专题02 相似三角形的判定和性质（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题02 相似三角形的判定和性质 常考题型·精准突破 题型1 判定两三角形是否相似（重） 题型2 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3 利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4 利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5 相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6 利用相似三角形测高问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 2．（2026·贵州·二模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 利用相似三角形的性质求解 4．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 5．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 6．（2026九年级上·上海·专题练习）如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． ◆题型3 利用相似三角形的性质多解问题 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，点P是边上的动点，点Q在上且，当以点Q，B，P为顶点的三角形与相似时，________． 8．（2027九年级下·全国·专题练习）将三角形纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若与相似，则的长是_____． 9．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． ◆题型4 利用相似三角形的性质多结论问题 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（     ） A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③ 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 12．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，等腰与等腰的顶点重合，，，，边与边交于点，边与边交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、并延长，分别交、的延长线于点G、H． (1)如图1，若四边形是菱形，求证：； (2)如图2，若四边形是正方形，，设，求y与x的函数关系式： (3)如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． ◆题型6 利用相似三角形测高问题 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶． (1)求小张与山的水平距离． (2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数） 17．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 18．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 7．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 9．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 10．（追梦中考模拟演练卷（二））如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 三、解答题 11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 13．（2026·河北保定·三模）如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知：正方形和正方形，点为线段上一点，且，延长，分别与边，交于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 15．（2026·广东揭阳·模拟预测）【定义】如图1，点O是的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定和性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判定两三角形是否相似（重） 题型2利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6利用相似三角形测高问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1.D 2.D 3.A ◆题型2利用相似三角形的性质求解 4.1:5 5.6 6.24 ◆题型3利用相似三角形的性质多解问题 7.2或8/8或2 12 8.7或2 9.5或12.5或45 ◆题型4利用相似三角形的性质多结论问题 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.D 11.D 12.D ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13. 【答案】(I)证明：：AB=AC,EA=ED,∠AED=∠BAC, ∠B=∠C-80P-∠BAC,∠D=∠DME-80-∠AED), .∠B=∠C=∠DAE=∠D, 又，∠AFG=∠AFC, .△FAG∽△FCA: (2)62 【分析】(1)根据等边对等角，推出∠C=∠FAG,结合∠AFG=∠AFC,即可得证； (2)根据相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：：BF=2,FG=4,CG=8, BG=BF+FG=6,CF=FG+CG=12 由(1)知：△FAGP△FCA. AG AF FG ·ACCF AF' ∴.AF2=FG.CF=4×12=48, .AF=4V5」 同(I)法可得△AFG∽aBAG, AG BG 六FGAG' .AG2=FG·BG=4×6=24, ..AG=2V6 AG AF AC-CF' 2W64V5 ·AC=12 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=6V2, .'AB=AC=62. 14. 【答案】()证明：：四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=∠B=90°. ∴.∠EAF+∠BAM=∠BAM+∠AMB=90°， ∴.∠EAF=∠AMB, ,EF⊥AM, .∠EFA=90°， .∠EFA=∠B, .△ABM∽aEFA: (2)10 【分析】(1)首先证明∠EAF=∠AMB,∠EFA=∠B=90°，即可证明△ABM∽△EFA, (2)首先利用勾股定理解得AM=4V5,结合F是AM的中点易得AF=2√5，由相似三角形的性质可得 AM BM AEAF,然后代入数值计算即可. 【详解】(1)略 (2)解：∠B=90°，AB=8,BM=4, .AM=VAB2+BM2=V82+42=45, F是AM的中点， 4r-4M-25, .△ABMP△EFA、 :AM、BM 54 即 AE25, 解得AE=10 15. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是菱形， AACD=∠ACB-BCD,AD/RC,.CD∥MB, .∠G=∠DCG,∠H=∠BCH, 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ECF=∠BCD, 2 ∠ACD=∠ACB=∠ECF, .∠DCG=∠ACH,∠BCE=∠ACG, .∠G=∠ACH,∠H=∠ACG. .△ACG∽aAHC, AC AG AH AC' .AC2=AH·AG」 (②y=18-6 6)18v2+30 AC AG 【分析】(1)通过证明。ACG∽a4HC可得伯AC,进而证明结论： AC AG (2)通过证明ACGA4HC可得AH-AC,可得AC'=AH,AG,通过证明△EAH AEBC可得 BEBC,即AH=3x AE AH 3-x,即可求y与x的函数关系式： (3)取BC中点M,过点M作MN∥BG交AD于点P,交CG于点N,连接CP,可证四边形CDPM是正 8由（可Namc白相制典形的作酒可待H=20-2w。N--号。 ,可 2 21 求AG的长. 【详解】(1)略 (2)解：如图：连接AC, B ,四边形ABCD是正方形， :ACD=∠ACB-ZRCD=45,AD/BC.CD∥AB: .G=∠DCG,∠H=∠BCH, 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LECF=45°=∠BCD. 2 .∠ACD=∠ACB=∠ECF, ∴.∠DCG=∠ACH,∠BCE=∠ACG, .LG=∠ACH,∠H=∠ACG, .△ACG∽△AHC. AC AG AH AC' .'AC2=AH.AG :BC=AB=3,∠B=90° AC2=BC2+AB2=18, 18 ∴18=AHy即y=AH, .BC∥AD △EAHP△EBC, AE AH x AH 3x 六BEBC,即3x3,即4H= -x 181818-6x . X. 3-x (3)解：如图：取BC中点M,过点M作MN∥BG交AD于点P,交CG于点N,连接CP, M B G .MN∥BG. .△CMNACBG. CM CN MN ·CB CG BG' M是BC中点， CM CN MN 1 ∴CB=CGBG2' 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=2CM,CG=2CN,BG=2MN. .CG=CH, ..CG=CH=2CN, .CD∥BA,MN∥BG. CDII MNIBG MC _DP=1, ·MBPA .DP=PA. AB:AD=1:2, ∴，设AB=a=CD,AD=2a=BC, ..CM=a=CD 又.BC∥AD,∠D=90°， ∴.四边形CDPM是正方形， ..CP=a+a=2a,PM=a :四边形CDPM是正方形，且∠GCH=45°， ∴.由(2)可得aCPN∽aHPC, 0保2 m=2Cr=22aPN=Cr=2。 , 2 2 MN-a+ -a,AH=PH-PA=2\2a-a' 2 AH=6, ∴.6=2W2a-a, 解得a=12v2+6 7, w24y,25+6-184s3,48-36 2 7 7 ·BG=2MW=36+30V2 7 .4G=BG-AB=36+302_12W2+618V2+30 7 7 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6利用相似三角形测高问题 16 【答案】(1)150.8m (2)这时山被古松遮挡部分的高度约为57.3m 【分析】(I)如详解(1)图，过点G作GM⊥CD于点M,交EF于点N,利用平行线分线段成比例定 理解答即可； (2)如详解(2)图，设此时视线E延长线交CD于点K,过点I作P⊥CD于点P,交EF于点Q,利用 △IQE∽aIPK得到比例式，代入已知条件解答即可， 【详解】(1)解：(I)如图①，过点G作GM⊥CD于点M,交EF于点N. 0 Mh. 图① 由题意，得GN=AF=20m, EN=EF-NF=EF-GA=12-1.6=10.4(m). DM=CD-CM=CD-GA=80-1.6=78.4(m) .∵EF∥CD GN EN 2010.4 GM=DM,即GM=78.4, 解得GM= 20×78.4 ≈150.8(m). 10.4 .AC=GM≈150.8m. (2)解：如图②，设此时视线IE延长线交CD于点K. D E 图② 过点I作P⊥CD于点P,交EF于点O 由题意，得CP=H=1.6m,1Q=30m,IP≈160.8m,E2=10.4m .EF∥CD, 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AOEAIPK 10 EO IP PK' 3010.4 即160.8PK, 解得PK≈10.4x160.8 55.7m) 30 .CK=PK+CP≈55.7+1.6=57.3m) 答：这时山被古松遮挡部分的高度约为57.3m. 17. 【答案】旗杆AB的高度为12米 【分析】过点E作AB的垂线，垂足为H,交CD于点G,若选择甲同学方案，利用平行，易得 CG EG △EGC∽AEHA,从而AH=EH,代入计算即可：若选择乙同学方案，利用平行，易得ECDPAEAB~ CD EG AEGD∽AEHB'从而可得ABEH,代入计算即可. 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点E作AB的垂线，垂足为H,交CD于点G, E G --H ■▣ FD B 由题可知，EG⊥CD,CD=2米，BH=DG=EF=1.5米，EG=DF=1.5米，GH=BD=30米， EH=EG+GH=1.5+30=31.5米，CG=CD-DG=0.5米， AB⊥BF,CD⊥BF, AB∥CD .△EGCn△EHA, CG EG 0.51.5 AHEH,即AH31.5: .AH=10.5米， .AB=AH+BH=10.5+1.5=12米， 则旗杆AB的高度为12米. 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若选择乙同学方案， 如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H,交CD于点G, B 由题可知，EG⊥CD,EH=30米，CD=16厘米=0.16米，EG=40厘米=0.4米， .CD‖AB ∴.△ECDOAEAB. AEGD∽AEHB ED CD ED EG ·EBAB'EBEH' CD EG 0.160.4 :ABEm,即AB30, .AB=12米， 则旗杆AB的高度为12米. 18. 【答案】(1)纪念碑的高度AB为15米 (2)多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量.（合理即可） 【分析】(1)设AB=xm,BD=m,则有PB=(I0.5+y)m,QB=QD+DB=(3+y)m,然后可得 △EFP∽AABP,△CDOAABO,进而根据相似三角形的性质可进行求解； (2)根据题意合理给出建议即可. 【详解】(1)解：设AB=xm,BD=m .EF AB .△EFP∽AABP, EF PF AB PB' .EF =2m, PF=4m,PB=PD+BD=PF+FD+BD=4+6.5+y=(10.5+y)m, 24 .= x10.5+y .CDI AB. 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△CDg∽△AB2, CD DO AB BO' CD=2m,DO=3m,OB=OD+DB=(3+y)m. 23 x3+y, 34 3+y10.5+y,解得y=19.5 经检验y=19.5是原分式方程的解，且符合题意. 2 4 -= x19.5+10.5' 解得x=15 经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意. 答：纪念碑的高度AB为15米. (2)略 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 二、填空题 6.∠ABC=∠D(答案不唯一) 641 7.917g 8.6 9.3或4.8 4V10-8 10.2或 3 10/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11. 【答案】路灯AB的高度为10.2m 【详解】解：如图 M N FD 令AB交CD于点H,设CH=x, 'AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥P2. ∴.PC∥AB.AB∥MN, ,∴AEPC∽△EBA,△MNFP△AHF, EP PC FN MN EB AB FH AH CD∥P2, ∴.四边形PBHC是平行四边形， ∴PB=CH=x,BH=PC=1.2 .EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, 0.41.2 3 1.8 0.4+xAB’18-xAB-1.2' 0.41.2 由0.4+x=AB,得AB=1.2+3x' 3 1.8 18-x1.2+3x-1.2 解得x=3, 经检验，x=3是原方程的解， .AB=1.2+3×3=10.2(m). 答：路灯AB的高度为l0.2m. 12. 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， .∠A=∠BCD, 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,E是BC的中点， :DE-EC-IBC, 2 ∴.∠ECD=∠EDC, .∠EDC=∠A, ∠F=∠F, △FCD∽△FDA; e3 【详解】(1)略： (2)解：2AD=3CD. CD 2 D3 .△FCD∽△FDA, FC FD CD 2 ·FD FA AD3' 设FD=6k, 则FC=4k,FA=9k. .'AC=FA-FC=5k. .FC_4k_4 CA 5k 5 R 13. 【答案】(I)证明：，等边△ABC, .∠A=∠B=∠C=60° .∠ADE+∠AED=180°-60°=120°， ,由旋转可得：∠EDF=60°， .∠ADE+∠CDQ=120°， .∠AED=∠CDQ .△ADE∽△CQD」 12/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ac0-普 【详解】(1)略 (2)解：在等边△ABC中，AB=12,AE=4, .AC=AB=12. ,AD=5, .CD=12-5=7, .△ADE∽△CQD, AD AE Co CD' 54 ∴C07 C0=35 4· 14. 【答案】(I)证明：，正方形AMND和正方形MBCN, .AD=DN=AM=MN=NC=BC=MB,∠ABC=∠BCD=90°， .'∠AGB=90°=∠ABC .∠BAE=∠CBF=90°-∠ABG, ∴△ABE∽△BCF: (2)V2-1 (3)证明：由(2)可知：a =-1,BC=d,CE=a-2b.BE-2b :b=(2-1a, BE2=(2b2=2(V2-1a=(12-82)a2, 4cE.CB=4(a-2b)a=4a2-8ab=4a2-8ab=4a2-8V2-la2=(12-82)a2, ∴.BE2=4CECB. 【详解】(1)略 (2)解：由(I)知：△ABEABCF,AM=BM=BC. CF BC 1 AB=AM+BM BC+BC=2BC'BE AB 2' 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 CF-BE, 设正方形的边长为a,CF=b,则BE=2b,设MN与AE交于点H, B 则AM=BM=BC=a,CE=BC-BE=a-2b」 .MNIIBC,CNI∥AB .△AMH∽aABE,△MHG∽△CEG,ACFG∽AMBG MH AM 1 CE CG CF CG BE AB2'MH MG'BM MG' :.MH=IBE=b. CE CF MH BM :MH-I BE=b CE CF 2 'MH BM' a-2b b :b a' ∴.a2-2ab-b2=0 1-2662 5-1或”5-1合去) a CG_CF-B-2-1: ·MG BM a (3)略 15. 【答案】(1)证明：当元=1时，则OM=ON, 在ABCD中，OA=OC,, 「OA=OC 在RtANO和RtACMO中，ON=OM' .RtAANOS≌RtACMO(HL), .∠BAC=∠BCA. :.BA=BC,. 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ABCD是菱形 ON BC (2有，OMAB 50 317 【详解】(1)略 (2)解：有， 在ABCD中，OA=OC, S△40B=S△coB, 号48ow-co, .A=ON BC OM AB (3)解：如图，过点O作OM⊥BC,ON⊥CD, 0 0 N ME 在矩形ABCD中，BD=10, AD=BC,AB=CD,∠BCD=90°，OB=OD=OC=5, :元=ON-BC4 OM AB 3' .设BC=4x,CD=AB=3x, .BD=VBC2+CD2=5x=10,解得：x=2, ..BC=8,CD=AB=6, :OB=OD=OC,OM⊥BC,ON⊥CD. .CN-CD-3,CM-I8C-4, 2 2 :∠OMC=∠MCN=∠ONC=90°， 四边形OMCN是矩形， ∴.∠MON=90°，OM=CN=3,ON=CM=4, ∠MON=∠EOF=90°， .∠MOE=∠NOF, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△MOE∽△NOF, NF ON 4 MEOM3· .设FN=4t,ME=3t, .CF=CN+FN=3+4t,CE=CM-ME=4-3t, SACOF=2SACOE 6+40k4=2×4-30x3，解得：1 :CE=4-3=4-3×717 .650 16/16 专题02 相似三角形的判定和性质 常考题型·精准突破 题型1 判定两三角形是否相似（重） 题型2 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3 利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4 利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5 相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6 利用相似三角形测高问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形判定条件验证选项，注意两边成比例需对应夹角相等. 【详解】解：A选项中，仅一组角相等，不满足相似判定条件，不符合题意； B、C选项中，的对应夹角为与，选项给出的角不是两边的夹角，不满足相似判定条件，不符合题意； D选项中，三组对应边成比例，可判定，符合题意． 2．（2026·贵州·二模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对顶角相等可得，结合相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：与是对顶角， ． 对于A，由得， 此时已知，但这组角不是，与，的夹角， 无法判定和相似，故选项A符合题意； 对于B，，且， 可判定，故选项B不符合题意； 对于C，， ， 又， 可判定，故选项C不符合题意； 对于D，，且, 可判定，故选项D不符合题意． ◆题型2 利用相似三角形的性质求解 4．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质“相似三角形的周长比等于相似比”求解即可． 【详解】解：与相似，相似比为， 与的周长比为． 5．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 【答案】6 【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 6．（2026九年级上·上海·专题练习）如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． 【答案】 【分析】设交于点，由长方形的边在的边上，顶点、分别在、上，是的高，得，则，四边形是矩形，所以，可证明，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵长方形的边在的边上，顶点、分别在、上， ∴，， ∴是的高， ∴， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴的长度是． ◆题型3 利用相似三角形的性质多解问题 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，点P是边上的动点，点Q在上且，当以点Q，B，P为顶点的三角形与相似时，________． 【答案】2或8/8或2 【分析】两个三角形有一个公共角，分两种情况讨论：（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出的长． 【详解】解：当时， 则， ，， ， ， 当时， 则， ，， ， ， 综上所述：或8． 8．（2027九年级下·全国·专题练习）将三角形纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若与相似，则的长是_____． 【答案】或2 【分析】设，则．由折叠的性质知．利用分类思想，结合三角形相似的性质，列式解答即可． 【详解】解：设，则．由折叠的性质知． 分两种情况：①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 综上所述，的长为或2． 9．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 【答案】 或或 【分析】 首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而得出；结合已知条件证明，利用相似比和角度关系推导出，进而得到当为等腰三角形时，为等腰三角形，进行讨论求解即可. 【详解】解：， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， ，， ∴， ， ∴当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当点在边上时： 当时，则； 当时，过点作于点， 在中， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得； ②当点在延长线上，， 故只有一种情况， ∴， 综上所述，的长为或或. ◆题型4 利用相似三角形的性质多结论问题 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（     ） A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，继而可得，，根据相似三角形的性质可得，即可得到，，，进而可判断①②③，根据相似三角形的判定方法可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴，故③正确， ∵与 中只有一对公共角相等， ∴与 不一定相似，故④错误． 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 12．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】证明，可得，可判断结论①；代入计算，可判断结论②；由正方形的性质可知，得到，再由得到，算出后可推出，可判断结论③；证明，再根据，可判断结论④． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确的结论个数为． ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，等腰与等腰的顶点重合，，，，边与边交于点，边与边交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据等边对等角，推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 同（1）法可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)10 【分析】（1）首先证明，，即可证明； （2）首先利用勾股定理解得，结合是的中点易得，由相似三角形的性质可得，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 15．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、并延长，分别交、的延长线于点G、H． (1)如图1，若四边形是菱形，求证：； (2)如图2，若四边形是正方形，，设，求y与x的函数关系式： (3)如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）通过证明可得，进而证明结论； （2）通过证明可得，可得，通过证明可得，即，即可求y与x的函数关系式； （3）取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接，可证四边形是正方形，由（2）可知，由相似三角形的性质可得，，可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即，即， ∴． （3）解：如图：取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴由（2）可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． ◆题型6 利用相似三角形测高问题 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶． (1)求小张与山的水平距离． (2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)这时山被古松遮挡部分的高度约为． 【分析】（1）如详解（1）图，过点作于点，交EF于点，利用平行线分线段成比例定理解答即可； （2）如详解（2）图，设此时视线延长线交于点，过点Ⅰ作于点，交于点，利用得到比例式，代入已知条件解答即可． 【详解】（1）解：（1）如图①，过点作于点，交EF于点． 由题意，得， ， ． ， ，即， 解得， ． （2）解：如图②，设此时视线IE延长线交于点． 过点作于点，交于点． 由题意，得，，，． ， ， ， 即， 解得， ． 答：这时山被古松遮挡部分的高度约为． 17．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． 18．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【答案】(1)纪念碑的高度为15米 (2)多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量．（合理即可） 【分析】（1）设，，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）根据题意合理给出建议即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，，， ， ，解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：纪念碑的高度为15米． （2）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 7．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 10．（追梦中考模拟演练卷（二））如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 三、解答题 11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 13．（2026·河北保定·三模）如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵等边， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明，，进一步证明即可； （2）证明，求解，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等边中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知：正方形和正方形，点为线段上一点，且，延长，分别与边，交于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴； (2) (3)证明：由（2）可知：，， ∴， ∴， ， ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，结合，即可得证； （2）由（1）可得，设正方形的边长为，，则，设与交于点，证明，得到，进而得到，推出，求出，即可得出结果； （3）由（2）的结论，得到，求出，的值，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：，， ∴，， ∴， 设正方形的边长为，，则，设与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴或（舍去）； ∴； （3）略 15．（2026·广东揭阳·模拟预测）【定义】如图1，点O是的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； 【答案】(1)证明：当时，则， ， 在和中，， ， ． ， 是菱形 (2)有， (3) 【分析】（1）当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； 【详解】（1）略 （2）解：有， ， ， ． （3）解：如图，过点作，， 在矩形中，， ，，，， ， 设，， ，解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $