专题5.3 一元一次方程的应用（10题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

专题5.3 一元一次方程的应用 教学目标 1.建立模型观念：经历“实际问题—方程模型—求解验证”过程，体会方程解决实际问题的优势，增强建模意识。 2.掌握建模方法：能分析行程、工程、销售等典型问题中的数量关系，用列表或线段图辅助找等量关系，正确列一元一次方程。 3.规范求解验证：掌握设元、列方程、解方程、检验作答的完整步骤，能判断解是否符合实际意义。 教学重难点 教学重点 1.掌握解题步骤：理解并熟练运用“审、设、列、解、验”的一般过程解决实际问题。 2.提炼等量关系：从购物、行程、工程等情境中准确找出数量关系，这是列方程的核心。 教学难点 1.挖掘隐含关系：行程中的相遇追及、工程中的合作分工等复杂情境，等量关系隐蔽，学生难以抽象转化。 2.选择分析方法：根据问题特点灵活选用线段图、列表或面积图示法分析数量关系。 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【即学即练1-1】（25-26七年级上·广东惠州·期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【即学即练1-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【即学即练1-3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 题型01 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【变式1】（24-25六年级上·上海金山·期末）我国古代名著《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的竹竿和牧童各有多少． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 题型02 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【变式1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图为某咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合多少套? (1)设售出早餐组合x（）套，则单独卖出咖啡 杯，单独卖出三明治 个； (2)根据（1）中的设元列出方程并解答． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 (1)请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． (2)请你求出这款工艺品的成本价． 题型03 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【变式1】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 甲厂家 每台可享受九五折优惠 乙厂家 不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元 若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问 (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元； (2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？ 【变式3】（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 题型04 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和6个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做150个茶杯或50个茶壶． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)已知每套茶具的利润为80元，在（1）的条件下求该工厂每天获得的利润． 【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期末）在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）． (1)七（1）班女生有多少人？ (2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？ 题型05 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）某工厂计划加工一批零件，若单独加工，甲车间需要10天完成，乙车间需要15天完成． (1)若两车间合作，需要多少天完成？ (2)若甲车间先加工3天，再由两车间合作，还需要多少天完成？ 【变式2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）整理一批图书，由一个人做要小时完成．现计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作． (1)若把整理这批图书的工作总量看作单位1，一个人的工作效率是________； (2)假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 题型06 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【变式1】（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【变式3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 题型07 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）老师在黑板上写出算式：□◇要求在“□”与“◇”内填入整数． (1)嘉嘉在“□”内填入，请帮他计算“◇”内填入的数字； (2)淇淇说：“‘□’和‘◇’内可以填入两个相同的整数．”淇淇的说法对吗？请说明理由． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 【变式2】（25-26七年级上·江西吉安·期末）我们称使方程成立的一对数为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求x的值； (2)若是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b． 【变式3】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 题型08 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）七（1）班组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 17 3 79 D 16 4 72 (1)请你通过观察、分析，完成填空：参赛者答对1道题得 分，答错1道题扣 分． (2)参赛者E和F的得分之和是158分，且E比F多答对4题，请问两人各答对几题？ 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）为响应贵州省强理科行动，六枝特区教育局于月日举办数学素养大赛．答卷共有道题，满分分，参赛者小新和小华得分情况如下表所示： 参赛者 答对选择题（道） 答对填空题（道） 得分 小新 小华 (1)依据表中信息可得：选择题每道题________分，填空题每道题________分； (2)参赛者小敏答对道题，得分为分，求她答对了几道选择题，几道填空题． 题型09 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动；动点Q同时从点B出发，沿方向运动．