4.8 图形的位似（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.8 图形的位似 题型一：求位似图形的对应坐标 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，， ，， 和是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， ，轴， ，， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在第二象限， 点的纵坐标为， 点在点的左侧， 点的横坐标为， ． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解： ，， ， ， ， 以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为， 点的坐标为，即． 6．（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图作轴，轴，根据点坐标可得，，根据相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，而， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴． 题型二：位似图形的识别 1．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 2．（2026·江苏泰州·二模）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 3．（25-26九年级下·广西钦州·阶段检测）如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． ∴C符合题意． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 5．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 题型三：找出位似中心（坐标） 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查求位似中心坐标，涉及正方形性质、图形与坐标、平行线性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记位似图形定义及位似中心的作法是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似中心，注意根据位似图形的性质求解是关键．连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． 【详解】∵如图，连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点， ， 是由经过位似变换得到的， 相似比为， 则，即， 解得． 故位似中心P的坐标为． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 题型四：求两个位似图形的相似比 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 4．（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 【答案】 【分析】由题意易得，且相似比为，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 题型五：画已知图形放大或缩小n倍的位似图形 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比是． 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】由于所给网格有限，所以只画出与原图形在原点同侧的情况．将四边形各顶点的横、纵坐标同时乘以，得到对应点坐标，，，，在平面直角坐标系中描出这四个点，顺次连接，所得四边形即为符合要求的位似图形． 【详解】略 2．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略； （2）解：，且， ∴； （3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 4．（25-26七年级下·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】(1)线段为所求： (2) 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【详解】（1）略． （2）解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 7．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 题型六：利用位似的性质求解 1．（2026·河北沧州·三模）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 2．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据圆的定义，，结合在轴上，可知轴是过圆心且垂直于弦的直线，直接利用垂径定理，得到轴平分弦，即，再由点的坐标求出的长度，得到的值． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴． 由题意可得点、在上，是的弦． ∵点在轴上，且轴轴， ∴由垂径定理可知，轴平分弦，即． ∵， ∴． ∵点在轴正半轴上，坐标为， ∴． 3．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，四边形是正方形，可以求出正方形的边长为，、，利用勾股定理求出的长度为，从而可知，设，即可求出，利用勾股定理列方程求出的值，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， 点的坐标为，， ，， ， 由折叠可知， ， ，， 设，则有， 由折叠可知， ， ， 解得：， ， ． 4．（2026·江西九江·一模）如图在平面直角坐标系中，点分别在轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 【答案】或或 【分析】分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴，，，， ∴，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得：， ， ∵， 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵ 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 综上，的长为或或． 5．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 【答案】3或 【分析】由题意可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2， ∴当时，，即点的坐标为， 此时， ∴，此时不满足恰有两条线段长度的比值为2，故不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 综上所述，线段的长为3或． 6．（2026·浙江金华·一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 【答案】 【分析】连接，，记正方形对角线的交点为，由题意可知三点在同一直线上，先根据正方形的面积求出其边长，进而推出，再利用位似性质求出，即可解题． 解题的关键在于灵活运用位似图形的性质． 【详解】解：连接，，记正方形对角线的交点为， 由题意可知三点在同一直线上， 正方形的面积为4， ， ， ， ， ， ， ． 题型一：位似图形中新定义类题型 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 2．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在上时，点在点C时，n的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于直线对称得到“第一对应点”， 关于直线对称得到“第二对应点”， 点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”． ∴当点在上时，，解得， 当点在点C时，，解得， ∵线段与的边有公共点， ∴， ∴整数n的值为1，2，3． 故选：C 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）定义：在平面直角坐标系中，点，，若（a为常数），则称点为点的“级位移点”，如：点为点的“级位移点”，如图，，，若点的“级位移点”在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，求一元一次不等式，理解题中所给定义是解题的关键． 先根据所给定义，表示出点的“级位移点”，再结合点和点的坐标，得出关于，的等式及不等式，据此进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的“级位移点”的坐标为． ∵点，，且点的“级位移点”在线段上， ∴，， 则， 解得． 故答案为：． 题型二：位似图形中最值问题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、，动点P在以点B为圆心，半径为1的圆上，点Q在直线的上方，且满足，，则的最大值为________________． 【答案】 【分析】连接，，将绕点A逆时针旋转得，连接，过点作轴于点，以点为圆心，为半径画圆，连接并延长，交于点，证明，得出，证明，得出，，说明点Q在以点为圆心，1为半径的圆上，从而得出当点Q在点处时，最大，且最大值为，求出最大值即可． 【详解】解：连接，，将绕点A逆时针旋转得，连接，过点作轴于点，以点为圆心，为半径画圆，连接并延长，交于点，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点Q在以点为圆心，1为半径的圆上， ∴当点Q在点处时，最大，且最大值为， ∵， ∴的最大值为． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”． （1）若点的坐标为，点的坐标为，则在点，，中，的“等高点”是_____； （2）若，，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是_____． 【答案】 A或B Q（）或Q（） 【分析】（1）根据“等高点”定义，即点到线段所在直线的距离为2，由 ， 纵坐标均为 2可知线段 平行于 轴，故只需验证各候选点纵坐标是否满足 即可筛选出符合条件的点； （2）求“等高距离” 的最小值，利用几何性质可知，当 关于高 对称（即 ）时，腰长之和最小，此时结合勾股定理求出腰长 ，再设 ，利用 和 建立方程组，求解 点坐标，注意 点可能位于 轴两侧，需分类讨论得出两个解． 【详解】（1）解：，， 点，到的距离为． 的“等高点”是或． (2)如图2，过的“等高点”作于点， ，． 设，则， 在和中，由勾股定理得： ， 当最小时也最小，此时， 即， 为等腰三角形， ， 如图3，设坐标为，过点作轴于点， 则在和中由勾股定理得： 解得， 当点在第一象限时，当点在第二象限时， ∴故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义型几何问题、点到直线的距离公式、勾股定理以及利用几何性质（如对称性、等腰三角形性质）求线段和的最小值，关键是准确理解“等高点”与“等高距离”的定义，将代数坐标运算与几何图形性质相结合，特别是在第二问中，能够识别出当为等腰三角形时取得最小值，并熟练运用勾股定理建立方程求解点的坐标． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 【答案】 【分析】设点坐标为，点坐标为，利用及相似三角形性质得出与的数量关系；根据中点坐标公式表示出点的坐标，表示出的长度，配方后求解即可． 【详解】设，， ， ∴， ， ， ∵， ∴ ， 整理得，即点坐标为， 为的中点 , 设，则，， ∴， ∴ ， ， ∴当时，有最小值，最小值为． 4．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、根据勾股定理可得，在点与之间总有如图，、、、四点共线，此时等号成立如图可得线段取最大值． 【详解】解：取的中点，连接、、． ， ． 同理． 正方形，为中点，， ． 在点与之间总有如图， 由于的大小为定值，只要，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立如图． 线段取最大值． 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴与位似，点为位似中心， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到， ∴，，，点，，三点在同一条直线上． ∴， 只有选项C符合题意． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方形的长为,宽为，根据点的坐标及长方形排列规律可得出二元一次方程组计算长宽，再根据排列规律计算点的坐标． 【详解】设大小完全相同的长方形纸片长为,宽为，由点坐标可得 解得：， 点横坐标，纵坐标， 所以点． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 7．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 【答案】A 【分析】四边形是以为边的平行四边形，可知，根据的面积为、，可知边与的距离为，从而可以确定． 【详解】解：四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故A选项符合题意； 四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故B选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故C选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故D选项不符合题意． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 9．（2022·浙江温州·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作，进而可证明，根据全等性质得，，设，根据反比例函数的图象在第一象限，可判断，，，根据反比例函数的几何意义得：，进一步求出、等于，，，即可得，再根据列方程即可得，进一步得，把的坐标代入解析式，列出方程，解出即可得的值，代入计算即可得的值． 【详解】解：如图， 过点作于，过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴，，， 根据反比例函数的几何意义得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴，解得：，即：， ∴， ∵的图象经过点， ∴，化简得：，解得：，（舍）， ∴． 10．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 【答案】 / 【分析】两个点纵坐标相等时，两个点连成的线段平行x轴，利用平行线的性质和角平分线的定义得出，用勾股定理求出的长进行求解； 【详解】解：∵点A、点B的坐标为和， 轴 ∴， ， ， ， 在中，， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴点D的坐标为． 11．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比． 【答案】如图，四边形即为所求四边形； 所画四边形与四边形的位似中心是原点，相似比是2∶1． 【分析】根据题图可知点坐标是：，点坐标是：，点坐标是：， 点坐标是：，将四个顶点的横、纵坐标分别乘，可得：点坐标是：，点坐标是：，点坐标是：， 点坐标是：，据此作图，然后连接，，，可知连线经过原点，判断位似中心和相似比即可． 【详解】略 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，， (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：由题意把点A、B、C横纵坐标都乘以得到， 作图略； （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 14．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中，满足方程组，点和点分别在x轴和y轴上． (1)求，两点的坐标并描出它们； (2)移动点，当最小时，连接，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当点到轴的距离为时，求三角形的面积． 【答案】(1)点，点 (2) (3)三角形的面积为或 【分析】（1）解方程组求出、的值即可得到点、的坐标； （2）根据点、、的坐标可得：，，，根据梯形的面积公式求出结果即可； （3）因为点到轴的距离为，所以点的坐标是或，分情况求出的面积。 【详解】（1）解：方程组， 可得：， 点的坐标是，点的坐标是； 图略； （2）解：如下图所示， 在轴上，且最短， 轴，则轴， 点的坐标是， ，， 点的坐标是， ， 四边形的面积为：； （3）解：如下图所示， 点到轴的距离为，且点在轴上， 点的坐标为或， 由（2）得点， 或， 或， 的面积为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.8 图形的位似 题型一：求位似图形的对应坐标 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型二：位似图形的识别 1．下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·二模）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 3．（25-26九年级下·广西钦州·阶段检测）如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 题型三：找出位似中心（坐标） 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 5．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：求两个位似图形的相似比 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 4．（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 题型五：画已知图形放大或缩小n倍的位似图形 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比是． 2．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 4．（25-26七年级下·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 7．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 题型六：利用位似的性质求解 1．（2026·河北沧州·三模）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 2．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，点的坐标为，则的值为___________． 3．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 4．（2026·江西九江·一模）如图在平面直角坐标系中，点分别在轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 5．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 6．（2026·浙江金华·一模）古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则，C两点之间的距离为_____________． 题型一：位似图形中新定义类题型 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）定义：在平面直角坐标系中，点，，若（a为常数），则称点为点的“级位移点”，如：点为点的“级位移点”，如图，，，若点的“级位移点”在线段上，则的取值范围是______． 题型二：位似图形中最值问题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、，动点P在以点B为圆心，半径为1的圆上，点Q在直线的上方，且满足，，则的最大值为________________． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”． （1）若点的坐标为，点的坐标为，则在点，，中，的“等高点”是_____； （2）若，，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是_____． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 4．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 9．（2022·浙江温州·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 10．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 11．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，， (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 14．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中，满足方程组，点和点分别在x轴和y轴上． (1)求，两点的坐标并描出它们； (2)移动点，当最小时，连接，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当点到轴的距离为时，求三角形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $