专题01 相似三角形动点问题的专项训练（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题01 相似三角形动点问题的专项训练 题型一 公共角（等角）型相似动点分类讨论 题型二 矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 题型三 直角三角形中的双动点相似与面积问题 题型四 折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 题型一：公共角（等角）型相似动点分类讨论 1．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 2．如图，在中，， ， ，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 3．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 4．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 5．如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，？ (2)当是直角三角形时，直接写出的值． 6．如图，在四边形中，．若E是边上的一个动点，则当______时，与相似． 题型二：矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 1．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 2．如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示： ， ； (2)连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 3．如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 4．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：直角三角形中的双动点相似与面积问题 1．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 2．如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 4．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒 的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒 的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 题型四：折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 1．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)______； (2)当时，求的值； (3)过点作 于点，以、为邻边作矩形，设矩形与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 3．如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 4．如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形动点问题的专项训练 题型归纳 题型一公共角（等角）型相似动点分类讨论 题型二矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 题型三直角三角形中的双动点相似与面积问题 题型四折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 题型专练 题型一：公共角（等角）型相似动点分类讨论 1.4或 2.C 100 3.2或29 2 4.4或5 5. 【详解】(1)解：由题意得AP=4xcm,CQ=3xcm,则AQ=60-3xcm, PQ BC, .△APQ~△ABC, AP_AQ m4x_60-3x AB AC' 即40=601 解得x=20 3 当x=20 秒时，PQ‖BC: (2)解：过点B作BD⊥AC于D, 1/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D '.BA=BC=40cm,AC=60cm, :'.AD=AC=30cm, 2 当点P为直角顶点时，则∠APQ=90°， .∠A=∠A,∠APQ=∠BDA=90°， ∴.△APQ一△ADB, AP=AQ 三=。，即一三0③X 即30 40 36 解得x=5, 当点Q为直角顶点时，则∠AQP=90°， ,∠A=∠A,∠AQP=∠BDA=90°， ∴.△APQ~△ABD, ·AP-AQ ·ABAD,即 x=60-3x 030 解得x=10, 36 综上，当x=10秒或5秒时，△APQ是直角三角形. 14 6.5或1或6 题型二：矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 1. 【详解】(1)解：根据题意，得AP=X,BQ=2X,AB=8, ..PB=8-x, 四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠C=90°， y=3×PB×BQ=号×8-X刘×2X=-X+8x0≤x≤61， 2/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即y与x的函数关系式为y=-x+8x0≤x≤6： (2)解：：△PBQ和△BDC相似，∠PBQ=∠BCD=90°， ∴.△QBP△BCD或△PBQ一△BCD, .PB-BQ PB-BQ ·BC=CD或CDBC .AB=8,BC=12,CD=8,PB=8-X,BQ=2X. .8-x=2x8-x=2x ·.12=8或8=12 24 解得X=2或X=7, 24 当x=2或x=号时，△PBQ和△BDC相似. 【详解】(1)解：由题意可得：AB=CD=3cm,DE=1cm,BC=AD=5cm,AE=4cm,AD‖BC, ∴.∠AEB=∠PBQ 由勾股定理可得：BE=VAB+AE2=V3+42=5cm, ,点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/S;同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动， 速度为1cm/s ∴，BP=tcm,QC=tcm, .'PE=5-tcm,BQ=5-tcm, 故答案为：t,(5-t: (2)解：由题意可得：AB=CD=3cm,DE=1cm,BC=AD=5cm,AE=4cm,∠A=90°， ∴.AE=5-1=4, 由勾股定理可得：BE=AB2+AE2=32+42=5cm, 矩形ABCD, AD‖BC, .