOD=∠AOC+∠BOD,求∠BOC的度数. 【变式3】(26-27七年级上全国单元复习)如图，O是直线P9上一点，OM是直线P9上方过点O的一 条射线，∠POM=54°.若射线OA在∠MO0内，∠AOM的大小为<60），射线OB在直线P9上方， 且∠POB=3∠AOM, M 54 0 9 (I)用t的代数式表示∠POA= (2)当∠AOB=40°时，求t的值； (3)若射线OD在∠AOP内，且∠POD=2∠AOM,当OA,OB,OD三条射线中的一条射线是另两条射线 组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值， 题型08 角n等分线的有关计算 【典例8】<2526七年级上辽宁丹东期未)如图，2C0D=159,∠0D-5C0B,OB平分∠4OD A (1)求∠AOD的度数： (②若OE是从点O引出的一条射线，使∠D0E=写B0D,求∠AO6的度数。 【变式1】(25-26七年级上河北唐山期末)如图，OC是∠A0B的平分线，OD是∠A0C的平分线，且 ∠COD=25° 12121 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求∠AOB的度数： (2)若∠COD=n°，直接写出∠AOB的度数. 【变式2】(25-26七年级上：四川成都：期末)如图，点A,0,B在同一直线上，∠B0C=78°， ∠DOE=77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线. A B (①)求∠COE的度数： (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由. 【变式3】(25-26七年级上全国课后作业)如下图，已知∠A0B内部有三条射线，OE平分∠B0C,OF 平分∠AOC B E (I)若∠AOB=90°，求∠EOF的度数： (②若将条件中的“0B平分∠BOC,0F平分∠AOC”改为∠B0B写B0C,∠C0F-号40C”,且 ∠AOB=a,求∠EOF的度数， 题型09求一个角的余角 【典例9】(25-26七年级上广东阶段检测)已知∠A=62°，则∠A的补角等于 0 【变式1】(25-26七年级上山西朔州期末)若一个角的度数是50°，则它的补角度数为 【变式2】(25-26七年级下陕西西安·期末)若∠A=60°，那么∠A的补角的度数是 【变式3】(25-26七年级上：广东湛江期末)若∠a的余角为2642'，则∠a的补角为 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型10 求一个角的补角 【典例10】(25-26七年级下重庆期中)己知1=53°，∠1与∠2互余，则∠2= 【变式1】(25-26七年级下四川成都期中)若∠1与∠2互为余角，且∠1=21°，则∠2= 【变式2】(25-26七年级下·山东泰安期中)如果∠A=46°，那么它的余角的度数为 【变式3】(25-26七年级下贵州毕节期中)己知∠A=22.5°，则∠A的余角的度数为 所以∠A的余角的度数为90°-22.5°=67.5° 题型11与余角、补角有关的计算 【典例11】(26-27八年级上四川巴中开学考试)已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，∠A=30°，则 ∠C= 【变式1】(2026七年级下甘肃武威竞赛)∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63°，∠3=度， 【变式2】(25-26七年级下陕西西安期中)如图，己知∠A0B=160°，OF平分∠A0B，OE在0A的下 方，且4∠1=∠2， B ○ E (1)判断∠1与∠2互余吗？试说明理由， (2)判断∠I与∠AOB互补吗？试说明理由. 【变式3】(25-26七年级上陕西商洛·阶段检测)一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置. 0123456789 (1)∠1+∠2= (2)若∠1的补角比∠2的2倍多30°，求∠1的度数. 强化训练 基础自测 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级上湖北省直辖县级单位期末)下午3：00，时针和分针的夹角是() A.120° B.90° C.1009 D.60° 2.(25-26七年级上·全国课后作业)如图，从点O出发的四条射线.可以组成角的个数为（) A.4 B.6 C.8 D.10 3.(26-27七年级上·全国课后作业)如图，下列描述正确的是() 北 B 30 65 45 东 15 D 南 A.射线OA的方向是北偏东60° B.射线OB的方向是北偏西65 C.射线OC的方向是东南方向 D.射线OD的方向是西偏南15 4.(25-26六年级下山东烟台期中)将一副直角三角板如图摆放，45°角的顶点与60°角的顶点重合，且 ∠CBD=90°，则∠ABE的度数为() A.10° B.15o C.20° D.25° 二、填空题 5.(25-26七年级上·陕西渭南期末)比较大小：183018.3°.（填“>”“<”或“=”） 6.(25-26七年级上广西钦州期末)计算：2342'+1218= 7.(2425七年级上全国课后作业)如图，点O在直线AB上，OC，OD,OE是射线，则图中大于0° 小于180°的角有 个 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(25-26七年级上湖北武汉：阶段检测)如图，0A是北偏东3918方向的一条射线，若∠A0B=90°， OB的方向是 北 西 东 南 三、解答题 9.(2425七年级上贵州遵义·期末)如图，小杰家位于点0处，小杰从家向北偏东40°方向行走500米到 达学校A处，从学校向正东前进200米到达少年宫B处(0B没有道路)，已知少年宫在小杰家东偏北30° 方向， 北 A学校 少年宫 40 2230° 小杰家刻 (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 10.(25-26七年级上湖北省直辖县级单位·期末)有一副三角板（含45°角与含30°角的两个直角三角 形). D D 图1 图2 (I)如图1，将两块三角板的直角顶点C叠放在一起，使CD落在∠BCE内部，若CD平分∠BCE,则 ∠DCE=°，∠ACB=° 16121 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，将一块三角板的直角顶点与另一块三角板60°角的顶点重合在一起，使CD落在∠BCE内部，求 ∠ACB+∠DCE的度数 11.(2425七年级上·浙江绍兴期末)如图，已知∠AOC:∠AOB=2:3,OD是∠AOB的角平分线. D B (1)若∠AOB=120°，求∠COD的度数. (②)若∠COD=21°，求∠A0B的度数. 12.(25-26七年级上·甘肃陇南期末)数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究 有关角的问题.如图1，∠AOB=∠COD=90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OB在∠COD的内部. B 图1 图2 (①)若∠BOC=50°，则∠AOD的度数为一： (2)若∠BOC=a,求∠AOD的度数： (3)在图1的基础上，作射线OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,得到图2.若∠BOC=B,则∠EOF的度 数为 一 能力提升 一、单选题 1.(24-25七年级上·全国·单元测试)下列说法错误的是() A.角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B.周角的一半叫平角 C.1442'可转化为14.7° D.直线MN是平角 2.(25-26七年级上·贵州毕节期末)2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为( ) 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.120 B.125° C.130° D.135° 3.(25-26七年级上湖北武汉期末)如图，∠1=15°，则点B在点0的()方向 北 西 1 →东 南 A.西偏南15 B.南偏西75 C.南偏西60° D.西偏南30 4.(25-26六年级下山东烟台期中)将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AM平 分∠BAD,AN平分∠CAD,则∠MAN的度数是() A.50 B.15 C.22.5° D.30° 5.(25-26七年级上安徽六安期末)若Lα与∠B互补，且∠Q>∠p,则下列表示∠B的余角的式子中： 090-<B:②a-90:®r-2a:@时<a-<.正确的是() A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题 6.(26-27七年级上全国课后作业)如图，总共有一个角. B 7.(25-26七年级下·重庆开学考试)小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过 分钟分针第一 次与时针重合. 8.(25-26七年级上·宁夏银川期末)如图，点O,AB表示西安莲湖公园的三个景点，射线OA表示北偏 西25°的方向，∠A0B=92°，则射线0B表示的方向为 18/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 A 0 →东 9.(25-26七年级上天津和平·期末)计算：(1)3600”= (2)4829+67°41= (3)180°-60°564= 10.(25-26七年级上河北衡水期末)如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点0.若 ∠DOC=2930',则∠AOB的度数是 三、解答题 11.(25-26七年级下·山东临沂期中)直线AB与CD相交于点O,OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的角平分线. (1)若∠BOE=64°，求∠AOD和∠FOE的度数： (2)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 12.(25-26七年级上湖北荆门期末)如图，点A、O、B在一条直线上，∠C0D=90°，OE是∠A0D的 平分线. D C A B (1)若∠B0D=58°，求∠D0E的度数： (2)若∠AOC:∠COE=2:1,求∠BOD的度数， 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26七年级下·河北廊坊阶段检测)如图，直线AE与CD相交于点B,射线BG在∠ABD内. E (I)若∠DBE的邻补角是它的余角的3倍， ①∠DBE的度数为_： ②若∠DBG=∠ABG-33°，求∠DBG的度数： (2)若射线BF平分∠ABC,∠FBG=100°，探求∠ABG与∠DBG的数量关系 14.(25-26七年级下·山东烟台期末)将一副三角板（直角三角形ABC和直角三角形ADE,∠BAC=45°」 ∠DAE=3O°)按如图1所示的方式摆放，点E,A,B在同一条直线上，AM和AN分别平分∠BAE和 ∠CAD.然后，将三角形ADE绕点A沿顺时针方向旋转a°(0<a<60)至图2的位置，三角形ABC保 持不动 图1 图2 (1)图1中∠MAN的度数为_； (②)在图2中，若∠DAC=75°，则C的值为，∠MAN的度数为 (3)在旋转过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAW的度数；如果变化，请说明 理由. 15.(26-27九年级上·山东青岛·阶段检测)【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式.请你利用一副含有45° 角的直角三角板AB0和含有30°角的直角三角板CD0尝试完成探究. 图1 图2 图3 (1)【实验操作】如图1，当边BO和边D0重合时，∠AOC=_度； 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)【实验操作】如图2，保持三角板AB0不动，将45°角的顶点与三角板DC0的60°角的顶点重合，然后 摆动三角板DCO,当∠BOD是多少度时（∠BOD<I80°），C0⊥A0?请说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板AB0不动，将45°角的项点与三角板DC0的60°角的顶点重 合，然后摆动三角板DC0,使得∠BOC与∠BOD中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足 题意的∠BOD的度数.（∠BOD<180°） 21/21 专题6.3 角 教学目标 1. 理解角的概念（静态、动态）及平角、周角，掌握角的三种表示方法，会用量角器度量角。 2. 理解角平分线与n等份线的概念，掌握余角、补角的概念及性质。 3. 能综合运用角的和差倍分、余补角性质进行角度计算与简单说理。 教学重难点 教学重点 1. 角的概念与规范表示，角平分线的意义及几何表达式。 2. 余角、补角的概念与性质（同角或等角的余角相等、补角相等）。 教学难点 1. 度分秒六十进制换算及角平分线、n等份线的综合计算。 2. 余补角性质在复杂图形中的识别与说理应用。 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即学即练1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．