专题04 相似三角形中母子型模型（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题04 相似三角形中母子型模型 常考题型·精准突破 题型1 “母子”模型（斜射影模型）（重） 题型2 双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3 “母子”模型（变形）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． (1)上述三个说法正确的是：________（填序号）： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； (3)若，且，，则的长为________． 【答案】(1)①② (2)证明：选择①：∵，， ∴， 选择②：∵，， ∴； (3) 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①②正确；③错误； （2）略 （3）解：， ， 又，， ， 解得或（负值舍去）． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 3．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，中，为上一点，． (1)若，，，求的周长． (2)如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)6 (2)①，②， 【分析】分析片段（1）先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出和的长度，最后计算的周长． （2）①先根据得到，再结合求出的值． ②先求出与面积的关系，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∵，，， 已知，，，代入， 可得：，解得， 代入，可得：，解得， ∴的周长为． 的周长为6． （2）①解：∵， ， 由（1）知， ，即， 设，则， ，即， ， ． ②∵，设，，， ∴，∴， 又，，， 与同高，面积比等于底之比：， ， 令，，二次函数开口向下，顶点在， 即，可得（长度正数，舍去负根）， ∴， 此时最大值：． ◆题型2 双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 5．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ∴， ， ． (2)6 (3) 【分析】（1）根据两角相等即可证明两三角形相似； （2）由（1）中两三角形相似得对应边成比例即可求解； （3）根据题意说明，再由对应边成比例求解． 【详解】（1）略； （2）解：由， 得， 即 ， ． （3）解：，， ， ， 即 ， ． 6．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ； (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得（负值已舍去）． 7．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①   ②   ③   ④． (1)已知：在中，，是斜边上的高，求证：． (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，是斜边上的高， ． （公共角）， ， （两角分别相等的两个三角形相似）． 根据相似三角形对应边成比例，可得：， 交叉相乘得：． (2) 【分析】（1）利用公共角和两个直角，证明与相似，根据相似三角形对应边成比例，交叉相乘证得． （2）设，结合，，，使用射影定理列出方程，求出，再用射影定理，代入数字算出． 【详解】（1）略． （2）解：设， 根据（1）问已证的射影定理结论． 已知，，且斜边，代入得： ， 整理为一元二次方程： 因式分解得： 解得，． 由于线段长度为正，舍去负根，得． 再根据射影定理结论，代入，： ， ， ． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：． (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取中点，连接、，设，由等腰三角形与直角三角形的性质可得，，，．容易证明，则，计算得，，进而得到．在中，使用勾股定理构造方程求解出，最后计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点，连接、，设， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵点为的中点， ∴，， 在中，，点为的中点， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． ◆题型3 “母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子相似” 模型：两个三角形有一组公共角（或相等角），再满足一组角相等，或者夹这组等角的两边对应成比例，即可判定两个三角形相似。 “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 11．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ， ∴， ∵， ∴； (2)9 【分析】（1）根据等边对等角可知，进而即可证明 （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴, ∴． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长，再证明，利用相似比求出的长即可． 【详解】解：过点作于点． 四边形是菱形， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ． 即菱形的边长为． 二、填空题 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【答案】2.4 【分析】先设参数表示、，利用得到线段比例关系，求出表达式，再由列方程求解参数，最后算出长度． 【详解】解：已知，设， ，， ，，， ， ， 由相似三角形对应边成比例： ， 代入，： ， 化简得， 解得， 又， 代入表达式：， ， ， ， ， ，把代入 ． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出和的度数；利用已知等式及推出对应边成比例，结合夹角相等证明；根据相似三角形的性质得到，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 三、解答题 7．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 10．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出和的长度，在中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， ． ， ， ． 又， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作交于点，如图所示． ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，，即， 解得：（舍负）， ，． ∵在中，， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【答案】 （1）， ， ． ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且， ． ，， ， ， ． ， ， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质． （1）先证明，得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可； （2）直接利用射影定理得，，由此得，再将此等积式转化为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明，即可证明． 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键． 【详解】略． 13．（2025·河南焦作·二模）（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴， ②或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）①同（1）证明，即可得证； ②根据相似三角形的性质求得，进而求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）①略 ②∵，， ∴ ∴ 如图， 当时， ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 14．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)；； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 15．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 【初步探究】 (1)如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 (2)如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 (3)在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 【答案】(1) ；2 (2)补全图形： ； (3)的值为2或5 【分析】（1）先证明，再用三线合一得到，过点A作于点A，交的延长线于点P，，即可得到的值为2； （2）过点A作 于点A，交的延长线于点P，证明，得到，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵N是的中点，， ， ， ， 如图，过点A作于点A，交的延长线于点P， 则， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：补全图形； 如图，过点A作 于点A，交的延长线于点P， ． ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ， ， ， 根据四边形内角和可知，， ， ． 分别过点N，作的垂线，垂足分别为点P，Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 分两种情况：①当时，， ，， ， ， ． ②当时，， ， 同理， ． 综上可知，的值为2或5． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形中母子型模型 常考题型·精准突破 题型1 “母子”模型（斜射影模型）（重） 题型2 双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3 “母子”模型（变形）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． (1)上述三个说法正确的是：________（填序号）： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； (3)若，且，，则的长为________． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 3．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，中，为上一点，． (1)若，，，求的周长． (2)如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） ◆题型2 双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 5．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 6．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 7．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①   ②   ③   ④． (1)已知：在中，，是斜边上的高，求证：． (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：． (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） ◆题型3 “母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子相似” 模型：两个三角形有一组公共角（或相等角），再满足一组角相等，或者夹这组等角的两边对应成比例，即可判定两个三角形相似。 “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 11．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 3．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 三、解答题 7．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 10．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 12．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 13．（2025·河南焦作·二模）（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 14．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 15．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 【初步探究】 (1)如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 (2)如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 (3)在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中母子型模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1“母子”模型（斜射影模型）（重） 题型2双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3“母子”模型（变形）（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 1. 【答案】(1)①② (2)证明：选择①：：∠ACP=∠B,∠A=∠A, .△ACPOAABC, AP AC 选择②：：AC=AB'∠A=∠A' .△ACPOAABC: (3)2V2 【分析】(1)根据相似三角形的判定定理解答即可： (2)根据相似三角形的判定定理解答即可： (3)利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)解：①②正确；③错误： (2)略 (3)解：△ACP∽△ABC, AP_Ac ACAB· 又BP=√2，AC=2V5, 1124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP 23 2V5AP+√2' 解得AP=2V2或AP=-3V2(负值舍去). 2. 【答案】(I)证明：CD=CE, ∴.∠CED=∠CDE '∠CED=∠EAC+∠ACE,∠CDE=∠BAD+∠B 又∠DAC=∠B, .∠ACE=∠BAD 又∠DAC=∠B、 .△ABD∽aCAE. .15 (24 【分析】(I)根据已知条件可得∠ACE=∠BAD,即可证明△ABDACAE; (2)结合(1)的结论△ABD∽aCAE,对应边成比例可求出CE的长，即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：△ABDn△CAE, ..AB AD AC CE' :AB=6:AC=9 ’AD=5 .65 CE 2 .CE=15 4 CD=CE=15 4 3. 【答案】(1) 点D是△ABC的“理想点”，理由如下： D是AB中点，AB=4, ∴.AD=BD=2,ADAB=8, 2124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC=22, AC2=8, AC2=AD·AB AC AB .AD AC, ∠A=LA, .△ACD∽△MBC, ∠ACD=∠B」 点D是△MBC的“理想点”： 、129 (2)5或4 AC_AB 【分析】(1)由已知可得AD=AC,从而△MCD∽△MBC,∠ACD=∠B,可证点D是△MBC的“理想点”： (2)由D是△MBC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求 CD长度；当D在AC上时，ABDC∽AMBC,对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上. 【详解】(1)略 (2)①D在AB上时，如图： C 是 的“理想点”， DB.D△ABC ∴.∠ACD=∠B或∠BCD=∠A, 当∠ACD=∠B时， :∠ACD+∠BCD=90°， .∠BCD+∠B=90°， ∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4, .:.BC=AB2-AC2 =3, Sm号4B-cD-方4c8c, 1 3124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD= 5’ ②AC=4,BC=3, .AC>BC有∠B>∠A, ∴.“理想点”D不可能在BC边上， ③D在AC边上时，如图： D 是 的“理想点”， A BD△MABC ∠DBC=∠A, 又∠C=∠C, .△BDC∽△ABC, CD BC CD3 BC=AC,即3=4 .CD=9 4 129 综上所述，点D是A4BC的“理想点”，CD的长为5或4： 4. 【答案】(1)6 2)0, √21 D-x,②2,2 【分析】分析片段(I)先证明△ABD与△ACB相似，再根据相似三角形的性质求出AD和BD的长度， 最后计算△ABD的周长 BE (2)①先根据DEAB得到ACDE~ACAB,再结合AABD~aACB求出EC的值. ②先求出△BDE与△ABC面积的关系，再根据二次函数的性质求出△BDE面积的最大值. 【详解】(1)解：∠A=∠A,∠ABD=∠C, .△ABD~△ACB, AB AD BD ·AC=ABBC' 4124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=2,AC=3,BC=4, AB AD 已知AB=2:AC=3:BC=4:代入AC=AB, 可得：子公，解得0=4 2AD 3 代入C8C,可得：号，解得8D AB BD 2 BD 3 ÷ABD的周长为B+AD+BD=2++8=2+4=6 33 △ABD的周长为6. (2)①解：DEAB, BE AD EC DC' 由(1)知△ABD∽△ACB, AD AB AB=AC,即AB'=ADx4C, 设AC=1,则AB=x, x2=AD×1,即AD=x2, ∴.DC=AC-AD=1-x2, BE x2 EC 1-x2 ②：SMc=2,设AC=1,AB=x,AD=x2,DC=1-x2 Sm-DC=1-,Se=20-） ·S,AcAC BE、x BE x2 EMAB 又 AB0E5AB0C同商：面积比等于底之比：又m=Sa能-20-小。 S.BDE =2x2-2x, -b21 令1=2>0：S=-2+21:二次函数开口向下，顶点在1=2042 即x2-1 2,可得x=t2 2 (长度正数，舍去负根)， 5124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ts② 2 此时最大值：S=-2× 1) +2x-2x1+1= 2 4 2 ◆题型2双垂直模型（射影模型） 5. 【答案】(I)证明：CD⊥AB, .∠ADC=∠CDB=90°， .∠A+∠ACD=90°」 :∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°， .∠ACD=∠B, ∴.△ACD∽△CBD (2)6 (3)213 【分析】(1)根据两角相等即可证明两三角形相似： (2)由(1)中两三角形相似得对应边成比例即可求解； (3)根据题意说明△ACD∽△ABC,再由对应边成比例求解. 【详解】(1)略： (2)解：由△ACD∽△CBD, CD AD 得BDCD' 即CD2=AD.BD=4×9=36, .CD=6 (3)解：：∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°， ∴.△ACDn△ABC, AC_AD AB AC' 即4C2=AD:AB=4×(4+9)=52, 6124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=V52=2W13 6. 【答案】(I)证明：，BE⊥AD, .∠BED=90°， ,∠ABC=90°， ∴.∠BED=∠ABD, 在△DBE和△DAB中， ∠BED=∠ABD ∠BDE=∠ADB' .△DBEADAB, DB DE DA DB' :DB2=DEDA: (2)6 【分析】(1)得出∠BED=∠ABD=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证： (2)先证出△DCE∽△DAC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：，D是边BC的中点， .'DC=DB. 由(I)己证：△DBEADAB, DB DE ∴DADB DC DE DA DC' 在△DCE和△DAC中， DC DE DA DC ∠CDE=∠ADC .△DCE△DAC, S.DAC 4c) :SDE 7124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S匹-1B即SC=4, CE=3'SAne4,即S 4 解得AC=6(负值已舍去). 7. 【答案】(1)证明：在RIAABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， .∠ADC=90 :∠A=∠A(公共角)， :∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). AC AD 根据相似三角形对应边成比例，可得：ABAC, 交叉相乘得：AC2=AD·AB. (2)3V5 【分析】(1)利用公共角∠A和两个直角，证明△ACD与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例 AC AD AB=AC,交又相乘证得4C=AD·AB: (2)设AD=x,结合AC=6,BD=9,AB=x+9,使用射影定理AC2=AD·AB列出方程6=x(x+9), 求出AD=3,再用射影定理CD2=ADBD,代入数字算出CD=3V3. 【详解】(1)略. (2)解：设AD=x, 根据(1)问已证的射影定理结论AC2=AD·AB】 己知AC=6,BD=9,且斜边AB=AD+BD=x+9,代入得： 62=x(x+9), 整理为一元二次方程： x2+9x-36=0 因式分解得： (x+12)(x-3)=0 解得x=3,x2=-12 8124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于线段长度为正，舍去负根，得AD=3 再根据射影定理结论CD=ADDB,代入AD=3,BD=9: CD2=3×9=27, CD>0, .CD=35」 8. 【答案】(I)证明：，∠A=∠A,∠ACD=∠B, ∴.△ACD∽△ABC, AD AC ACAB' .AC2=AD.AB (2)22 (3)2V5 【分析】(1)通过证明△ACD∽△ABC即可得到AC2-AD·AB: ②由Q)的结论4C=4D.4B结合B=20可海02 4.2,再利用相似三角形的性质求出CD即可 (3)取BD中点M,连接CM、EM,设CM=x,由等腰三角形与直角三角形的性质可得，CD=2x, BE EM BM3 EM=x'M=M=V5x·容易证明△4 CDAEBM,则C=AD=D=乞，计算得BE=V2: AD-2 3x,进而得到仙=53 3X.在RIsACM中，使用勾股定理构造方程求解出x'最后计算出CD 即可 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可得AC2=AD·AB, ,点D为AB中点， .AB=2AD. .AC2=2AD2. AD ·AC=V2AD,即AC=2, ,△ACD∽△ABC, 9124 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CD-4D BC AC 2' :CD=2BC=22, 2 (3)解：如图，取BD中点M,连接CM、EM,设CM=x, C E D M B ,点E为CD的中点，点M为BD的中点， ∴.EM是△BCD的中位线， .EM∥CB ∴.∠EMD=∠CBD=30°. .∠CDB=∠CBD=30°， .CD=CB,∠ADC=∠BME=180°-30°=150°， 又，点M为BD的中点， .CM⊥BD,DM=BM, 在RIACDM中，∠CDB=30°，点E为CD的中点， 22x- 由勾股定理可得，DM=VCD2-CM2=V(2x)-x2=V3x, :DM =BM =3x, .∠ACD=∠EBD,∠ADC=∠BME, .△ACD∽△EBM. 小%岩g要 :E=5Ac-2,A0=23 2 -x, 3 M=2 3 M=A0+DM=5 ， 在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2, 10/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r-w 解得x=V5, .CD=2x=2V3. ◆题型3“母子”模型（变形） 9.B 10 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定 理是解题的关键。 ()根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似： (2)利用(1)的相似结论得到角的关系，进而求出∠BAC的度数. 【详解】(1)解：△ADE是等边三角形： ∴.∠ADE=∠AED=60°，AD=DE=AE=2, .∠ADB=180°-∠ADE=120°=∠AEC=180°-∠AED=120°. BD=1,CE=4. BD 1 AD 2 1 AE 2'CE 4 2' BD AD AE CE' 又：∠ADB=∠AEC, △ABDP△CAE: (2)解：△ABDACAE, ∴∠BAD=∠C, ∠ADE=∠B+∠BAD=60°， .∠B+∠C=60°」 .∠BAC=180°-（∠B+∠C)=120° 11/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. 【答案】(I)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB, .∠ABD=∠ACE .∠D=∠CAE, △ABD△ECA: (2)9 【分析】(I)根据等边对等角可知∠ABD=∠ACE,进而即可证明 (2)根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：△ABD∽△ECA BD AC ·ABCE .AC=6,CE=4. BD 6 .64 .BD=9 12. 【答案】(1) 证明：，△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=2 ∴.∠D+∠BAD=∠ABC=60°，∠E+∠EAC=∠ACB=60°， .∠BAD=∠E .∠D=∠EAC, .△ABDn△ECA: (2)V万 【分析】(1)由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得∠D=∠EAC,再结合∠BAD=∠E,即可证 明结论： (2)由△ABDn△ECA可求得BD,再证明△ADB∽△EDA,即可求得AD. 【详解】(1)证明：略； (2)解：△ABD∽△ECA, 12/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD AB2 ACCE 4' BD=1, .DE=BD+BC+CE=7, ∠BAD=∠E,∠D=∠D, .△ADBP△EDA, AD BD ·DEAD' 即AD2=DE.BD=7, .AD=7 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.C 二、填空题 4.6 5.2.4 6.100° 三、解答题 7 【答案】 证明：CD⊥AB于D,∠ACB=90° ∴.∠ADC=∠ACB=90°， ∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC, 指8 AC2=AD·AB 13/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8. 【答案】(1) 证明：由题意得，CD⊥AB,而∠ACB=90°， .∠CDB=∠ACB=∠ADC=90°， .∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°， .∠A=∠DCB, △ACD∽△CBD; a6 【详解】(1)略 (2)解：∠A=30°，CD1AB, .AC=2CD=4. .∠ACB=90°. ,AB=4C-485 cosA√33 2 9. 【答案】证明：：∠BAD=∠BDA, ∴.AB=BD, AD平分∠EAC, .∠EAD=∠CAD」 :∠BDA=∠C+∠CAD,∠BAD=∠BAE+∠EAD, ∴.∠BAE+∠EAD=∠C+∠CAD, ∴∠BAE=∠C, ∠B=∠B, .△ABE△CBA, .BEAB AB BC' .AB2=BE·BC, AB=BD, .BD2=BE.BC」 14/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. 【答案】(I)对；对；错： (2)选择小星的方法： :∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC,有两组角对应相等， :△ACPn△ABC: 选择小红的方法： .AP_AC ACAB'∠CAP=∠BAC,有两组边对应成比例且它们的夹角相等， .△ACPAABC: (3)2 【详解】(I)解：若∠ACP=∠B,且∠CAP=∠BAC,有两个角对应相等，可判定△ACPOAABC,小星 对： AP AC 若AC-AB,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定*ACPsABC,小红对： AC BC 若CP-AC,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明△ACPMABC,小 亮错； (2)证明：略： (3)解：设AP=x, .BP=1,AC=6 .AB=1+x, △ACP∽△ABC, AP AC ”ACAB, x V6 石1+ 整理得：x2+x-6=0, 解得：x=2或x=-3(舍)， .AP=2 11. 【答案】(I)∠ABD=75°，AB=4V5 15/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)43 【详解】(I)过点B作BD川AC,交AO的延长线于点D, ∴∠ADB=∠OAC=75°. ∠BOD=∠COA, △BOD∽△COA, OD OB 1 .OA OC 3 又A0=3V3, 00写40=5， .AD=A0+OD=43 :∠BAD=30°，∠ADB=75°， .∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB, :AB=AD=43 (2)解：过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示. D :AC⊥ADBE∥AD ∴.∠DAC=∠BEA=90° ·.∠AOD=∠EOB .△AODAEOB」 BO EO BE .DO AO DA B0:OD=1:3, EO BE 1 .AO DA 3 :A0=3V3, E0=V5 .AE=43 ∠ABC=∠ACB=75°， 16/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=30°，AB=AC, .AB=2BE. 在R△AEB中，BE+AE=AB,即(4N3+BE2=(2BE, 解得：BE=4(舍负)， .AB=AC=8,AD=12. .在RtACAD中，AC2+AD2=CD, .82+122=CD2, 解得CD=4V13】 12. 【答案】 (1)∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠ACB=∠CDB=90° ∠B=∠B, .△ABC∽△CBD. AB BC BCBD' .BC2=AB.BD (2)四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°且AC⊥BD, ∴.BC2=BD·OB ∠BCE=90°，CF⊥BE, .BC2=BE·BF, BDOB=BE·BF, BD BF BE BO :∠DBE=∠FBO, ∴△DBE△FBO, .∠BED=∠BOF 13. 【答案】(1)△CBA: 17/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①：∠BAD=∠C=30°，∠B=∠B, ∴.△ABD∽ACBA AB BD ·BCAB .AB2=BD·BC, 9 ②2或3√5 【详解】解：·∠BAD=∠C,∠B=∠B, .△ABDP△CBA AB BD ·BCAB :AB2=BD.BC, 故答案为：△CBA, (2)①略 ②，AB=6,BD=3,AB2=BDBC BC=4B3 =12 BD 3 .CD=BC-BD=12-3=9 如图， 的 B C D 当∠CE,D=90°时， .∠C=30° 9 ..DE2=CD= 2 当∠CDE=90时，DE=2CE ∴.CD=VCE2-DE2=3DE, cn- 18/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 综上所述，DE的长为2或35： 14. 【答案】(I)CBD:ABC: (2)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACD∽△ABC, AC AD AB AC' .AC2=AD.AB; (3)2√2 ④)v21 【详解】(1)解：，∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°， .∠CAD+∠CBD=∠BCD+∠CBD=90°， .∠CAD=∠BCD ∴.△ACD∽ACBD .'∠CAD=∠BAC, .△ACD∽aABC, .△ACDACBD△ABC: (2)略 (3)解：由(2)可知，△ACD△ABC,AC2=AD·AB, AD CD AC BC' 又，点D为AB的中点，即AB=2AD, .AC2=AD.2AD=2AD2, AD2 1 AD 2 ,AC-2即AC2 CB=4, cp. .CD=2V2: 19/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：如图，取BD的中点F,连接CF、EF, B D ④ 点E为CB的中点， ∴EF是△BCD的中位线， :.EF II CD,CD=2EF, .∠EFB=∠CDB」 .∠CDB=∠CBD=30°， .CD=CB,∠EFB=∠CDB=30° .CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=180°-30°=150°， 又：∠ACD=∠EDB, .△ADCr△EFD」 CD AD ∴DFEF, .∠CFD=90°，∠CDF=30°， .CD=2CF,DF=CD2-CF2 =3CF, .EF=CF AD CD 2CF 2 ·EF=DF3CF, AD=2 3EF-2 cF. 3 AF-AD+DF-25CF+CF-CF 3 3 在Rt△ACF中，AC=7N3,AC2=AF2+CF2, -ccr ..CF= 2 (负值已舍)， AD-25x3y5=2. -X 32 20/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 【答案】(1)45°：2 (2)补全图形： C N BAM 1 BM 2 AM (3)BM的值为2或5 【详解】(1)解：：N是AC的中点，AC=2BC, .NC-AC-BC, :CM⊥BN, ∠ACM=∠BCM=4CB=4, 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, 则∠P=∠ACM=45°， .AP=AC=2BC, .∠PAC=∠ACB=90°， .AP∥BC, ∴.△AMP∽△BMC, AM AP BM BC =2 (2)解：补全图形： 21/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, ∠PAC=90°. N HO M :∠NCO+∠P=90°，∠NC0+∠BNC=90° .∠P=∠BNC, 在aCAP和△BCN中， ∠P=∠BNC ∠CAP=∠BCN, AC=CB :ACAP≌△BCN(AAS), ..AP=CN, :∠PAC=90°，∠ACB=90° .∠PAC+∠ACB=180°， .AP∥BC, .△APM∽△BCM, AM AP CN 1 BMBC-AC2: (3)解：∠ACB=90,AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA=45°， 由折叠的性质知∠CAB=∠CAB=45°， .∠CAC'=90°， 由折叠的性质知△ACM≌△AC'M, ∴∠AC'M=∠ACM, MN⊥CM, 22/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C'AC=C'MN=90°， 根据四边形内角和可知，∠CWM=∠AC'M=180°-∠AWM, ∴.∠CNM=∠ACM, .CM=MN =C'M 分别过点N,C作AB的垂线，垂足分别为点P,O, :.∠NPM=∠M0C'=∠NMC'=90°， .∠PNM=90°-∠PMN=∠QMC', ..MN C'M. ∴.aNMP≌aMC'Q(AAS), 设AC=3V2a,则AB=6a, 分两种情况：①当CN=2AN时，AN=V2a, M .AP-NP AN CQ-AB3 2 .PM=C'2=3a, ∴.AM=4a,BM=2a. ,AM_40=2」 BM 2a ②当AN=2CW时，AW=2√2a, C B O M C 4P-NP-AN=2a 2 同理AM=5a,BM=a, .AM_50=5 BM a 23/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM 综上可知， BM的值为2或5. 24/24