专题03 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题03 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形中（双）A字型模型 题型1 “A”字模型（重） 题型2 反“A”字模型（高频） 题型3 同向双“A”字模型（高频） 考点二 相似三角形中（双）8字型模型 题型1 “8”字模型（重） 题型2 反“8”字模型（高频） 题型3 平行双“8”字模型（高频） 题型4 “A”字模型与“8”字模型综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形中（双）A字型模型 ◆题型1“A”字模型 “A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． (1)若，求线段的长； (2)若的面积是36，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行可得，再由相似三角形的性质求解即可； （2）利用共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：由（1）可得 ∴ ∵共以为底边上的高， ∴ ∴ ∴． 2．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理计算的度数，因为是两个三角形的公共角，如果能得到另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似； （2）由可推出与的比值，因为已证两个三角形相似，所以对应边成比例，结合的长度，代入比例式即可求解； （3）根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得到两个三角形的相似比，结合的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ，即，解得， ∴的长为； （3）， ，即， ， ∴的面积为． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． ◆题型2 反“A”字模型 反“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 4．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 5．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 【答案】(1)10 (2)50 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）由（1）可知相似比为，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此列比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即， 解得：， ∴的面积为50． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． ◆题型3 同向双“A”字模型 同向双“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 7.如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D，，分别交，，于点E，F，G，，，，求的长和的面积． 【答案】的长为9，的面积为54 【分析】根据，可得，则，即可求出的面积，再依据，得出，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ． ∴， ∵， ∴ 解得， ， ， ， 又， ， 解得． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期中）认知基础：如图：，直线与平行线交于、、、、、，则，，……，即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： (1)如图1，，直线，交于点，与，分别交于、、、，若，，则的长度为_____； (2)如图2，中，，，，，，求的长； (3)如图3，中，，点在上，且，，，求的长度； (4)如图4，矩形中，，，点是对角线上一点，且，延长交于点，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先由得到，然后根据平行线分线段成比例求解； （2）根据平行线分线段成比例求解； （3）首先得到，然后证明出，然后利用相似三角形的性质求解； （4）由矩形得到，，，证明出，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即 ∴ ∵ ∴，即 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； （4）解：∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． 考点二 相似三角形中（双）8字型模型 ◆题型1 “8”字模型 “8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 10．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，与交于点，且． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)16 (2)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由得到，根据相似三角形的性质求出，即可求出； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）略 11．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，证明，运用相似三角形的性质可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)12 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 反“8”字模型 反“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 13．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 14．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 平行双“8”字模型 平行双“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图3，AB∥CD；结论： 16.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 17．（2026·云南楚雄·一模）如图，在等腰中，，平分，分别过点A，C作，的平行线交于点E，连接，交于点F，G． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）根据题意可知，即四边形是平行四边形，再结合等腰三角形三线合一得到即可得证； （2）先证，得到，则F是的中点，再过点F作的平行线，交于点H，求得，再由求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∴四边形是平行四边形． ∵在中，平分， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F是的中点． 