由两条射线组成的图形叫作角 B．角的大小与角的两边长度有关 C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 【答案】C 【分析】根据角的定义判断各选项的正误即可． 【详解】解：因为组成角的两条射线需有公共端点， 所以A选项说法错误，不符合题意； 因为角的大小与两边的长度无关，所以B选项说法错误，不符合题意； 因为角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，所以 C说法正确，符合题意； 因为用放大镜看角时角的度数不变，所以D说法错误，不符合题意． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【即学即练2-1】（26-27七年级上·江西·期中）计算：______． 【答案】/100度 【分析】根据角度的计算方法求解即可，注意角度值的进率为60． 【详解】解：． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即学即练3-1】（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）在钟面上，当指针指示为时，时针与分针所组成的较小的夹角为_________度． 【答案】 130 【分析】先明确钟面刻度的度数规则，计算出时针和分针每分钟转动的度数，再分别计算8:20时两者的角度，作差得到较小夹角． 【详解】解：钟面一圈为，共分为12个大格，因此每个大格对应， 分针60分钟转完一圈，因此分针每分钟转动， 时针60分钟转完一个大格（），因此时针每分钟转动， 8点20分时，分针相对于12点位置转动的角度为，时针相对于12点位置转动的角度为， 两者的夹角为， ， 因此时针与分针组成的较小夹角为130度． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【即学即练4-1】（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 【答案】 北偏东 南偏西 【详解】解：射线表示北偏东方向，射线表示南偏西方向． 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即学即练5-1】（25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的度数比为，求出，再求出的度数，再结合角平分线的定义计算即可得出结果； （2）设，则，，由角平分线的定义可得；求出，可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与的度数比为，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵与的度数比为， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ． 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练6-1】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图（），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． ①若，则______；若，则________． ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图（），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由． 【答案】 （1）①，60 ②解：与的度数关系为，理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． （2）解：与的度数关系为：．理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角板有关的角的和差，熟练掌握计算是解题的关键． （1）①根据题意，得，分别代入计算即可． ②根据题意，得，结合，计算得到． （2）根据题意，得，结合，得到，解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴时，； ∴时，， 故答案为：，60． ② 略 （2） 略 知识点07 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练7-1】（2026·吉林长春·模拟预测）比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 知识点08 余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【即学即练8-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）的角的余角等于________；的角的补角等于________． 【答案】 【分析】互余两角和为，互补两角和为，利用进行度分换算计算即可． 【详解】解：∵互余的两角的和为，且， ∴； ∵互补的两角的和为， ∴． 题型01 角的概念和表示 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查角的定义，角的大小，根据角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； 角的大小只与两边张开的角度有关，与边的长短无关，故②正确； 角的一边是射线，射线无限长，不需要延长，“延长线上”取点说法错误，故③错误； 角可以看作由一条射线绕其端点旋转形成的图形，故④正确； 放大镜放大角时，角的度数不变，故⑤错误； 故正确的有②、④，共2个． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·周测）如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有____________（填序号）。 【答案】①④⑥ 【分析】要判断每个角的表示是否正确，需依据角的表示规则逐一分析每个选项． 【详解】解：①：角可以用三个大写字母表示且顶点字母在中间.图中画有弧线的角的顶点为，两边分别为和，故①正确； ②：两边是和，并非图中画有弧线的角的两边，故②错误； ③：顶点处有多个角，不能用单个大写字母表示，故③错误； ④：图中用数字“”标注了弧线的角，故④正确； ⑤：是较大的角，两边为和并非弧线标注的角，故⑤错误； ⑥：与一致，故⑥正确． 故答案为：①④⑥ ． 