第45讲 排列与组合专项训练-2027届高考数学一轮复习讲与练

第45讲 排列与组合 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 排列数与组合数 （重） 2 题型02 相邻与不相邻 重难 3 题型03 特殊元素与特殊位置 重难 3 题型04 分组与分配 重难 4 题型05 隔板法与名额分配 重难 5 题型06 环状排列 重难 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：排列组合计算与三大策略 考点聚焦：排列数、组合数公式与“有序无序”的判断 ▶ 题型01 排列数与组合数 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模） 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·二模） 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·山东潍坊·三模）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·二模） 的值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·浙江温州·二模）关于排列与组合，下列说法正确的是（　　） A． 有 个因数 B． C． D． 6．（2026·浙江绍兴·二模）关于排列数与组合数，下列说法正确的是（　　） A． B． C．对任意 ，都有 （规定 ） D． 三、填空题 7．（2026·山东济南·二模）若 ，则 ________． 8．（2026·河南开封·二模）若 ，则 ________． 考点聚焦：相邻用捆绑、不相邻用插空 ▶ 题型02 相邻与不相邻 一、单选题 1．（2026·四川成都·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 2．（2026·福建厦门·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生不相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 3．（2026·江苏无锡·三模） 名男生、 名女生排成一排，其中恰有 名女生相邻的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 4．（2026·福建泉州·二模） 名男生、 名女生排成一排，要求 名女生相邻且都不站在两端，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 二、多选题 5．（2026·湖北武汉·二模）关于相邻与不相邻问题，下列说法正确的是（　　） A．相邻问题用捆绑法 B．捆绑后要乘以整体内部的排列数 C． 个元素形成 个空隙（含两端） D．不相邻问题只能用插空法 6．（2026·湖南株洲·二模）关于相邻与不相邻问题的处理方法，下列说法正确的是（　　） A．用捆绑法时，被捆绑元素内部的顺序要计入排列数 B．用插空法时，先排无限制的元素，再把要求不相邻的元素插入它们形成的空隙（含两端） C．若要求某些元素中“恰有 个相邻”，可直接把这 个元素捆绑后一次排完，无需分类 D．相邻问题与不相邻问题都可以用间接法，即用全部排法减去对立情形的排法 三、填空题 7．（2026·江苏南京·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生不相邻的排法有________种． 8．（2026·安徽安庆·二模） 名同学排成一排，其中甲、乙相邻，丙、丁不相邻，则不同的排法共有________种． 考点聚焦：优先安排受限的元素或位置 ▶ 题型03 特殊元素与特殊位置 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·一模） 人排成一排，甲不站排头的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 2．（2026·安徽合肥·二模）从 名同学中选 人，甲必须在内，不同的选法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 3．（2026·湖北荆州·三模） 人排成一排，甲不站排头且乙不站排尾，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 4．（2026·江西九江·二模）从 名同学中选 人排成一排照相，要求甲必须入选且不站在两端，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 二、多选题 5．（2026·陕西西安·二模）关于特殊元素与特殊位置的处理，下列说法正确的是（　　） A．限制条件优先处理 B．“不”类限制可用间接法 C．直接法与间接法结果应一致 D．多个限制并存时应先处理最弱的 6．（2026·山西临汾·二模）关于特殊元素与特殊位置的处理，下列说法正确的是（　　） A．解决这类问题通常优先安排特殊元素或特殊位置 B．“甲不站排头”可用间接法，即用全部排法减去甲站排头的排法 C． 人排成一排，甲不站排头的排法有 种 D．特殊位置法一定比间接法计算量小 三、填空题 7．（2026·甘肃兰州·二模） 人排成一排，甲不站两端，共有________种排法． 8．（2026·陕西宝鸡·二模） 人排成一排，其中丙必须站在正中间，甲不站排头，乙不站排尾，则不同的排法共有________种． 考点聚焦：均匀分组要除以组数的阶乘 ▶ 题型04 分组与分配 一、单选题 1．（2026·辽宁大连·二模）把 名同学平均分成 组，每组 人，不同的分组方法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 2．（2026·江西南昌·二模）把 本不同的书分成两组，一组 本、一组 本，不同的分法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 3．（2026·辽宁鞍山·三模）把 名同学分成 组，每组至少 人，则不同的分组方法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 4．（2026·吉林延边·二模）把 名医生分配到 个不同的社区，每个社区至少 名医生，则不同的分配方案共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 二、多选题 5．（2026·山西太原·二模）关于分组与分配，下列说法正确的是（　　） A．平均分成 组要除以 B．各组数量不同时不需除序 C．分组后再分给不同对象要乘对象数的阶乘 D．分组与分配是一回事 6．（2026·广西桂林·二模）关于分组与分配问题，下列说法正确的是（　　） A．平均分组时需除以组数的阶乘，以去掉组的顺序 B．分组后把各组分配给不同对象，需再乘以对象数的阶乘 C． 本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人 本，共有 种分法 D．把 本不同的书分成 本、 本两组，共有 种分法 三、填空题 7．（2026·天津·二模）把 本不同的书分给 人，每人至少 本，共有________种分法． 8．（2026·云南曲靖·二模）把 本不同的书分给 名同学，每人至少 本，则不同的分法共有________种． 考点聚焦：相同元素分组用隔板，每份至少 1 个为 C(n-1,m-1) ▶ 题型05 隔板法与名额分配 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）将 个相同的名额分给 个单位，每个单位至少 个，共有（　　）种分法 A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·二模）方程 的非负整数解共有（　　）组 A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）关于隔板法，下列说法正确的是（　　） A．要求分配的元素完全相同 B．名额分配问题常用隔板法 C． 个相同元素分给 个对象且每个至少 个，分法为 D．元素不同时也可以直接用隔板法 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）将 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少 个，共有________种放法． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）将 个相同的名额分给甲、乙、丙三个单位．(1) 每个单位至少 个，有多少种分法？(2) 允许单位分不到，有多少种分法？ (1) 每单位至少 个的分法； (2) 允许分不到的分法． 考点聚焦：圆排列 (n-1)!，可翻转的项链再除以 2 ▶ 题型06 环状排列 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模） 个人围圆桌而坐，不同的坐法共有（　　）种 A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·二模）将 颗不同颜色的珠子串成一条项链（可翻转），不同的串法共有（　　）种 A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于环状排列，下列说法正确的是（　　） A． 个不同元素的圆排列数为 B．可翻转的项链排列数为 C．圆排列与元素的排列顺序无关 D． 个不同元素的圆排列有 种 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模） 个人围圆桌而坐，不同的坐法共有________种． 四、解答题 5．（2026·贵州遵义·模拟预测） 个人围圆桌而坐，其中甲、乙必须相邻，求不同的坐法数． (1) 捆绑后作圆排列； (2) 乘内部顺序得结果． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：综合计数与圆桌排列 1．（2026·全国·模拟预测）有 名男生、 名女生排成一排． (1) 若要求男女相间，共有多少种排法？ (2) 若要求男生全相邻，共有多少种排法？ 2．（2026·全国·模拟预测）从 名男生、 名女生中选 人参加活动． (1) 共有多少种选法？ (2) 若要求至少有 名女生，共有多少种选法？ 3．（2026·全国·模拟预测）把 名志愿者平均分成 组，分别派往 个不同的社区． (1) 共有多少种不同的分组方法？ (2) 共有多少种不同的派法？ 4．（2026·全国·模拟预测） 名同学（ 男 女）排成一排照相． (1) 若 名女生必须站在一起，共有多少种排法？ (2) 若 名女生两两不相邻，共有多少种排法？ (3) 若 名女生按身高从高到矮的顺序排列（不一定相邻），共有多少种排法？ 5．（2026·全国·模拟预测）某学习小组有 名男生（含甲、乙）和 名女生，现从中选出 人参加竞赛． (1) 若要求至少有 名女生，共有多少种选法？ (2) 若要求甲、乙两人中至少有 人入选，共有多少种选法？ (3) 若要求男、女生都有且女生人数不少于男生人数，共有多少种选法？ 6．（2026·全国·模拟预测）把 个完全相同的小球放入 个不同的盒子中． (1) 若每个盒子至少放 个，共有多少种放法？ (2) 若每个盒子至少放 个，共有多少种放法？ (3) 若每个盒子至少放 个且 个盒子中小球的个数互不相同，共有多少种放法？ 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：排列组合的高考真题 1．（2023·全国甲卷·T9） 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2022·新高考Ⅰ卷·T9） 人排成一排，甲、乙相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 3．（2021·全国乙卷·T9）把 名同学平均分成 组，不同的分组方法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 4．（2024·新高考Ⅱ卷·T9 改编） 名男生、 名女生排成一排， 名女生不相邻的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 5．（2022·全国乙卷·T9 改编） 人排成一排，甲不站排头也不站排尾，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 6．（2023·天津卷·T9 改编）从 名男生、 名女生中选 人参加座谈会，要求至少有 名女生，则不同的选法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 二、多选题 7．（2024·浙江卷·T9）关于排列组合的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．相邻问题用捆绑法 B．不相邻问题可用插空法 C．“至少”类问题可用间接法 D．平均分组不需要除序 8．（2023·湖北卷·T9）关于组合数的性质，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·浙江卷·T9 改编）关于排列组合的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．要求某些元素必须相邻时，用捆绑法 B．要求某些元素互不相邻时，用插空法 C．要求某些元素顺序固定时，可用全排列除以这些元素的全排列 D．分组问题中若各组元素个数相同，不必除以组数的阶乘 10．（2023·湖北卷·T9 改编）关于组合数的性质，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．对任意 ，都有 三、填空题 11．（2025·天津卷·T9）从 名同学中选 人分别担任正、副组长，共有________种不同的选法． 12．（2025·天津卷·T9 改编） 人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有________种． 四、解答题 13．（2026·全国·模拟预测）有 名男生、 名女生． (1) 选 人参加活动，共有多少种选法？ (2) 选 人且恰有 名女生，共有多少种选法？ (3) 选 人且至少有 名女生，共有多少种选法？ 14．（2026·全国·模拟预测） 名男生、 名女生（其中甲为男生）排成一排照相． (1) 若 名女生相邻，共有多少种排法？ (2) 若 名女生不相邻，共有多少种排法？ (3) 若甲站在排头且 名女生不相邻，共有多少种排法？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 排列与组合 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 排列数与组合数 （重） 2 题型02 相邻与不相邻 重难 4 题型03 特殊元素与特殊位置 重难 6 题型04 分组与分配 重难 9 题型05 隔板法与名额分配 重难 11 题型06 环状排列 重难 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 18 模拟·基础演练 考查重点：排列组合计算与三大策略 考点聚焦：排列数、组合数公式与“有序无序”的判断 ▶ 题型01 排列数与组合数 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模） 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从 起连乘 个因数。 【详解】； 所以 ，选 B． 2．（2026·河南郑州·二模） 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组合数等于排列数除以 。 【详解】； 所以 ，选 B． 3．（2026·山东潍坊·三模）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把排列数与组合数都化为阶乘之商，约去公共因式后解一次方程。 【详解】由排列数、组合数公式，，． 原式化为 ． 由 知 ，两边约去得 ，故 ，选 B． 4．（2026·河北唐山·二模） 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意 ，反复使用组合数的递推公式 逐项合并。 【详解】因为 ，所以 ． 再与 合并得 ，依此逐项合并，最终得 ． 故原式 ，选 C． 二、多选题 5．（2026·浙江温州·二模）关于排列与组合，下列说法正确的是（　　） A． 有 个因数 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项对照公式与性质。 【详解】 从 起连乘 个因数，A 正确； 组合数等于排列数除以 ，B 正确； 组合数有对称性，C 正确； ，D 错误．故选 ABC． 6．（2026·浙江绍兴·二模）关于排列数与组合数，下列说法正确的是（　　） A． B． C．对任意 ，都有 （规定 ） D． 【答案】ABD 【分析】由排列数、组合数的公式判断 A、B，用反例检验 C，用递推公式判断 D。 【详解】A：由 与 知 ，正确． B：由 ，正确． C：取 ，，则 ，故不是恒成立，错误． D：即组合数的递推公式，由 ，正确． 故选 ABD． 三、填空题 7．（2026·山东济南·二模）若 ，则 ________． 【答案】 【分析】展开组合数解方程。 【详解】，所以 ； 　　　即 ，解得 或 （舍），故 ． 8．（2026·河南开封·二模）若 ，则 ________． 【答案】5 【分析】把组合数、排列数都用 表示，化成关于 的二次方程求解并检验。 【详解】，，代入得 ，即 ． 解得 或 ，结合 且 ，得 ． 考点聚焦：相邻用捆绑、不相邻用插空 ▶ 题型02 相邻与不相邻 一、单选题 1．（2026·四川成都·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】捆绑两名女生。 【详解】捆绑后与 名男生共 个对象：； 女生内部 ； 共有 种，选 B． 2．（2026·福建厦门·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生不相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】总数减相邻的情形。 【详解】全排列 种； 女生相邻有 种； 不相邻为 种，选 A． 3．（2026·江苏无锡·三模） 名男生、 名女生排成一排，其中恰有 名女生相邻的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】“恰有一对相邻”不便直接分步，改用间接法：全部排法减去女生全相邻与女生两两不相邻两类。 【详解】 人全排列共有 种． 女生全相邻：把 名女生捆成一个整体，与 名男生共 个元素排列，有 种． 女生两两不相邻：先排 名男生有 种， 个空隙中选 个插入女生有 种，共 种． 故恰有 名女生相邻的排法有 种，选 C． 4．（2026·福建泉州·二模） 名男生、 名女生排成一排，要求 名女生相邻且都不站在两端，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】先捆绑女生，此时“不站两端”转化为“这个整体不排在首尾”，再定位置、排其余人、排内部。 【详解】把 名女生捆成一个整体，则与 名男生共 个元素，整体不能在首、尾两个位置，故整体有 个位置可选． 其余 个位置排 名男生，有 种；整体内部 名女生有 种顺序． 由分步乘法计数原理，共有 种，选 B． 二、多选题 5．（2026·湖北武汉·二模）关于相邻与不相邻问题，下列说法正确的是（　　） A．相邻问题用捆绑法 B．捆绑后要乘以整体内部的排列数 C． 个元素形成 个空隙（含两端） D．不相邻问题只能用插空法 【答案】ABC 【分析】逐项对照两种策略。 【详解】相邻用捆绑，A 正确； 捆绑后内部还要排列，B 正确； 个元素确形成 个空隙，C 正确； 不相邻也可用“总数减相邻”，D 错误．故选 ABC． 6．（2026·湖南株洲·二模）关于相邻与不相邻问题的处理方法，下列说法正确的是（　　） A．用捆绑法时，被捆绑元素内部的顺序要计入排列数 B．用插空法时，先排无限制的元素，再把要求不相邻的元素插入它们形成的空隙（含两端） C．若要求某些元素中“恰有 个相邻”，可直接把这 个元素捆绑后一次排完，无需分类 D．相邻问题与不相邻问题都可以用间接法，即用全部排法减去对立情形的排法 【答案】ABD 【分析】比较两种基本方法的操作要点，注意“恰好”类问题的复杂性。 【详解】捆绑后整体只算一个元素，内部顺序必须另乘，A 正确； 插空法的步骤正是先排其余元素、再在空隙中插入受限元素， 个元素形成 个空隙（含两端），B 正确； “恰有 个相邻”还有“其余元素不得与该组相邻”的要求，一次捆绑无法保证，需分类或间接处理，C 错误； 相邻与不相邻互为对立情形，都可用总数减去对立情形，D 正确． 故选 ABD． 三、填空题 7．（2026·江苏南京·二模） 名男生、 名女生排成一排，两名女生不相邻的排法有________种． 【答案】 【分析】先排男生再插空。 【详解】先排 名男生，有 种； 形成 个空隙，选 个插入女生并排列： 种； 共有 种． 8．（2026·安徽安庆·二模） 名同学排成一排，其中甲、乙相邻，丙、丁不相邻，则不同的排法共有________种． 