如解图，过点F作的平行线，交于点H， ∴H为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3． 18．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证： (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）证明，得到，则可证明，得到，证明，推出，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型4 “A”字模型与“8”字模型综合 19．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 20．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点． (1)求证：． (2)连接，，两线相交于点．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， , 为的中点， ． 在和中， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合为边的中点，通过证明，推出； （2）由平行四边形的性质以及为的中点条件，推出，从而得到和的面积比为，进而得到的面积，由与等高，推出的面积，相加得到的面积，从而求得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形，为边的中点， ，， ，， ， ． 的面积为， ． ， ， ， ， ． 21．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，过点E作，与相交于点F，求证：； (2)已知； ①如图2所示，若，且，，求的度数； ②如图3所示，如果点M在边上，连接，，，与交于N．如果，，且，求边的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ； (2)①；② 【分析】（1）由，根据平行线分线段成比例定理，．已知，代入比例式即可证得； （2）①连接并延长与的延长线交于点F，由得，；由证，得，；在中，，得，故； ②延长、交于，过点E作，垂足为点Q，由得；由证，推，得；再证明，求得，接着利用，求得，进而求得． 【详解】（1）略 （2）解：①连接并延长与的延长线交于点F，如图， 且， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ； ②延长，交于点P，过点E作，垂足为点Q，如图， ， ， ， 由①知， ∴， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， 又∵， ， ， ∴是的中位线， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， ， 解得（负值舍去）， ， ， ， 解得， ， ， ∴在中，， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得出，，再证明，然后证明，即可作答． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·竞赛）在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？ A． B． C．15 D． E． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．，得出，求出；证明，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 10．（25-26九年级上·广东清远·期末）有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 【答案】见解析 【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论． 【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在图中，， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得， ， ， 图方法符合要求． 11．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 13．（25-26九年级上·广东阳江·阶段练习）在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． (2)如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 【答案】(1)，过程见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有，．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 14．（2025·广东佛山·三模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则______；______． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：2；； （2）解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； ②如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模 型 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形中（双）A字型模型 题型1“A”字模型（重） 题型2反“A”字模型（高频） 题型3同向双“A”字模型（高频） 考点二相似三角形中（双)8字型模型 题型1“8”字模型（重） 题型2反“8”字棋型（高频） 题型3平行双“8”字模型（高频） 题型4“A”字棋型与“8”字棋型综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形中（双)A字型模型●一 ◆题型1“A”字模型 1. 【答案】(1)4 (2)24 【分析】(1)由平行可得△ADE∽△ABC,再由相似三角形的性质求解即可： (2)利用共高三角形面积比等于底之比求解即可. 【详解】(I)解：：DE∥BC .△ADE∽△ABC DE AD ·BCAB 1/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 1 :BC3’AB=12 .1 AD …312 .AD=4; DE AD 1 (2)解：由(1)可得BC=AB3 BD 2 ·AB3 △BDC,△ABC共以BD,AB为底边上的高， SABDC.DB ·SAABC AB SBDC二 2 363 5a-2×36=24 3 2. 【答案】1)证明：∠A=40,∠B=65°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°， ∴.∠AED=∠C, :∠A=∠A, :.△ADE∽△ABC: 15 02 144 325 【分析】(I)首先利用三角形内角和定理计算∠C的度数，因为∠A是两个三角形的公共角，如果能得到 另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似： (2)由AD:BD=2:3可推出AD与AB的比值，因为已证两个三角形相似，所以对应边成比例，结合AE 的长度，代入比例式即可求解AC； (3)根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得到两个三角形的相似比， 结合△ABC的面积，即可求出△ADE的面积. 【详解】(1)略 (2)AD:BD=2:3, 2/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD:AB=2:5, △ADE∽AABC, :D、AE “BAC,即亏C,解得4C 23 2, 15 ·4C的长为2： (3),△ADE△ABC SADE SABC AB 即SE=4 3625 144 :.SADE=25’ 144 ·△4DE的面积为25· 3. 【答案】(I)证明：NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC, 四边形POMN为矩形， .PN II BC. :四边形P'OMN'是正方形， .P'N'IIBC,MWN'⊥BC, PN∥P'N', PN'BN' PNBN· .MN⊥BC,MN'⊥BC, .:MN II M'N' .MN'BN' MN BN' PN MN' PNMN 在正方形P'OMN'中，PW'=MN', ∴.PN=MW .四边形POMN为正方形： 30 231 m 3/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)先证得四边形POMN为矩形.根据正方形的性质得到PNIPN',MNI‖MN',得到 P'N'BN'MN'BN' PN BN MN BN,由此证得PN-MN,即可得到结论； ②作AD1C于点D,D交pN于点长，银福。BC的面积-15n求AB-2”BC-25:4D 5, 设PN=X则Pg-=DE=E-号，由PNIRCE得APNARC即可求业pN 【详解】(1)略 (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, E B D M C S.AnC=1.5m2 ZBAC=90 4B4c=15. .AC=1.5m, ∴.AB=2m, BC=V22+1.52=2.5(m), BC:AD=15. AD=2x1.56 25(m), 设pN=m则P0=DE=m:E-号xm), PN∥BC, .AAPN∽△ABC, 6 -x 5 :=PW,即625 AD BC 30 解得x= 37 30 即Pw的长为37m 4/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2反“A”字模型 4.5 5. 【答案】(1)10 (2)50 【分析】(I)先证明△ECD∽△BCA,再利用相似三角形的性质列比例式求解即可： 3 (2)由(1)可知相似比为5，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此列比例式求解即可. CD CE 3 【详解】(1)解：：CACB5'∠ECD=∠BCA ∴.△ECD∽△BCA, ED CD 36 3 ÷BC5,即AB5,解得：AB=10 ED CD 3 (2)解：：△ECD∽△BCA'ABCA5' ·△ECD∽△BCA的相似比为5， 3 2 189 S.BCA 5 即S 25 解得：SBC=50 .△ABC的面积为50 6. 【答案】(I)证明：：∠ADE=∠C,∠A=∠A, .∴△ADEC∽AACB (2)48 【分析】(1)根据有两个角相等的三角形相似即可证明： (2)根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解. 【详解】(1)略： (2)解：△ADE∽△ACB,AB=3,AE=1, :E1 AB3’ S4E=1 SABC 9, 5/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△E=6, ..SAABC =54 S四边形8CHD=SABC-SAADE=54-6=48 ◆题型3同向效“A”字模型 7. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质 是解题关键。 (I)根据三角形内角和定理得出∠ADE=∠C,再由相似三角形的判定和性质确定∠DAF=∠CAG,即 可证明： EF AF (2)根据相似三角形的判定得出。4EF∽A4BG,再由性质得出BGAG,利用等量代换即可证明. 【详解】(1)证明：~∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠AED=∠B, ∠ADE=∠C, AD DF AC-CG' △ADFAACG. ∠DAF=∠CAG, AG平分∠BAC (2)∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG, .△AEF∽△ABG, EF AF BG AG 由(1)知△ADF∽△ACG, DF AF CGAG· EF DF ∴BGCG· 6130 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 【答案】AG的长为9，△AEF的面积为54 S△ME=AE29 【分析】根据EF∥BC,可得。AEFABC'则SAB25,即可求出 的面积，再依据 △AEF AG AE AD⊥BC,得出AD⊥EF,从而得到ADAB,即可求解. 【详解】解：，EF∥BC, :.△AEF∽△ABC S△匹=AE2-9 六SMRC AB225' SAABC =150 SAAEE9 .15025 解得S△Mr=54」 AD⊥BC, AD⊥EF, AG AE 3 AD AB 5 又：AD=15 4G、3 155 解得AG=9, 9. 【答案】(1)4 (②)AB=50 (3)DE=8 (4)2√29 0A 2 【分析】(1)首先由0A:OB=2:3得到AB5,然后根据平行线分线段成比例求解： (2)根据平行线分线段成比例求解： AD 2 (3)首先得到AB3,然后证明出△ADE∽△4BC,然后利用相似三角形的性质求解： 7/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)由矩形得到ABI‖CD,CD=AB=8,∠ABC=90°，证明出△BEF∽aDEC,求出BF=4,然后利用 勾股定理求解。 【详解】(1)解：OA:OB=2:3 .0A_2 …AB5 a∥b OC OA 0C2 ·CD=AB,即10=5 .0C=4: (2)解：，EF∥CD,AF=6,AD=10,AE=9, AF AE 69 ·4D=AC,即10=AC .AC=15 .DE∥BC AD AE 109 AB-AC,即AB15 AB=50 : (3)解：：AD=2BD 02 ·AB3 .·DE∥BC .△ADE∽△ABC AD DEDE 2 ·AB=BC,即12=3 DE=8: (4)解：，DE=2BE .BE 1 …DE2 ,四边形ABCD是矩形 .ABIICD,CD=AB=8,∠ABC=90° ∴.△BEF∽ADEC BF BE BF 1 CD=DE,即8=2 8/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF=4 .∠ABC=90°，BC=10 .CF=√BF2+BC2=2W29. ●考点二相似三角形中（双)8字型模型●一 ◆题型1“8”字模型 10. 【答案】(1)16 (2)证明：.AB=8,AE=4,AC=16, AB AE AC AB .∠BAE=∠CAB ∴.△ABE∽△ACB, .∠ABE=∠ACB 【分析】(I)由AB∥CD得到△ABE∽aCDE,根据相似三角形的性质求出CE,即可求出AC: (2)证明△ABE∽△ACB即可得出结论， 【详解】(1)解：.AB∥CD, ∴.△ABEACDE, AB AE 8 4 ·CD-CE,即24=CE, .CE=12, .AC=AE+CE=12+4=16. (2)略 11. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是矩形， .CD‖AB .∠PAg=∠DCQ∠QPA=∠QDC. △AP2∽△CD0； 9/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)D9=3v5 【分析】(1)根据矩形的性质，可得出CD‖AB,从而得出∠PA0=∠DCO,∠QPA=∠QDC,利用两角 对应相等的三角形相似得出结论： (2)由PD⊥AC,得∠A0D=90°，得出∠DA0=∠CD0,证明△ADOPADC0,运用相似三角形的性质 可得出D卫的长 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90° .∠AD0+∠CD0=90°， ,PD⊥AC, .∠AQD=∠CQD=90° .∠DAQ+∠ADQ=90° .∠ADQ+∠CDQ=90° ∴.∠DA9=∠CDQ 又∠AQD=∠CQD=90° .aADQ∽aDC2. DO CO ·AgD0 即D0=AgC2, .A9=3,C9=15 .D02=AQ.CQ=3×15=45 .D9=3v5 12. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB∥CD,AD∥BC .△ABE△GDE,△AED∽△FEB, AE DE EG DE EF BE'AE BE' AE EG ·EFAE' .'AE2=EF.EG 10/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)12 AE DE EG DE 【分析】(1)证明△ABE∽△GDE,△MED∽△FEB,得到EF-BE'AEBE, 据此可证明 AE2=EF.EG AE EG 1 (2)由全等三角形的性质得到AE=CE,则可得到EF=AE3,再由相似三角形的性质得到 AD AE 1 BF=EF3,据此求出BF的长即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：△ADE≌aCDE, .'AE=CE, EG 1 :CE3’ EG 1 小AB3, AEEG1 由(I)得EF=AE-3,△AEDn△FEB, AD AE 1 六BF=EF3 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=BC=6 .BF=18, .CF=BF-BC=12 ◆题型2反“8”字模型 13. 【答案】1.5 AB BO 【分析】由∠A=∠C,∠4OB=∠COD可得出AOBACOD,利用相似三角形的性质可得出CD-DO,代 入B0=4,DO=2,AB=3,即可求出CD的长. 【详解】解：AD与BC交于O点， .∠AOB=∠COD. 11/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LA=LC, .△AOBACOD. AB BO …CDD0 B0=4,D0=2,AB=3, .CD=1.5. 14. 【答案】(I)△ABC与△ADE相似，理由如下： .∠CDE=∠CBE, .180°-∠CDE=180°-∠CBE, .∠ADE=∠ABC, ∠A=∠A, .△ABCAADE: (2)△ABC与△ADE相似，理由如下： AB AD AC AE' AB AC :AD AE' ∠A=∠A, .△ABC∽△ADE 【分析】(1)根据两角相等，两三角形相似证明即可； (2)根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可. 【详解】(1)略 (2)略 15. 【答案】 (1)证明：如图， B AB∥AB 12/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AC'O∽△AC0,△B'CO∽△BC0, CO A'C CO B'C' .CO AC'CO BC A'C'B'C' .ACBC· A'C B'C .AC BC AC'、AC (②)解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即C8>8C),则能拍出大长腿的效果。 理由：过点B'作B'E∥AB交A'O于点E,连接CC交B'E于点F, :摄影师仰拍， ∴∠AEB是△EOF的外角 ∴.∠A'EB'>∠EFO 过点E作CC的平行线交线段A'B于点G, B C G B' .A'C'>GC' EF AC 由(1)得FB=BC· :EG∥CC', EF GC' ..FB'C'B' GC AC .C'B'BC A'C'>GC', AC'、AC CB>BC. 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键： (1)易证△AC'On△ACO,△B'C'O∽△BC0,即可得证： AC'、AC (2)依据题意证C8>BC即可，过点B作BE∥AB交AO于点E,连接CC交B'E于点F,过点E作 EF GC'GC'AC CC的平行线交线段B于点G·易得FB-C8,则c8=BC,再根据ArC'>GC,即可得解. 13/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型3平行效“8”字模型 16. 【答案】(1)AF=8 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证 三角形相似求解. (I)根据平行四边形的性质，可得AB=CD,AB∥CD,AD=BC,从而可证△EAF∽aCDF,利用相似 三角形性质求解，即可求得AF的长： GC GD GF GD (2)根据平行四边形的性质，可证ABCGADFG'DCGVABEG,从而可得GEGB,GC=GB, GC GF 再可得GEGC,从而证得GC2=GF.GE 【详解】(1)解：四边形ABCD是平行四边形，BC=12, ∴.AB=CD,AB∥CD,AD=BC=12, .AEAF∽ACDF, AFAE DF DC' ·BE=3CD=3AB .AE=2CD AF AE 2CD “DF DC CD -2, :AF =2DF, AE=2AD=12=8 3 (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC, :∴.△DCGn△BEG,△BCG△DFG, .'△DCG∽△BEG 14/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GC GD GE GB' △BCG∽aDFG, GF GD GCGB· GC GF GE GC .GC2=GEGF 17. 【答案】(1)见解析： (2)3 【分析】(1)根据题意可知AE∥CD,CE∥AD,即四边形ADCE是平行四边形，再结合等腰三角形三 线合一得到AD⊥BC即可得证； (2)先证△AEF≌aDBF(AAS),得到AF=DF,则F是AD的中点，再过点F作AC的平行线，交BC于 BH 3 点H,求得BC=4,再由△BFH∽△BGC求解即可. 【详解】(1)证明：根据题意得AE∥CD,CE∥AD, ∴.四边形ADCE是平行四边形 ,在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC,即∠ADC=90°，， ∴.四边形ADCE是矩形： (2)解：由(1)得，四边形ADCE是矩形，AB=AC,AD⊥BC, .AE=DC=BD,AE∥BD ,∠AEF=∠DBF, .∠AFE=∠DFB .△AEF≌aDBF(AAS), :'AF =DF, F是AD的中点， 如解图，过点F作AC的平行线，交BC于点H, 15/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .H为DC的中点. BH 3 BC4 GC∥FH, ∴.△BFH∽△BGC, BF BH 3 ·BGBC4' GF 1 ∴BF3 BF ·GF的值为3. 18. 【答案】(I)证明：，BE2=EFAE, BE AE ·EFBE' 又，∠BEF=∠AEB、 ∴.△BEFAAEB. ∴.∠EBF=∠EAB； ,AD∥BC, .∠ADB=∠EBF, ,∠ADB=∠FAB, 又，∠ABD=∠FBA, .△DAB∽△AFB: (2)证明：：AB.OB=BC·AF, AB AF ∴.BCOB 由(I)知∠EBF=∠EAB, ∴.△ABFABCO, 16/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFB=∠BOC, .180°-∠AFB=180°-∠B0C, ∴.∠AFO=∠AOF, ∴.AF=AO .∠BOC=∠AOD. .∠AFB=∠AOD 由(I)知∠BAF=∠BDA, .△AOD∽△BFA, OA OD ∴BFAF' ..OA.AF =OD.BF ∴.AF2=OD.BF, 【分析】(1)证明△BEFAEB,得到∠EBF=∠EAB,则可证明∠ADB=∠FAB,进而可证明 △DAB∽△AFB: (2)证明△ABF∽aBCO,得到∠AFB=∠BOC,则可证明∠AFO=∠AOF,得到AF=AO,证明 △AOD∽aBFA,推出OA·AF=OD.BF,则可证明AF2=ODBF. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型4“A”字模型与“8”字模型综合 19. 【答案】DC=3cm,EC=2.4cm AD 1 AD 1 DF 1 AE 1 【分析】根据BD=AB-AD即可求BD2,根据DEI AF结合BD2可得DC=2,EC2,进而求 解。 【详解】解：：AD=2cm,AB=6cm, .'BD=AB-AD=6-2=4cm. D21 BD 4 2 AD 1 :DEIAF,且BD2: 17/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF 1 AE 1 DC=2'EC=2, FD =1.5cm,AE =1.2cm .1.511.21 DC-2'EC-2' ∴.DC=3cm,EC=2.4cm 20. 【答案】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC ∴∠ADC=∠FCE, E为DC的中点， ..DE=CE 在△ADE和△FCE中， 「∠ADE=∠FCE DE=CE ∠AED=∠FEC .AADE≌AFCE(ASA). :AD=FC, .BC=FC (2)24 【分析】(I)利用平行四边形的性质，结合E为边DC的中点，通过证明△ADE≌aFCE,推出BC=FC, (2)由平行四边形的性质以及E为DC的中点条件，推出△CEG∽aABG,从而得到△ABG和△CEG的面积 比为4，进而得到△ABG的面积，由△ABG与△BGC等高，推出△BGC的面积，相加得到△ABC的面积，从 而求得ABCD的面积. 【详解】(1)略 (2)解：四边形ABCD是平行四边形，E为边DC的中点， .ABII DC.AB=DC=2EC, .∠BAG=∠ECG,∠AGB=∠CGE, .ACEG△ABG, S△4BG AB)2 =4 SACEG CE ,△CEG的面积为2， 18/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .SMRG=4SACG=4×2=8 △CEG∽△ABG, GC CE 1 GAAB2’ 2×8=4, .SAABC =SAMRG+SARGC =8+4=12 .S。ABD=2SAMc=2×12=24, 21. 【答案】(1) 证明：AD∥BC∥EF, AE DE AB DC' AE-TAB, 3 DF-3CD: (2)①120°，②2V3 【分行]时山由DARCNFF,根搭平行线分线段成比例定，理侣-设。已知4=写，代入比例式 即可证得DrCD, (2)①连接DE并延长与CB的延长线交于点F,由AE=2得AB=6,EB=4;由AD∥BC证 △ADEDFE,得aF=4'PC=9:在RtDFC中，mF=号 =3,得∠F=30°，故∠4=120： ②延长BA、CD交于P,过点E作E0⊥BC,垂足为点O,由△PAD△PBC得PA=2;由 CD'=DM·DN证△DCN∽aDMC,推EM∥CD,得BM=MC=4;再证明△CNM∽aCME,求得CE, 接着利用E0=BE2-Bg2=CE2-CQ,求得B2,Eg,进而求得CD. 【详解】(1)略 (2)解：①连接DE并延长与CB的延长线交于点F,如图， 19/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D --- 且 B AE-4B AE=2 .AB=3AE=6, .EB=4, AD∥BC, ∴.△ADEP△BFE, AE AD BE BF' 22 4FB' ∴.FB=4=BE, BC=5,DC=3V3,∠C=90°， .tanf= DC33 3 FC 93 ∴.∠F=30° ·BF=BE,AE=AD .∠F=∠FEB=30°，∠AED=∠ADE ,∠FEB=∠AED, .∠AED=∠ADE=30°， ∠A=120°： ②延长BA,CD交于点P,过点E作E01BC,垂足为点Q,如图， D E N OM C:AD∥BC .∴APAD∽aPBC, PA AD 21 PB BC 8 4' 由①知AB=6, 20/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA 1 PA+AB4' 解得PA=2, CD2=DM·DN, CD DN DM CD' :∠CDN=∠MDC, .△DCN∽△DMC, ∴.∠DCN=∠CMD :∠DMC=∠CEM, ∴.∠CEM=∠DCN, ∴.EM∥CD. BE BM EPMC· 由AB=6,AE=2得，BE=4, 又，PE=PA+AE=4, =1=BM BE EP MC' .BM=MC=4. :.EM是△PBC的中位线， :E1 PC 2' 设ME=2a,则PC=4a, AD∥BC, PD PA 1 PC PB 4' :.PD=a,DC=3a, .EM∥CD ∴.△ENM∽△CND. EN EM 2 CN DC3' 设EN=2b,则CN=3b,CE=5b, :∠DMC=∠CEM,∠ECM=∠MCN, 21/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴aCNM∽aCME, CN CM CMCE,即cM2=CW.CE: .16=3b.5b 解得b=45 15 (负值舍去)， .CE=415 3 .EO2=BE2-BO2=CE2-CO2. .42-B02= 4V15 3 -(8-BQ2, 10 解得BQ= 3 ÷BQ=BE2-BQ=4 ~OM=BM-BQ=4-10_2 33 在RtEOM中，EM=VEg+QM_45 .EM 2 DC3, .DC=2W3」 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.c 2.D 3.A 4.B 二、填空题 5.5 22/30 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.15 7.5 6 8.51.2 三、解答题 9. 【答案】0.8秒和2秒 【详解】解：设经过t秒钟△PBO与△ABC相似， 已知点P从点A开始沿边AB向点B以2Cms的速度移动， 点O从点B开始沿边BC向点C以4Cm/s的速度移动. 可得AP=2tcm,BQ=4tcm 因为AB=8cm,所以PB=(8-2t)cm 分两种情况讨论： PB BO 情况一：当AB=BC时，△PBQPABC, PB BO 将PB=8-21,AB=8,B0=4H,BC=16代入ABBC, 8-2t_4t 可得：8=16，可得28-2)=41： 解得t=2: PB BO 情况二：当BC=AB时，△PBO∽aCBA· PB BO 将PB=8-21AB=8BQ=4,BC=16代入BC=AB, 8-2t4t 可得：16=8，可得8-21=8 解得t=0.8 因为点p从点移动到点。所寄时间为；的， ,16=4s 点Q从点B移动到点c所需时间为4 而t=2和t=0.8都在0<t<4这个范围内，所以这两个值都符合题意. 综上所述：0.8秒和2秒后△PBO和△CBA相似. 23/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 【答案】见解析 【详解】解：在图1中设正方形的边长为x,则DC=x,AD=40-x, :∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°， ∴.△ADEP△ACB, AD DE 40-xx AC=BC,即40=30： 120 解得x= 7, ·.BC=30,AC=40 .AB=AC2+BC2=50, 在图2中，Sw=4CBC=)4BCH. 2 :CH-4C:BC_30x40=24, AB 50 DE∥AB, ∴.∠CDG=∠A,∠CGD=∠B, .∴△CDEP△CAB DE CM AB HC 上=24-y 设DE=y,则50=24， 600 解得y= 37 600120 37 7 ..y<x, 图1方法符合要求。 11 AG 2 【答案】(I)AF3 24130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD 2 【详解】(1)解：~DE∥BC'AB3 AG AD 2 .AF AB 3' AG 2 即AF=3: AD 2 (2)DE∥BC:AB=3' AE AD 2 .AC AB3' AE=5, AC= 2· 12. 【答案】(I)FOB;EOD:CDB:FBA:FCE CE 2 (②BF=10:Dc-5 【详解】(1)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, .△AODP△FOB,△AOB∽△EOD,△ABD∽ACDB,△ADE∽△FCE,△ADE∽△FBA,△FCE∽△FBA, .△ADEP△FBAP△FCE: 故答案为：FOB;EOD;CDB:FBA:FCE: (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC, .AD=6, .BC=6, CF 2 BC3’ .CF=4, ∴.BF=BC+CF=6+4=10, .EC∥AB ∴.△FEC△FAB, CE FC ·ABFB' 25/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC42 :FB105 CE_2 ·AB5' CE 2 ·DC5, CE2 即BF=10'DC5 13. 【答案】()2，过程见解析 2 【详解】(I),AF∥BC, ∠F=∠EBC, ,BE是AC边上的中线， .AE=EC, .∠AEF=∠BEC, .△AEF≌aCEB(AAS), .AF=BC」 设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3, ,AF∥BC, △APF∽aDPB, 、PAAF3 PD BD2 (2)解：如图：过点A作AF∥DB,交BE的延长线于点F, PNE B CD 1 设DC=k,由BC2得BC=2k,DB=DC+BC=3k· 26/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是AC中点， .AE=CE ,AF∥DB, .∠F=∠PBD, 在△AEF和△CEB中， ∠F=∠PBD ∠AEF=∠BEC, AE=CE .△AEF≌aCEB(AAS). ∴.AF=BC=2k, .AF∥BC, ∴.△APF∽△DPB, PA AF 2k 2 PDBD3k3· 14. 【答案】(1)2：V3 (2)BD=2BC,理由见解析 (3)3V3或3v6 【详辨1)解：DE-D,0E-万 :.CD=3DE=37, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD=3V7, .△DEP△BAP DE DP 7DP :4B8P,即3V7=6 .DP =2. AE⊥BD, 在Rt4BP中，AP=NAB2-BP=3-6=35, 在RIADP中，AD=VAP2+Dp=V35+2=VS. 27/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2；31： (2)解：BD=2BC,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD :4=AB, Γ3 2 BE=AB 3 2CD AB‖CD, .△BEPADCP. BP EP BE 2 .DP CP DC3 ∴设EP=2a,则CP=3a,CE=CP+EP=5a, .BC=CE=5a, CE⊥BD 在Rt△BCP中，BP=VBC2-Cp=v5a}-(3a=4a, BP 2 DP 3' DP-3BP=6a, 2 :.BD=DP+BP=10a, BC=5a, :BD=2BC (3)解：分两种情况讨论： 1 ①如图，若DE=CD=,AB=3, 在矩形 中， B ABCD ABI∥CD ∴.△DEPABAP, EP DE 1 ∴.APAB3 28/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设EP=a,则AP=3EP=3a,AE=AP+EP=4a, AE⊥BD, .∠DPE=90°， :在矩形ABCD中，∠ADC=90°， .∠DPE=∠ADE ∠DEP=∠AED, .∴△DEP∽AAED, DE EP 3 a :AEED,即4a3, 3 解得a=2（负值舍去)， .AE=6, :.在RtAADE中，AD=VAE2-DE2=3V: ②如图，若DE 2cD=2AB=6, 3 E 在矩形 中， B ABCD ABI∥CD ∴.△DEP△BAP, EP DE 2 .AP AB3' 设EP=2b,则AP=3b,AE=AP+EP=5b, AE⊥BD, .∠DPE=90°， 在矩形ABCD中，∠ADC=90°， .∠DPE=∠ADE, .∠DEP=∠AED, ∴.△DEP∽△AED, DE EP 62b AEED即 b6’ 解得6=30 5 (负值舍去)， 29130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=3V10, ∴在RtAADE中，AD=VAE2-DE2=36: 综上所述，AD的长为3W3或3W6, 30/30函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模 型 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形中（双）A字型模型 题型1“A”字模型（重） 题型2反“A”字模型（高频） 题型3同向双“A”字模型（高频） 考点二相似三角形中（双)8字型模型 题型1“8”字模型（重） 题型2反“8”字棋型（高频） 题型3平行双“8”字模型（高频） 题型4“A”字棋型与“8”字棋型综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形中（双)A字型模型。 ◆题型1“A”字模型 “A”字棋型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应 角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 条件：如图，DEBC;结论：△ADE一△ABC一=三 1.(26-27九年级上·上海浦东新阶段检测)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 1 DE∥BC· BC3,连接DC: B C (I)若AB=12,求线段AD的长： (2)若△ABC的面积是36，求△BDC的面积. 2.(26-27九年级上·上海闵行阶段检测)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°， ∠B=65°，∠AED=75° (I)求证：△ADE∽△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=3,求AC的长： (3)在(2)的条件下，若△ABC的面积为36，求△ADE的面积. 3.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，P'是边AB上一点，四边形P'OMN'是正方形， 点O',M'在边BC上，点N'在△ABC内.连结BW',并延长交AC于点N,M⊥BC于点M,NP⊥MN 交AB于点P,PQ⊥BC于点Q. D D B 0'O MM 备用图 (1)求证：四边形PQMN为正方形： (2)若∠A=90°，AC=1.5m,△ABC的面积=1.5m2.求PN的长. ◆题型2反“A”字模型 反“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. D E B< C 条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE一△ACB=== 4.如图，△ADEn△ACB,DE=3,SADE:S边形BCED=9:16,则BC的长一. D C 5.(26-27九年级上·浙江温州阶段检测)如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AC上的点，连接DE. CD CE 3 若CA-CB5'DE=6' (1)求AB的长. (2)若△CDE的面积为18，请求出△ABC的面积 6.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足 ∠ADE=∠C B (I)求证：△ADEAACB: (2)若AB=3,AE=1,SAs=6,求S网边形D. ◆题型3同向双“A”字模型 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同向双“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有 个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以 判定这两个三角形相似. EG FG AG 条件：如图，EFBC;结论：△AEF-△ABC,△AEG-△ABD,△AGF-△MDC=BD CD AD 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G, AD DF 且ACCG (1)求证：AG平分∠BAC: EF DF (2)求证：BGCG 8.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB, AC·D于点2，E,G.怎-AD=15·S=150,求AG的长和ABr的面积 G D 9.(25-26八年级下山东烟台期中)认知基础：如图：a∥b∥c,直线m,n与平行线交于A、B、C、 AB DE AB DE DEF,则BC=EF,AC=DF,…,即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E b m n 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： D E B B B 图1 图2 图3 图4 (I)如图l,a∥b,直线m,n交于点0，与a,b分别交于A、B、C、D,若OA:OB=2:3,CD=10, 则OC的长度为一： (②)如图2，△ABC中，DE∥BC,EF∥CD,AF=6,AD=10,AE=9,求AB的长： (3)如图3，△ABC中，BC=12,点D在AB上，且AD=2BD,DE∥BC,EFI‖AB,求DE的长度： (4)如图4，矩形ABCD中，AB=8,BC=10,点E是对角线BD上一点，且DE=2BE,延长CE交AB于 点F,求CF的长. 一·考点二相似三角形中（双)8字型模型● ◆题型1“8”字模型 “8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. 条件：如图1，AB‖CD;结论：△AOB一△COD=== 10.(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，AB∥CD,AC与BD交于点E,且 AB=8,CD=24,AE=4 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求AC的长： (2)求证：∠ABE=∠ACB 11.(26-27九年级上·北京顺义阶段检测)如图，矩形ABCD中，点P为AB边上一动点，DP交AC于点 0. D C B (1)求证：△AP2∽△CD0: (2)当PD⊥AC时，AQ=3,CQ=15,求D0的长. 12.(26-27九年级上·浙江金华阶段检测)如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接 AG并延长，交BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接EC,可知△ADE≌aCDE: (1)求证：AE2=EF·EG. EG 1 (②若CE3,正方形ABCD的边长为6，求线段CF的长。 ◆题型2反“8”字模型 反“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. 条件：如图2，∠A=∠D结论：△AOB一△DOC%=三 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26九年级上北京房山期中)如图，AD与BC交于0点，∠A=∠C,B0=4,D0=2,AB=3, 求CD的长。 14.(26-27九年级上·陕西渭南期中)如图，在△ABC中，点D在AC边上，点E在AB的延长线上，连 接DE. (I)若∠CDE=∠CBE,则△ABC与△ADE是否相似？为什么？ AB AD (②)若AC=AE,则AABC与。ADE是否相似？为什么？ 15.(25-26九年级上：广东深圳期中)综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图()，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条。 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图(b),由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成 A'C AC 像分别在A,B处，线段AB的像是线段A'B,AB上点C的像是点C',若AB∥AB'求证：BC=BC: 【数学语言】(2)如图（©），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为AB,腿部 AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由. b (c) ◆题型3平行双“8”字模型 平行双“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边对应成比例就可以判定这两个三角形相似. AE BE AB 如图3，ABIICD;结论：DF CF CD 条件： 16.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G. D E B (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长， (2)求证：GC2=GF.GE」 17.(2026云南楚雄·一模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,分别过点A,C作BC, AD的平行线交于点E,连接BE,交AD,AC于点F,G (I)求证：四边形ADCE是矩形： BE (②)求GF的值. 18.(26-27九年级上·上海闵行·阶段检测)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,E是边BC上一点， AE与对角线BD相交于点F,且BE2=EF·AE 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：△DAB∽△AFB (②)联结AC,与BD相交于点O,若AB.OB=BCAF,求证：AF2=OD.BF. ◆题型4“A”字模型与“8”字模型综合 19.(26-27九年级上上海杨浦阶段检测)如图，己知 DE∥AF∥BC,AD=2cm,AB=6cm,FD=1.5cm,AE=1.2cm,分别求出DC和EC的值. 20.(26-27九年级下·全国·单元复习)如图，在口ABCD中，E为边DC的中点，连接AE,AE的延长线 和BC的延长线相交于点F. E (I)求证：BC=FC」 (2)连接AC,BE,两线相交于点G.若aCEG的面积为2，求口ABCD的面积. 21.(25-26九年级下·内蒙古通辽阶段检测)在梯形ABCD中，AD∥BC,点E在边AB上，且 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B M 图1 图2 图3 (①)如图1所示，过点E作EF∥BC,与DC相交于点F,求证：DF=CD: (2)已知AD=AE=2: ①如图2所示，若DC⊥BC,且BC=5,DC=33,求∠A的度数： ②如图3所示，如果点M在边BC上，连接EM,DM,EC,DM与EC交于N.如果∠DMC=∠CEM BC=8,且CD=DM·DN,求边CD的长. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2025江苏南京·三模)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交 于点E,F,若AB=2,CD=4,则下列关系正确的是() AE 1 A0 1 E01 AD 1 A.CF=2 B. C0-2 C.F02 D. BC2 2.(25-26九年级上全国期末)如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长， 交BC边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F,已知AF=2,则线段AE的长是() D A.16 B.12 c.10 D.6 3.(2025八年级下全国竞赛)在等腰三角形ABC中，边AB和BC的长度相等.在下图中，由平行于 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC的线段形成的△ABC中的两个阴影部分具有相同的面积.两个空白部分的高度分别为11和5.问 △ABC的高h是多少？ B 11 h 5 A.14.6 B.14.8 C.15 D.15.2 E.15.4 AD AE 1 4.(25-26九年级上四川巴中期中)如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DB=EC=2, 下列结论正确的是() B A.DE:BC=1:2 B.△ADE与△ABC的面积比为1：9 C.△ADE与△ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则△ADE与△DEC的面积比为l:3 二、填空题 5.(25-26九年级上全国期中)如图，AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD 的长为 B 6.(2025云南模拟预测)如图，在。4BC中，点D,B分别在边AB'AC上，且 AD AE3 ACAB5,若 DE=9,则BC=一 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 7.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如图，△ABC,EG∥BC,BD=CD,EF=5,则FG= D 8.(25-26九年级上广东江门期末)如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD交于点G, AB=2,BG:DG=2:3,则GH的长为 H 三、解答题 9.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AB=8Cm,BC=16Cm,点P从点A出发沿 AB边向点B以2Cm/s的速度移动，点O从点B出发沿BC边向点C以4Cm/s的速度移动，如果P、O同时 出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ B 10.(25-26九年级上：广东清远·期末)有一块两条直角边BC、AC的长分别为30厘米和40厘米的 Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形.甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和 图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）· E D H B E 图1 图2 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26九年级上：上海课后作业)如图，在△MABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为 AD 2 BC上的一点，DE交AF于G,AB=3,AE=5'求： D∠G E B F AG ①AF: (2)AC的长. 12.(25-26九年级上四川眉山期末)如图，平行四边形ABCD中，点E为CD边上任意一点（不与点 C、D重合)，连接AE并延长与BC的延长线交于点F D B C (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来. △AOD∽A_,△AOB△_，△ABDn△-，△ADEn△_△_ CF 2 CE (②)若BC=3,AD=6,求BF的长及DC的值. 13.(25-26九年级上·广东阳江阶段练习)在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射 线BC上. E D D C B 图1 图2 CD 1 (D如图1，点D在BC边上，BD2,AD与BE相交于点P,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点 AP R,易得PD的值.请你写出求解过程。 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD 1 AP (②如图2，点D在BC的延长线上，4D与AC边上的中线BE的延长线交于点P,BC2,求PD的值. 14.(2025广东佛山三模)综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该 点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”， D E C D D B 图1 图2 图3 (1)理解应用 如图I,在口ABCD中，AE⊥BD于点P,交CD于点E,若E为CD的三等分点，则口ABCD是垂对三等 分平行四边形，P是重三等分点：若DE=CD,DE=N7,BP=6则DP=一：AD= (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足4-号4B.若CE=CB:试清姐 3 BD与BC的数量关系，并说明理由， (3)拓展延伸 已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P,交CD于点E,AB=9,当四边形ABCD是垂对三 等分平行四边形时，直接写出AD的长度. 14/14