6.8 余角和补角同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义聚焦余角和补角的定义、性质，方向角的概念及表示方法，七巧板的构成与面积计算。从概念理解到性质应用，再到实际情境中的方向描述和几何图形拼摆，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过典例与变式结合，如方向角的校区位置题培养几何直观（数学眼光），余角补角性质辨析题提升推理意识（数学思维）。课中辅助分层教学，课后过关验收助力学生查漏补缺，强化知识应用与实践能力。

第六章 6.8 余角和补角 内 容 导 航 题型1 方向角 题型2 余角和补角 题型3 七巧板 考 点 演 练 题型1 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，点A位于点O的（　　）方向上． A．北偏东65° B．北偏西65° C．南偏东65° D．南偏西65° 【变式1】如图，我校五象校区位于图中点A处，三塘校区位于图中点O处，则五象校区A位于三塘校区O的哪个方向上（　　） A．西偏南60° B．南偏西20° C．北偏西160° D．东偏南110° 【变式2】轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船C的北偏东30°方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则∠ACB＝（　　） A．75° B．105° C．125° D．145° 【变式3】小兰在少年宫观察到学校在自己的北偏西30°方向上，下列选项中符合题目条件的是（　　） A． B． C． D． 题型2 余角和补角 解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【典例1】如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，那么下列式子中一定表示∠α的余角的有（　　）个 ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列说法正确的有（　　）个． ①连接两点的线段叫做两点的距离； ②角可以看作是由一条射线绕着一点旋转而形成的图形； ③两个锐角的和一定小于平角； ④两个角互补，则它们的角平分线成90°角； ⑤如果∠1+∠2+∠3＝180°，那么∠1，∠2，∠3互为补角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，C，D在线段BE上，下列四个说法： ①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条； ②图中有3对互为补角的角； ③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°； ④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为23． 其中正确说法的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　） A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补 C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105° 题型3 七巧板 解｜题｜知｜识 （1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形． （2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号． （3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了． 【典例1】用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ． 过 关 验 收 1．下列说法中，错误的是（　　） A．两个质数的积一定是合数 B．9时30分，钟面上时针与分针组成的较小夹角是一个钝角 C．一个零件长0.2厘米，画在图纸上长是30厘米，这幅图的比例尺是1：150 D．如果A在B的北偏东40°方向，那么B在A的南偏西40°方向 2．智能机器人的出现，给我们的生活带来了很大的便利，下面是笑笑家小区快递驿站智能机器人送快递的行走路线图． （1）机器人从快递驿站出发，先到达A栋楼，再到达B栋楼．它是怎么走的？ （2）机器人的最终目的地是C栋楼，C栋位于B栋南偏东30°方向20米处．请你在图上表示出C栋楼的位置． 3．一个角的度数为54°11′23″，则这个角的余角和补角的度数分别为（　　） A．35°48′37″，125°48′37″ B．35°48′37″，144°11′23″ C．36°11′23″，125°48′37″ D．36°11′23″，144°11′23″ 4．下列说法：①等角的余角相等；②如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离；④正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法中错误的是（　　） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点 D．若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角 6．下列说法中，错误的是（　　） A．两点之间的线段最短 B．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 C．一个锐角的余角比这个角的补角小 D．如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为36°22′ 7．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 8．一个角的余角比它的补角的少10°，则这个角为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 6.8 余角和补角 内 容 导 航 题型1 方向角 题型2 余角和补角 题型3 七巧板 考 点 演 练 题型1 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，点A位于点O的（　　）方向上． A．北偏东65° B．北偏西65° C．南偏东65° D．南偏西65° 【答案】B 【解答】解：由图知，点A位于点O的北偏西65°方向上， 故选：B． 【变式1】如图，我校五象校区位于图中点A处，三塘校区位于图中点O处，则五象校区A位于三塘校区O的哪个方向上（　　） A．西偏南60° B．南偏西20° C．北偏西160° D．东偏南110° 【答案】B 【解答】解：五象校区A位于三塘校区O的南偏西20°方向上， 故选：B． 【变式2】轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船C的北偏东30°方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则∠ACB＝（　　） A．75° B．105° C．125° D．145° 【答案】B 【解答】解：由题意得，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°+45°＝105°， 故选：B． 【变式3】小兰在少年宫观察到学校在自己的北偏西30°方向上，下列选项中符合题目条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：小兰在少年宫观察到学校在自己的北偏西30°方向上， 故选：C． 题型2 余角和补角 解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【典例1】如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，那么下列式子中一定表示∠α的余角的有（　　）个 ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由题意可得：∠α+∠β＝180°， ∴∠α的余角为90°﹣∠α． ①90°﹣∠α，直接是余角，正确． ②∠β﹣90°＝（180°﹣∠α）﹣90°＝90°﹣∠α，是余角，正确． ③，不一定等于90°﹣∠α，错误． ④90°﹣∠α，是余角，正确． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的有（　　）个． ①连接两点的线段叫做两点的距离； ②角可以看作是由一条射线绕着一点旋转而形成的图形； ③两个锐角的和一定小于平角； ④两个角互补，则它们的角平分线成90°角； ⑤如果∠1+∠2+∠3＝180°，那么∠1，∠2，∠3互为补角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①连接两点的线段的长度叫做两点的距离，说法错误； ②角可以看作是由一条射线绕着一点旋转而形成的图形，说法正确； ③锐角小于90°，两个锐角的和小于180°，即小于平角，说法正确； ④如图所示，∠BAC+∠EDF＝180°，AG平分∠BAC，DH平分∠EDF，AG与DH并不垂直，而是在同一条直线上，说法错误； ⑤如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，说法错误． 说法正确的有②和③，共2个． 故选：B． 【变式2】如图，C，D在线段BE上，下列四个说法： ①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条； ②图中有3对互为补角的角； ③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°； ④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为23． 其中正确说法的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条， 故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补， 故②错误； ③由∠BAE＝110°，∠DAC＝40°， 根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝110°+110°+110°+40°＝370°， 故③正确； ④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝15，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝4+3+5+0+5+3+5＝25，④错误． 正确的结论有2个， 故选：B． 【变式3】如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　） A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补 C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105° 【答案】A 【解答】解：由图可知：∠α+90°+∠β＝180°， ∴∠α+∠β＝90°， ∴∠α和∠β互余； 故选：A． 题型3 七巧板 解｜题｜知｜识 （1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形． （2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号． （3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了． 【典例1】用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： 12÷32×1， 答：阴影部分的面积为． 故选：B． 【变式1】如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图， ∵图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积＝4， 由图形可知，阴影部分面积为4×24， 故答案为：． 过 关 验 收 1．下列说法中，错误的是（　　） A．两个质数的积一定是合数 B．9时30分，钟面上时针与分针组成的较小夹角是一个钝角 C．一个零件长0.2厘米，画在图纸上长是30厘米，这幅图的比例尺是1：150 D．如果A在B的北偏东40°方向，那么B在A的南偏西40°方向 【答案】C 【解答】解：A．两个质数的积一定是合数，因此选项A不符合题意； B.9时30分，钟面上时针与分针组成的较小夹角30°×3+15°＝105°，是钝角，因此选项B不符合题意； C．一个零件长0.2厘米，画在图纸上长是30厘米，这幅图的比例尺是150：1，因此选项C符合题意； D．如果A在B的北偏东40°方向，那么B在A的南偏西40°方向，因此选项D不符合题意． 故选：C． 2．智能机器人的出现，给我们的生活带来了很大的便利，下面是笑笑家小区快递驿站智能机器人送快递的行走路线图． （1）机器人从快递驿站出发，先到达A栋楼，再到达B栋楼．它是怎么走的？ （2）机器人的最终目的地是C栋楼，C栋位于B栋南偏东30°方向20米处．请你在图上表示出C栋楼的位置． 【答案】（1）机器人先在北偏西40°方向走20米，然后在北偏东60°方向走30米； （2） 【解答】解：（1）根据笑笑家小区快递驿站智能机器人送快递的行走路线图可得： ∵机器人从快递驿站出发，先到达A栋楼，再到达B栋楼． ∴机器人先在北偏西40°方向走20米，然后在北偏东60°方向走30米； （2）C栋楼的位置如图所示： 3．一个角的度数为54°11′23″，则这个角的余角和补角的度数分别为（　　） A．35°48′37″，125°48′37″ B．35°48′37″，144°11′23″ C．36°11′23″，125°48′37″ D．36°11′23″，144°11′23″ 【答案】A 【解答】解：∵一个角的度数为54°11′23″， ∴这个角的余角的度数为：90°﹣54°11′23″＝35°48′37″； 补角的度数为：180°﹣54°11′23″＝125°48′37″． 故选：A． 4．下列说法：①等角的余角相等；②如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离；④正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据余角的性质、乘方的性质和倒数的定义、线段的性质逐项分析判断如下： ①等角的余角相等，正确，符合题意； ②如果a＝2，b＝﹣1，满足a大于b，但是a的倒数大于b的倒数﹣1，错误，不符合题意； ③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，正确，符合题意； ④正数的任何次幂都是正数，但负数的偶数次幂是正数，错误，故不符合题意； ⑤若A，B，C不共线，AB＝BC，则点B不是线段AC的中点，错误，故不符合题意； 正确的说法有①③，共2个， 故选：B． 5．下列说法中错误的是（　　） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点 D．若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角 【答案】C 【解答】解：A、点是构成图形的基本元素，正确，故此选项不符合题意； B、一个锐角的补角是钝角，一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； C、若AC＝BC，且A、C、B在一条直线上时，点C才是线段AB的中点，原说法错误，故此选项符合题意； D、若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角，正确故此选项不符合题意； 故选：C． 6．下列说法中，错误的是（　　） A．两点之间的线段最短 B．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 C．一个锐角的余角比这个角的补角小 D．如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为36°22′ 【答案】B 【解答】解：A、两点之间的线段最短，是线段的性质，故本小题正确，不符合题意； B、两个直角也是互补的角，故本小题错误，符合题意； C、一个锐角α的余角是90°﹣α，这个角的补角是180°﹣α，（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，正确，不符合题意； D、如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为90°﹣53°38′＝36°22′，故本小题正确，不符合题意； 故选：B． 7．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余； 图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β； 图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β； 图④，∠α+∠β＝180°，互补． 故选：A． 8．一个角的余角比它的补角的少10°，则这个角为　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：一个角的余角比它的补角的少10°， 设这个角的度数为x， ， 解得x＝60°， 故答案为：60°． 学科网（北京）股份有限公司 $