【变式3】（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 题型02 角的单位与角度制 【典例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：______，______°． 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算，度分秒为进制，大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率即可． 【详解】解：， ； ， ， ． 【变式1】（26-27七年级上·河北·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的进制为60直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 题型03 钟面角 【典例3】（26-27七年级上·全国·课后作业）时钟的分针1小时转了________度的角，1分钟转了________度的角． 【答案】 【分析】分针1小时旋转完整一周，周角度数为度，结合1小时等于60分钟计算1分钟转过的角度即可． 【详解】解：∵分针1小时旋转完整一周， ∴分针1小时转了度的角； ∵1小时等于分钟， ∴分针1分钟转的角度为（度）． 【变式1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是________度． 【答案】 【分析】分针转动周对应经过小时，转动周即经过小时，钟面一圈为，被平均分为个对应小时的大格，先求每小时时针转过的角度，再计算小时转过的总角度． 【详解】解：∵分针转动1周对应经过小时， ∴分针转动两周对应经过小时， ∵钟面一圈总角度为，且被平均分为个对应小时的大格， ∴每经过小时，时针转过的角度为， ∴经过小时，时针转过的总角度为． 【变式3】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）有一钟表现在是8点45分，再经过________分钟时，时针和分针第一次重合． 【答案】 【分析】将钟表问题转化为追及问题，先确定时针和分针的转速，再计算8点45分两针的夹角，最后根据追及公式计算时间． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为度， 时针每分钟转动的角度为度， 两者的速度差为度/分 8点45分时，时针所在位置与12时的夹角为 度， 分针所在位置与12时的夹角为 度， 此时分针在时针前方，两针夹角为度， 第一次重合时分针需要比时针多走度， 因此经过的时间为分钟 题型04 与方位角有关的计算题 【典例4】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图所示，则船B相对于船A的方向为______． 【答案】北偏东 【详解】解：由题意得，船B相对于船A的方向为北偏东． 【变式1】（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【答案】 北偏东 800 【分析】先求出，，得到科技馆在小方家北偏东方向处，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴科技馆在小方家北偏东方向处． 【变式2】（25-26七年级下·山东·期中）茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，，是两个海上观测站的位置，在博贺渔港北偏东方向上，，则在博贺渔港的______方向上． 【答案】南偏东 【分析】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故在博贺渔港的南偏东方向． 【变式3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2) 如图，点即为所求： 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2）略 题型05 角的比较 【典例5】（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知，，请你比较它们的大小：______．（填 “” “”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度数的比较大小，先把两个角化成统一的形式再进行比较即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）比较大小： ______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据将转化为度分秒的形式，再与比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则____________(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算与大小比较，核心知识点是度与分的换算关系：．通过单位换算将两个角的单位统一，再比较角度的大小，这里将的小数部分转化为分，得到与相同的单位形式后，即可直接对比大小． 【详解】解：， ， 又，且， ； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）比较大小：（1） _______；（2）_______（选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及度分秒的换算，熟练掌握两个负数比较大小的法则和度分秒的换算方法是解题的关键． （1）对于两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小． （2）先把角度的度分形式统一成度的小数形式，再比较大小． 【详解】解：（1）∵ ，，且 ， ∴ ， 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 题型06 三角板中角度计算问题 【典例6】（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是掌握角的和差． 根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·贵州·期末）如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果， 那么的大小是___________度 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算.利用求出的度数，再用即可求出，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴； 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级上·全国·单元测试）综合与实践 【动手操作】 (1)如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【思考表达】 (2)现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为，所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角．利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请说明理由． 【答案】(1)①④⑥ (2)可以画出的角．理由如下： 先画三个角，拼接得到角，再在这个角内部叠放一个角（使一边重合），剩余部分即为 【分析】（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，据此求解即可； （2）根据即可得解； 【详解】（1）解：和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数， （先拼两个得到，再减去得到）， （先拼两个得到，再减去得到）， （先拼两个和一个，拼接得到）， 其它角度无法由和的整数倍计算得到； ∴可以画出的角为①；④；⑥． （2）略 题型07 角平分线的有关计算 【典例7】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，，，且平分，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的定义，角的和差计算． （1）首先求出，然后结合角平分线求解即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此由平角的定义可得答案； （2）根据平角的定义和已知条件求出和的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此由平角的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在同一平面内，已知，，射线在的内部． (1)若平分，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)． 【分析】本题主要考查的是角的和差关系以及角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据角平分线的定义求出，然后即可求解； （2）设，则，，根据，列式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式3】（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，是直线上一点，是直线上方过点的一条射线，．若射线在内，的大小为，射线在直线上方，且． (1)用的代数式表示________； (2)当时，求的值； (3)若射线在内，且，当，，三条射线中的一条射线是另两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)的值为或 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）分射线在射线左边或射线在射线右边两种情形讨论，分别列出一元一次方程计算即可； （3）根据，得射线在射线左边，分当射线是射线与射线组成的夹角的平分线与射线是射线与射线组成的夹角的平分线时，分别列方程解决问题． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，， ∴， （2）解：∵的大小为，， ∴， ①如图所示，当射线在射线左边时， ∵，， ∴， 解得； ②当射线在射线右边时， ∵，， ∴， 解得； 综上，的值为或； （3）解：由题意可知， ∵， ∴射线在射线左边， ①如图， 当射线是射线与射线组成的夹角的平分线时， 此时，（此时与重合）， ∵，， ∴， 解得； ②如图， 当射线是射线与射线组成的夹角的平分线时， 此时，， ∵，； ∴； 解得． 综上所述，或． 题型08 角n等分线的有关计算 【典例8】（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，，，平分．    (1)求的度数； (2)若是从点O引出的一条射线，使，求的度数． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用角的和差与角平分线的定义计算即可； （2）由得，再分两种情况：①当在左侧时，；②当在右侧时，；以此即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分． ， ； （2）， ， ①当在左侧时，如图，    此时，； ②当在右侧时，如图，    此时，； 综上，的度数为或． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．    (1)求的度数； (2)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义依次求出、即可； （2）利用角平分线的定义依次用表示、即可； 【详解】（1）解：，是的平分线， ， 是的平分线， ． （2）解：； ，是的平分线， ， 是的平分线， ． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 解：是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）略 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 题型09 求一个角的余角 【典例9】（25-26七年级上·广东·阶段检测）已知，则的补角等于___________． 【答案】118 【详解】解：由题意得，的补角为． 【变式1】（25-26七年级上·山西朔州·期末）若一个角的度数是，则它的补角度数为__________． 【答案】 130 【分析】根据补角定义，互为补角的两个角的和为，用减去已知角的度数即可得到结果． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，已知角的度数为， ∴该角的补角度数为， 即它的补角度数为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若，那么的补角的度数是________． 【答案】120 【分析】根据补角的定义，互补两角的和为，用减去的度数即可得到结果 【详解】解：∵互补的两个角的度数和为，， ∴的补角的度数为 【变式3】（25-26七年级上·广东湛江·期末）若 的余角为，则 的补角为___________ 【答案】 【详解】解： 的余角为， ， 的补角． 题型10 求一个角的补角 【典例10】（25-26七年级下·重庆·期中）已知，与互余，则______． 【答案】 【详解】解：∵，与互余， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若与互为余角，且，则______． 【答案】 【分析】根据余角的定义，两个角的和为，即可求解． 【详解】解：因为与互为余角， 所以， 因为， 所以． 【变式2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如果，那么它的余角的度数为__________． 【答案】/44度 【详解】解：根据余角的定义可得的余角为 ． 【变式3】（25-26七年级下·贵州毕节·期中）已知，则的余角的度数为___________． 【答案】 【分析】根据互余两角的和为，计算求解即可． 【详解】解：因为互余两角的和为，且， 所以的余角的度数为． 题型11 与余角、补角有关的计算 【典例11】（26-27八年级上·四川巴中·开学考试）已知与互余，与互补，，则__________． 【答案】/120度 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式1】（2026七年级下·甘肃武威·竞赛）和互余，和互补，，______度． 【答案】153 【详解】解：∵和互余，和互补， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 【答案】(1)与不互余，理由如下： 如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不互余． (2)与互补，理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴与互补． 【分析】（1）根据条件平分，，结合角平分线性质求出的度数，再根据，即可求出，进而可求出，即可得与不互余． （2）根据（1）得的度数，再结合，即可计算出的度数，进而可判断与互补． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【分析】（1）根据三角板的性质得，再根据平角定义得出答案； （2）设，则，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴； （2）解：设，则， 根据题意，得， 解得， ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下午，时针和分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，核心是先确定钟表每个大格对应的角度，再根据时两针间隔的大格数计算夹角． 【详解】解：∵钟表一圈的角度为，且被平均分成12个大格． ∴每个大格对应的角度为． ∵下午时，时针指向3，分针指向12，两针之间间隔3个大格． ∴两针的夹角为． 故选：B． 2.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列描述正确的是（     ） A．射线的方向是北偏东 B．射线的方向是北偏西 C．射线的方向是东南方向 D．射线的方向是西偏南 【答案】C 【分析】根据方位图逐个判断即可． 【详解】解：A、射线的方向是北偏东，不是，故不正确； B、射线的方向是西偏北，不是北偏西，故不正确； C、射线的方向是东南方向，正确，故选C； D、射线的方向是南偏西，不是西偏南，故不正确． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 二、填空题 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了角的度数的大小比较，解题的关键是掌握度分秒的转换． 将转换为度分形式，得到，再与比较． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广西钦州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的四则运算，将度数和分数分别相加，再根据度分秒的进制进行换算即可，能正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 8．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方向是______． 【答案】北偏西 【分析】根据方向角的定义结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：的方向是北偏西． 三、解答题 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 【答案】(1)小杰家在少年宫的南偏西方向 (2)小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家 【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角． （1）过点B作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可； （2）过点A作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作南北方向的直线 由题意得，， 所以小杰家在少年宫的南偏西方向； （2）解：过点A作南北方向的直线， 由题意得，， 所以小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家． 10．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有一副三角板（含角与含角的两个直角三角形）． (1)如图1，将两块三角板的直角顶点叠放在一起，使落在内部，若平分，则_____，_____． (2)如图2，将一块三角板的直角顶点与另一块三角板角的顶点重合在一起，使落在内部，求的度数． 【答案】(1)45，135 (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，熟练掌握同角的余角相等是解答此题的关键． （1）由角平分线的定义求得，再利用角的和差求解即可； （2）求得，利用，求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：45，135； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算，熟练掌握角平分线的定义的应用，根据题意列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据已知角的倍数关系求出，再根据角平分线的定义求出； （2）设为度，则为度，再根据角平分线的定义，表示，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：，且， 则．   是的角平分线， ， ． （2）解：， 设为度，则为度， 是的角平分线， ，     ， 解得，     ． 的度数是． 12．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)若，则的度数为_____； (2)若，求的度数； (3)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 故答案为：． 1、 单选题 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 2.（25-26七年级上·贵州毕节·期末）2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 钟表一圈为，分针分钟转一圈， ∴ 分针每分钟转， ∵ 时针小时转一圈， ∴ 时针每分钟转， 10时30分，分针从12点位置转过的角度为， 时针从12点位置转过的角度为， ∴ 时针与分针的夹角为． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，，则点在点的（    ）方向 A．西偏南 B．南偏西 C．南偏西 D．西偏南 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 根据方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可知： ，， ∴， ∴点在点的南偏西， 故选：． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 5．（25-26七年级上·安徽六安·期末）若与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据余角、补角的定义，结合与互补的关系，分别推导每个式子是否等于的余角，进而判断正确性，即可求解． 【详解】解：∵余角的定义为：若两个角的和为，则这两个角互余， ∴的余角为，故①正确； ∵与互补， ∴，即， ∴，故②正确； ∵，而，不一定等于它的余角，故③错误； ∵，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：B． 二、填空题 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，总共有___个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 7．（25-26七年级下·重庆·开学考试）小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过________分钟分针第一次与时针重合． 【答案】 【分析】将问题转化为追及问题，先确定分针与时针的转动速度，计算7点12分时针与分针的角度差，再根据追及公式求解时间。 【详解】解：钟面一圈为， 分针每分钟转动的角度为 ， 时针每分钟转动的角度为 ， 7点12分时，时针的总角度为 ， 分针的总角度为 ， 此时时针领先分针的角度为 ， 设再过分钟分针第一次与时针重合， 根据追及关系得 ， 解得 。 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为___________． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方向角的表示，角的和差，解题的关键是掌握角的和差． 根据角的和差求出度数，然后利用方向角的表示方法进行表示即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴射线表示的方向为北偏东， 故答案为：北偏东． 9．（25-26七年级上·天津和平·期末）计算：（1）________°； （2）_________； （3）__________． 【答案】 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将秒转化为度除以60进制即可解答； （2）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （3）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）解： ， 故答案为． （3）解： ， 故答案为． 10．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题．根据图中角的和差关系得求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东临沂·期中）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 12．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解； （2）由题意可设，则，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ （2）解：由可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； (2)若射线平分，，探求与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设，根据题意列方程求解即可； ②根据平角的定义列方程求出，然后代入求解即可； （2）根据角平分线的定义设，然后分别表示出和，进而求解即可． 【详解】（1）解：①设 根据题意得， 解得 ∴的度数为； ②∵，， ∴ 解得 ∴； （2）解：∵平分 ∴设 ∵ ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 15．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【答案】(1) (2)当是或时，，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 如图，               根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，当是或时，； (3)或或或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）分两种情况，分别画出图形，即可求解； （3）分四种情况，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）略 （3）解：若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $