第45讲 抛物线：定义与焦半径专项训练-2027届高三数学一轮复习

第45讲 抛物线：定义与焦半径 方程与准线互求·焦半径 ·焦点弦与定义转化·抛物线综合 一、方程与准线互求 1. 四个形态一张表. （开口右，焦点 ，准线 ）；、、 同理——开口方向与一次项系数的符号一致， 永远是正数. 2. 准线与焦点互相锁死. 焦点到准线的距离是 ；给准线反推方程，注意开口背向准线. 3. 非标准形态先化标准. 这类先改写成 的形状再读参数，符号由 的讨论兜底. 【通法】开口方向=一次项符号,p 恒正. 【通法】焦点到准线距离=p. 【通法】非标准式,先化 x²=2py 形. 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 【切入点】定义：，得 ，。代入 ：，，选 D。 【关键】抛物线的定义把“到焦点的距离”直接换算成“”——焦半径是定义的直接量化； 的正负由对称性兜底，两个解都合法. 【答案】选 D（） 变式1（单选·★☆☆☆☆） 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【切入点】代入 ：，。焦点到准线的距离即 ，选 C。 【关键】“焦点到准线的距离”就是 本身——点代入方程先求 ，一步收工；别把 当 . 【答案】选 C（） 变式2（单选·★★☆☆☆） 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】准线 在 轴右侧，抛物线开口向左：（），，，方程 ，选 C。 【关键】准线在哪侧，开口就背向哪侧——先定符号再定大小；四个标准形态的准线分别是 与 ，对号入座. 【答案】选 C（） 变式3（单选·★☆☆☆☆） 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 即 形，，，焦点 ，纵坐标 ，选 A（ 时开口向下、焦点纵坐标为负，表达式自动兼容）. 【关键】系数“藏在分母里”的抛物线：先化成 的标准形态读出 ，符号不用讨论—— 随 自动变号，开口方向与焦点坐标同步自洽. 【答案】选 A（） 变式4（填空·★★☆☆☆） 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【切入点】等边三角形一边为 ：焦点与准线上两顶点的距离 （对称性）。由 与准线的几何关系，焦点到准线的距离 故 。 【关键】“焦点+准线上两点”的等边三角形，对称轴就是抛物线的对称轴——顶点到准线的垂线段与半边长夹 ，一句余弦读出 ；几何条件翻成 的方程，是本节的万能收口. 【答案】 二、焦半径与定义转化 1. 焦半径公式. 上点 的焦半径 ——到焦点距离与到准线距离自由换算，凡“到焦点距离”条件一律先翻译. 2. 定义的折返用法. “到定点距离=到准线距离”反用定义：该定点就是焦点时，距离条件变成垂直平分线或抛物线本身. 3. 焦点弦两边定比. 过焦点的弦被焦点分成两段，长度比与倾斜角互相确定，配合定义可解参数. 【通法】焦半径 ,先翻译再计算. 【通法】定义反用:到定点的距离=到准线的距离. 【通法】焦点弦两段定比,配合倾斜角. 例2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】 在抛物线上：，。定义：；条件“ 是到 轴距离的 倍”：，即 。两式联立：，，，选 C。 【关键】“到 轴的距离”就是横坐标 ——条件翻成 后，与曲线方程 组成两条方程的小闭环；焦半径公式一出，永远只是解方程. 【答案】选 C（） 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【切入点】，（到 轴距离），故 ，，选 D。 【关键】焦半径公式的裸用：两个距离条件各自翻译，一减就出 ——最基础的题型练的就是“看见到焦点距离，马上写 ”. 【答案】选 D（） 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则 = ______． 【切入点】：，焦点 ，准线 。“到 的距离=到准线的距离”由定义翻成“到 的距离=到焦点 的距离”—— 在线段 的垂直平分线上，横坐标 。于是 【关键】定义反用的标准戏码： 恰好取在焦点外侧的对称轴上，“距离相等”立刻变成垂直平分线——横坐标一步定出，焦半径再折回距离；两次翻译，零联立. 【答案】 变式7（填空·★★★★☆） 已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则 = ______． 【切入点】，（准线与 轴交点），。设 ： 即 与 联立，代入消去 ：，即 ，（另一根 小于 ,舍）。焦半径 。 【关键】 是一条纯距离等式：两点距离公式加曲线方程双联立，解出 后焦半径收尾——注意 的范围检验，负到界外的根要舍得丢. 【答案】 变式8（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 【切入点】 给出 ，抛物线 。由对称性不妨设 在 轴上方。 中 准线为水平线（射线 指向左侧），故直线 的倾斜角为 ，。联立 ：， 或 ；由 为钝角知 在焦点左侧，。定义：。 【关键】“垂足 + 角 ”把直线 的倾斜角钉死；联立后的两根分居焦点两侧，用角的钝锐挑出正确的一支——焦半径 是定义送的最后一步. 【答案】 变式9（填空·★★☆☆☆） 已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 = __________. 【切入点】 准线， 在准线上，由定义 ， 等腰。 的倾斜角为 ，且 为水平线，故底角 ——等腰三角形有一个 角即为等边三角形，。记准线与 轴交于 ，则 ，在直角 中 ： 故 。 【答案】 三、焦点弦与综合 1. 焦点弦的两条代数事实. 过焦点直线 交 （改写后）于 ：韦达给 ——两条经典推论“”“”都由它滚出来. 2. 焦点弦的比例定比. 与倾斜角互相确定（焦半径的比值式）；中点问题用点差 . 3. 重心与向量和. 即 为重心，坐标和各自求和，配合焦半径与均值不等式出综合多选. 【通法】焦点弦 y₁y₂=−p²,韦达一出手就有. 【通法】定比与倾斜角互相确定. 【通法】点差:直线斜率 k=p/yM. 例3（解答·★★★★☆） 已知抛物线：（）经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点． 【切入点】(1) 代入 ：，，，准线 。 (2) 设 ，，直线 过 ，联立 与 ：，韦达 。垂足 。验 在 上： （），两斜率相等，故 、、 共线，直线 经过原点； 轴时 、、，直线 即 亦过原点。 【关键】焦点弦的韦达事实 （此处 ）是整个证明的引擎：把 化成 后，“过原点”的斜率验证只剩一次除法——解析几何的证明，往往就是一条韦达事实的两次引用. 【答案】（1），准线 ；（2）证明见解析 例4（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且．（1）求；（2）若过点的直线交于，两点，且，求的值． 【切入点】(1) 定义给 ，又 ， 等边，，而 轴，内错角给 。 在 上、准线交 轴于 ：，，，。 (2) 。设 ，联立得 ，，。 在抛物线内部： 于是 ，，，得 或 ，故 【关键】(1) 是定义几何化的样本：等边三角形把角度钉在 ，一条正切读出 ；(2) 用 设线后，、 恰是“点 到抛物线上点”的纵坐标比例式——比值问题最后落在 的二次方程上，两个互为倒数的解正是“、 可互换”的代数回声. 【答案】（1）；（2） 或 变式10（填空·★★★★☆） 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则 = ________. 【切入点】定比转倾斜角：，由焦半径与倾斜角的关系（或过 、 作准线垂线用相似），直线 的倾斜角为 ，。点差：设 ，，，即 代入 ，：，。 【关键】两段式：定比先定倾斜角（定义+准线相似，或焦半径比值式），点差再把倾斜角折算成 —— 是抛物线版点差的唯一公式，中点纵坐标一露头就出手. 【答案】 变式11（单选·★★★★☆） 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则 = （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【切入点】：，准线 。，垂足 ，中点 。： 即 ，（负根舍）。焦半径 ，选 C。 【关键】“中点 ”把准线垂线段折半： 的横坐标是 ——代入 后用 消元，得到关于 的一次因式方程；焦半径最后一步补上. 【答案】选 C（） 变式12（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 若直线的斜率分别为，则 D. 【切入点】 即 是 的重心：，。 A：焦半径和为 ，对。B： 给 ，，，错。C：点差得 等，，对。D： 给 ；两边平方再用 消交叉项：，故 ，，对。选 ACD。 【关键】重心条件先把三个坐标的和钉死，后面每项都只是“和”的变奏：焦半径和、点差倒数和直落为零， 的上界靠均值——多选压轴的四个选项，全部从“坐标和定死”这一条重心事实里长出来. 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 抛物线：定义与焦半径 方程与准线互求·焦半径 ·焦点弦与定义转化·抛物线综合 一、方程与准线互求 1. 四个形态一张表. （开口右，焦点 ，准线 ）；、、 同理——开口方向与一次项系数的符号一致， 永远是正数. 2. 准线与焦点互相锁死. 焦点到准线的距离是 ；给准线反推方程，注意开口背向准线. 3. 非标准形态先化标准. 这类先改写成 的形状再读参数，符号由 的讨论兜底. 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 变式1（单选·★☆☆☆☆） 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 变式2（单选·★★☆☆☆） 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★☆☆☆☆） 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 变式4（填空·★★☆☆☆） 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 二、焦半径与定义转化 1. 焦半径公式. 上点 的焦半径 ——到焦点距离与到准线距离自由换算，凡“到焦点距离”条件一律先翻译. 2. 定义的折返用法. “到定点距离=到准线距离”反用定义：该定点就是焦点时，距离条件变成垂直平分线或抛物线本身. 3. 焦点弦两边定比. 过焦点的弦被焦点分成两段，长度比与倾斜角互相确定，配合定义可解参数. 例2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的5倍，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则 = ______． 变式7（填空·★★★★☆） 已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则 = ______． 变式8（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 变式9（填空·★★☆☆☆） 已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 = __________. 三、焦点弦与综合 1. 焦点弦的两条代数事实. 过焦点直线 交 （改写后）于 ：韦达给 ——两条经典推论“”“”都由它滚出来. 2. 焦点弦的比例定比. 与倾斜角互相确定（焦半径的比值式）；中点问题用点差 . 3. 重心与向量和. 即 为重心，坐标和各自求和，配合焦半径与均值不等式出综合多选. 例3（解答·★★★★☆） 已知抛物线：（）经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点． 例4（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且．（1）求；（2）若过点的直线交于，两点，且，求的值． 变式10（填空·★★★★☆） 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则 = ________. 变式11（单选·★★★★☆） 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则 = （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 变式12（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 若直线的斜率分别为，则 D. 学科网（北京）股份有限公司 $