∠AEB=∠PBQ, BP=tcm,QC=tcm, .'PE=5-tcm,BQ=5-tcm, ①当∠BPQ=90°=∠A时，△BPQ一△EAB, BQBP5-t t ÷EBEA即5=4 3/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：t= 20 9 ②当∠PQB=90°=∠A时，△BPQ一△EBA, BQ BP ，n5-t=t ·EAB,即4=5 解得：t=25 9: 综上，4以-号政-名时，以P、Q、B为厦方伯=分形和△ABE和似 3. 【详解】(1)解：：AC⊥BC,AB=25cm,BC=20cm, AC=AB-BC2=V252-202=15|cm, 过O作OH⊥BC于点H, D .·∠ADC=90°AB‖CD →Q .∠DAB=180°-∠ADC=90°，即OA⊥AD, .点O在AD和BC夹角的平分线上， ∴.OH=OA, .AQ=2t,O为AQ中点， 0H-OA-AQ-t,OB-AB-OA-25-t, ,AC⊥BC,OH⊥BC, .OH‖AC, ∴.△BHO~△BCA, OH_OBOH_AC ·ACAB即OBAB .t_15 ·25-t25 ..t=75 8 (2)解：过Q作QM⊥BC于点M,过点C作CF⊥AB于点F, 4/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B :S△ACB=7AC·BC= AB·CF, :CF=AC.BC-15x20=12, AB 25 .∠ADC=∠DAB=90°，CF⊥AB, .四边形DAFC是矩形， ..AD=CF=12, 在Rt△ADC中，DC=AC2-AD2=V152-122=9, .AQ=2t, ∴.QB=AB-AQ=25-2t, .AC⊥BC,QM⊥BC, ∴.QM‖AC, .△BMQ一△BCA, QM_QBQM_AC ·AC=AB 即QBAB QM-15 ·25-2t25 0w-号25-24 :.S=S精形ABCD-SAAOD-S△BPQF2 9+25×2-分×12-克t×号25-24-r-+204 2 (3)解：存在。 电题意-+204=151吃 2 35 解得：612（舍去），2=5. (4)解：如图，连接EQ, 5/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E O、、 →0 .∠AEQ是直角， .∠AEQ=90°， ,O是AQ的中点， .OE=OA-AQ=t .AB CD, ∴.∠CDE=∠EOA,∠DEC=∠AEO, ∴.△DEC-△OEA, DC DE OA OE DC=0A=1, :DEOE ∴.DE=DC=9. ∴.DO=DE+OE=9+t, 在Rt△DAO中，DO=DA+AO2, .t+92=t2+122, 解子 4. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=-V102+24=26 ,∠PCQ=∠ACB, ∴.当∠PQC=∠B时，△CQP-△CBA, PC_CQ 26-2t_t AGCB,即2624 解得t312 7s: 当∠PQC=∠BAC时，△CQP-△CAB, PC_CQ26-2t_t 则BCCA，即24=26， 6/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=169 19s: 312.169 ∴.当t为37s或19s时，以PQ、C为项点的三角形与△ABC相似： (2)解：四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.理由如下： HO C 作PH⊥BC于点H,如图， .PH‖AB .△CPH一△CAB, PHPC PH 26-2t ÷ABAC,即10 26 :PH=130-10t 13 当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时， S△ABc-SACP0=S△CPQ, 即SAABC=2SACP0, :2×t.130-10t-号×10×24， 2 13 2 整理得t2-13t+156=0, ,△=132-4×156=169-624=-455<0， ∴此时方程无实数解， ∴.四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等. 5. 【详解】(1)解：当AB平分∠EBP时，∠PBF=45°， ∴.∠CBP=90°-∠PBF=45°， ∴，△BCP是等腰直角三角形， .∴.PC=BC=2, ∴.t=2; (2)A(2,0),C(0,3), 7/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=3,BC=2, .BE⊥BP, ∴.∠EBP=90°=∠ABC, ∴.∠ABE=∠PBC, 又.∠BCO=∠BAE=90°， ∴.△BCP-△BAE, ·BC_CP ·ABAE 号 ..AE=3t. 1时，=是 ·0E=2+3=7 22 7 E点坐标为20 (3)存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似.理由如下： 当点P在点O上方时，如图1， B 图1 *E96 又，∠POE=∠BAE=90°， ∴.△POE一△EAB, :0P=3-t,0E=2+3. 2 3 2+已t 3-t 2 3, 2 8/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：6=4+？西，=4-28画 3 3 （不合题意舍去）， :t=-4+2/13 3 ∴点P0 13-2V13 3 当点P在点O下方时，如图2， y不 A E 图2 OP_OE ①若AB=AE时， 又，∠POE=∠BAE=90°， 则△OPE一△ABE, :3 2+3t 21 33 解得：t1=3+√13，t2=3-/13(不合题意舍去)， ∴.0P=t-3=3+13-3=V13, ∴.CP=OC+OP=3+13, ∴.t=3+13; ∴.P(0,-913); OP_OE ②若AEAB 则△OEP一△ABE, 3 2+ t-3= 3 2 整理得： 9=-9, 这种情况不成立； 9/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，点P0, 13-213 3 或 (0,-V13. 题型三：直角三角形中的双动点相似与面积问题 1. 【详解】(1)解：，∠C=90°，BC=8,AC=6, ..AB=AC2+BC2=10. 由题意得BQ=2t,AP=t, ..AQ=AB-BQ=10-2t, 过点Q作QH⊥AC,交AC于点H, B H P ∴.△QHA一△BCA, QH AQ ·BC=AB, QH_10-2t ·810 :QH=8-8t Ap-Glt 4t2+4t0<t<51, 故答案为：t,10-2t,-42+4t, 5 (2)解：①当∠APQ=90°时，△APQ一△ACB, 器能 10-2t-t .106' 解品 10127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当∠PQA=90°时，△APQ一△ABC, AQ AP …ACAB 10-2t=t 610 t50 -13 当-沿韶，△AO与△AC数 2. 【详解】(1)解：根据题意得：BP=AQ=2tcm, .AP=(10-2t)cm, AP_AQ 当△APQ-△ABC时，ABAC, ,10-2t_2t .10 8 解得：t=20 99 当△AQP一△ABC时， AQ_AP AB AC 2t=10-2t 解得：t=25 9 20。.25 综上所述，当gs或gs时，△APQ与△ABC相似： (2)解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm, ∴BC=VAB2-AC2=6cm, 如图，过P作PD⊥AC于点D,则PD‖BC, 11/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >O D .△APD一△ABC, AP_PD 10-2t_PD ABBC,即 1061 解得：PD=30-6t 5’ :53A0-PD=×2x0=6i-号r 2 5 线段PQ恰好托△ABC的首积平分，5，版方AC-BC专 ×8×6=24, 1 6t-号4-×24,4r-56+10=0. 此时4=-52-4×1×10=-15<0， 此方程无解， ,不存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 3. 【详解】(1)解：根据题意知：BP=5tcm,QC=4tcm,BQ=8-4tcm, ,∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm, ..AB=VAC2+BC2=62+82=10(cm), 分两种情况讨论： BP_BQ O当△BPQ一△BAC时，BABC, 08 5t_8-4t 解得，t=1; BP BQ ②当△BPQ一△BCA时，BCAB, 5t8-4t 8=10 12/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得，t= 32 41 3 综上所述，t=1或t= 41时，△BPQ与△ABC相似： (2)解：作PM⊥BC于点M, 则△BPM一△BAC, BP PM5t PM AB=AC,即10=6， 解得，PM=3t, 设四边形ACQP的面积为y, 白题意得：y=5m56an-分×6×88-4i×3=6li-1f+18, .当t=1时，y有最小值18， 即当t=1时，四边形ACQP的面积最小，最小值为18. 4. 【详解】(1)解：如图所示： B D M ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm. ∴.根据勾股定理，得AB=AC+BC=5cm. AM=4-t,AP=2t 当AP=AM时，则4-t=2t, 解：1 13127 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 :当AP=AM时，t= (2)过点P作PH⊥AC于点H,则PH‖BC. B C→MH ∴.△APH一△ABC PH AP …BCAB1 PH2t 即351 :.PH-St, 51 5 5 yweSanux3x4- 3, t= 5t+6, 即 32-2t+6 5f-5 (3)存在以M,P,A为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： AP_AM ①当△AMP一△ABC时，AC=AB, 2t_4-t 即4=5 解得：1-号 ②当△APM一△ABC时， AM_AP AC AB 号告 解得：器 8 _20 综上所述，当t=气或t=3时，以M,P,A为顶点的三角形与△ABC相似. 14127 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 1. 【详解】(1)解：，AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， ∴由勾股定理得：AD=AB2-BD=V52-32=4, .∠C=45°， .∠DAC=∠C=45°， ∴.AD=CD=4, ∴.BC=BD+CD=7, 由题意得：AF=2t,CE=3t, .BF=5-2t,BE=7-3t, .FG‖BC,EG‖AB, ∴.四边形EBFG是平行四边形， ∴.当BF=BE时，四边形EBFG是菱形， .5-2t=7-3t, .t=2; (2)解：如图，由(1)得：四边形EBFG是平行四边形，BF=5-2t,CE=3t, 4 B DE ∴.EG=BF=5-2t, :EG‖AB, ∴.△EGC一△BAC, EG CE BA CB' 5-2t=3t ·.5=7 器 15127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，设AD与FG交于点O, G B D E 由(1)得：四边形EBFG是平行四边形， ∴.FG=BE=7-3t, 5=5a+Saa号Gx0A+号FGx0D =1FG×OA+OD) 2 =FG×AD 7-3x4 =14-6t, ,S与t之间的函数关系式为S=14-6t: (4)解：FG‖BC, ∴∠AFG=∠ABC, 又，'∠AD=∠FAD, ∴.△AFO一△ABD, AO_AFOF Ao_2t_OF ·AD-AB-DB即4=5=3 a0登，or- 0G=FG-0F=7-3-9=7-2 t, 5 5 ①当AF=FG时，2t=7-3t, 1 ②当AF-AG.2-gr-学+49.格即：12-294+245-0. 16127 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 解得：t= 3《去)芝老三会 ®当FG=AG时.7-3tP=101-294t+49,整理得：2-3=0 5 5 解：1-0（合大）议是： 7353 综上可知：以点A、F、G为顶点的三角形是等腰三角形时t的值为5或27或2： 2. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, ∴.AB=√AC2+BC=V82+62=10: 4 (2)解：“点O从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每 秒5个单位长度的速度， CQ AP-5t AQ=8-含 当PQ⊥AC时， 则∠PQA=∠C=90 ..PQ BC, ∴.△APQ-△ABC B AP AQ ·ABAC 8、4 t .5t=3, 108 (3)解：由2)得，当PQ1AC时，t=3 s. 17127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0当0<t<3 时，如图1，重叠部分是四边形PEQF, B F ED o C 图1 ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,AB=10 sA胎5品专n/A器票品号 AB AP 10 5 AE_4 PE_3 则5t5'5t5 ∴.AE=4t,PE=3t 则S=PE×EQ=3t× 8-4t- =-16t+24t 3 ,点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线AB-BC向终点C运动，Q,P两点同时出发，当 点Q停止运动时，点P也随之停止.