【答案】144 【分析】先捆绑甲、乙求出两者相邻的排法，再从中减去丙、丁也相邻的排法。 【详解】甲、乙相邻时，把甲、乙捆成一个整体，与其余 人共 个元素排列，有 种． 其中丙、丁也相邻的排法：把甲、乙与丙、丁分别捆绑，与其余 人共 个元素排列，有 种． 故甲、乙相邻而丙、丁不相邻的排法有 种． 考点聚焦：优先安排受限的元素或位置 ▶ 题型03 特殊元素与特殊位置 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·一模） 人排成一排，甲不站排头的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】间接法：总数减甲站排头。 【详解】全排列 种； 甲站排头有 种； 符合条件的为 种，选 C． 2．（2026·安徽合肥·二模）从 名同学中选 人，甲必须在内，不同的选法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】甲固定，再从其余人选。 【详解】甲已选定，只需从其余 人中选 人； 种，选 A． 3．（2026·湖北荆州·三模） 人排成一排，甲不站排头且乙不站排尾，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】两个限制条件有交集（甲站排尾且乙站排头），用容斥原理计算。 【详解】 人全排列共有 种． 甲站排头有 种，乙站排尾有 种，其中甲站排头且乙站排尾有 种． 故符合条件的排法有 种，选 C． 4．（2026·江西九江·二模）从 名同学中选 人排成一排照相，要求甲必须入选且不站在两端，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】先安排特殊元素甲的位置，再从其余 人中选 人排在剩下的 个位置上。 【详解】 个位置中甲不站两端，故甲有 个位置可选． 甲的位置确定后，从其余 名同学中选 人排在剩下的 个位置上，有 种． 由分步乘法计数原理，共有 种，选 C． 二、多选题 5．（2026·陕西西安·二模）关于特殊元素与特殊位置的处理，下列说法正确的是（　　） A．限制条件优先处理 B．“不”类限制可用间接法 C．直接法与间接法结果应一致 D．多个限制并存时应先处理最弱的 【答案】ABC 【分析】逐项对照处理原则。 【详解】限制优先是基本原则，A 正确； “不”类限制用总数减反面，B 正确； 两种方法应得同一结果，可互相检验，C 正确； 多个限制应先处理最强（限制最多）的，D 错误．故选 ABC． 6．（2026·山西临汾·二模）关于特殊元素与特殊位置的处理，下列说法正确的是（　　） A．解决这类问题通常优先安排特殊元素或特殊位置 B．“甲不站排头”可用间接法，即用全部排法减去甲站排头的排法 C． 人排成一排，甲不站排头的排法有 种 D．特殊位置法一定比间接法计算量小 【答案】ABC 【分析】比较“优先安排”与“间接排除”两种思路，并用具体数据检验 C。 【详解】特殊元素（或特殊位置）先安排，可避免分类遗漏，A 正确； “不”字型限制常转化为“全部减去对立”，B 正确； 甲可站除排头外的 个位置，其余 人全排列，故有 种，C 正确； 两种方法各有适用场合，当限制条件较多时间接法需多次容斥，未必简便，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 7．（2026·甘肃兰州·二模） 人排成一排，甲不站两端，共有________种排法． 【答案】 【分析】先安排甲，再排其余。 【详解】甲有中间 个位置可选； 其余 人任意排，有 种； 共有 种． 8．（2026·陕西宝鸡·二模） 人排成一排，其中丙必须站在正中间，甲不站排头，乙不站排尾，则不同的排法共有________种． 【答案】14 【分析】丙的位置固定后，问题化为 个位置上的两个“不”字限制，用容斥原理计数。 【详解】丙站正中间后，其余 人排在两端及各两侧的位置上，共 种，其中甲站排头有 种，乙站排尾有 种，甲站排头且乙站排尾有 种． 由容斥原理，符合条件的排法有 种． 考点聚焦：均匀分组要除以组数的阶乘 ▶ 题型04 分组与分配 一、单选题 1．（2026·辽宁大连·二模）把 名同学平均分成 组，每组 人，不同的分组方法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】均分除序。 【详解】； 两组均分，除以 ； 共有 种，选 A． 2．（2026·江西南昌·二模）把 本不同的书分成两组，一组 本、一组 本，不同的分法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】非均分不除序。 【详解】选 本成一组：； 剩余 本自成一组； 两组数量不同，不除序，共 种，选 A． 3．（2026·辽宁鞍山·三模）把 名同学分成 组，每组至少 人，则不同的分组方法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】按人数结构分 与 两类，注意平均分组要除以组数阶乘。 【详解】分两类： 人数为 时，只需选出 人成组，有 种； 人数为 时，先选 人、再选 人，两组人数相同需去序，有 种． 由分类加法计数原理，共有 种，选 B． 4．（2026·吉林延边·二模）把 名医生分配到 个不同的社区，每个社区至少 名医生，则不同的分配方案共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】先按“”分组（组无标号），再把三组分配给三个不同社区。 【详解】每组至少 人且共 人，人数结构只能是 ． 分组方法（组无标号）有 种（两个单人组人数相同，需除以 ）． 再把这 组分配给 个不同社区，有 种． 由分步乘法计数原理，共有 种，选 B． 二、多选题 5．（2026·山西太原·二模）关于分组与分配，下列说法正确的是（　　） A．平均分成 组要除以 B．各组数量不同时不需除序 C．分组后再分给不同对象要乘对象数的阶乘 D．分组与分配是一回事 【答案】ABC 【分析】逐项对照规则。 【详解】均分除序，A 正确； 非均分不除，B 正确； 分配要乘排列数，C 正确； 分组不区分组的去向，分配要区分，D 错误．故选 ABC． 6．（2026·广西桂林·二模）关于分组与分配问题，下列说法正确的是（　　） A．平均分组时需除以组数的阶乘，以去掉组的顺序 B．分组后把各组分配给不同对象，需再乘以对象数的阶乘 C． 本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人 本，共有 种分法 D．把 本不同的书分成 本、 本两组，共有 种分法 【答案】ABC 【分析】区分“分组”（组无标号）与“分配”（组有标号），并逐项验算数值。 【详解】各组人数相同时，先选后选会产生重复计数，需除以相同人数组的组数阶乘，A 正确； 分组后若分给不同对象，对象有区别，需再乘对象数的阶乘，B 正确； C：，正确； D：两组人数不同，不存在重复计数，只需选出 本，有 种，错误． 故选 ABC． 三、填空题 7．（2026·天津·二模）把 本不同的书分给 人，每人至少 本，共有________种分法． 【答案】 【分析】先按 分组，再分配。 【详解】选 本成一组： 种，其余两本各成一组； 　　　三组分配给 3 人有 种，故共 种． 8．（2026·云南曲靖·二模）把 本不同的书分给 名同学，每人至少 本，则不同的分法共有________种． 【答案】36 【分析】按“”分组后分配给 名有区别的同学。 【详解】 本书按人数结构 分组，有 种分法． 再把这 组分给 名同学，有 种． 故共有 种分法． 考点聚焦：相同元素分组用隔板，每份至少 1 个为 C(n-1,m-1) ▶ 题型05 隔板法与名额分配 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）将 个相同的名额分给 个单位，每个单位至少 个，共有（　　）种分法 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 个名额排成一列， 个空档插 块板。 【详解】分法数为 ， 故选 A． 2．（2025·河南郑州·二模）方程 的非负整数解共有（　　）组 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】非负整数解用“添元素再加隔板”，即 。 【详解】解数为 ， 故选 C． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）关于隔板法，下列说法正确的是（　　） A．要求分配的元素完全相同 B．名额分配问题常用隔板法 C． 个相同元素分给 个对象且每个至少 个，分法为 D．元素不同时也可以直接用隔板法 【答案】ABC 【分析】隔板法只处理“相同元素”的分组。 【详解】A、B、C 都正确； 元素不同时要用排列组合，不能用隔板，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）将 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少 个，共有________种放法． 【答案】 【分析】。 【详解】． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）将 个相同的名额分给甲、乙、丙三个单位．(1) 每个单位至少 个，有多少种分法？(2) 允许单位分不到，有多少种分法？ (1) 每单位至少 个的分法； (2) 允许分不到的分法． 【答案】(1) 种；(2) 种 【分析】“至少 1 个”用 ，“允许为空”用 。 【详解】(1) （种）． (2) （种）． 考点聚焦：圆排列 (n-1)!，可翻转的项链再除以 2 ▶ 题型06 环状排列 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模） 个人围圆桌而坐，不同的坐法共有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆排列数为 。 【详解】， 故选 A． 2．（2025·山东青岛·二模）将 颗不同颜色的珠子串成一条项链（可翻转），不同的串法共有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】项链可翻转，圆排列后再除以 。 【详解】， 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于环状排列，下列说法正确的是（　　） A． 个不同元素的圆排列数为 B．可翻转的项链排列数为 C．圆排列与元素的排列顺序无关 D． 个不同元素的圆排列有 种 【答案】ABD 【分析】圆排列只是把“旋转视为相同”。 【详解】A、B 是公式； ，D 正确； 圆排列仍然讲究顺序，C 错误． 故选 ABD． 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模） 个人围圆桌而坐，不同的坐法共有________种． 【答案】 【分析】。 【详解】． 四、解答题 5．（2026·贵州遵义·模拟预测） 个人围圆桌而坐，其中甲、乙必须相邻，求不同的坐法数． (1) 捆绑后作圆排列； (2) 乘内部顺序得结果． 【答案】 【分析】先捆绑，再按 个元素的圆排列，最后乘内部顺序。 【详解】把甲、乙捆成一个整体，与其余 人共 个元素作圆排列， 有 种； 甲、乙内部有 种顺序， 故共有 （种）． 重难·创新演练 设题创新：综合计数与圆桌排列 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）有 名男生、 名女生排成一排． (1) 若要求男女相间，共有多少种排法？ (2) 若要求男生全相邻，共有多少种排法？ 【答案】(1) 种　(2) 种 【分析】相间分两种开头；男生全相邻用整体捆绑。 【详解】(1) 男生开头： 种；女生开头同理 种；共 种； (2) 三名男生捆成整体，与 名女生共 个对象：； 男生内部有 种； 共有 种． 2．（2026·全国·模拟预测）从 名男生、 名女生中选 人参加活动． (1) 共有多少种选法？ (2) 若要求至少有 名女生，共有多少种选法？ 【答案】(1) 种　(2) 种 【分析】第(2)问用间接法：总数减全是男生。 【详解】(1) 种； (2) 全是男生的选法为 种； 所以至少有 名女生的选法为 种． 3．（2026·全国·模拟预测）把 名志愿者平均分成 组，分别派往 个不同的社区． (1) 共有多少种不同的分组方法？ (2) 共有多少种不同的派法？ 【答案】(1) 种；(2) 种 【分析】平均分组要去重（除以组数的阶乘）；再分配到不同社区是排列。 【详解】(1) 平均分成 组，组与组之间无序，故分组方法为 （种）． 把 组分别派往 个不同社区，有 种，故派法共有 （种）． 4．（2026·全国·模拟预测） 名同学（ 男 女）排成一排照相． (1) 若 名女生必须站在一起，共有多少种排法？ (2) 若 名女生两两不相邻，共有多少种排法？ (3) 若 名女生按身高从高到矮的顺序排列（不一定相邻），共有多少种排法？ 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1) 捆绑法；(2) 插空法；(3) 定序问题用除法，即全排列除以定序元素的全排列。 【详解】(1) 把 名女生捆成一个整体，与 名男生共 个元素排列有 种，整体内部有 种顺序，故共 种． (2) 先排 名男生有 种， 名男生形成 个空隙（含两端），从中选 个插入 名女生有 种，故共 种． (3) 人全排列共有 种，其中 名女生的 种相对顺序出现的机会均等，只有一种符合从高到矮的要求，故共有 种． 5．（2026·全国·模拟预测）某学习小组有 名男生（含甲、乙）和 名女生，现从中选出 人参加竞赛． (1) 若要求至少有 名女生，共有多少种选法？ (2) 若要求甲、乙两人中至少有 人入选，共有多少种选法？ (3) 若要求男、女生都有且女生人数不少于男生人数，共有多少种选法？ 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1)(2) 用间接法排除不合要求的情形；(3) 按女生人数分类，注意“不少于”对应的两类。 【详解】(1) 从 人中任选 人共有 种． 女生不足 人分两类：全为男生 种；恰有 名女生 种． 故至少有 名女生的选法有 种． (2) 甲、乙都不入选时，只能从其余 人中选 人，有 种． 故甲、乙至少有 人入选的选法有 种． (3) 选 人且女生不少于男生，则女生至少 人： 女生 人、男生 人，有 种； 女生 人、男生 人，有 种． 故共有 种选法． 6．（2026·全国·模拟预测）把 个完全相同的小球放入 个不同的盒子中． (1) 若每个盒子至少放 个，共有多少种放法？ (2) 若每个盒子至少放 个，共有多少种放法？ (3) 若每个盒子至少放 个且 个盒子中小球的个数互不相同，共有多少种放法？ 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1)(2) 用隔板法，先“预分”再在剩余球之间插板；(3) 先把 拆成 个互不相同的正整数之和，再排列。 【详解】(1) 把 个球排成一列，在它们之间的 个空隙中插入 块隔板，有 种放法． (2) 先给每个盒子放 个，剩 个；要求每盒再至少 个，即在 个球的 个空隙中插入 块隔板，有 种放法． (3) 把 拆成 个互不相同的正整数之和，由于 ，只需把多出的 分配到保持互不相同： 情形一 ；情形二 ，共 种拆法． 每种拆法对应的 个数互不相同，放入 个不同盒子有 种放法，故共有 种放法． 真题·实战演练 高频考点：排列组合的高考真题 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·T9） 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按公式约分。 【详解】； 分子 ，分母 ； 所以 ，选 C． 2．（2022·新高考Ⅰ卷·T9） 人排成一排，甲、乙相邻的排法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】捆绑甲乙。 【详解】甲乙捆成整体，与其余 人共 个对象：； 甲乙内部 ； 共有 种，选 B． 3．（2021·全国乙卷·T9）把 名同学平均分成 组，不同的分组方法有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】均分除序。 【详解】； 除以 ； 共有 种，选 A． 4．（2024·新高考Ⅱ卷·T9 改编） 名男生、 名女生排成一排， 名女生不相邻的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】先排男生，再把女生插入男生形成的空隙中。 【详解】先排 名男生有 种， 名男生形成 个空隙（含两端）． 从 个空隙中选 个插入 名女生，有 种． 故共有 种，选 C． 5．（2022·全国乙卷·T9 改编） 人排成一排，甲不站排头也不站排尾，则不同的排法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】甲是特殊元素，先安排甲的 个可选位置，再排其余 人。 【详解】甲不能站首尾，故甲有 个位置可选． 甲的位置确定后，其余 人全排列有 种． 由分步乘法计数原理，共有 种，选 C． 6．（2023·天津卷·T9 改编）从 名男生、 名女生中选 人参加座谈会，要求至少有 名女生，则不同的选法共有（　　） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】B 【分析】按女生人数 分类，各类用分步乘法计数原理求和。 【详解】女生 人、男生 人： 种； 女生 人、男生 人： 种； 女生 人： 种． 由分类加法计数原理，共有 种，选 B． 二、多选题 7．（2024·浙江卷·T9）关于排列组合的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．相邻问题用捆绑法 B．不相邻问题可用插空法 C．“至少”类问题可用间接法 D．平均分组不需要除序 【答案】ABC 【分析】逐项对照方法。 【详解】相邻捆绑，A 正确； 不相邻插空，B 正确； “至少”用总数减反面，C 正确； 平均分组必须除序，D 错误．故选 ABC． 8．（2023·湖北卷·T9）关于组合数的性质，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项对照组合数性质。 【详解】，A 正确； 对称性成立，B 正确； 递推公式成立，C 正确； ，D 错误．故选 ABC． 9．（2024·浙江卷·T9 改编）关于排列组合的常用方法，下列说法正确的是（　　） A．要求某些元素必须相邻时，用捆绑法 B．要求某些元素互不相邻时，用插空法 C．要求某些元素顺序固定时，可用全排列除以这些元素的全排列 D．分组问题中若各组元素个数相同，不必除以组数的阶乘 【答案】ABC 【分析】逐项对照各方法的适用条件，注意平均分组的去序要求。 【详解】相邻问题捆绑成一个整体，A 正确； 不相邻问题先排其余元素再插空，B 正确； 定序问题中这些元素的相对顺序只有一种符合要求，故用除法，C 正确； 各组人数相同时，先选后选会产生重复计数，必须除以相同人数组的组数阶乘，D 错误． 故选 ABC． 10．（2023·湖北卷·T9 改编）关于组合数的性质，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．对任意 ，都有 【答案】ABC 【分析】前三个是基本性质，D 用具体数值构造反例。 【详解】由组合数公式 ，A 正确； B 为组合数的递推公式，正确； 从 个元素中一个也不取只有 种方式，故 ，C 正确； 取 ，，则 ，故 D 不成立，错误． 故选 ABC． 三、填空题 11．（2025·天津卷·T9）从 名同学中选 人分别担任正、副组长，共有________种不同的选法． 【答案】 【分析】职务不同，用排列。 【详解】正副组长职务不同，属排列； 　　　 种． 12．（2025·天津卷·T9 改编） 人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有________种． 【答案】1440 【分析】捆绑后元素总数为 ，再乘内部顺序。 【详解】把甲、乙捆成一个整体，与其余 人共 个元素排列，有 种； 整体内部甲、乙的顺序有 种． 故共有 种排法． 四、解答题 13．（2026·全国·模拟预测）有 名男生、 名女生． (1) 选 人参加活动，共有多少种选法？ (2) 选 人且恰有 名女生，共有多少种选法？ (3) 选 人且至少有 名女生，共有多少种选法？ 【答案】(1) 种；(2) 种；(3) 种 【分析】“至少一名女生”用间接法：总数减去全为男生的情况。 【详解】(1) 从 人中选 人：（种）． (2) 恰有 名女生：（种）． (3) 至少 名女生：（种）． 14．（2026·全国·模拟预测） 名男生、 名女生（其中甲为男生）排成一排照相． (1) 若 名女生相邻，共有多少种排法？ (2) 若 名女生不相邻，共有多少种排法？ (3) 若甲站在排头且 名女生不相邻，共有多少种排法？ 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1) 捆绑法；(2) 插空法或间接法；(3) 先固定甲，再在剩余 个位置上用插空法。 【详解】(1) 把 名女生捆成一个整体，与 名男生共 个元素排列，有 种． (2) 先排 名男生有 种， 个空隙中选 个插入女生有 种，共 种． (也可用 验证．) (3) 甲站排头后，余下 个位置上有 名男生和 名女生，先排 名男生有 种，形成 个空隙，选 个插入女生有 种，故共有 种． 所以至少有 名女生的选法为 种． / 学科网（北京）股份有限公司 $