第15章 综合与实践 最短路径问题-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学同步教案（人教版·新教材）河北专版

课 题

最短路径问题

课 型

新授课

教学内容

教材第94-96页的内容

教学目标

1.能够求解最短路径问题.

2.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.

教学重难点

教学重点：运用所学知识解决最短路径问题.

教学难点：选择合适的方法解决问题.

教  学  过  程

备  注

1.回顾旧知，引入新课

前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.

如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点C，使得CA+CB最小．

【师生活动】教师请学生回答上述问题，并说明原理：连接AB，线段AB与直线l的交点C，就是所求，利用了“两点之间，线段最短”的原理．

同学们通过讨论下面两个问题，可以进一步体会如何运用所学知识选择最短路径.

2.发现探究，学习新知

活动一 牧民饮马问题

【问题】如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？

图1                     图2

回顾旧知，为讲解新知识做准备.以学生学过的知识为基础引入课题，激发学生的学习兴趣.

本节以探究两个实际问题为基础，利用轴对称、平移进行线段的等量变化，利用“两点之间，线段最短”等求解最短路径问题.同时也体现了用数学知识在实际问题中的应用，数学服务于生活.

【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边l近似地看成一条直线(图2)，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.

【追问1】在前面一个问题中我们知道当A,B在直线l两侧时，能够确定l上一点C使得CA+CB.对于【问题】，能不能将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？

【师生活动】学生进行讨论，教师给出提示：由B和B′在直线的两侧，且CB与CB′的长度相等能联想到什么知识点呢？学生经过提示能够想到轴对称的性质.

【追问2】你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′，并确定点C的位置吗？请自行画图.

【师生活动】学生作图，教师指导总结作法.

作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．

【追问3】你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？

【师生活动】学生自行证明，教师作出指导.

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.

∵直线l是点B，B′的对称轴，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′.

∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.

在△AB′C′中， ∵AB′＜AC′＋C′B′，

∴ AC ＋CB＜AC′＋C′B.即 AC ＋BC 最小．

教师不断发问，引导提示学生通过一系列的探究活动，经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识.

活动二 牧民饮马问题的拓展

【问题】如图3，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？

图3                    图4

【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边和草地近似地分别看成一条直线OM，ON(图4)，A为∠MON内部一点，那么，上面的问题可以转化为：在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小.

【追问1】点B，C在什么位置时使△ABC周长最小？

解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM，ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形.

∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，

∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，

根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.

故牧民先到点C处牧马，再到点B处饮马，最后回到A处所走的路径最短.

【追问2】如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？

图5                  图6

【师生活动】类比【问题】,可以将问题转化为在∠MON的两边OM，ON上求作点C，D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小.

解：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM，ON于点C，D，即为所求.

经历了问题1的探究过程，问题2的探究过程给予学生更大的自主性，教师提出问题循循善诱.