设点Q运动的时间为t秒 .AB÷5=2, <t≤2时，如图2， ②当2 tan∠A=BC=NQ=6 AC AQ 8 PE=3t D OE C 图2 NQ_3 8 ∴.NQ=6-t S=S四，边形PEOF-SAPFN =QE×EP-1 xPEXFN 18127 LZ /6T 9 Da da -8-5v=dN=gum 节=00=dd‘01-1S=dam E阁 ()6a g O9dN旺音杉煤蔓重‘e☒，‘51>乙际© :S乙=m ‘1-9=1S-9+0IM ‘òN=Od泵 d 忆-18+2g 8 t忆-18-391+29 +1×8-1 9T= (8+Z-1e×8-1 8 9T= 8 8 8-1z×8-1g-18×8-1g月 9-E-+-x-- 0N-a1x15v-0+91×名-18×1Dv-00+3 oN-òHx70×名 -da×a0= 散系一每并丁 山03'XXXZ‘MMM 丝干·圆健右型 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NP4 则5t-103 ∴Np=20t-40 3 ∴FW=FP-NP=4t-20t-40=40-16t 3 3 3 FM=FQ-MQ=PC-MQ=16-5t-6-t=10-4t .S=S四边形PCOF-S△NM -CQxCP-*FMxF -号×16-5-10-4x0g160 3t×16-5t-5-2t×40-16t 3 =-522+24t-200 -t- 3 3 3 4 :点D为AC的中点，点O从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向终点D运动， AC÷4=4 2 43 3 3 三<t≤3时如图4， ④当2 B D O C(E) 图4 则S=CQ×PC -×16+10-5d =-202+64t 3 3 3. 【详解】(1)解：，AD⊥BC, :BD=VA B2-AD2=52-42=3cm, 20127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=BC-BD=5-3=2cm, .AC=VAD2+CD2=V42+22=2/5cm, (2)解：当0<t<1时， 由题意得：PB=5tcm, :PQ‖AD 8照 5t_PQ .54 PQ=4tcm, 当1<t<3时， R B DO 由题意得：PA=V5(t-1)cm, :.PC=AC-PA=[2V5-5(t-1)]cm, :PQ‖AD PQ=PC AD AC' Pg-25-5t-1 25 ∴.PQ=6-2tcm, 综上，PQ的长为4tcm或(6-2t)cm: (3)解：当点P在BA上且点R在AC上时，如图， R B 21127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm ∴.PA=AB-PB=(5-5t)cm .PQ=PR. .'PR=4tcm, PQ⊥BC,PR⊥PQ PR‖BC, PR_AP BC AB' 4t_5-5t 55, 当号t<1时，△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形 当点P在AC上且点R在线段AB上时，如图 R B DO C 由(2)知：PQ=(6-2t)cm,PA=5(t-1)cm, PQ=PR .PR=(6-2t)cm, PQ⊥BC,PR⊥PQ, .PR‖BC, PR_AP ·BCAC 6-2tPV5t-1 5 25 解得：t= 9, 当1<t<1 9时，△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形： 22127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，t的取值范围为g t<1或1<t< 9 3.25 7 (4)解：当AR与△ABC的边AB或BC垂直时，t的值为亏秒或37秒或3秒， 理由：当点P在BA上且点R在AD上时，AR⊥BC,如图 B O D 由(2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm, ∴.PA=AB-PB=(5-5t)cm .PQ=PR, .PR=4tcm. PQ⊥BC,PR⊥PQ. PR‖BC, 器铝 4t_5-5t 当点P在BA上且AR⊥AB时，如图 OD 由(2)知：PQ=4tcm,PB=5tcm, .PA=AB-PB=(5-5t)cm, .PQ=PR, ..PR=4tcm, 23127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠RPQ=90°， ∴.∠APR+∠BPQ=90°， .PQ⊥BC, ∴.∠BPQ+∠B=90°， ∴.∠APR=∠B, ,∠PAR=∠PQB=90°， .△PAR一△BQP, AP PR ·BQPB1 5-5t_4t .3t5t 解得：t=25 37, 当点P在AC上且点R在线段AD上时，如图 R B D OC 由(2)知：PQ=(6-2t)cm,PA=V5(t-1)cm, .PQ=PR, .PR=(6-2t)cm, PQ⊥BC,PR⊥PQ, ..PR BC, .PR-AP CD AC' 2V5, 7 解得：t 4. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,AB=8, 24127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AC=BC2+AB2=10, ,D为边AC的中点， D-4c-5, .当点Q与点D重合时，点Q运动的路程为BC+CD=6+5=11, 当点Q与点D重合时，t的值为 11=5.5(秒)· (2)解：当0<t<3时，BQ=2t, BC=6, ∴.CQ=6-2t: 当3<t<5.5时，BC+CQ=2t, .CQ=2t-6」 综上所述：CQ长为6-2t或2t-6. (3)解：由题意得：AP=t, ∴.PB=8-t, BP_BQ 当0<t<3时，若△PBQ一△ABC,则BABC, :8-t=24 24 86,解得：t三 11: 若△PBQ一△CBA, BPBQ BC BA' 8-t_2t 6=8,解得：t=3.2(不合题意，舍去). 当3<t<5.5时， 由(2)知：CQ=2t-6, .'AQ=AC-CQ=16-2t, AP_AQ 若△APQ-△ABC,则ABAC, 小言1最解得t酷 AP_AQ 若△APQ一△ACB,则ACAB, 25127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =16-2t 10 8,解得：t=40 (不合题意，舍去)； 2464 综上，PQ将△ABC分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，t的值为1或13 (4)解：①如图：当0<t<3时，连接BD、PQ交于点O, M .BD PMQN 平分平行四边形 的面积， '.BD经过平行四边形PMQN的中心， ∴.PO=OQ, ,∠PBQ=90°， ∴.BO=PO ∴.∠OPB=∠OBP, ,D为边AC的中点，∠ABC=90°， .BD-AC-DA. .∠A=∠OBA, ∴∠OPB=∠A, .PQ AC BP_BQ AB BC. 即86解得：t24 8-t_2t 11 ②如图，当3<t<5.5时，连接BD、MN交于点O, M O .BD PMON 平分平行四边形 的面积， 同理可得：MN‖AC, ·BN-BM AB BC' ,四边形PMQN为平行四边形， 26127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .QM=NP,QM‖AB, ·QM=CQ-CM ·AB CA CB' OM-CM-26-6 NP-QM-84-24 BM-6-CM-4596 BN-BP+NP-8-1186-24 8610 5 5 8-t4-台6-22-6 55 解得：t48 11 8 6 24.48 综上所述，满足条件的t的值为11或11： 27127 专题01 相似三角形动点问题的专项训练 题型一 公共角（等角）型相似动点分类讨论 题型二 矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 题型三 直角三角形中的双动点相似与面积问题 题型四 折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 题型一：公共角（等角）型相似动点分类讨论 1．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 2．如图，在中，， ， ，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 3．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 4．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 5．如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，？ (2)当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）由平行可得，根据相似三角形的性质列式计算即可； （2）过点作于，分两种情况：当点为直角顶点时，当点为直角顶点时，然后得到相似三角形，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则， ， ， ， 即， 解得， 当秒时，； （2）解：过点作于， ，， ， 当点为直角顶点时，则， ，， ， ， 即， 解得， 当点为直角顶点时，则， ，， ， ， 即， 解得， 综上，当秒或秒时，是直角三角形． 6．如图，在四边形中，．若E是边上的一个动点，则当______时，与相似． 【答案】或1或6 【分析】设的长为x，分两种情况讨论，①当时，②当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：设的长为x，则． ， ∴分两种情况讨论： ①当时，，则， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意； ②当时，，则， 解得， 经检验，和都是该分式方程的解，且符合题意． 综上所述，的长为或1或6． 题型二：矩形（四边形）背景下的相似动点与函数问题 1．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)x (2)或 x= 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据题意得到，，则，然后根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分和两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； （2）解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或， 当或时，和 相似． 2．如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示： ， ； (2)连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 3．如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 4．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2) 解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）略 5．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【详解】（1）解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， （2）∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； （3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 题型三：直角三角形中的双动点相似与面积问题 1．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）①当时，， ②当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∴， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 2．如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) 解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中，， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分，， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； （2）略 3．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为18 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）作于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，用t表示出，设四边形的面积为y，根据三角形的面积公式计算得，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，， 综上所述，或时，与相似； （2）解：作于点M， 则， ∴，即， 解得，， 设四边形的面积为y， 由题意得：， ∴当时，y有最小值18， 即当时，四边形的面积最小，最小值为18． 4．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒 的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒 的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以，，为顶点的三角形与相似，或 【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式； （3）分和两种情况讨论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵在中，，，． ∴根据勾股定理，得． ， 当时，则， 解得：， ∴当时，； （2）过点作于点，则． ∴ ∴， 即， ∴， ， ∴， 即； （3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 题型四：折线运动、重叠面积与特殊图形存在性问题 1．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 2．如图，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)______； (2)当时，求的值； (3)过点作 于点，以、为邻边作矩形，设矩形与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据勾股定理算出， （2）根据点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度运动，得出，又因为，故，则，即可作答． （3）要结合题意，进行逐个情况作图，运用数形结合思想以及面积计算方式进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：∵点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴， ， 当时， 则 ∴ ， ∴， ， ∴ （3）解：由（2）得，当时，， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形 ． ∵在中，，，， ∴， 则， ∴， 则． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止运动时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴， ②当时，如图2， ， 则 ∴ ； 当时， 则， 则； ③当时，如图3，重叠部分是五边形． 则 ， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④当时，如图4， 则 3．如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的长为或 (3)的取值范围为或 (4)的值为秒或秒或秒， 【分析】（）先由勾股定理算出，再结合求出，最后用勾股定理算出的长度为； （）分两个时间段讨论的长度当时，点在上，由得相似三角形，按比例求出；当时，点在上，同理由相似关系求出，最终得到长度的分段表达式 （）重叠部分为四边形意味着点必须落在的内部；当点在上且点在上时，临界情况是点落在边上，利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围； 当点在上且点在线段上时，同样利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围；最后将两个范围合并； （）本题需分类讨论垂直于哪条边以及点的位置；， 此时点必须落在高上；分点在上和点在上两种情况，利用构造相似比列方程求解； 时：此时点只能在上，利用角度互余关系证明，通过对应边成比例列方程求解； 最后汇总所有符合条件的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； （4）解：当与的边或垂直时，的值为秒或秒或秒， 理由： 当点在上且点在上时，，如图 由（）知： ， ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上且时，如图 由（）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 4．如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1)（秒） (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先运用勾股定理求得的长，进而求得点Q运动的路程，即的长，再根据时间，路程与速度的关系列式求时间t即可； （2）分和两种情况，分别利用时间、路程与速度的关系列式即可； （3）分和两种情况，分别利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用相似三角形的性质列比例求解即可； （4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程求解即可；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴当点与点重合时，点Q运动的路程为， ∴当点与点重合时，的值为（秒）． （2）解：当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：长为或． （3）解：由题意得：， ， 当时，若，则， ，解得：； 若， ， ∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时， 由（2）知：， ， 若，则， ，解得：； 若，则， ，解得：（不合题意，舍去）； 综上，将分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或． （4）解：①如图∶当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， ， ∵为边的中点，， ， ， ， ∵， ，即，解得：； ②如图，当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 同理可得：， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ，，， ，解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $