15章综合与实践(最短路径)（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

年级

八年级

学科

数学

课时数

1课时

教师

课题

第15章  综合与实践(最短路径)

教学

目标

知识与技能

1. 理解“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等基本几何事实，能将其作为判断路径最短的依据；

2. 掌握用轴对称变换将同侧两点转化为异侧两点、“化折为直”的基本作图方法，能规范写出“作对称点—连线—取交点”的作图步骤，并保留作图痕迹；

3. 能正确识别“两点一线”“一点两线”“两点两线”“造桥选址”四类基本模型，会求最短路径的长度；

4. 会用“在直线上另取一点”的一般性方法说明所作路径最短，能规范书写推理过程。

过程与方法

1. 经历“现实情境—抽象几何模型—动手实验—猜想验证—推理论证—迁移应用”的完整探究过程，初步体会数学建模的一般路径；

2. 在“任取一点、比较大小”的论证活动中，掌握证明“最短”的通法，体会轴对称的转化思想、数形结合思想与从特殊到一般的归纳思想；

3. 通过测量实验、几何画板动态演示与小组合作交流，发展空间观念、几何直观、逻辑推理和合作交流能力。

情感态度价值观

1. 从牧民饮马、建桥选址等真实问题中感受数学的应用价值，增强“用数学的眼光观察现实世界”的意识；

2. 在由易到难、层层递进的变式挑战中获得成功的体验，养成敢于猜想、严谨求证、不盲从套路的科学态度；

3. 借助“光行最速原理”等跨学科链接，体会数学与自然规律的统一之美，激发学习数学的兴趣与好奇心。

教材

分析

本课是人教版八年级上册第15章《轴对称》之后的“综合与实践”内容，是轴对称性质、线段垂直平分线、三角形三边关系等知识的综合应用课。教材以“牧民饮马”这一现实情境为载体，设置了由“两点一线”到“一点两线”“两点两线”，再到“造桥选址”的递进式任务链：核心依据是“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”，核心方法是借助轴对称（或平移）变换实现“化折为直”。它既是本章轴对称知识的深化与升华，也是初中阶段首次系统建立“路径最值”模型，承载着发展模型观念、几何直观、推理能力和应用意识的任务，为后续学习勾股定理的实际应用、函数最值以及解析几何中的距离最值奠定思想基础。教学时应突出“综合与实践”的活动属性：放手让学生自主从情境中抽象模型、动手测量验证猜想、完整书写证明过程，避免直接给出结论后套题型训练。

学情分析

【已有基础】学生已掌握轴对称及其性质、线段垂直平分线的性质与判定，熟悉“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”“垂线段最短”等基本事实，具备初步的尺规作图与简单几何推理能力，对生活中的“抄近路”等现象有感性经验。

【主要困难】① 从草地边、河边、桥等真实背景中剥离情境、抽象出“直线＋动点”的几何模型存在困难；② 习惯“看图解题”，缺少主动构造对称点实现“化折为直”的意识和经验；③ 证明“最短”时需要在直线上“另任取一点”作任意性比较，学生难以理解“任取”的作用，推理书写不规范；④“一点两线”的“回原地”与“不回原地”、“造桥选址”中的平移变换，模型迁移要求高，容易发生混淆。

【应对策略】先以“两点在直线异侧”搭建脚手架，再过渡到同侧；用测量实验建立直观、用动态演示突破想象；把证明分解为“任取—转化—比较—共线取等”四步，反复口述后再独立书写。

教学重点

能利用轴对称（平移）变换把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的基本图形，掌握“作对称点—连线—取交点”的作图方法，并能用轴对称性质和线段公理规范说明理由。

教学难点

1. 如何从现实情境中抽象出几何模型，主动想到用轴对称变换“化折为直”；

2. 用“在直线上另任取一点”的一般性方法，严格证明所作路径最短（任意性说明与规范书写）；

3. “一点两线”“两点两线”中双对称与“单对称＋垂直”的辨析，以及“造桥选址”中平移模型的识别与迁移。

教学器材

多媒体课件、直尺、圆规、三角板、量角器。