如果点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当点Q到达点C时，点P同时停止运动，设运动时间为． (1)________，________；（请用带t的式子表示） (2)当时，求t的值； (3)当时，求的面积． 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，、两点位于原点两侧，，． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点、分别从点、处同时沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设移动时间为秒． 当时，__________； 当时，求的值； 若为中点，为中点，当__________时，、两点重合？（写出解答过程） 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在综合实践课上，小华用一张长方形纸片进行操作探究． (1)如图，小华先将该长方形纸片对折两次，再沿虚线剪去一个三角形； 将剪下的三角形展开，可得到的图形是：______；（填选项） A．        B．            C．        D．当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是______； (2)若长方形纸片的两条邻边分别为和．选取该长方形的较短边作为正方形的边长，并剪去该正方形（第一次操作，如下图所示），剩余部分为一个新长方形．继续对新长方形进行同样的操作（第二次操作）；按此方式，进行次操作． 第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为______、______；（用化简后的代数式表示） 第三次操作后，若剩余纸片为正方形，求的值． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【典例10】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某市为了鼓励居民节约使用天然气，采用按月分段计费的方式收费，收费标准如下：每户每月用气量在立方米及以下，每立方米收费元；超过立方米不超过立方米的部分，每立方米收费元；超过立方米的部分，每立方米收费元． (1)月份张阿姨家因做饭、洗澡用气较多，用气量为立方米，张阿姨家月份天然气费是多少元？ (2)月份张阿姨家天然气费是元，张阿姨家月份用气量为多少立方米？ 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 一、单选题 1.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 5．（2026·陕西榆林·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；劣田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、劣田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今买良、劣田共1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田有x亩，则可列方程为________． 6．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 7．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 8．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 三、解答题 9.（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 11．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 12．（25-26七年级上·广西钦州·期末）如图是学校的一块长方形空地的设计方案，其中长方形池塘和半圆形休息区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形休息区的直径和长方形池塘的宽相等．（以下结果用含的代数式表示，结果保留） (1)分别直接写出长方形池塘的面积和半圆形休息区的面积； (2)若，绿化草地每平方米需要费用元，请计算这个空地中绿化草地的费用； (3)在不知道池塘周长的情况下，小丽和小云同学同时从池塘边处出发，围绕着池塘边，按相反方向匀速行进．出发6分钟后两人相遇．相遇时，小丽比小云多行进了米．相遇4分钟后，小丽回到点，请分别求出两人每分钟行进多少米？ 一、单选题 1.（26-27六年级上·上海·开学考试）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 3．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）下列哪个数不是4个连续偶数之和？（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 5．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 二、填空题 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 10．（25-26七年级上·四川广元·期末）手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 3、 解答题 11．（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）某中学将举行“歌唱祖国”主题歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同． (1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ (2)如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张、小红旗1面，恰好全部分完，请问贴纸和小红旗各多少袋？ 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）交城县某中学举行篮球赛，在一周的比赛结束后，公布出的积分榜如下： 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 七（1）班 6 3 3 9 七（2）班 6 1 5 7 七（3）班 6 5 1 11 七（4）班 6 6 0 12 (1)分析积分榜，胜一场比负一场多得几分？ (2)某班的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？请说明理由． 13．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，中，，，，．若动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒．设出发的时间为秒． (1)当点在线段上时，______．（用含的代数式表示） (2)当点在线段上时． ①若为直角三角形，则的取值范围是____． ②若点到的两边距离相等时，求的值． (3)另有一动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时．另一点也停止运动，请直接写出为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 一元一次方程的应用 教学目标 1.建立模型观念：经历“实际问题—方程模型—求解验证”过程，体会方程解决实际问题的优势，增强建模意识。 2.掌握建模方法：能分析行程、工程、销售等典型问题中的数量关系，用列表或线段图辅助找等量关系，正确列一元一次方程。 3.规范求解验证：掌握设元、列方程、解方程、检验作答的完整步骤，能判断解是否符合实际意义。 教学重难点 教学重点 1.掌握解题步骤：理解并熟练运用“审、设、列、解、验”的一般过程解决实际问题。 2.提炼等量关系：从购物、行程、工程等情境中准确找出数量关系，这是列方程的核心。 教学难点 1.挖掘隐含关系：行程中的相遇追及、工程中的合作分工等复杂情境，等量关系隐蔽，学生难以抽象转化。 2.选择分析方法：根据问题特点灵活选用线段图、列表或面积图示法分析数量关系。 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【即学即练1-1】（25-26七年级上·广东惠州·期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；任务二：；任务三：九折 【分析】任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； 任务二：根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】解：任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； 任务二：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 【即学即练1-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 【即学即练1-3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)80，120 (2)购进甲种商品62件，购进乙种商品22件 (3)小明此次购买了8件或9件乙商品 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据售价为96元及“销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元”可进行求解； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据题意得：，然后进行求解即可； （3）设小明此次购买了m件，由题意可分①若购买商品超过400元，但不超过800元，②若购买商品超过800元，进而分类列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲商品每件进价为（元），乙商品每件进价为（元）； 故答案为80，120； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得， 所以， 答：购进甲种商品62件，购进乙种商品22件． （3）解：设小明此次购买了m件， 显然购买乙商品超过了400元； ①若购买商品超过400元，但不超过800元， 由题意可得：， 解得； ②若购买商品超过800元， 由题意得：， 解得：； 答：小明此次购买了8件或9件乙商品． 题型01 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设有人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 【变式1】（24-25六年级上·上海金山·期末）我国古代名著《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的竹竿和牧童各有多少． 【答案】竹竿有56竿，牧童有7人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设牧童有人，结合每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完，进行列方程，再解得，最后求出竹竿有56竿，即可作答． 【详解】解：设牧童有人， 则， 解得， ∴， 即竹竿有56竿，牧童有7人． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 题型02 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【分析】（1）根据盈利、亏损的利润率关系，直接算出甲、乙两件商品的进价； （2）先排除不优惠方案，再分别按九折、八折两种优惠方案列方程求出件数． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 【变式1】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图为某咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合多少套? (1)设售出早餐组合x（）套，则单独卖出咖啡 杯，单独卖出三明治 个； (2)根据（1）中的设元列出方程并解答． 【答案】(1)； (2) 列方程：， 解得 ， 即售出早餐组合65套． 【分析】（1）结合题意，即可获得答案； （2）根据“今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元”列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个； （2）略 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 (1)请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． (2)请你求出这款工艺品的成本价． 【答案】(1)①；②；③ (2)这款工艺品的成本价为元 【分析】设这款工艺品每件的成本价为元，先分别表示出标价、售价，从而得到利润为，最后根据每件工艺品仍获利元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设这款工艺品每件的成本价为元， 将这款工艺品的成本价提价后标价，故标价为， 又以七五折优惠卖出，故售价为， 故利润为； （2）根据题意，得， 解得， 答：这款工艺品的成本价为元． 题型03 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 【变式1】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 甲厂家 每台可享受九五折优惠 乙厂家 不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元 若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问 (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元； (2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？ 【答案】(1)， (2)当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同 【分析】（1）根据甲厂家的九五折优惠方案，直接计算购买台相机的总费用；根据乙厂家的分段优惠方案，先计算前5台的费用，再计算超过5台部分的费用，最后合并得到总费用． （2）根据两个厂家购买费用相同的条件，列出关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：甲厂家应付费用：（万元）， 乙厂家应付费用：（万元）； （2）解：由题意，得， 解得． 答：当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同． 【变式3】（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 题型04 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【答案】(1)； (2)用方法裁剪张，用方法裁剪张 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，裁剪出的侧面个数是，裁剪出的底面个数是. 故答案为：；； （2）解：由题意可得 解得：， 则(张)， 答：用方法裁剪张，用方法裁剪张． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和6个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做150个茶杯或50个茶壶． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)已知每套茶具的利润为80元，在（1）的条件下求该工厂每天获得的利润． 【答案】(1)安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套 (2)该工厂每天获得的利润为160000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设安排名工人生产茶杯，则生产茶壶的工人有名，根据“每套茶具由1个茶壶和6个茶杯组成”及“每个工人一天能做150个茶杯或50个茶壶”列方程求解即可； （2）由（1）得：茶壶和茶杯刚好配套时，每天共生产套，进而计算即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产茶杯，则生产茶壶的工人有名， 由题意可得， 解得， 所以生产茶壶的工人有（名）， 答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套； （2）解：由（1）得：茶壶和茶杯刚好配套时，每天共生产（套） 此时该工厂每天获得的利润为：（元） 答：该工厂每天获得的利润为160000元． 【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期末）在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）． (1)七（1）班女生有多少人？ (2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？ 【答案】(1)女生26人 (2)男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设该班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）先判断每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套，然后设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设该班有男生人，则女生有人， 由题意，得， 解得， 答：女生26人； （2）解：因为男生一小时剪圆柱体侧面， 需要960个圆柱体底面，而， 所以每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套， 设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套， 由题意，得， 即， 解得：， 答：男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 题型05 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）某工厂计划加工一批零件，若单独加工，甲车间需要10天完成，乙车间需要15天完成． (1)若两车间合作，需要多少天完成？ (2)若甲车间先加工3天，再由两车间合作，还需要多少天完成？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（1）设两车间合作，需要天完成，根据题意列方程求解即可； （2）设还需要天完成，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车间合作，需要天完成， 根据题意列方程得， 解得， 答：两车间合作，需要天完成． （2）解：设还需要天完成， 根据题意列方程得， 解得， 答：还需要天完成． 【变式2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）整理一批图书，由一个人做要小时完成．现计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作． (1)若把整理这批图书的工作总量看作单位1，一个人的工作效率是________； (2)假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作． 【答案】(1)； (2)人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）由一个人做要小时完成，一个人的工作效率是； （2）设先由人工作小时，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：一个人的工作效率是； （2）设先由人工作小时， 由题意得：， 解得：， 答：先由人工作小时，再增加人和他们一起工作小时，完成这项工作． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 题型06 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【答案】平均速度至少要达到米/分 【分析】先设起点到第一个补给站的时间为分钟，表示出两段路程，利用第一个补给站到第二个补给站路程为米列方程求出，再算出第二个补给站到终点的距离，最后根据求出最小平均速度． 【详解】解：设小杰从起点跑到第一个补给站用时分钟，则起点到第一个补给站路程为米， 从第一个补给站到第二个补给站用时分钟，这段路程为米． 由图可知第一个补给站到第二个补给站总路程为米： ， 解得， 起点到第一个补给站路程：​（米）， 总路线长米，所以第二个补给站到终点路程：（米）， 要求分钟内跑完，则这段路程的最低平均速度为（米/分）． 【变式1】（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【答案】(1)小华用能追上小明 (2)小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 题型07 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）老师在黑板上写出算式：□◇要求在“□”与“◇”内填入整数． (1)嘉嘉在“□”内填入，请帮他计算“◇”内填入的数字； (2)淇淇说：“‘□’和‘◇’内可以填入两个相同的整数．”淇淇的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 淇淇的说法不正确，理由如下： 设“”和“◇”中填入的数字均是 y， 由题意，得：， 解得：， 即：“‘□’和‘◇’内不可以填入两个相同的整数， ∴淇淇的说法不正确． 【分析】（1）设“◇”中填入的数是，将算式转化为一元一次方程，进行求解即可； （2）设“”和“◇”中填入的数字均是 y，将算式转化为一元一次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：设“◇”中填入的数是， 由题意，得：， 解得：； ∴“◇”中填入的数是； （2）略 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，列式计算即可； （2）先得出第个台阶上的数是，根据台阶上的数是，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是， ∴第个台阶上的数是． （2）解：第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， ……， ∴第个台阶上的数是， 当台阶上的数是时，， 解得：， ∴第个台阶上的数是． 【变式2】（25-26七年级上·江西吉安·期末）我们称使方程成立的一对数为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求x的值； (2)若是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据使方程成立的一对数，为“相伴数对”，记为，将换成4代入得关于的方程，解方程即可求解； （2）结合（1）的理解，将和换成和，代入后解出关于的式子即可． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴ 解得； （2）解：∵是“相伴数对”， ∴ 解得． 【变式3】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）4～9号位置对应标数相加即可； （2）将三个标数相加，运用整式的加减法则计算即可； （3）设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据“标数之和等于27”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 答：4～9号位置对应标数之和为9． （2）解：， 答：其标数之和为． （3）解：设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：黑色珠子的标数为． 题型08 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）七（1）班组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 17 3 79 D 16 4 72 (1)请你通过观察、分析，完成填空：参赛者答对1道题得 分，答错1道题扣 分． (2)参赛者E和F的得分之和是158分，且E比F多答对4题，请问两人各答对几题？ 【答案】(1)5，2 (2)参赛者E答对了19题，参赛者F答对了15题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）答对一道题的得分参赛者A的总得分参赛者A答对题目数，答错一道题扣的分答对一道题的得分参赛者B答对题目数参赛者B的总得分，即可求解； （2）设参赛者E答对了x题，答错了题，则参赛者F答对了题，答错了题，根据参赛者E和F的得分之和是158分，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每答对一道题得（分）， 答错一道题扣（分）． 故答案为：5，2； （2）解：设参赛者E答对了x题，答错了题，则参赛者F答对了题，答错了题， 根据题意得：， 解得， 则（题） 答：参赛者E答对了19题，参赛者F答对了15题． 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【答案】(1)他答对了15道题 (2) 同学说他得了80分是不可能的，理由： 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵应为正整数， ∴同学说他得了80分是不可能的． 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是正确得到等量关系； （1）首先求出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求出其解即可； （2）同学说他得了80分是不可能的，设答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，答对1道题得5分，答错1道题扣1分 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：他答对了道题； （2）解：略． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）为响应贵州省强理科行动，六枝特区教育局于月日举办数学素养大赛．答卷共有道题，满分分，参赛者小新和小华得分情况如下表所示： 参赛者 答对选择题（道） 答对填空题（道） 得分 小新 小华 (1)依据表中信息可得：选择题每道题________分，填空题每道题________分； (2)参赛者小敏答对道题，得分为分，求她答对了几道选择题，几道填空题． 【答案】(1)，； (2)答对选择题道，填空题道． 【分析】本题考查了有理数加减乘除的应用，一元一次方程的应用，正确建立方程是解题的关键． （）根据题意列式求解即可； （）设她答对了道选择题，答对道填空题，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：依据表中信息可得：填空题每道题 （分）， 所以选择题每道题 （分）， 故答案为：，； （2）解：设她答对了道选择题，答对道填空题， 根据题意得， 解得：， 所以答对填空题， 答：她答对了道选择题，答对道填空题． 题型09 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动；动点Q同时从点B出发，沿方向运动．如果点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当点Q到达点C时，点P同时停止运动，设运动时间为． (1)________，________；（请用带t的式子表示） (2)当时，求t的值； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)4.2 (3) 【分析】（1）根据路程速度时间，即可表示出相关线段的长度； （2）根据题意可得点P始终在上，由（1）知的长，列出一元一次方程求解即可； （3）分别求出时，的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，、两点位于原点两侧，，． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点、分别从点、处同时沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设移动时间为秒． 当时，__________； 当时，求的值； 若为中点，为中点，当__________时，、两点重合？（写出解答过程） 【答案】(1)，； (2)；的值为或；． 【分析】本题考查了数轴上表示数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，，然后通过数轴特点即可求解； （）由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当时，求出点表示的数为，点表示的数为，然后利用数轴上两点距离公式即可求解； 利用数轴上两点距离公式得，然后求出的值即可； 根据题意得点表示的数为，点表示的数为，又、两点重合，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：； ∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或； 如图， ∵为中点，为中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵、两点重合， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在综合实践课上，小华用一张长方形纸片进行操作探究． (1)如图，小华先将该长方形纸片对折两次，再沿虚线剪去一个三角形； 将剪下的三角形展开，可得到的图形是：______；（填选项） A．        B．            C．        D．当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是______； (2)若长方形纸片的两条邻边分别为和．选取该长方形的较短边作为正方形的边长，并剪去该正方形（第一次操作，如下图所示），剩余部分为一个新长方形．继续对新长方形进行同样的操作（第二次操作）；按此方式，进行次操作． 第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为______、______；（用化简后的代数式表示） 第三次操作后，若剩余纸片为正方形，求的值． 【答案】(1)，； (2)， ； 或． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相关知识解决问题是解题的关键． （）根据图形的折叠可得结论； 根据图形的折叠可得结论； （）根据第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，，从而求解； 分两种情况，根据第三次操作后剩下的是正方形列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：由题意，图形的对角线互相垂直平分，四边形是菱形， 故选：； 当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是， 故答案为：； （2）解：第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， 故答案为：， ； 当时，即时， ∴第三次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， ∵剩余纸片为正方形， ∴，解得：； 当时，即时， ∴第三次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， ∵剩余纸片为正方形， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【典例10】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某市为了鼓励居民节约使用天然气，采用按月分段计费的方式收费，收费标准如下：每户每月用气量在立方米及以下，每立方米收费元；超过立方米不超过立方米的部分，每立方米收费元；超过立方米的部分，每立方米收费元． (1)月份张阿姨家因做饭、洗澡用气较多，用气量为立方米，张阿姨家月份天然气费是多少元？ (2)月份张阿姨家天然气费是元，张阿姨家月份用气量为多少立方米？ 【答案】(1) 元 (2) 立方米 【分析】（1）根据天然气收费标准，分段计算张阿姨家月份天然气费用； （2）根据月份张阿姨家天然气费是元，可知月份张阿姨家用气量超过了立方米，少于立方米，设月份张阿姨家用气量为立方米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：月份用气量为立方米， 月份的费用是（元）， 答：张阿姨家月份天然气费元； （2）解：当用气量为立方米时， 所需费用为（元）， 当用气量为立方米时， 所需费用为（元）， 月份张阿姨家天然气费是元， 月份张阿姨家用气量超过了立方米，少于立方米， 设月份张阿姨家用气量为立方米， 根据题意可得：， 解得：， 答：张阿姨家月份用气量为立方米． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨. 一、单选题 1.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用销售问题的基本等量关系，依次表示出标价、售价，根据利润的等量关系列出方程即可判断． 【详解】解：设成本价为元， ∵ 风衣按成本价提高后标价， ∴ 标价为， ∵ 标价再打七五折销售， ∴ 实际售价为， ∵ 获利等于实际售价减去成本价，已知获利20元， ∴ 可列方程为． 3．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 4．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的高为，则盒子的宽为，根据“正方形的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形的边长． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴这个正方形纸板的边长为． 二、填空题 5．（2026·陕西榆林·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；劣田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、劣田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今买良、劣田共1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田有x亩，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设良田有亩，劣田有亩，根据“今并买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱”，即可列出关于的一元一次方程． 【详解】解：设良田有亩，劣田有亩， 根据题意得：． 6．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的工程问题应用，解题思路为将总工作量看作单位1，先求出两人的工作效率，再根据总工作量等于各部分工作量之和列方程． 【详解】解：将总工作量看作单位， ∴老师的工作效率为，小亮的工作效率为， ∴小亮先录入，完成的工作量为， ∴两人共同录入小时，完成的工作量为， ∴列方程得：． 7．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】 42 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 8．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 三、解答题 9.（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【答案】(1)A盲盒5人，B盲盒12人 (2)280 元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键； （1）设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，列出方程进行求解即可； （2）设每套礼盒的标价为元，根据利润等于售价减成本，等于成本乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒． 根据题意得 解得 ， ； 答：应分配 5 名工人生产 盲盒，12 名工人生产 盲盒． （2）设每套礼盒的标价为 元， 根据题意得： ， 解得：； 答：每套礼盒的标价为 280 元． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据两点间距离公式可得到B点表示的数； （2）后点表示的数为，点表示的数为，再由两点之间距离公式建立方程求解①②． 【详解】（1）解：因为数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， 则， 所以B点表示的数为， （2）解：①根据题意得，后点表示的数为，点表示的数为 则， 解得， 所以当时，点表示的数相同； ②根据题意得， 解得或 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为 所以当点与点之间的距离为6时，点所表示的数为或． 11．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【答案】(1)； (2)应交电费元 (3)该户居民用电372度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400度的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240度，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400度，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电度． 12．（25-26七年级上·广西钦州·期末）如图是学校的一块长方形空地的设计方案，其中长方形池塘和半圆形休息区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形休息区的直径和长方形池塘的宽相等．（以下结果用含的代数式表示，结果保留） (1)分别直接写出长方形池塘的面积和半圆形休息区的面积； (2)若，绿化草地每平方米需要费用元，请计算这个空地中绿化草地的费用； (3)在不知道池塘周长的情况下，小丽和小云同学同时从池塘边处出发，围绕着池塘边，按相反方向匀速行进．出发6分钟后两人相遇．相遇时，小丽比小云多行进了米．相遇4分钟后，小丽回到点，请分别求出两人每分钟行进多少米？ 【答案】(1)长方形池塘的面积为平方米，半圆形休息区的面积为平方米 (2)总费用为元 (3)小丽每分钟走米，小云每分钟走米 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据题意，算出池塘的长宽即可；休息区即为半圆的面积； （2）将值代入（1）中的代数式计算出绿地的面积，再用绿地的面积乘即可； （3）根据题意判断出小丽在2分钟内走了360米，即可得出小丽的速度，然后求出小云的速度即可． 【详解】（1）解：池塘的长和宽分别为米，米， ∴池塘面积为平方米， 半圆休息区直径为米，故半径为米， ∴半圆休息区的面积为平方米， ∴长方形池塘的面积为平方米，半圆形休息区的面积为平方米． （2）解：由题可得，绿化草地的面积为平方米， 当时，上式为， ， ∴总费用为元． （3）解：根据题意，小丽10分钟走完全程， 即5分钟的位置为总路程的一半， 相遇时，小丽多走的360米，占用小丽2分钟， ∴小丽的速度为米/分， ∴总路程为米， 小云6分钟的路程为米， ∴小云的速度为米/分， 故小丽每分钟走米，小云每分钟走米． 一、单选题 1.（26-27六年级上·上海·开学考试）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 2．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据答错与未答题数的倍数关系设未知数，结合总得分列方程求解． 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 3．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）下列哪个数不是4个连续偶数之和？（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】推导4个连续偶数之和的数值特征，以此判断各选项． 【详解】解：设4个连续偶数中最小的为（为偶数），则四数之和为， 是偶数， 是奇数， 四数之和为4的倍数，且除以4的结果为奇数， A.，为奇数，符合； B.，为奇数，符合； C.，为偶数，不符合，故选C； D.，为奇数，符合． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【答案】B 【分析】设小明家六月用水吨. 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 二、填空题 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则剩余千克做茶杯， 千克瓷泥做个茶壶，千克共做个茶壶， 千克瓷泥做只茶杯，千克共做只茶杯， 每套茶具需要个茶壶、只茶杯， 代入得方程：． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】 480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 10．（25-26七年级上·四川广元·期末）手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据长方形性质得出，由表示出，由表示出，利用两个长方形周长相等建立等量关系求解即可． 【详解】解：四边形是长方形，， ， ， ， 长方形与长方形的周长相等， ， ， ， ， ， ， ， ． 3、 解答题 11．（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）某中学将举行“歌唱祖国”主题歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同． (1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ (2)如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张、小红旗1面，恰好全部分完，请问贴纸和小红旗各多少袋？ 【答案】(1)每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元 (2)购买贴纸40袋，购买小红旗50袋 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键正确找出题中的等量关系． （1）设每袋贴纸为x元，每袋红旗为元，列出方程即可求出答案． （2）设购买贴纸y袋，购买小红旗袋，列出方程即可求出答案． 【详解】（1）设每袋贴纸为x元，每袋红旗为元， 根据题意列出方程可得：， ∴， ∴， 答：每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元． （2）设购买贴纸y袋，购买小红旗袋， 根据题意可知：， ∴， ∴， 答：购买贴纸40袋，购买小红旗50袋． 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）交城县某中学举行篮球赛，在一周的比赛结束后，公布出的积分榜如下： 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 七（1）班 6 3 3 9 七（2）班 6 1 5 7 七（3）班 6 5 1 11 七（4）班 6 6 0 12 (1)分析积分榜，胜一场比负一场多得几分？ (2)某班的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)胜一场比负一场多得1分 (2) 解：不能，理由如下： 设某班的负场数是场，那么胜场数是场， ， 解得：． 因为负场数是整数，不是整数，所以某班的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）根据七（4）班胜6场，积分12，得出胜一场的得分，设负一场得分，根据七（1）班积9分，列出方程，解方程即可； （2）设某班的负场数是场，那么胜场数是场，根据负场总积分等于它的胜场总积分的2倍，列出方程，解方程，进行判断即可． 【详解】（1）解：七（4）班胜6场，积分12，则胜一场得分：（分）， 任选一个班级例如七（1）班， 设负一场得分， ， 解得：， （分）． 答：胜一场比负一场多得1分． （2）略 13．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，中，，，，．若动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒．设出发的时间为秒． (1)当点在线段上时，______．（用含的代数式表示） (2)当点在线段上时． ①若为直角三角形，则的取值范围是____． ②若点到的两边距离相等时，求的值． (3)另有一动点从点开始．按的路径运动．且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时．另一点也停止运动，请直接写出为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) (2)①；② (3)或5 【分析】（1）根据求出的长即可； （2）①当在上运动时，为直角三角形，可得； ②过点P作于点D，连接，由题意，，，利用三角形的等面积求得x值即可解答； （3）分三种情况讨论：当点在上，在上；当点在上，在上，当当点在上，在上，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：动点从点开始以每秒的速度运动， 出发4秒后，则， 此时点P在线段上，即点处， 故当点P在线段上时，， ∴； （2）解：①当在上运动时，为直角三角形， ； ②如图，过点P作于点D，连接， 由题意，． 设， 由得， ∵，，， ∴， 解得， 则（秒）； （3）解：的周长为， 当点在上，在上，如图， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 当点在上，在上，如图， 则,， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒），此时，不符合题意，舍去； 当点在上，在上，如图， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， （秒）； 综上所述，当或5秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $